Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des fonctions de plusieurs variables indépendantes

Calcul de la différentielle de la fonction de deux variables réelles indépendantes x^y

     Calculer la différentielle, en tout point du domaine de définition, de la fonction «$\;f\;:\;(x,y)\;\mapsto \;x^{\,y}\;$».
     En déduire une « valeur approchée de $\;1{,}02^{\,3{,}01}\;$».

Solution

     Calcul de la différentielle de$\;f(x,\,y):=x^{\,y}$ : la fonction «$\;f\;:\;(x,\,y)\;\mapsto \;x^{\,y}=\operatorname {e} ^{\,y\,\ln(x)}\;$» est définie sur $\;\mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R}$.
     Calcul de la différentielle de$\;\color {transparent}{f(x,\,y):=x^{\,y}}$ : Sur ce domaine, «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)=\operatorname {e} ^{\,y\,\ln(x)}\,{\dfrac {y}{x}}=x^{\,y-1}\;y\;$» et «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)=\operatorname {e} ^{\,y\,\ln(x)}\,\ln(x)=x^{\,y}\;\ln(x)\;$» sont continues donc $\;f\;$ est de classe C¹ $\Rightarrow$
     Calcul de la différentielle de$\;\color {transparent}{f(x,\,y):=x^{\,y}}$ : Sur ce domaine, pour tout $\;(dx,\,dy)\,\in \,\mathbb {R} ^{2}\;$, «$\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x,\,y)\;dx+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x,\,y)\;dy=x^{\,y-1}\,y\;dx+x^{\,y}\,\ln(x)\;dy\;$».

     Valeur approchée de$\;1{,}02^{\,3{,}01}$ : de l'expression de $\;df\;$ on déduit «$\;\delta f=f(x+\delta x,\,y+\delta y)-f(x,\,y)\simeq x^{\,y-1}\,y\;\delta x+x^{\,y}\,\ln(x)\;\delta y\;$» $\Rightarrow$ «$\;f(x+\delta x,\,y+\delta y)\simeq f(x,\,y)+x^{\,y-1}\,y\;\delta x+x^{\,y}\,\ln(x)\;\delta y\;$»
     Valeur approchée de$\;\color {transparent}{1{,}02^{\,3{,}01}}$ : soit, avec «$\;\left(x\,;\,y\right)=\left(1\,;\,3\right)\;$ et $\;\left(\delta x\,;\,\delta y\right)=\left(2\,10^{-2}\,;\,10^{-2}\right)\;$», «$\;1{,}02^{\,3{,}01}\simeq 1^{3}+1^{(3-2)}\times 3\times 2\,10^{-2}+1^{3}\times \ln(1)\times 10^{-2}=1,06\;$».