Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique

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Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique
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Chapitre no 17
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Divers repérages d'un point dans l'espace
Chap. suiv. :Intégrales généralisées (ou impropres)
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Sommaire

Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté [1], est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en à la surface et selon

[2], [3].

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

......De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et celle du vecteur surface élémentaire, est normal à la surface en [4] et on peut écrire

avec 
un vecteur unitaire à en ,
définissant l'aire élémentaire de en .

Pratique courante[modifier | modifier le wikicode]

......Le plus souvent, il existe un repérage de tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe sont dans le plan tangent à en  ;
......dans ces conditions, appelant ces deux vecteurs de la base orthonormée directe , les déplacements élémentaires de dans le plan tangent s'écrivant alors , on en déduit

[5] avec [6].

......Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de en est de rechercher quel vecteur de base est à en , l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base (on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c'est-à-dire que le produit s'exprime bien en

Orientation des angles du plan tangent à la surface en M[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas où l'une des longueurs élémentaires ou du plan tangent à en seraient définies à partir d'un angle élémentaire [7] de ce plan, le sens des angles de ce dernier est défini à partir du vecteur unitaire qui lui est perpendiculaire selon la règle suivante dite de « l'auto-stoppeur droitier » pour un espace orienté par une base directe [8], [9] :

......« Le pouce de l'auto-stoppeur droitier étant le long de , ce dernier dirigé vers l'extrémité du pouce, l'auto-stoppeur ferme le poing en courbant la paume, le sens des angles du plan est donné par la courbure de la paume » [10].

Expressions en paramétrage cartésien[modifier | modifier le wikicode]


Expressions en paramétrage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]




Expressions en paramétrage sphérique[modifier | modifier le wikicode]





Notions d'intégrale surfacique[modifier | modifier le wikicode]

......Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » [16] vue au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », mais dans les intégrales surfaciques le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe.

Les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation[modifier | modifier le wikicode]

......Dans une intégrale surfacique (ou de surface) on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ;

............la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est [17] est l'aire élémentaire en sur et

............celle d'une fonction vectorielle est le flux élémentaire du champ vectoriel [18] est le vecteur surface élémentaire en sur  ;

............les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant  la courbe fermée limitant la portion de surface sur , respectivement : ou définissant le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface ;

............après le choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , paramètres notés [19], l'évaluation de l'intégrale surfacique revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle :

..................on fige alors un des paramètres par exemple et on intègre sur l'autre entre les bornes qui dépendent en général du premier paramètre figé , le résultat de cette première intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé , puis

..................on libère ce paramètre et on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales de la portion de surface  ;

............dans le cas où la première intégrale sur le paramètre se fait entre des bornes qui dépendent du paramètre figé , les deux intégrales sont dites « emboîtées » [20], le calcul de la deuxième intégrale nécessitant de connaître le résultat de la première …

............et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une première intégration n'aboutissant pas [21], la deuxième ne peut être faite mais …
..................un « théorème de Fubini » [22] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [23], la modification de l'ordre d'intervention des paramètres peut conduire à une évaluation aboutissant [on fige d'abord le paramètre et on intègre sur l'autre paramètre entre les bornes dépendant de , si cette première intégration aboutit, on peut alors intégrer sur entre des bornes qui dépendent des limites spatiales de la portion de surface .

Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle[modifier | modifier le wikicode]

Schéma précisant la portion de disque (entre corde et arc de cercle) dont on calcule l'aire

......On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon et de centre , la corde étant à la distance de ce dernier [24] c'est-à-dire calculer l'intégrale surfacique [25] (voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé) :

  • choix du « paramétrage de la surface » [26] : repérage polaire de pôle , centre du cercle, l'axe polaire étant porté par la médiatrice de la corde, orienté de la corde vers l'arc, d'où et ,
  • figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le premier paramètre figé :

............ on fige et on intègre sur de à [27], étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et du cercle de rayon soit [28] puis
................on intègre sur de à  
................d'où la succession d'intégrales emboîtées  ;

................la première intégration sur ne présentant aucune difficulté on obtient , le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé [29], on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ;

............ on fige et on intègre sur de à , étant la distance séparant du point de la corde d'angle polaire (voir schéma ci-dessus) soit [30] puis
................on intègre sur de à  
................d'où la succession d'intégrales emboîtées  ;

.................la première intégration sur ne présentant aucune difficulté on obtient conduisant à la deuxième intégrale dont le calcul ne pose a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de est d'où avec se déterminant dans le triangle rectangle est l'extrémité supérieure de la corde et le projeté orthogonal de sur cette dernière soit et [31] soit finalement

[32].

