Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction

Formes différentielles et différentielles exactes

Vérification de l'exactitude d'une forme différentielle et calcul d'une intégrale curviligne de cette dernière le long d'un arc de courbe plane

1. Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes,
       Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy}\;$» vérifier sa fermeture puis
       Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy}\;$» vérifier son exactitude par application du lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées, enfin
       Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle sur l'arc de parabole $\,(\Gamma )\,$ d'équation cartésienne $\;y=2\,{\dfrac {x^{2}}{a}}$
        Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle sur l'arc de parabole entre les points $\;O\,(0\,,\,0)\;$ et $\;A\,(a\,,\,2\,a)$,
       Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle ${\big (}a\,$ étant une grandeur $\,>0\,$ de même dimension que $\,x\,$ et $\,y{\big )}$ ;
2. considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\right\rbrace \,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes,
              considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right))\right\rbrace \,dy}\;$» vérifier sa fermeture puis
              considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right))\right\rbrace \,dy}\;$» vérifier son exactitude par application du lemme du Poincaré relatif aux
                   considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right))\right\rbrace \,dy}\;$» vérifier son exactitude par application formes différentielles fermées, et
              considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right))\right\rbrace \,dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\delta _{\text{forme diff}}(M)\,$ sur la courbe plane fermée
              considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right))\right\rbrace \,dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,(\Gamma )\;$ d'équations cartésiennes paramétriques
                                      considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right))\right\rbrace \,dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\left\lbrace \!{\begin{array}{l}x=a\;\sin(\theta )\;\cos ^{2}(\theta )\\y=a\;\sin ^{2}(\theta )\\\theta \;\in \;\left[0\,,\,2\;\pi \right[\end{array}}\!\right\rbrace$
              considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right))\right\rbrace \,dy}\;$» évaluer ${\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$ ;
3. considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)={\dfrac {2\,x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\,\in \,\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ indépendantes,
          considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,x\;dx-x^{2}\;dy}\;$» vérifier sa fermeture puis
          considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,x\;dx-x^{2}\;dy}\;$» vérifier son exactitude par application du lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées, enfin
          considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,x\;dx-x^{2}\;dy}\;$» déterminer les primitives de cette forme différentielle exacte et
          considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,x\;dx-x^{2}\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\delta _{\text{forme diff}}(M)\,$ sur une courbe plane $\,(\Gamma )\;$ d'équations cartésiennes paramétriques
          considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,x\;dx-x^{2}\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\,$ sur une courbe plane de classe C¹ par morceaux sur $\;U=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}\;$
          considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,x\;dx-x^{2}\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\,$ sur une courbe plane $\,\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ allant de $\;A\,(a,\,2\,a)\;$ à $\;B\,(3\,a,\,8\,a)$ ;
4. considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\,\in \,\mathbb {R} ^{2}\;$ indépendantes,
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» vérifier sa fermeture puis
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-6\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» vérifier son exactitude par application du lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles
               considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» vérifier son exactitude par application du lemme du Poincaré relatif aux fermées, enfin
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» déterminer les primitives de cette forme différentielle exacte et
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\delta _{\text{forme diff}}(M)\,$ $\bullet \;$sur le demi-cercle supérieur $\;(\Gamma _{1})\;$ de diamètre
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\,$ $\color {transparent}{\bullet }\;$$\left[AB\right]$, de $\;A\,(R,\,2\,R)\;$ à $\;B\,(3\,R,\,4\,R)$,
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\,$ $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big \{}R\;$ étant le rayon du demi-cercle${\big \}}\;$ puis
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\,$ $\bullet \;$sur la courbe $\;(\Gamma _{2})\;$ d'équations cartésiennes
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\,$ $\color {transparent}{\bullet }\;$paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=a\,(1+3\;t-t^{2})\\y=a\,(2+4\;t-2\,t^{2})\\t\;\in \;\left[0\,,\,1\right[\end{array}}\right\rbrace$,
       considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-3\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy}\;$» évaluer l'intégrale curviligne de $\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)}\,$ $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big \{}a>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big \}}$.

Solution

1. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=2\;x\;y\\B(x,\,{\cancel {y}})=x^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=2\;x\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!{\cancel {y}}}(x,\,{\cancel {y}})=2\;x\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi,
       À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy}\;$» vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» sur cette forme différentielle $\Rightarrow$
   À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy\;$» est fermée et
                  À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$
                        À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ sans restriction le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique et par suite
   À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy\;$» est exacte c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)$ ;
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy=df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\;x\;y\;$ soit $\;f(x,\,y)=x^{2}\;y+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=x^{2}+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;x^{2}\;$ d'où $\;\varphi '(y)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi (y)=cste\;$ d'où «$\;f(x,\,y)=x^{2}\;y+cste\;$» ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de parabole : soit $\;(\Gamma )\;$ l'arc de parabole d'équation cartésienne $\;y=2\,{\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ entre les points $\;O\,(0\,,\,0)\;$ et $\;A\,(a\,,\,2\,a)$, l'intégrale curviligne
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de parabole : «$\;\displaystyle \int _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int _{(\Gamma )}2\;x\;y\;dx+x^{2}\;dy=\displaystyle \int _{O\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,A}df=f(A)-f(O)=\left[2\;a^{3}+cste\right]-\left[0+cste\right]=2\;a^{3}\;$».
2. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\right\rbrace \,dy\;$» des variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=-2\,x\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\\B(x,\,y)=2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-2\,x\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)-2\,x\;y\;\cos \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\,{\dfrac {x^{2}}{a^{3}}}\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-2\,x\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)-x^{2}\;\cos \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\,{\dfrac {2\,x\;y}{a^{3}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» sur cette forme différentielle $\Rightarrow$
   À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\right\rbrace \,dy\;$» est fermée et
   À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$
     À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ sans restriction le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique et par suite
   À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\right\rbrace \,dy\;$» est exacte c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$
                     À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=-2\,x\;y\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left(x^{2}\;y\right)\right\rbrace \,dy}\;$» est exacte c.-à-d. qu'elle est la différentielle des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)$ ;
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;-2\,x\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\right\rbrace \,dy=df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$
                                                                                                                                                         détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifiant pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-2\,x\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\;$ soit $\;f(x,\,y)=a^{3}\;\cos \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;2\,a\;y-x^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)\;$ d'où $\;\varphi '(y)=2\,a\;y\;$ $\Rightarrow$
                                                                                   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\varphi (y)=a\;y^{2}+cste\;$ d'où «$\;f(x,\,y)=a^{3}\;\cos \!\left({\dfrac {x^{2}\;y}{a^{3}}}\right)+a\;y^{2}+cste\;$» ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane fermée : soit $\;(\Gamma )\;$ la courbe plane fermée d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=a\;\sin(\theta )\;\cos ^{2}(\theta )\\y=a\;\sin ^{2}(\theta )\\\theta \;\in \;\left[0\,,\,2\;\pi \right[\end{array}}\right\rbrace \;$ avec
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane fermée : «$\;f\!\left\lbrace x(\theta ),\,y(\theta )\right\rbrace =a^{3}\;\cos \!\left\lbrace \sin ^{4}(\theta )\;\cos ^{4}(\theta )\right\rbrace +a^{3}\;\sin ^{2}(\theta )+cste\;$» $\Rightarrow$ «$\;f\!\left\lbrace x(0),\,y(0)\right\rbrace =f\!\left\lbrace x(2\,\pi ),\,y(2\,\pi )\right\rbrace \;$»
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane fermée : d'où «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma )}df=\left[f\!\left\lbrace x(\theta ),\,y(\theta )\right\rbrace \right]_{0}^{2\,\pi }=f\!\left\lbrace x(2\,\pi ),\,y(2\,\pi )\right\rbrace -f\!\left\lbrace x(0),\,y(0)\right\rbrace =0\;$».
3. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)={\dfrac {2\,x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\,\in \,\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ indépendantes, posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)={\dfrac {2\,x}{y}}\\B(x,\,y)=-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-{\dfrac {2\,x}{y^{2}}}\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-2\,{\dfrac {x}{y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» sur cette forme différentielle $\Rightarrow$ la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)={\dfrac {2\,x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy\;$» est fermée et
   À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$
     À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$ sans restriction le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique et par suite
   À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)={\dfrac {2\,x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy\;$» est exacte c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)$ ;
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)={\dfrac {2\,x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy=df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)={\dfrac {2\,x}{y}}\;$ soit $\;f(x,\,y)={\dfrac {x^{2}}{y}}+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;$ d'où $\;\varphi '(y)=0\;$ et $\;\varphi (y)=cste\;$ soit «$\;f(x,\,y)={\dfrac {x^{2}}{y}}+cste\;$» ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : soit $\;(\Gamma )\;$ la courbe plane d'équations cartésiennes paramétriques de classe C¹ par morceaux sur $\;U=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ $\Rightarrow$
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : «$\;\displaystyle \int _{(\Gamma )}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int _{A\,(a,\,2\,a)}^{B\,(3\,a,\,8\,a)}df=\left[f(M)\right]_{A\,(a,\,2\,a)}^{B\,(3\,a,\,8\,a)}=\left[{\dfrac {x^{2}}{y}}+cste\right]_{(a,\,2\,a)}^{(3\,a,\,8\,a)}={\dfrac {(3\,a)^{2}}{8\,a}}-{\dfrac {a^{2}}{2\,a}}={\dfrac {5}{8}}\;a\;$».
4. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-6\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\,\in \,\mathbb {R} ^{2}\;$ indépendantes, posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=y^{3}-6\,x\;y^{2}\\B(x,\,y)=3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=3\,y^{2}-12\,x\;y\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=3\,y^{2}-12\,x\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, vérifiant la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» sur cette forme différentielle $\Rightarrow$
   À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-6\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy\;$» est fermée et
   À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$
     À partir de la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=}$ comme elle est définie sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ sans restriction le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique et par suite
   À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-6\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy\;$» est exacte c'est donc la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)$ ;
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-6\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy=df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$
     détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\color {transparent}{f}\;$ vérifiant $\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=(y^{3}-6\,x\;y^{2})\;dx+(3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y)\;dy=df=}$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=y^{3}-6\,x\;y^{2}\;$ soit $\;f(x,\,y)=x\;y^{3}-3\,x^{2}\;y^{2}+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;3\,x\;y^{2}-6\,x^{2}\;y\;$ d'où $\;\varphi '(y)=0\;$ et $\;\varphi (y)=cste\;$ soit
   détermination de la fonction dont la forme différentielle est la différentielle exacte «$\;f(x,\,y)=x\;y^{3}-3\,x^{2}\;y^{2}+cste\;$» ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : $\bullet \;$soit $\;(\Gamma _{1})\;$ le demi-cercle supérieur de diamètre $\;\left[AB\right]$, allant de $\;A\,(R,\,2\,R)\;$ vers $\;B\,(3\,R,\,4\,R)$, $\Rightarrow$
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\displaystyle \int _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int _{A\,(R,\,2\,R)}^{B\,(3\,R,\,4\,R)}df=\left[f(M)\right]_{A\,(R,\,2\,R)}^{B\,(3\,R,\,4\,R)}=\left[x\;y^{3}-3\,x^{2}\;y^{2}+cste\right]_{(R,\,2\,R)}^{(3\,R,\,4\,R)}=-240\;R^{4}+4\;R^{4}$
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(M)}$ $=-236\;R^{4}\;$»,
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : $\bullet \;$soit $\;(\Gamma _{2})\;$ la courbe plane d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=a\,(1+3\;t-t^{2})\\y=a\,(2+4\;t-2\,t^{2})\\t\;\in \;\left[0\,,\,1\right[\end{array}}\right\rbrace \;$ allant de $\;M(0)\;(a,\,2\,a)\;$
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une courbe plane : $\color {transparent}{\bullet }\;$vers $\;M(1)\;(3\,a,\,4\,a)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{(\Gamma _{2})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int _{M(0)\,(a,\,2\,a)}^{M(1)\,(3\,a,\,4\,a)}df\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;-236\;a^{4}\;$».

 

Calcul d'intégrales curvilignes d'une même forme différentielle le long de deux arcs de courbes distincts de mêmes extrémités et conséquence

     Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes,
    Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy}\;$» calculer l'intégrale curviligne de cette forme différentielle le long
         Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy}\;$» calculer l'intégrale curviligne $\bullet \;$du segment de droite reliant $\;O\,(0\,,\,0)\;$ et $\;A\,(a\,,\,a)\;$ de $\;O\;$ vers $\;A$,
         Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy}\;$» calculer l'intégrale curviligne $\bullet \;$de l'arc de parabole d'équation cartésienne $\;y={\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ entre $\;O\,(0\,,\,0)\;$ et $\;A\,(a\,,\,a)$,
         Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy}\;$» calculer l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$ ;
         Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy}\;$» conclure à l'exactitude ou non de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy\;$» et
         Considérant la forme différentielle «$\;\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy}\;$» justifier votre réponse d'une 2^nde façon en recherchant la fermeture ou non de cette forme différentielle.

Solution

     L'intégrale curviligne de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes,
     L'intégrale curviligne le long $\bullet \;$du segment de droite $\;(\Gamma _{1})\;$ reliant $\;O\,(0\,,\,0)\;$ et $\;A\,(a\,,\,a)\;$ de $\;O\;$ vers $\;A$, d'équation cartésienne $\;y=x$, avec $\;(x\,,\,y)\;$ coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma _{1})\;$
     L'intégrale curviligne le long $\color {transparent}{\bullet }\;$du segment de droite $\;\color {transparent}{(\Gamma _{1})}\;$ que nous paramétrons en $\;x$, $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ porté par $\;(\Gamma _{1})\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;dy=dx\;$ d'où
     L'intégrale curviligne le long $\color {transparent}{\bullet }\;$du segment de droite $\;\color {transparent}{(\Gamma _{1})}\;$ «$\;I_{1}=\displaystyle \int _{O{\overset {(\Gamma _{1})}{\rightarrow }}A}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \int _{O{\overset {(\Gamma _{1})}{\rightarrow }}A}x^{2}\;dx-x\;y\;dy=$ $\displaystyle \int _{0}^{a}\left(x^{2}-x^{2}\right)\,dx=0\;$» ou
     L'intégrale curviligne le long $\bullet \;$de l'arc de parabole $\;(\Gamma _{2})\;$ d'équation cartésienne $\;y={\dfrac {x^{2}}{a}}\;$ entre $\;O\,(0\,,\,0)\;$ et $\;A\,(a\,,\,a)$, avec $\;(x\,,\,y)\;$ coordonnées cartésiennes de $\;M$, point générique de $\;(\Gamma _{2})\;$ paramétré en $\;x$,
     L'intégrale curviligne le long $\color {transparent}{\bullet }\;$de l'arc de parabole $\;\color {transparent}{(\Gamma _{2})}\;$ $\;(dx\,,\,dy)\;$ étant les composantes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ tangent à $\;(\Gamma _{2})\;$ en $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;dy=2\;{\dfrac {x}{a}}\;dx\;$ d'où «$\;I_{2}=\!\!\displaystyle \int \limits _{O{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}A}\delta _{\text{forme diff}}(M)$
     L'intégrale curviligne le long $\color {transparent}{\bullet }\;$de l'arc de parabole $\;\color {transparent}{(\Gamma _{2})}\;$ $=\!\!\displaystyle \int \limits _{O{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}A}x^{2}\;dx-x\;y\;dy=\displaystyle \int _{0}^{a}\left\lbrace x^{2}-x\;{\dfrac {x^{2}}{a}}\,\left(2\;{\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \,dx=\left[{\dfrac {x^{3}}{3}}-2\;{\dfrac {x^{5}}{5\;a^{2}}}\right]_{0}^{a}={\dfrac {a^{3}}{3}}-{\dfrac {2\;a^{3}}{5}}=-{\dfrac {a^{3}}{15}}\;$» ;
     les intégrales curvilignes $\;I_{1}\;$ et $\;I_{2}\;$ de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy\;$» le long d'arcs de courbes différents de mêmes extrémités, étant de valeurs différentes, nous en déduisons que
     les intégrales curvilignes $\;\color {transparent}{I_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{I_{2}}\;$ de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy\;$» n'est pas exacte ;
     pour tenter de justifier d'une autre façon que la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy\;$» n'est pas exacte, nous cherchons la fermeture ou non de celle-ci et pour cela
     pour tenter de justifier d'une autre façon posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,{\cancel {y}})=x^{2}\\B(x,\,y)=-x\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,{\cancel {y}})=0\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-y\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,{\cancel {y}})\neq \left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$ pour $\;y\neq 0\;$ traduisant que
     pour tenter de justifier d'une autre façon que la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=x^{2}\;dx-x\;y\;dy\;$» n'est pas fermée et par suite, ne peut être exacte.

 

Champs vectoriels à circulation conservative et détermination de potentiels scalaires dont dérivent ces champs vectoriels

Étude d'un 1^er exemple de l'espace bidimensionnel

     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y)\;$ selon «$\;{\overrightarrow {F}}(M)=y\;{\vec {u}}_{x}+x\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y)}\;$ $\bullet \;$établir que $\;{\overrightarrow {F}}(M)=y\;{\vec {u}}_{x}+x\;{\vec {u}}_{y}\;$ est un champ vectoriel à circulation conservative,
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y)}\;$ $\bullet \;$déterminer les potentiels scalaires $\;U(M)\;$ dont dérive $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ et
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y)}\;$ $\bullet \;$en déduire la « circulation du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ du point $\;A\,(x_{A},\,y_{A})\;$ au point $\;B\,(x_{B},\,y_{B})\;$».

Solution

     Soit le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y)\;$ selon «$\;{\overrightarrow {F}}(M)=y\;{\vec {u}}_{x}+x\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)={\overrightarrow {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ ${\Big \{}$avec $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;$ le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\,(x,\,y){\Big \}}\;$
           Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)={\overrightarrow {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ est une forme différentielle exacte c.-à-d. fermée sur tout ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{2}$, or
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=y\;dx+x\;dy\;$» vérifie, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A({\cancel {x}},\,y)=y\\B(x,\,{\cancel {y}})=x\end{array}}\right\rbrace$, «$\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!{\cancel {x}}}=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!{\cancel {y}}}\;$» de valeur commune $\;1$, avec
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire pour domaine de définition $\;{\mathcal {R}}^{2}\;$ convexe $\;{\big (}$c.-à-d. étoilé pour tous ses points${\big )}\,$ $\Rightarrow$ «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)\;$ forme différentielle exacte ;
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$les potentiels scalaires $\;U(M)\;$ dont dérive $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ se déterminent par «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=-dU(M)\;$» ou «$\;y\;dx+x\;dy=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y}(M)\;dx-\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x}(M)\;dy\;$» $\Rightarrow$
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$les potentiels scalaires $\;\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y}(M)=-y\;$ s'intégrant en $\;U(x,\,y)=-y\;x+\varphi (y)\;$, avec $\;\varphi (y)\;$ à déterminer $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x}(M)=-x+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;-x\;$ d'où
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$les potentiels scalaires $\;\varphi '(y)=0\;$ s'intégrannt en $\;\varphi (y)=cste\;$ soit finalement «$\;U(x,\,y)=-x\;y+cste\;$» ;
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$la « circulation du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ du point $\;A\,(x_{A},\,y_{A})\;$ au point $\;B\,(x_{B},\,y_{B})\;$ vaut $\;{\mathcal {C}}_{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=\displaystyle \int _{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=\displaystyle \int _{A}^{B}-dU(M)=U(A)-U(B)$ soit
      Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$la « circulation du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {F}}(M)}\;$ du point $\;\color {transparent}{A\,(x_{A},\,y_{A})}\;$ au point $\;\color {transparent}{B\,(x_{B},\,y_{B})}\;$ vaut ${\mathcal {C}}_{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=x_{B}\;y_{B}-x_{A}\;y_{A}\;$».

 

Étude d'un 2^nd exemple de l'espace bidimensionnel

     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y)\;$ selon «$\;{\overrightarrow {F}}(M)=x^{2}\;{\vec {u}}_{x}+y^{2}\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y)}\;$ $\bullet \;$établir que $\;{\overrightarrow {F}}(M)=x^{2}\;{\vec {u}}_{x}+y^{2}\;{\vec {u}}_{y}\;$ est un champ vectoriel à circulation conservative,
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y)}\;$ $\bullet \;$déterminer les potentiels scalaires $\;U(M)\;$ dont dérive $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ et
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y)}\;$ $\bullet \;$en déduire la « circulation du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ du point $\;A\,(x_{A},\,y_{A})\;$ au point $\;B\,(x_{B},\,y_{B})\;$».

Solution

     Soit le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y)\;$ selon «$\;{\overrightarrow {F}}(M)=x^{2}\;{\vec {u}}_{x}+y^{2}\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)={\overrightarrow {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ ${\Big \{}$avec $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;$ le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\,(x,\,y){\Big \}}\;$
           Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)={\overrightarrow {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ est une forme différentielle exacte c.-à-d. fermée sur tout ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{2}$, or
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=x^{2}\;dx+y^{2}\;dy\;$» vérifie, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,{\cancel {y}})=x^{2}\\B({\cancel {x}},\,y)=y^{2}\end{array}}\right\rbrace$, «$\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}\;$» de valeur commune $\;0$, avec
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire pour domaine de définition $\;{\mathcal {R}}^{2}\;$ convexe $\;{\big (}$c.-à-d. étoilé pour tous ses points${\big )}\,$ $\Rightarrow$ «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)\;$ forme différentielle exacte ;
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$les potentiels scalaires $\;U(M)\;$ dont dérive $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ se déterminent par «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=-dU(M)\;$» ou «$\;x^{2}\;dx+y^{2}\;dy=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y}(M)\;dx-\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x}(M)\;dy\;$» $\Rightarrow$
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$les potentiels scalaires $\;\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y}(M)=-x^{2}\;$ s'intégrant en $\;U(x,\,y)=-{\dfrac {x^{3}}{3}}+\varphi (y)\;$, avec $\;\varphi (y)\;$ à déterminer $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x}(M)=0+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;-y^{2}\;$ d'où
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$les potentiels scalaires $\;\varphi '(y)=-y^{2}\;$ s'intégrannt en $\;\varphi (y)=-{\dfrac {y^{3}}{3}}+cste\;$ soit finalement «$\;U(x,\,y)=-{\dfrac {x^{3}+y^{3}}{3}}+cste\;$» ;
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$la « circulation du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ du point $\;A\,(x_{A},\,y_{A})\;$ au point $\;B\,(x_{B},\,y_{B})\;$ vaut $\;{\mathcal {C}}_{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=\displaystyle \int _{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=\displaystyle \int _{A}^{B}-dU(M)=U(A)-U(B)$ soit
      Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$la « circulation du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {F}}(M)}\;$ du point $\;\color {transparent}{A\,(x_{A},\,y_{A})}\;$ au point $\;\color {transparent}{B\,(x_{B},\,y_{B})}\;$ vaut ${\mathcal {C}}_{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\dfrac {x_{B}^{3}+y_{B}^{3}}{3}}-{\dfrac {x_{A}^{3}+y_{A}^{3}}{3}}\;$».

 

Étude d'un exemple de l'espace tridimensionnel

     Considérant le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ selon «$\;{\overrightarrow {F}}(M)=y^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace 2\,a\,y\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+a^{2}\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}+2\,a\,y\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y\,,\,z)}\;$ $\bullet \;$établir que $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ est un champ vectoriel à circulation conservative,
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y\,,\,z)}\;$ $\bullet \;$déterminer le potentiel scalaire $\;U(M)\;$ dont dérive $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ en imposant sa référence à l'origine et
     Considérant le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel défini en $\;\color {transparent}{M\;(x\,,\,y\,,\,z)}\;$ $\bullet \;$en déduire la « circulation du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ du point $\;A\,\left(0,\,a,\,0\right)\;$ au point $\;B\,\left(a\,{\frac {\pi }{2}},\,3\,a,\,0\right)\;$».

Solution

     Soit le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel défini en $\;M\;(x\,,\,y\,,\,z)\;$ selon «$\;{\overrightarrow {F}}(M)=y^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace 2\,a\,y\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+a^{2}\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}+2\,a\,y\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)={\overrightarrow {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ ${\Big \{}{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur déplacement élémentaire de $\;M\,(x,\,y,\,z){\Big \}}\;$
           Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)={\overrightarrow {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ est une forme différentielle exacte c.-à-d. fermée sur tout ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{2}$, or
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=y^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\,y\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+a^{2}\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\right\rbrace \,dy+2\,a\,y\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\;dz\;$» vérifie, avec
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire $\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y,\,{\cancel {z}})=y^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\\B(x,\,y,\,z)=2\,a\,y\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+a^{2}\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\\C({\cancel {x}},\,y,\,z)=2\,a\,y\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\end{array}}\right\rbrace$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x,\,{\cancel {z}}}\!\!&=&\!\!2\,y\,\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial A}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!&=&\!\!0\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!&=&\!\!2\,a\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial C}{\partial y}}\right)_{\!{\cancel {x}},\,z}\end{array}}\right\rbrace \;$», avec pour
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$il est à circulation conservative ssi sa circulation élémentaire domaine de définition $\;{\mathcal {R}}^{3}\;$ convexe $\;{\big (}$c.-à-d. étoilé pour tous ses points${\big )}\,$ $\Rightarrow$ «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)\;$ forme différentielle exacte ;
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$le potentiel scalaire à référence à l'origine $\;U(M)\;$ dont dérive $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ se déterminent par «$\;\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=-dU(M)\;$ avec $\;U(O)=0\;$» c.-à-d.
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$le potentiel scalaire «$\;y^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,dx+\left\lbrace 2\,a\,y\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+a^{2}\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\right\rbrace \,dy+2\,a\,y\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\;dz=-\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;dx-\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;dy-\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;dz\;$» $\Rightarrow$
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$le potentiel scalaire $\;\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)=-y^{2}\,\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;$ s'intégrant en $\;U(x,\,y,\,z)=-a\,y^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+\varphi (y,\,z)\;$, avec $\;\varphi (y,\,z)\;$ à déterminer $\Rightarrow$
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$le potentiel scalaire $\;\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)=-2\,a\,y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y,\,z)\;$ à identifier avec $\;-\left\lbrace 2\,a\,y\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+a^{2}\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!z}(y,\,z)=-a^{2}\,\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\;$ s'intégrant en
                                                                      Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$le potentiel scalaire $\;\varphi (y,\,z)=-a^{2}\,y\;\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}+\psi (z)\;$ $\Rightarrow$ $\;U(x,\,y,\,z)=-a\,y^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)-a^{2}\,y\;\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}+\psi (z)\;$ avec $\;\psi (z)\;$ à déterminer $\Rightarrow$
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$le potentiel scalaire $\;\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)=-2\,a\,y\;\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}+\psi '(z)\;$ à identifier avec $\;-2\,a\,y\;\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\;$ $\Rightarrow$ $\;\psi '(z)=0\;$ s'intégrant en $\;\psi (z)=cste\;$ choisie nulle par référence de $\;U\;$ d'où
     Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$le potentiel scalaire «$\;U(x,\,y,\,z)=-a\,y^{2}\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)-a^{2}\,y\;\operatorname {e} ^{\left(2{\frac {z}{a}}\right)}\;$» vérifiant effectivement $\;U(0,\,0,\,0)=0$ ;
     Soit le champ vectoriel $\bullet \;$la « circulation du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {F}}(M)\;$ du point $\;A\,\left(0,\,a,\,0\right)\;$ au point $\;B\,\left(a\,{\frac {\pi }{2}},\,3\,a,\,0\right)\;$ vaut $\;{\mathcal {C}}_{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=\displaystyle \int _{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\delta {\mathcal {C}}\left[{\vec {F}}\right](M)=\displaystyle \int _{A}^{B}-dU(M)=U(A)-U(B)$ soit
      Soit le champ vectoriel $\color {transparent}{\bullet }\;$la « circulation du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {F}}(M)}\;$ du point $\;\color {transparent}{A\,\left(0,\,a,\,0\right)}\;$ au point $\;\color {transparent}{B\,\left(a\,{\frac {\pi }{2}},\,3\,a,\,0\right)}\;$ vaut ${\mathcal {C}}_{A{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}B}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=-a^{3}+12\;a^{3}=11\;a^{3}\;$».

 

Détermination de primitives de formes différentielles dans le cas où elles sont exactes

     Déterminer l'exactitude ou non des formes différentielles $\;\delta _{\text{forme diff}}(M)\;$ ci-dessous et, dans le cas où elles sont exactes,
     Déterminer les primitives $\;f\;$ $\;{\big (}$à une constante additive près${\big )}\;$ de ces formes différentielles exactes :

1. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dx+\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dy\;$» $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$ ;
2. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=\left(2\,a\,x\,y+y^{3}\right)\,dx+\left(a\,x^{2}+3\,x\,y^{2}\right)\,dy\;$» $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$ ;
3. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-y\;dx+x\;dy\;$» ;
4. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=\left\lbrace y+a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \,dx+\left\lbrace {\dfrac {x^{2}}{a}}+{\dfrac {y^{2}}{a}}\right\rbrace \,dy\;$» $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$ ;
5. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=y^{2}\;dx+2\;x\;y\;dy\;$» ;
6. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,{\dfrac {x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy\;$» ;
7. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(T,\,V)=C_{V}\;dT+{\dfrac {n\;R\;T}{V}}\;dV\;$» ${\big (}C_{V}$, $\;n\;$ et $\;R\;$ étant des constantes $\;>0{\big )}$ ;
8. «$\;\delta _{\text{forme diff}}(T,\,V)={\dfrac {C_{V}}{T}}\;dT+{\dfrac {n\;R}{V}}\;dV\;$» ${\big (}C_{V}$, $\;n\;$ et $\;R\;$ étant des constantes $\;>0{\big )}$.

Solution

1. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dx+\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=-\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\\B(x,\,y)=\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-{\dfrac {1}{a}}\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-{\dfrac {1}{a}}\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» s'y vérifiant $\Rightarrow$ la fermeture de la forme différentielle ;
        comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$ le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)$ ;
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;df=-\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dx+\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dy=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\;$ soit $\;f(x,\,y)=a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\;$ d'où $\;\varphi '(y)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi (y)=cste\;$ d'où
          détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;f(x,\,y)=a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {y}{a}}\right)+cste\;$» ;
2. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=\left(2\,a\,x\,y+y^{3}\right)\,dx+\left(a\,x^{2}+3\,x\,y^{2}\right)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=2\,a\,x\,y+y^{3}\\B(x,\,y)=a\,x^{2}+3\,x\,y^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=2\,a\,x+3\,y^{2}\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\,a\,x+3\,y^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» s'y vérifiant $\Rightarrow$ la fermeture de la forme différentielle ;
        comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$ le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)$ ;
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;df=\left(2\,a\,x\,y+y^{3}\right)\,dx+\left(a\,x^{2}+3\,x\,y^{2}\right)\,dy=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\,a\,x\,y+y^{3}\;$ soit $\;f(x,\,y)=a\;x^{2}\;y+x\;y^{3}+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=a\,x^{2}+3\,x\,y^{2}+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;a\,x^{2}+3\,x\,y^{2}\;$ d'où $\;\varphi '(y)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi (y)=cste\;$ d'où
          détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;f(x,\,y)=a\;x^{2}\;y+x\;y^{3}+cste\;$» ;
3. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=-y\;dx+x\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A({\cancel {x}},\,y)=-y\\B(x,\,{\cancel {y}})=x\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!{\cancel {x}}}({\cancel {x}},\,y)=-1\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!{\cancel {y}}}(x,\,{\cancel {y}})=+1\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
4. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=\left\lbrace y+a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \,dx+\left\lbrace {\dfrac {x^{2}}{a}}+{\dfrac {y^{2}}{a}}\right\rbrace \,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A(x,\,y)=y+a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\\B(x,\,y)={\dfrac {x^{2}}{a}}+{\dfrac {y^{2}}{a}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=1\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\;{\dfrac {x}{a}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
5. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=y^{2}\;dx+2\;x\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A({\cancel {x}},\,y)=y^{2}\\B(x,\,y)=2\,x\,y\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!{\cancel {x}}}({\cancel {x}},\,y)=2\,y\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» s'y vérifiant $\Rightarrow$ la fermeture de la forme différentielle ;
        comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$ le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)$ ;
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;df=y^{2}\;dx+2\;x\;y\;dy=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=y^{2}\;$ soit $\;f(x,\,y)=x\;y^{2}+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=2\,x\;y+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;2\,x\,y\;$ d'où $\;\varphi '(y)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi (y)=cste\;$ d'où
          détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;f(x,\,y)=x\;y^{2}+cste\;$» ;
6. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=2\,{\dfrac {x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=2\,{\dfrac {x}{y}}\\B(x,\,y)=-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-2\,{\dfrac {x}{y^{2}}}\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-2\,{\dfrac {x}{y^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» s'y vérifiant $\Rightarrow$ la fermeture de la forme différentielle ;
        comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{*}\;$ et que tout ouvert de $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ est étoilé pour tout point $\;{\big (}$de même tout ouvert de $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{-}^{*}\;$ y est étoilé pour tous ses points${\big )}\;$, le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'applique dans $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{-}^{*}\;$ ${\big (}$ou dans $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{-}^{*}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle dans $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{-}^{*}\;$ ${\big (}$ou dans $\;\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{-}^{*}{\big )}\;$ c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ sur tout domaine interdisant $\;y=0$ ;
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;df=2\,{\dfrac {x}{y}}\;dx-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;dy=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\,{\dfrac {x}{y}}\;$ soit $\;f(x,\,y)={\dfrac {x^{2}}{y}}+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;-{\dfrac {x^{2}}{y^{2}}}\;$ d'où $\;\varphi '(y)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi (y)=cste\;$ d'où
          détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;f(x,\,y)={\dfrac {x^{2}}{y}}+cste\;$» ;
7. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(T,\,V)=C_{V}\;dT+{\dfrac {n\;R\;T}{V}}\;dV\;$» des deux variables $\;(T\,,\,V)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A({\cancel {T,\,V}})=C_{V}\\B(T,\,V)={\dfrac {n\;R\;T}{V}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial A}{\partial V}}\right)_{\!{\cancel {T}}}({\cancel {T,\,V}})=0\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial T}}\right)_{\!V}(T,\,V)={\dfrac {n\;R}{V}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial V}}\right)_{\!T}(T,\,V)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial T}}\right)_{\!V}(T,\,V)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
8. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(T,\,V)={\dfrac {C_{V}}{T}}\;dT+{\dfrac {n\;R}{V}}\;dV\;$» des deux variables $\;(T\,,\,V)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(T,\,{\cancel {V}})={\dfrac {C_{V}}{T}}\\B({\cancel {T}},\,V)={\dfrac {n\;R}{V}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial V}}\right)_{\!T}(T,\,{\cancel {V}})=0\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial T}}\right)_{\!V}({\cancel {T}},\,V)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial V}}\right)_{\!T}(T,\,V)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial T}}\right)_{\!V}(T,\,V)\;$» s'y vérifiant $\Rightarrow$ la fermeture de la forme différentielle ;
        comme elle est définie sur $\;\left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$ le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;f\;$ des deux variables indépendantes $\;(T\,,\,V)$ ;
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;f\;$ vérifiant $\;df={\dfrac {C_{V}}{T}}\;dT+{\dfrac {n\;R}{V}}\;dV=\left({\dfrac {\partial f}{\partial T}}\right)_{\!V}(T,\,V)\;dT+\left({\dfrac {\partial f}{\partial V}}\right)_{\!T}(T,\,V)\;dV\;$ pour tout $\;(dT,\,dV)\;$ $\Rightarrow$
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial T}}\right)_{\!V}(T,\,V)={\dfrac {C_{V}}{T}}\;$ soit $\;f(T,\,V)=C_{V}\;\ln(T)+\varphi (V)\;$ dont nous déduisons
        détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial V}}\right)_{\!T}(T,\,V)=0+\varphi '(V)\;$ à identifier avec $\;{\dfrac {n\;R}{V}}\;$ d'où $\;\varphi '(y)={\dfrac {n\;R}{V}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi (y)=n\,R\;\ln(V)+cste\;$ d'où
          détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;f(T,\,V)=C_{V}\;\ln(T)+n\,R\;\ln(V)+cste\;$» ou, en physique, l'argument de la fonction $\;\ln(?)\;$ devant être sans dimension,
          détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;f(T,\,V)=C_{V}\;\ln \!\left({\dfrac {T}{T_{0}}}\right)+n\,R\;\ln \!\left({\dfrac {V}{V_{0}}}\right)+cste\;$» $\;{\big \{}$avec $\;(T_{0},\,V_{0})\;$ constantes dont l'homogénéité est celle de $\;(T,\,V){\big \}}$.

 

Établissement de quelques propriétés d'une fonction harmonique d'un espace bidimensionnel

     Considérant une fonction harmonique d'un espace bidimensionnel «$\;f\;:\;\mathbb {R} ^{2}\,\to \,\mathbb {R} ,\;(x,\,y)\;\mapsto \;f(x,\,y)\;\mid \,\Delta \{f\}(x,\,y)=0\;$» avec
     Considérant une fonction harmonique d'un espace bidimensionnel «$\;\Delta \{f\}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y}(x,\,y)+\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;$» le champ scalaire laplacien bidimensionnel de $\;f\;$ en repérage cartésien et
     Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=-\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes où $\;f\;$ est la fonction harmonique introduite ci-dessus,
     Considérant on se propose d'établir, ci-après, quelques propriétés des fonctions harmoniques bidimensionnelles :

Calcul de l'intégrale curviligne de la forme différentielle le long d'un cercle centré en O et de rayon ρ et conséquence

1. Soit $\;(\Gamma _{\rho })\;$ le cercle de centre $\;O\;(0,\,0)$, de rayon $\;\rho$, orienté dans le sens trigonométrique,
   évaluer l'intégrale curviligne le long du cercle $\;(\Gamma _{\rho })\;$ de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=-\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes
   évaluer l'intégrale curviligne le long du cercle $\;\color {transparent}{(\Gamma _{r})}\;$ de la forme différentielle « où $\;f\;$ est la fonction harmonique précédemment introduite.
2. Soit la fonction «$\;\varphi \;:\;\mathbb {R} _{+}\,\to \,\mathbb {R} ,\;\rho \;\mapsto \;\varphi (\rho )=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }f{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,d\theta \;{\bigg \vert }\;\Delta \{f\}(x,\,y)=0\;$»,
   montrer que, pour $\;\rho >0$, la fonction $\;\rho \;\varphi '(\rho )\;$ est égale à $\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{\rho })}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ avec $\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ la forme différentielle précédemment définie puis,
   en déduire une expression simple de $\;\varphi \;$ en fonction de $\;f$.

Solution

1. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=-\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=-\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\\B(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x}(x,\,y)\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y}(x,\,y)\end{array}}\right\rbrace \;$ et la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» s'y vérifiant car $\;f\;$ est une fonction harmonique bidimensionnelle c.-à-d. telle que $\;\Delta \{f\}(x,\,y)=0\;$ ou $\;\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y}(x,\,y)+\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x}(x,\,y)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y}(x,\,y)=-\left({\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;$ $\Rightarrow$ la fermeture de la forme différentielle ;
        comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$ le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;\Psi \;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ soit «$\;-\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dy=d\Psi (x,\,y)\;$» ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur le cercle centré en$\;O$ : soit $\;(\Gamma _{\rho })\;$ le cercle de centre $\;O\;(0,\,0)$, de rayon $\;\rho$, orienté dans le sens trigonométrique, l'intégrale curviligne
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur le cercle centré en$\;\color {transparent}{O}$ : «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{r})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{\rho })}-\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dy=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{\rho })}\,d\Psi (x,\,y)=0\;$».
2. La fonction harmonique bidimensionnelle $\;f\;$ étant au moins de classe D² , il en est de même de la fonction «$\;\varphi \;:\;\mathbb {R} _{+}\,\to \,\mathbb {R} ,\;\rho \;\mapsto \;\varphi (\rho )=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }f{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,d\theta \;$» sa dérivée s'évaluant selon
   «$\;\varphi '(\rho )=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,\left({\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,\left({\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \,d\theta =\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,\cos(\theta )+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,\sin(\theta )\right\rbrace \,d\theta \;$»,
   or «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{\rho })}\delta _{\text{forme diff}}(M)=0\;$ se réécrivant, en variable $\;\theta \;$ selon $\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace -\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\;\left[-\rho \,\sin(\theta )\right]+\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\;\left[\rho \,\cos(\theta )\right]\right\rbrace \,d\theta \;$ ${\big (}$valable pour $\;\rho \neq 0{\big )}\;$ soit encore
   or «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{r})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=0}\;$ se réécrivant, en variable $\;\color {transparent}{\theta }\;$ selon $\rho \,\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,\cos(\theta )+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}\!{\big \{}\rho \,\cos(\theta ),\,\rho \,\sin(\theta ){\big \}}\,\sin(\theta )\right\rbrace \,d\theta =\rho \;\varphi '(\rho )\;$» d'où $\;\varphi '(\rho )=0\;$ et par suite $\;\varphi (\rho )=cste=\varphi (0)\;$ $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }f\!{\big \{}0,\,0{\big \}}\,d\theta =2\,\pi \;f(0,\,0)\;$».

 

Calcul de la moyenne de la fonction harmonique sur un disque centré en O et de rayon R

     Soit $\;({\mathcal {D}}_{R})\;$ le disque de centre $\;O\;(0,\,0)$, de rayon $\;R$,
     calculer la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle $\;f\;$ sur le disque $\;({\mathcal {D}}_{R})$, «$\;{\dfrac {1}{{\mathcal {A}}_{{\mathcal {D}}_{R}}}}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,({\mathcal {D}}_{R})}f(M)\;dS_{M}\;$» où $\;dS_{M}\;$ est l'aire de la surface élémentaire au point générique $\;M\,\in \,({\mathcal {D}}_{R})$ et
                    calculer la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle $\;\color {transparent}{f}\;$ sur le disque $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}}_{R})}$, «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{{\mathcal {D}}_{R}}f(M)\;dS_{M}}\;$» où $\;{\mathcal {A}}_{{\mathcal {D}}_{R}}\;$ l'aire du disque $\;({\mathcal {D}}_{R})$.

Solution

     Soit $\;({\mathcal {D}}_{R})\;$ le disque de centre $\;O\;(0,\,0)$, de rayon $\;R\;$ et $\;M\;$ le point générique de $\;({\mathcal {D}}_{R})\;$ en repérage polaire $\;M\;(\rho ,\;\theta )\;$, l'aire de la surface élémentaire en $\;M\;$ s'écrivant «$\;dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;$» et
          Soit $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}}_{R})}\;$ le disque de centre $\;\color {transparent}{O\;(0,\,0)}$, de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ et $\;\color {transparent}{M}\;$ le point générique de $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}}_{R})}\;$ en repérage polaire $\;\color {transparent}{M\;(\rho ,\;\theta )}\;$, l'aire du disque $\;({\mathcal {D}}_{R})$, «$\;{\mathcal {A}}_{{\mathcal {D}}_{R}}=\pi \;R^{2}\;$», nous en déduisons
     la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle $\;f\;$ sur le disque $\;({\mathcal {D}}_{R})$, «$\;{\dfrac {1}{{\mathcal {A}}_{{\mathcal {D}}_{R}}}}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,({\mathcal {D}}_{R})}f(M)\;dS_{M}={\dfrac {1}{\pi \;R^{2}}}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,({\mathcal {D}}_{R})}f{\big \{}\rho \;\cos(\theta ),\,\rho \;\sin(\theta ){\big \}}\;\rho \;d\rho \;d\theta$ qui s'intègre selon
     la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle $\;\color {transparent}{f}\;$ sur le disque $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}}_{R})}$, «$\;{\dfrac {1}{\pi \;R^{2}}}\displaystyle \int _{0}^{R}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }f{\big \{}\rho \;\cos(\theta ),\,\rho \;\sin(\theta ){\big \}}\;d\theta \right\rbrace \;\rho \;d\rho ={\dfrac {1}{\pi \;R^{2}}}\displaystyle \int _{0}^{R}\varphi (\rho )\;\rho \;d\rho \;$ $={\dfrac {1}{\pi \;R^{2}}}\displaystyle \int _{0}^{R}\left[2\,\pi \,f(0,\,0)\right]\,\rho \;d\rho \;$ $=$
     la moyenne de la fonction harmonique bidimensionnelle $\;\color {transparent}{f}\;$ sur le disque $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}}_{R})}$, «$\;{\dfrac {f(0,\,0)}{\pi \;R^{2}}}\displaystyle \int _{0}^{R}2\,\pi \,\,\rho \;d\rho ={\dfrac {f(0,\,0)}{\pi \;R^{2}}}\;\pi \,R^{2}=f(0,\,0)\;$».

 

Modification de formes différentielles pour les rendre exactes, détermination de primitives des différentielles obtenues et calculs de leurs intégrales curvilignes le long d'arcs de courbes planes

1. Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+a\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, ${\big (}$avec $\;a\,$ grandeur $\,>0\,$ de même dimension que $\,x\,$ et $\,y{\big )}$
              considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{\text{forme diff}}(M)=y\;\sin \!\left(x\right)\;dx+a\;\sin ^{2}\!\left(y\right)\,dy}\;$» vérifier qu'elle n'est pas fermée et par suite non exacte ;
   posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\\B(x,\,y)=a\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\end{array}}\right\rbrace$, nous nous proposons de rendre exacte la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(x,\,y)\;dx+B(x,\,y)\,dy\;$»
            posant $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=y\;\sin \!\left(x\right)\end{array}}\right\rbrace }$, nous nous proposons de rendre exacte en changeant $\;B(x,\,y)\;$ en $\;C(x,\,y)=B(x,\,y)+\phi (x)\;$ avec $\;\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;$ fonction de classe C¹ à déterminer ;
   1. déterminer $\;\phi (x)\;$ pour que la forme différentielle «$\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}}}(M)=A(x,\,y)\;dx+C(x,\,y)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes soit exacte et nulle en $\;(0,\,0)\;$ puis
   2. déterminer les primitives de la différentielle «$\;A(x,\,y)\;dx+C(x,\,y)\,dy\;$» obtenue et
   3. calculer son intégrale curviligne $\;\displaystyle \int _{(\Gamma )}{\delta '}_{\!{\text{forme diff}}}(M)\;$ le long de l'arc de courbe $\;(\Gamma )\;$ d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;(\theta ^{\,2}+\theta ^{\,5})\\y=a\;\operatorname {e} ^{-\theta }\;\sin(\theta )\\\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$.
2. Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(M)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+0\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, ${\big (}$avec $\;a\,$ grandeur $\,>0\,$ de même dimension que $\,x\,$ et $\,y{\big )}$
              considérant la forme différentielle «$\;\,\color {transparent}{\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(M)=2\;a^{2}\;x\;y\;dx+0\;dy}\;$» vérifier qu'elle n'est pas fermée et par suite non exacte ;
   posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\\B(x,\,y)=0\end{array}}\right\rbrace$, nous nous proposons de rendre exacte la forme différentielle «$\;\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(M)=A(x,\,y)\;dx+B(x,\,y)\,dy\;$»
            posant $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=2\;a^{2}\;x\;y\end{array}}\right\rbrace }$, nous nous proposons de rendre exacte en changeant $\;B(x,\,y)\;$ en $\;C(x,\,y)=B(x,\,y)+\Phi (x)\;$ avec $\;\Phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;$ fonction de classe C¹ à déterminer ;
   1. déterminer $\;\Phi (x)\;$ pour que la forme différentielle «$\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}},\,2}(M)=A(x,\,y)\;dx+C(x,\,y)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes soit exacte et nulle en $\;(0,\,0)\;$ puis
   2. déterminer les primitives de la différentielle «$\;A(x,\,y)\;dx+C(x,\,y)\,dy\;$» obtenue et
   3. calculer son intégrale curviligne $\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{2})}{\delta '}_{\!{\text{forme diff}},\,2}(M)\;$ le long de l'ellipse $\;(\Gamma _{2})\;$ orientée dans le sens trigonométrique et d'équation cartésienne implicite $\;{\dfrac {x^{2}}{7\;a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{3\;a^{2}}}=1\;$.

Solution

1. À partir de la forme différentielle «$\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+a\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\\B({\cancel {x}},\,y)=a\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
   1. nous nous proposant de rendre exacte la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(M)=A(x,\,y)\;dx+B(x,\,y)\,dy\;$» en changeant $\;B(x,\,y)\;$ en $\;C(x,\,y)=B(x,\,y)+\phi (x)\;$ avec $\;\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;$ fonction de classe C¹, nous exprimons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\!\!&=&\!\!\!\!&&\!\!\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\\\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)+\phi '(x)\!\!&=&\!\!\phi '(x)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la forme différentielle «$\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}}}(M)=A(x,\,y)\;dx+C(x,\,y)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes est fermée pour $\;\phi '(x)=\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\phi (x)=-a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+cste\;$ d'où $\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}}}(M)=y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+\left\lbrace a\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)-a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+cste\right\rbrace \,dy\;$ ou, la nouvelle forme différentielle devant s'annuler en $\;(0,\,0)\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=a$, «$\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}}}(M)=y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+a\,\left\lbrace 1+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)-\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \,dy\;$» ; comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$ le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;\psi \;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ soit «$\;y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+a\,\left\lbrace 1+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)-\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \,dy=d\psi (x,\,y)\;$» ;
   2. détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\psi \;$ vérifiant $\;d\psi (x,\,y)=y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+a\,\left\lbrace 1+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)-\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \,dy=\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ $\forall \;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
           détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;$ soit $\;\psi (x,\,y)=-a\;y\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+\varphi (y)\;$ dont nous déduisons
           détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-a\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)+\varphi '(y)\;$ à identifier avec $\;a\,\left\lbrace 1+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)-\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \;$ d'où $\;\varphi '(y)=a\,\left\lbrace 1+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)\right\rbrace \;$ ou,
             détermination des primitives de la différentielle exacte : en linéarisant, $\;\varphi '(y)={\dfrac {a}{2}}\,\left\lbrace 3-\cos \!\left({\dfrac {2\;y}{a}}\right)\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi (y)={\dfrac {a}{4}}\,\left\lbrace 6\;y-a\;\sin \!\left({\dfrac {2\;y}{a}}\right)\right\rbrace +cste\;$ d'où
             détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;\psi (x,\,y)={\dfrac {a}{4}}\,\left\lbrace 6\;y-a\;\sin \!\left({\dfrac {2\;y}{a}}\right)-4\;y\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace +cste\;$» ;
   3. évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de courbe : soit $\;(\Gamma )\;$ l'arc de courbe d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;(\theta ^{\,2}+\theta ^{\,5})\\y=a\;\operatorname {e} ^{-\theta }\;\sin(\theta )\\\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$, l'intégrale curviligne
      évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de courbe : «$\;\displaystyle \int _{(\Gamma )}{\delta '}_{\!{\text{forme diff}}}(M)=\displaystyle \int _{(\Gamma )}y\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+a\,\left\lbrace 1+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {y}{a}}\right)-\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \,dy=\displaystyle \int _{(\Gamma )}d\psi =\left[\psi \!{\big \{}x(\theta ),\,y(\theta ){\big \}}\right]_{0}^{\pi }\;$
      évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un arc de courbe : «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{(\Gamma )}{\delta '}_{\!{\text{forme diff}}}(M)}$ $=\psi \!{\big \{}x(\pi ),\,y(\pi ){\big \}}-\psi \!{\big \{}x(0),\,y(0){\big \}}=0-0=0\;$».
2. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(M)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+0\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, posons $\,\left\lbrace \!{\begin{array}{c}A(x,\,y)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\\B({\cancel {x}},\,{\cancel {y}})=0\end{array}}\!\right\rbrace \,$ $\Rightarrow$ $\,\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)={\dfrac {2\;a^{2}\;x}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,{\cancel {y}})=0\end{array}}\!\right\rbrace \,$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
   1. nous nous proposant de rendre exacte la forme différentielle «$\;\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(M)=A(x,\,y)\;dx+B(x,\,y)\,dy\;$» en changeant $\;B(x,\,y)\;$ en $\;C(x,\,y)=B(x,\,y)+\Phi (x)\;$ avec $\;\Phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;$ fonction de classe C¹, nous exprimons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\!\!&=&\!\!\!\!&&\!\!{\dfrac {2\;a^{2}\;x}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\\\left({\dfrac {\partial C}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,{\cancel {y}})+\Phi '(x)\!\!&=&\!\!\Phi '(x)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la forme différentielle «$\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}},\,2}(M)=A(x,\,y)\;dx+C(x,\,y)\,dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes est fermée pour $\;\Phi '(x)={\dfrac {2\;a^{2}\;x}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Phi (x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {2\;a^{2}\;x'}{(a^{2}+{x'}^{2})^{2}}}\;dx'=\displaystyle \int ^{(a^{2}+x^{2})}{\dfrac {a^{2}}{(a^{2}+{x'}^{2})^{2}}}\;d\!\left(a^{2}+{x'}^{2}\right)=-{\dfrac {a^{2}}{a^{2}+x^{2}}}+cste\;$ d'où $\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}},\,2}(M)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+\left\lbrace -{\dfrac {a^{2}}{a^{2}+x^{2}}}+cste\right\rbrace \,dy\;$ ou, cette dernière devant s'annuler en $\;(0,\,0)\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=1$, «$\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}},\,}(M)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+\left\lbrace -{\dfrac {a^{2}}{a^{2}+x^{2}}}+1\right\rbrace \,dy=$ ${\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\;dy\;$» ; comme elle est définie sur $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ sans restriction $\;{\big (}$tout ouvert de $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant étoilé pour tout point est dit convexe${\big )}\;$ le lemme du Poincaré relatif aux formes différentielles fermées s'y applique $\Rightarrow$ l'exactitude de la forme différentielle c.-à-d. qu'elle est la différentielle d'une fonction scalaire $\;\Psi \;$ des deux variables indépendantes $\;(x\,,\,y)\;$ soit finalement «$\;{\delta '}_{\!{\text{forme diff}},\,2}(M)$ $={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\;dy=d\Psi (x,\,y)\;$» ;
   2. détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\Psi \;$ vérifiant $\;d\Psi (x,\,y)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\;dy=\left({\dfrac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial \Psi }{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy\;$ pour tout $\;(dx,\,dy)\;$ $\Rightarrow$
           détermination des primitives de la différentielle exacte : $\;\left({\dfrac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)={\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;$ soit $\;\Psi (x,\,y)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {2\;a^{2}\;x'\;y}{(a^{2}+{x'}^{2})^{2}}}\;dx'=\displaystyle \int ^{(a^{2}+x^{2})}{\dfrac {a^{2}\;y}{(a^{2}+{x'}^{2})^{2}}}\;d\!\left(a^{2}+{x'}^{2}\right)=-{\dfrac {a^{2}\;y}{a^{2}+x^{2}}}+\varpi (y)\;$
      détermination des primitives de la différentielle exacte d'où $\;\left({\dfrac {\partial \Psi }{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-{\dfrac {a^{2}}{a^{2}+x^{2}}}+\varpi '(y)\;$ à identifier avec $\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\;$ d'où $\;\varpi '(y)={\dfrac {x^{2}}{a^{2}+x^{2}}}+{\dfrac {a^{2}}{a^{2}+x^{2}}}=1\;$ $\Rightarrow$ $\;\varpi (y)=y+cste\;$ soit
             détermination des primitives de la différentielle exacte : «$\;\Psi (x,\,y)=-{\dfrac {a^{2}\;y}{a^{2}+x^{2}}}+y+cste={\dfrac {x^{2}\;y}{a^{2}+x^{2}}}+cste\;$» ;
   3. évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une ellipse : soit $\;(\Gamma _{2})\;$ l'ellipse d'équation cartésienne implicite $\;{\dfrac {x^{2}}{7\;a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{3\;a^{2}}}=1\;$ décrite dans le sens trigonométrique de $\;A\;$ à $\;A\;$
      évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur une ellipse : l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint \limits _{A\,{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}\,A}{\delta '}_{\!{\text{forme diff}},\,2}(M)=\displaystyle \oint \limits _{A\,{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}\,A}{\dfrac {2\;a^{2}\;x\;y}{(a^{2}+x^{2})^{2}}}\;dx+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\;dy=\displaystyle \oint \limits _{A\,{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}\,A}d\Psi =\left[\Psi (M)\right]_{A}^{A}=0\;$».

 

Calculs d'intégrales curvilignes de formes différentielles le long de courbes planes directement et par théorème de Green-Riemann

1. Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=x\;y\;dx+y^{2}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes et
   Considérant la courbe plane $\;(\Gamma _{1})$, triangle isocèle rectangle orienté dans le sens trigonométrique, de sommets $\;A\,(0,\;0)$, $\;B\,(a\;0)\;$ et $\;C\,(0\;a)\;$ avec $\;a\;$ grandeur de même homogénéité que $\;x\;$ et $\;y$,
   Considérant préciser si la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive,
   Considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$» $\bullet \;$directement puis
   Considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$» $\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann  ;
2. considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=x\;y\;dx+a\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}\;$ et
   considérant la courbe plane $\;(\Gamma _{2})$, triangle isocèle rectangle orienté dans le sens trigonométrique, de sommets $\;A\,(-a,\;0)$, $\;B\,(a\;0)\;$ et $\;C\,(0\;a)\;$ puis
   considérant le contour $\;({\Gamma '}_{\!2})\;$ du domaine $\;{\mathcal {D}}:=\left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in \,\mathbb {R} _{+}^{2}\;{\Big \vert }x\,\in \,\left[0\,,\,\pi \,a\right],\;y\leqslant a\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace$
   considérant préciser si la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive,
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{2}}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$» le long de $\;(\Gamma _{2})\;$ $\bullet \;$directement et vérifier le résultat
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{2})}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$» le long de $\;\color {transparent}{(\Gamma _{2})}\;$$\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann
   considérant puis calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{({\Gamma '}_{\!2}}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$» le long de $\;({\Gamma '}_{\!2})\;$ $\bullet \;$directement et vérifier le résultat
   considérant puis calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{({\Gamma '}_{\!2})}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$» le long de $\;\color {transparent}{({\Gamma '}_{\!2})}\;$$\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann ;
3. considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=-x^{2}\;y\;dx+a\;x\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}\;$ et
   considérant la cercle $\;(\Gamma _{3})\;$ de centre $\;O\,(0,\,0)\;$ et de rayon $\;R$, orienté dans le sens trigonométrique,
   considérant préciser si la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive,
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3}}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$» le long de $\;(\Gamma _{3})\;$ $\bullet \;$directement et vérifier le résultat
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$» le long de $\;\color {transparent}{(\Gamma _{3})}\;$$\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann ;
4. considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=(x^{2}-a\;y)\;dx+(y^{2}+a\;x)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, $\,{\big (}$avec $\,a\,$ grandeur $\,\neq 0\,$ de même dimension que $\,x\,$ et $\,y{\big )}\,$ et
   considérant la même cercle $\;(\Gamma _{3})\;$ de centre $\;O\,(0,\,0)\;$ et de rayon $\;R$, orienté dans le sens trigonométrique,
   considérant préciser si la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive,
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3}}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$» le long de $\;(\Gamma _{3})\;$ $\bullet \;$directement et vérifier le résultat
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$» le long de $\;\color {transparent}{(\Gamma _{3})}\;$$\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann ;
5. considérant la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=2\,(x^{2}+y^{2})\;dx+(x+y)^{2}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes et
   considérant la courbe plane $\;(\Gamma _{4})$, triangle orienté dans le sens trigonométrique, de sommets $\;A\,(a,\;a)$, $\;B\,(2\,a\;2\,a)\;$ et $\;C\,(a\;3\,a)$, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}\;$
   considérant préciser si la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$ est exacte ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elle dérive,
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{4}}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)\;$» le long de $\;(\Gamma _{4})\;$ $\bullet \;$directement et vérifier le résultat
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{4})}\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)}\;$» le long de $\;\color {transparent}{(\Gamma _{4})}\;$$\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann.
6. Considérant le contour $\;(\Gamma _{5})\;$ du domaine $\;{\mathcal {D}}':=\left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in \,\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\;{\Big \vert }x\,\in \,\left[-a\,,\,a\right],\;y\leqslant {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right\rbrace$ c.-à-d. le demi-disque centré en $\;O\,(0\,,\,0)$, de rayon $\;a$, au-dessus de l'axe $\;x'x\;$ et
   Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{{\text{forme diff}},\,1}(x,\,y)=(x+y)\;dx+(2\;x+y)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, ainsi que
   Considérant la forme différentielle «$\;\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(x,\,y)=x\;y^{2}\;dx+2\;a\;x\;y\;dy\;$» des mêmes variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}\;$
   Considérant préciser si les formes différentielles $\;\delta _{{\text{forme diff}},\,1}(x,\,y)\;$ et $\;\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(x,\,y)\;$ sont exactes ou non, et dans le cas de réponse positive, déterminer les primitives dont elles dérivent,
   Considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{5}}\delta _{{\text{forme diff}},\,1}(x,\,y)\;$» $\bullet \;$directement et vérifier le résultat
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{5})}\delta _{{\text{forme diff}},\,1}(x,\,y)}\;$» $\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann puis
   Considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{5}}\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(x,\,y)\;$» $\bullet \;$directement et vérifier le résultat
   considérant calculer l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{5})}\delta _{{\text{forme diff}},\,2}(x,\,y)}\;$» $\bullet \;$en utilisant la formule de Green - Riemann.

Solution

1. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=x\;y\;dx+y^{2}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=\;x\;y\\B({\cancel {x}},\,y)=y^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=x\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle rectangle isocèle : soit $\;(\Gamma _{1})\;$ le triangle $\;ABC\;$ d'équations cartésiennes par morceaux $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}y=0\!\!&{\text{sur}}\;\left[AB\right]\\y=a-x\!\!&{\text{sur}}\;\left[BC\right]\\x=0\!\!&{\text{sur}}\;\left[CA\right]\end{array}}\right\rbrace$,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}x\;y\;dx+y^{2}\;dy\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}dy=0,\;dx>0&{\text{sur}}\;\left[AB\right]\\dy=-dx>0&{\text{sur}}\;\left[BC\right]\\dx=0,\;dy<0&{\text{sur}}\;\left[CA\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ se calcule selon
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(M)}=$ ${\cancel {\displaystyle \int _{A\,{\overset {(\Gamma _{1})}{\rightarrow }}\,B}0\;dx+0\;dy}}+\displaystyle \int _{B\,{\overset {(\Gamma _{1})}{\rightarrow }}\,C}x\;(a-x)\;dx-(a-x)^{2}\;dx+\displaystyle \int _{C\,{\overset {(\Gamma _{1})}{\rightarrow }}\,A}{\cancel {0\;dx+}}\;y^{2}\;dy\;$
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(M)}$ $=\displaystyle \int _{a}^{0}\!(-a^{2}+3\;a\;x-2\;x^{2})\;dx+\displaystyle \int _{a}^{0}\!y^{2}\;dy=\left[-a^{2}\;x+3\,a\;{\dfrac {x^{2}}{2}}-2\,{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{a}^{0}+\left[{\dfrac {y^{3}}{3}}\right]_{a}^{0}={\dfrac {a^{3}}{6}}-{\dfrac {a^{3}}{3}}=-{\dfrac {a^{3}}{6}}\;$»,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}x\;y\;dx+y^{2}\;dy=\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{1})}}\left[{\cancel {\left({\dfrac {\partial \,y^{2}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}}}-\left({\dfrac {\partial \,xy}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy=\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{1})}}-x\;dx\;dy\;$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{\displaystyle \oint _{(\Gamma _{1})}\delta _{\text{forme diff}}(M)}$ $=\displaystyle \int _{0}^{a}-x\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{a-x}dy\right\rbrace dx=\displaystyle \int _{0}^{a}-x\;(a-x)\;dx=\left[-a\;{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{a}=-{\dfrac {a^{3}}{6}}\;$».
2. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=x\;y\;dx+a\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=x\;y\\B({\cancel {x}},\,y)=a\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=x\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
   1. évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle rectangle isocèle : soit $\;(\Gamma _{2})\;$ le triangle $\;ABC\;$ d'équations cartésiennes par morceaux $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}y=0\!\!&{\text{sur}}\;\left[AB\right]\\y=a-x\!\!&{\text{sur}}\;\left[BC\right]\\y=a+x\!\!&{\text{sur}}\;\left[CA\right]\end{array}}\right\rbrace$,
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;I_{2}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{2})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{2})}x\;y\;dx+y^{2}\;dy\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}dy=0,\;dx>0&{\text{sur}}\;\left[AB\right]\\dy=-dx>0&{\text{sur}}\;\left[BC\right]\\dy=dx<0&{\text{sur}}\;\left[CA\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ se calcule selon
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{2}}=$ ${\cancel {\displaystyle \int _{A\,{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}\,B}0\;dx+0\;dy}}+\displaystyle \int _{B\,{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}\,C}x\;(a-x)\;dx-a\;(a-x)\;dx+\displaystyle \int _{C\,{\overset {(\Gamma _{2})}{\rightarrow }}\,A}x\;(a+x)\;dx+a\;(a+x)\;dx\;$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{2}}$ $=\displaystyle \int _{a}^{0}\!(-a^{2}+2\;a\;x-x^{2})\;dx+\displaystyle \int _{0}^{-a}\!(a^{2}+2\;a\;x+x^{2})\;dx=\left[-a^{2}\;x+a\;x^{2}-{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{a}^{0}+\left[a^{2}\;x+a\;x^{2}+{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{-a}$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{2}}$ $={\dfrac {a^{3}}{3}}-{\dfrac {a^{3}}{3}}=0\;$»,
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;I_{2}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{2})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{2})}x\;y\;dx+a\;y\;dy=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{2})}}\left[{\cancel {\left({\dfrac {\partial \;a\;y}{\partial x}}\right)_{\!\!y}}}-\left({\dfrac {\partial \;xy}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{2}}$ $=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{2})}}-x\;dx\;dy=\displaystyle \int _{-a}^{0}-x\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{a+x}dy\right\rbrace dx+\displaystyle \int _{0}^{a}-x\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{a-x}dy\right\rbrace dx$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{2}}$ $=\displaystyle \int _{-a}^{0}-x\;(a+x)\;dx+\displaystyle \int _{0}^{a}-x\;(a-x)\;dx=\left[-a\;{\dfrac {x^{2}}{2}}-{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{-a}^{0}+\left[-a\;{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{a}$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{2}}$ $={\dfrac {a^{3}}{6}}-{\dfrac {a^{3}}{6}}=0\;$» ;
   2. évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur$\;({\Gamma '}_{\!2})$ : soit $\;({\Gamma '}_{\!2})\;$ le contour du domaine $\;{\mathcal {D}}:=\left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in \,\mathbb {R} _{+}^{2}\;{\Big \vert }x\,\in \,\left[0\,,\,\pi \,a\right],\;y\leqslant a\,\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right\rbrace \;$ d'équations cartésiennes par morceaux
                                                                                                                                        évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur$\;\color {transparent}{({\Gamma '}_{\!2})}$ : $\left\lbrace {\begin{array}{l l}y=0&{\text{pour }}x\nearrow {\text{sur }}\left[0\,,\,\pi \;a\right]\\y=a\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)&{\text{pour }}x\searrow {\text{sur }}\left[0\,,\,\pi \;a\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;{I'}_{\!2}=\displaystyle \oint _{({\Gamma '}_{\!2})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{({\Gamma '}_{\!2})}x\;y\;dx+a\;y\;dy\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}dy=0&{\text{pour }}x\nearrow {\text{sur }}\left[0\,,\,\pi \;a\right]\\dy=\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,dx&{\text{pour }}x\searrow {\text{sur }}\left[0\,,\,\pi \;a\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;{I'}_{\!2}=\displaystyle \oint _{({\Gamma '}_{\!2})}\delta _{\text{forme diff}}(M)={\cancel {\displaystyle \int _{0}^{\pi \,a}0\;dx+0\;dy\;+}}\;\displaystyle \int _{\pi \,a}^{0}x\;a\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+a\;{\Big \{}a\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right){\Big \}}\;\cos \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,dx\;$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{{I'}_{\!2}}$ $=\displaystyle \int _{\pi \,a}^{0}x\;a\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\;dx+\displaystyle \int _{\pi \,a}^{0}{\dfrac {a^{2}}{2}}\;\sin \!\left({\dfrac {2\;x}{a}}\right)\;dx=a^{3}\displaystyle \int _{\pi }^{0}u\;\sin(u)\;du\;{\cancel {+{\dfrac {a^{3}}{4}}\displaystyle \int _{2\,\pi }^{0}\sin(v)\;dv}}\;$ s'intégrant
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne « par parties soit $\;{I'}_{\!2}=a^{3}\left\lbrace \left[u\;{\big \{}-\cos(u){\big \}}\right]_{\pi }^{0}-\displaystyle \int _{\pi }^{0}{\big \{}-\cos(u){\big \}}\;du\right\rbrace =a^{3}\left\lbrace -\pi \;{\cancel {+\;\left[\sin(u)\right]_{\pi }^{0}}}\right\rbrace =-\pi \;a^{3}\;$»,
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;{I'}_{\!2}=\displaystyle \oint _{({\Gamma '}_{\!2})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{({\Gamma '}_{\!2})}x\;y\;dx+a\;y\;dy=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}({\Gamma '}_{\!2})}}\left[{\cancel {\left({\dfrac {\partial \;a\;y}{\partial x}}\right)_{\!\!y}}}-\left({\dfrac {\partial \;xy}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{{I'}_{\!2}}$ $=\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}({\Gamma '}_{\!2})}}\!\!\!\!\!-x\;dx\;dy=\displaystyle \int _{0}^{\pi \,a}\!\!\!\!\!-x\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{a\,\sin \left({\frac {x}{a}}\right)}\!dy\right\rbrace dx=-a\displaystyle \int _{0}^{\pi \,a}\!\!\!\!\!x\;\sin \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\,dx=-a^{3}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\!\!u\;\sin(u)\,du\;$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann « s'intégrant par parties soit ${I'}_{\!2}=-a^{3}\left\lbrace \left[u\;{\big \{}-\cos(u){\big \}}\right]_{0}^{\pi }-\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\big \{}-\cos(u){\big \}}\;du\right\rbrace$
                                        évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann « s'intégrant par parties soit $\color {transparent}{{I'}_{\!2}}$ $=-a^{3}\left\lbrace \pi {\cancel {+\;\left[\sin(u)\right]_{0}^{\pi }}}\right\rbrace =-\pi \;a^{3}\;$».
3. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=-x^{2}\;y\;dx+a\;x\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, $\;{\big (}a\;$ étant une grandeur de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=-x^{2}\;y\\B(x,\,y)=x\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-x^{2}\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=y\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle : soit $\;(\Gamma _{3})\;$ le cercle de centre $\;O\,(0,\,0)\;$ et de rayon $\;R$, orienté dans le sens trigonométrique,
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle : soit $\;\color {transparent}{(\Gamma _{3})}\;$ le cercle de centre $\;\color {transparent}{O\,(0,\,0)}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R}$, d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=R\;\cos(\theta )\\y=R\;\sin(\theta )\\\theta \nearrow {\text{sur}}\left[0\,,\,2\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;I_{3}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}-x^{2}\;y\;dx+a\;x\;y\;dy\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-R\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=R\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ se calcule selon
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R^{4}\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin ^{2}(\theta )\;d\theta +a\;R^{3}\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta ={\dfrac {R^{4}}{4}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin ^{2}(2\,\theta )\;d\theta +{\cancel {a\;R^{3}\displaystyle \int _{\cos(0)}^{\cos(2\,\pi )}-u^{2}\;du}}\;$
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $={\dfrac {R^{4}}{8}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\big \{}1-\cos(4\,\theta ){\big \}}\;d\theta \;$ $={\dfrac {R^{4}}{8}}\left[\theta -{\cancel {\dfrac {\sin(4\,\theta )}{4}}}\right]_{0}^{2\,\pi }={\dfrac {\pi \;R^{4}}{4}}\;$»,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;I_{3}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\!\!\!-x^{2}\;y\;dx+a\;x\;y\;dy=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{3})}}\!\!\!\left[\left({\dfrac {\partial \;a\;x\;y}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial \;-x^{2}\,y}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{3})}}{\big \{}a\;y+x^{2}{\big \}}\;dx\;dy\;$ soit, en passant en repérage polaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\\dx\;dy=\rho \;d\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $=a\,\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace d\rho +\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\cos ^{2}(\theta )\;d\theta \right\rbrace d\rho$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $={\cancel {a\,\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,\left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{2\,\pi }d\rho }}\;+\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\dfrac {1+\cos(2\,\theta )}{2}}\;d\theta \right\rbrace d\rho \;$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{3}\,\left[{\dfrac {\theta }{2}}\;{\cancel {+{\dfrac {\sin(2\,\theta )}{4}}}}\right]_{0}^{2\,\pi }d\rho =\pi \,\left[{\dfrac {\rho ^{4}}{4}}\right]_{0}^{R}={\dfrac {\pi \;R^{4}}{4}}\;$».
4. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=(x^{2}-a\;y)\;dx+(y^{2}+a\;x)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, $\;{\big (}$avec $\;a\;$ grandeur $\;\neq 0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=x^{2}-a\;y\\B(x,\,y)=y^{2}+a\;x\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=-a\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=+a\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle : soit $\;(\Gamma _{3})\;$ le cercle de centre $\;O\,(0,\,0)\;$ et de rayon $\;R$, orienté dans le sens trigonométrique,
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un cercle : soit $\;\color {transparent}{(\Gamma _{3})}\;$ le cercle de centre $\;\color {transparent}{O\,(0,\,0)}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R}$, d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=R\;\cos(\theta )\\y=R\;\sin(\theta )\\\theta \nearrow {\text{sur}}\left[0\,,\,2\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;I_{4}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}(x^{2}-a\;y)\;dx+(y^{2}+a\;x)\;dy\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-R\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=R\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ se calcule selon
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{4}}$ $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\big \{}-R^{3}\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )+a\;R^{2}\;\sin ^{2}(\theta ){\big \}}\,d\theta +{\big \{}R^{3}\;\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )+a\;R^{2}\;\cos ^{2}(\theta ){\big \}}\,d\theta$
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{4}}$ $={\cancel {R^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{\cos(0)}^{\cos(2\,\pi )}u^{2}\;du+\displaystyle \int _{\sin(0)}^{\sin(2\,\pi )}v^{2}\;dv\right\rbrace }}\;$ $+\;a\;R^{2}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\big \{}\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta ){\big \}}\;d\theta =a\;R^{2}\;\left[\theta \right]_{0}^{2\,\pi }=2\,\pi \;a\;R^{2}\;$»,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;I_{4}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{3})}\!\!\!(x^{2}-a\;y)\;dx+(y^{2}+a\;x)\;dy=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{3})}}\!\!\!\left[\left({\dfrac {\partial \;(y^{2}+a\;x)}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial \;(x^{2}-a\;y)}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{4}}$ $=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{3})}}2\;a\;dx\;dy\;$ soit, en passant en repérage polaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\\dx\;dy=\rho \;d\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{4}}$ $=2\;a\,\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta \right\rbrace d\rho =2\,\pi \;a\;R^{2}\;$».
5. À partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=2\,(x^{2}+y^{2})\;dx+(x+y)^{2}\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, nous posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=2\,(x^{2}+y^{2})\\B(x,\,y)=(x+y)^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=4\;y\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=2\,(x+y)\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude c.-à-d. qu'il n'existe pas de primitives de la forme différentielle ;
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle : soit $\;(\Gamma _{4})\;$ le triangle $\;ABC\;$ d'équations cartésiennes par morceaux $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}y=x\!\!&{\text{sur}}\;\left[AB\right]\\y=4\;a-x\!\!&{\text{sur}}\;\left[BC\right]\\x=0\!\!&{\text{sur}}\;\left[CA\right]\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;{\big (}a\;$ grandeur de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$,
   évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur un triangle : soit $\;\color {transparent}{(\Gamma _{4})}\;$ le triangle $\;\color {transparent}{ABC}\;$ orienté dans le sens trigonométrique,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;I_{5}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{4})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{4})}2\,(x^{2}+y^{2})\;dx+(x+y)^{2}\;dy\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}dy=dx\!\!&{\text{sur}}\;\left[AB\right]\\dy=-dx\!\!&{\text{sur}}\;\left[BC\right]\\dx=0\!\!&{\text{sur}}\;\left[CA\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ se calcule selon
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{5}}$ $=\displaystyle \int _{a}^{2\,a}8\;x^{2}\;dx+\displaystyle \int _{2\,a}^{a}{\big \{}2\,\left[x^{2}+(4\,a-x)^{2}\right]-\left[x+(4\,a-x)\right]^{2}{\big \}}\;dx+\displaystyle \int _{3\,a}^{a}3\;y^{2}\;dy=\left[8\;{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{a}^{2\,a}+\left[4\;{\dfrac {x^{3}}{3}}-8\;a\;x^{2}+16\;a^{2}\;x\right]_{2\,a}^{a}+\left[y^{3}\right]_{3\,a}^{a}\;$
   évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{5}}$ $=\left[8\;{\dfrac {8\;a^{3}}{3}}-8\;{\dfrac {a^{3}}{3}}\right]+\left[\left(4\;{\dfrac {a^{3}}{3}}-8\;a^{3}+16\;a^{3}\right)-\left(32\;{\dfrac {a^{3}}{3}}-32\;a^{3}+32\;a^{3}\right)\right]+\left[a^{3}-27\;a^{3}\right]=-{\dfrac {4\,a^{3}}{3}}\;$»,
   évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;I_{5}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{4})}\delta _{\text{forme diff}}(M)=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{4})}\!\!\!2\,(x^{2}+y^{2})\;dx+(x+y)^{2}\;dy=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{4})}}\!\!\!\left[\left({\dfrac {\partial \;\left\{(x+y)^{2}\right\}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial \;\left\{2\,(x^{2}+y^{2})\right\}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{5}}$ $=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{4})}}{\big \{}2\;(x+y)-4\;{\big \}}\;dx\;dy=2\,\displaystyle \int _{a}^{2\,a}\left\lbrace \displaystyle \int _{x}^{4\,a-x}(x-y)\;dy\right\rbrace dx=2\,\displaystyle \int _{a}^{2\,a}\left[x\;y-{\dfrac {y^{2}}{2}}\right]_{x}^{(4\,a-x)}\;dx\;$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{5}}$ $=2\,\displaystyle \int _{a}^{2\,a}\left[\left\lbrace 4\;a\;x-x^{2}-{\dfrac {(4\;a-x)^{2}}{2}}\right\rbrace -\left\lbrace x^{2}-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right\rbrace \right]\;dx=4\,\displaystyle \int _{a}^{2\,a}\left\lbrace -x^{2}+4\;a\;x-4\;a^{2}\right\rbrace \;dx$
                               évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{5}}$ $=4\,\left[-{\dfrac {x^{3}}{3}}+2\;a\;x^{2}-4\;a^{2}\;x\right]_{a}^{2\,a}=-{\dfrac {4\,a^{3}}{3}}\;$».
6. Considérant le contour fermé du domaine $\;{\mathcal {D}}':=\left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in \,\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\;{\Big \vert }x\,\in \,\left[-a\,,\,a\right],\;y\leqslant {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right\rbrace$, $\;(\Gamma _{6})\;$ d'équations cartésiennes par morceaux $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}y=0&{\text{pour }}x\nearrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\\y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}&{\text{pour }}x\searrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ nous nous proposons d'évaluer les intégrales curvilignes le long de ce contour des deux formes différentielles ci-après :
   1. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=(x+y)\;dx+(2\;x+y)\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=x+y\\B(x,\,y)=2\;x+y\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=1\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)=2\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude, il n'existe donc pas de primitives de la forme différentielle ;
      évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur$\;(\Gamma _{6})$ : soit $\;(\Gamma _{6})\;$ le contour du domaine $\;{\mathcal {D}}':=\left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in \,\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\;{\Big \vert }x\,\in \,\left[-a\,,\,a\right],\;y\leqslant {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right\rbrace$,
      évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur$\;\color {transparent}{(\Gamma _{6})}$ : soit $\;\color {transparent}{(\Gamma _{6})}\;$ le contour fermé d'équations cartésiennes par morceaux $\left\lbrace {\begin{array}{l l}y=0&{\text{pour }}x\nearrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\\y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}&{\text{pour }}x\searrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;I_{3}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{6})}(x+y)\;dx+(2\;x+y)\;dy\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}dy=0&{\text{pour }}x\nearrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\\dy={\dfrac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx&{\text{pour }}x\searrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;I_{3}=\displaystyle \int _{-a}^{a}x\;dx+\displaystyle \int _{a}^{-a}\left(x+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)\,dx+\left(2\;x+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)\,{\dfrac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $={\cancel {\left[{\dfrac {x^{2}}{2}}\right]_{-a}^{a}\;+}}\;\displaystyle \int _{a}^{-a}\left({\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-{\dfrac {2\;x^{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\right)\,dx\;$ ou, par changement de variable $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\dx=-a\;\sin(\theta )\;d\theta \\\theta \nearrow {\text{sur}}\;\left[0\,,\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$,
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left(a\;\sin(\theta )-{\dfrac {2\;a^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}{a\;\sin(\theta )}}\right){\big \{}-a\;\sin(\theta )\;d\theta {\big \}}=a^{2}\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\big \{}2\;\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta ){\big \}}d\theta$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $=a^{2}\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {1+3\;\cos(2\;\theta )}{2}}d\theta \;$ $=a^{2}\left\lbrace \left[{\dfrac {\theta }{2}}\right]_{0}^{\pi }\;{\cancel {+\left[{\dfrac {3\;\sin(2\;\theta )}{4}}\right]_{0}^{\pi }}}\right\rbrace ={\dfrac {\pi \;a^{2}}{2}}\;$»,
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;I_{3}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{6})}(x+y)\;dx+(2\;x+y)\;dy=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{6})}}\left[\left({\dfrac {\partial \;(2\;x+y)}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial \;(x+y)}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{I_{3}}$ $=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{6})}}1\;dx\;dy=\displaystyle \int _{-a}^{a}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dy\right\rbrace dx=\displaystyle \int _{-a}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx\;$ soit, par changement de variable
                                     évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\dx=-a\;\sin(\theta )\;d\theta \\\theta \searrow {\text{sur}}\;\left[0\,,\,\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$, $\;I_{3}=\displaystyle \int _{\pi }^{0}-a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )\,d\theta =-a^{2}\displaystyle \int _{\pi }^{0}{\dfrac {1-\cos[2\;\theta )}{2}}\,d\theta \;$
                                           évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann « $\,\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-a\;\sin(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace }$, $\color {transparent}{I_{3}}$ $=-{\dfrac {a^{2}}{2}}\left\lbrace \left[\theta \right]_{\pi }^{0}{\cancel {+\;\left[-{\dfrac {\sin(2\,\theta )}{2}}\right]_{\pi }^{0}}}\right\rbrace ={\dfrac {\pi \;a^{2}}{2}}\;$» ;
   2. à partir de la forme différentielle «$\;\delta _{\text{forme diff}}(x,\,y)=x\;y^{2}\;dx+2\;a\;x\;y\;dy\;$» des deux variables $\;(x\,,\,y)\;$ indépendantes, posons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(x,\,y)=x\;y^{2}\\B(x,\,y)=2\;a\;x\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=2\;x\;y\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}({\cancel {x}},\,y)=2\;a\;y\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi, la « condition d’égalité des dérivées croisées $\;\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;$» ne s'y vérifiant pas $\Rightarrow$ la non fermeture de la forme différentielle et donc sa non exactitude il n'existe donc pas de primitives de la forme différentielle ;
      évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur$\;(\Gamma _{6})$ : soit $\;(\Gamma _{6})\;$ le contour du domaine $\;{\mathcal {D}}':=\left\lbrace \left(x,\,y\right)\,\in \,\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\;{\Big \vert }x\,\in \,\left[-a\,,\,a\right],\;y\leqslant {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right\rbrace$,
      évaluation de l'intégrale curviligne de la forme différentielle sur$\;\color {transparent}{(\Gamma _{6})}$ : soit $\;\color {transparent}{(\Gamma _{6})}\;$ le contour fermé d'équations cartésiennes par morceaux $\left\lbrace {\begin{array}{l l}y=0&{\text{pour }}x\nearrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\\y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}&{\text{pour }}x\searrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$directement l'intégrale curviligne «$\;{I'}_{\!3}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{6})}x\;y^{2}\;dx+2\;a\;x\;y\;dy\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dM}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}dy=0&{\text{pour }}x\nearrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\\dy={\dfrac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx&{\text{pour }}x\searrow {\text{sur }}\left[-a\,,\,a\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;{I'}_{\!3}={\cancel {\displaystyle \int _{-a}^{a}0\;dx\;+}}\;\displaystyle \int _{a}^{-a}x\;(a^{2}-x^{2})\,dx+\left(2\;a\;x\;{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)\,{\dfrac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\displaystyle \int _{a}^{-a}\left(a^{2}\;x-2\;a\;x^{2}-x^{3}\right)dx$
      évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$directement l'intégrale curviligne «$\;\color {transparent}{{I'}_{\!3}}$ $=\left[a^{2}\;{\dfrac {x^{2}}{2}}-2\;a\;{\dfrac {x^{3}}{3}}-{\dfrac {x^{4}}{4}}\right]_{a}^{-a}={\dfrac {4}{3}}\;a^{4}\;$»,
      évaluation de l'intégrale curviligne $\bullet \;$par formule de Green - Riemann «$\;{I'}_{\!3}=\displaystyle \oint _{(\Gamma _{6})}x\;y^{2}\;dx+2\;a\;x\;y\;dy=\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{6})}}\left[\left({\dfrac {\partial \;(2\;a\;x\;y)}{\partial x}}\right)_{\!\!y}-\left({\dfrac {\partial \;(x\;y^{2})}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right](P)\;dx\;dy$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{{I'}_{\!3}}$ $=\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{{\text{lim. par }}(\Gamma _{6})}}2\;(a-x)\;y\;dx\;dy=\displaystyle \int _{-a}^{a}2\;(a-x)\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}y\;dy\right\rbrace dx=\displaystyle \int _{-a}^{a}2\;(a-x)\,{\dfrac {a^{2}-x^{2}}{2}}\,dx\;$
                                  évaluation de l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\bullet }\;$par formule de Green - Riemann «$\;\color {transparent}{{I'}_{\!3}}$ $=\displaystyle \int _{-a}^{a}(a^{3}-a^{2}\;x-a\;x^{2}+x^{3})\,dx=\left[a^{3}\;x-a^{2}\;{\dfrac {x^{2}}{2}}-a\;{\dfrac {x^{3}}{3}}+{\dfrac {x^{4}}{4}}\right]_{-a}^{a}=2\;a^{4}-{\dfrac {2}{3}}\;a^{4}={\dfrac {4}{3}}\;a^{4}\;$».

 

Calculs d'aires par formule de Green - Riemann

     L'aire $\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}\;$ de la surface plane $\;({\mathcal {S}})\;$ limitée par la courbe fermée $\;({\mathcal {C}})\;$
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ de la surface plane $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'évaluant par l'intégrale surfacique «$\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}dS_{M}\;$» avec $\;dS_{M}\;$ l'aire de la surface élémentaire au point générique $\;M\;$ de $\;({\mathcal {S}})$,
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ établir, en utilisant la formule de Green - Riemann, que «$\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}\;$ peut s'évaluer par l'intégrale curviligne le long de la courbe fermée $\;({\mathcal {C}})\;$ décrite dans le sens trigonométrique
                                L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ vérifier, en utilisant la formule de Green - Riemann, que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ peut s'évaluer par l'intégrale curviligne $\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}\delta _{\text{forme diff}}(P)\;$ de la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(P)=$
                                L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ vérifier, en utilisant la formule de Green - Riemann, que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ peut s'évaluer par l'intégrale curviligne $\color {transparent}{\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}\delta _{\text{forme diff}}(P)}\;$ de la forme différentielle $-{\dfrac {y}{2}}\;dx+{\dfrac {x}{2}}\,dy\;$ ».

1. Appliquer cette propriété pour calculer l'aire de la couronna circulaire $\;(C):=\left\lbrace (x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\mid \;x^{2}+y^{2}\in \left[a^{2}\,,\,4\;a^{2}\right]\right\rbrace$, ${\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$.
2. Appliquer cette propriété pour calculer l'aire de la surface plane limitée par l'astroïde $\;(A)\;$ d'équations cartésiennes paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos ^{3}(\theta )\\y=a\;\sin ^{3}(\theta )\\\theta \,\in \,\left[0\,,\,2\;\pi \right]\end{array}}\right\rbrace \;$»
   Appliquer cette propriété pour calculer l'aire de la surface plane limitée par l'astroïde $\;\color {transparent}{(A)}\;$ ${\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$.

Solution

     L'aire $\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}\;$ de la surface plane $\;({\mathcal {S}})\;$ limitée par la courbe fermée $\;({\mathcal {C}})\;$ égale à l'intégrale surfacique «$\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}1\;dS_{M}\;$» avec $\;dS_{M}=dx\;dy\;$ l'aire de la surface élémentaire au point $\;M\,(x,\,y)\;$ de $\;({\mathcal {S}})$,
     L'aire $\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ de la surface plane $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ peut s'évaluer par l'intégrale curviligne le long de $\;({\mathcal {C}})$, orientée dans le sens trigonométrique, d'une forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(P)$ $=A(x,\,y)\;dx+B(x,\,y)\;dy\;$ vérifiant $\;\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)-\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!z}(x,\,y)=1\;$ de façon à appliquer la formule de Green - Riemann selon «$\;\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}1\;dS_{M}=\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)-\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!z}(x,\,y)\right\rbrace \;dS_{M}=\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}\delta _{\text{forme diff}}(P)=$ $\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}A(x,\,y)\;dx+B(x,\,y)\;dy\;$» et pour cela, nous choisissons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial B}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)={\dfrac {1}{2}}\\\left({\dfrac {\partial A}{\partial y}}\right)_{\!z}(x,\,y)=-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}B(x,\,y)={\dfrac {x}{2}}+\varphi (y)\\A(x,\,y)=-{\dfrac {y}{2}}+\varpi (x)\end{array}}\right\rbrace \;$ solutions parmi lesquelles nous choisissons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}B(x,\,y)={\dfrac {x}{2}}\\A(x,\,y)=-{\dfrac {y}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où l'aire $\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}\;$ de la surface plane $\;({\mathcal {S}})\;$ limitée par la courbe fermée $\;({\mathcal {C}})\;$ peut s'évaluer par l'intégrale curviligne le long de $\;({\mathcal {C}})$, orientée dans le sens trigonométrique, de la forme différentielle $\;\delta _{\text{forme diff}}(P)$ $=-{\dfrac {y}{2}}\;dx+{\dfrac {x}{2}}\;dy\;$ soit «$\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}dS_{M}=\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}{\dfrac {-y\;dx+x\;dy}{2}}\;$» C.Q.F.D..

     Préliminaire à toute application : Jusqu'ici nous avons considéré un seul contour fermé et imposé à ce dernier d'être orienté dans le sens trigonométrique de façon que l'orientation de la surface limitée par ce contour
     Préliminaire à toute application : soit vers le haut selon les orientations conjuguées d'une surface ouverte et de la courbe fermée la limitant ;
     Préliminaire à toute application : avec deux contours fermés limitant la surface plane considérée, les orientations des contours doivent être choisies en accord avec celle de la surface plane orientée vers le haut,
           Préliminaire à toute application : avec deux contours fermés limitant la surface plane considérée, les orientations de ces contours sont usuellement opposées.

1. Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : soit la couronne circulaire $\;(C):=\left\lbrace (x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\mid \;x^{2}+y^{2}\in \left[a^{2}\,,\,4\;a^{2}\right]\right\rbrace$, ${\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$,
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : limitée par le contour fermé extérieur $\;({\mathcal {C}}_{\text{ext}})\;$ d'équation cartésienne implicite $\;x^{2}+y^{2}=4\;a^{2}\;$
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : limitée par le contour fermé extérieur $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{\text{ext}})}\;$ orienté dans le « sens trigonométrique $\;_{+}\;$» en accord avec l'orientation de la couronne vers le haut et
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : limitée par le contour fermé intérieur $\;({\mathcal {C}}_{\text{int}})\;$ d'équation cartésienne implicite $\;x^{2}+y^{2}=a^{2}\;$
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : limitée par le contour fermé intérieur $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}}_{\text{int}})}\;$ orienté dans le « sens anti-trigonométrique $\;_{-}\;$» en accord avec l'orientation de la couronne vers le haut $\Rightarrow$
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : «$\;{\mathcal {A}}_{(C)}=\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}}_{{\text{ext}},\,+})}{\dfrac {-y\;dx+x\;dy}{2}}+\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}}_{{\text{int}},\,-})}{\dfrac {-y\;dx+x\;dy}{2}}=I_{1}+I_{2}\;$» soit, en passant en paramétrage polaire,
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : posant, pour $\;I_{1}$, $\left\lbrace {\begin{array}{c}x=2\;a\;\cos(\theta )\\y=2\;a\;\sin(\theta )\\\theta \;\nearrow \;{\text{sur}}\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-2\;a\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=2\;a\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace$ d'où $\;I_{1}=\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}}_{{\text{ext}},\,+})}{\dfrac {-y\;dx+x\;dy}{2}}=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }2\;a^{2}\,{\big \{}\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta ){\big \}}\,d\theta$
          Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : posant, pour $\;\color {transparent}{I_{1}}$, $\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta \;\nearrow \;{\text{sur}}\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\end{array}}\right\rbrace }$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-2\;a\;\sin(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace }$ d'où $\;\color {transparent}{I_{1}}$ $=2\,a^{2}\,\left[\theta \right]_{0}^{2\,\pi }=4\,\pi \;a^{2}\;$ et
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : posant, pour $\;I_{2}$, $\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\y=a\;\sin(\theta )\\\theta \;\searrow \;{\text{sur}}\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-a\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=a\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace$ d'où $\;I_{2}=\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}}_{{\text{int}},\,-})}{\dfrac {-y\;dx+x\;dy}{2}}=\displaystyle \int _{2\,\pi }^{0}{\dfrac {a^{2}}{2}}\,{\big \{}\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta ){\big \}}\,d\theta$
          Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : posant, pour $\;\color {transparent}{I_{1}}$, $\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta \;\searrow \;{\text{sur}}\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\end{array}}\right\rbrace }$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-a\;\sin(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace }$ d'où $\;\color {transparent}{I_{1}}$ $={\dfrac {a^{2}}{2}}\,\left[\theta \right]_{2\,\pi }^{0}=-\pi \;a^{2}\;$ d'où
   Application au calcul de l'aire d'une couronne circulaire : «$\;{\mathcal {A}}_{(C)}=T_{1}+I_{2}=3\;\pi \;a^{2}\;$».
2. Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : soit la surface plane $\;({\mathcal {D}})\;$ limitée par l'astroïde $\;(A)\;$ d'équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos ^{3}(\theta )\\y=a\;\sin ^{3}(\theta )\\\theta \,\in \,\left[0\,,\,2\;\pi \right]\end{array}}\right\rbrace \;$,
         Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : soit la surface plane $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}})}\;$ limitée par l'astroïde $\;\color {transparent}{(A)}\;$ orientée dans le sens trigonométrique en accord avec l'orientation de la surface
         Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : soit la surface plane $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}})}\;$ limitée par l'astroïde $\;\color {transparent}{(A)}\;$ orientée dans le sens trigonométrique en accord avec plane vers le haut
         Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : soit la surface plane $\;\color {transparent}{({\mathcal {D}})}\;$ limitée par l'astroïde $\;\color {transparent}{(A)}\;$ ${\big (}a\;$ étant une grandeur $\;>0\;$ de même dimension que $\;x\;$ et $\;y{\big )}$,
         Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : «$\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {D}})}=\displaystyle \oint _{(A)}{\dfrac {-y\;dx+x\;dy}{2}}\;$» soit, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos ^{3}(\theta )\\y=a\;\sin ^{3}(\theta )\\\theta \;\nearrow \;{\text{sur}}\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx=-3\,a\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \\dy=3\,a\;\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \end{array}}\right\rbrace$, «$\;{\mathcal {A}}_{({\mathcal {D}})}$
         Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {D}})}}$ $={\dfrac {3\,a^{2}}{2}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\big \{}\sin ^{4}(\theta )\;\cos ^{2}(\theta )+\cos ^{4}(\theta )\;\sin ^{2}(\theta ){\big \}}\,d\theta ={\dfrac {3\,a^{2}}{2}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos ^{2}(\theta ){\big \{}\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta ){\big \}}\,d\theta \;$
         Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {D}})}}$ $={\dfrac {3\,a^{2}}{2}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos ^{2}(\theta )\,d\theta ={\dfrac {3\,a^{2}}{8}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin ^{2}(2\,\theta )\,d\theta ={\dfrac {3\,a^{2}}{16}}\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }{\big \{}1-\cos(4\,\theta ){\big \}}\,d\theta \;$
         Application au calcul de l'aire d'une surface plane limitée pat une astroïde : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{({\mathcal {D}})}}$ $={\dfrac {3\,a^{2}}{16}}\,\left[\theta -{\cancel {\dfrac {\sin(4\,\theta )}{4}}}\right]_{0}^{2\,\pi }={\dfrac {3\,\pi \;a^{2}}{8}}\;$».