Exemples d'aire de surface classique[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique de la fonction scalaire sur la portion de surface dont on cherche l'aire [33] ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation [34].



......Établissement de l'aire d'un disque de rayon R : on utilise le repérage polaire, variant de 0 à et de 0 à les intégrales sont indépendantes selon .

......Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H : on utilise le repérage cylindro-polaire, étant suivant , , variant de 0 à et de 0 à les intégrales sont indépendantes selon .

......Établissement de l'aire d'une sphère de rayon R : on utilise le repérage sphérique, étant suivant , , variant de 0 à et de 0 à les intégrales sont indépendantes selon .

......Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur H et de demi-angle au sommet α : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône O » et d'axe « l'axe de révolution du cône Oz orienté du sommet vers la base » [37], étant suivant , , variant de 0 à et de 0 à [38] les intégrales sont indépendantes selon [39].

Exemple de calcul de flux de champ vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface[modifier | modifier le wikicode]

......Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » [40] associé au transport de la puissance lumineuse solaire ;
......l'« onde lumineuse émise par le soleil » [41] est de nature vectorielle [c'est une onde électromagnétique définie en chaque point de l'espace et à chaque instant , constituée d'une multitude de composantes monochromatiques], elle se propage dans le vide à la célérité de façon isotrope [42] ;

......à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , on associe un vecteur d'onde , la direction de ce dernier correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et étant à [43] ;

......la puissance lumineuse associée à son transport est caractérisée par un vecteur « le vecteur de Poynting » défini à partir des deux composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde selon [44], lequel l'onde dans le vide étant transversale est colinéaire à , c'est-à-dire porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ;

......la norme du vecteur de Poynting d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse que cette composante transporte par unité de surface de section droite et si on souhaite « définir la puissance correspondante reçue par une surface » il convient qu'elle soit définie « à partir du vecteur de Poynting de cette composante » mais aussi « à partir de son orientation relativement à la surface » [45], d'où la définition de la puissance (instantanée) reçue par la surface comme « flux du vecteur de Poynting à travers cette surface (S) orientée » [46].

Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés[modifier | modifier le wikicode]

......On se propose de calculer le flux du champ vectoriel à travers « une calotte sphérique » de centre , de rayon et de demi-angle d'ouverture [47] ;

......compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle O et d'axe Oz » s'impose, le point de la calotte étant de coordonnées sphériques avec variant de 0 à et de 0 à , le vecteur surface élémentaire au point étant et le champ vectoriel ayant pour composantes sphériques dans la base locale de ,  ;

......le flux de à travers étant défini par se calcule par [48] soit encore, l'intégrale sur valant , , cette dernière intégrale pouvant se calculer entre autres par linéarisation [49] selon soit que l'on peut encore écrire, à l'aide de formule trigonométrique .

Notion de surface élémentaire semi-intégrée[modifier | modifier le wikicode]

......Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » [50] peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :

  • quand la fonction à intégrer f(M) sur une sphère (S) de rayon R ne dépend pas de la longitude φ (mais dépend de la colatitude θ), on peut envisager une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches θ et θ + dθ comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire [51] résultant de l'intégration sur de 0 à de l'aire élémentaire [52] ;
    ......[53] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée  ou encore [54] ;
  • quand la fonction à intégrer f(M) sur la surface latérale d'un cône de révolution (K) de sommet O, d'axe Oz et de demi-angle au sommet α ne dépend pas de la longitude φ (mais dépend du rayon polaire r), on peut envisager une « couronne tronconique élémentaire comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches r et r + dr comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire [55] résultant de l'intégration sur de 0 à de l'aire élémentaire [52] ;
    ......[56] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée  ou encore [57] ;
  • quand la fonction à intégrer f(M) sur un tuyau cylindrique de révolution (T) d'axe Oz, de rayon R et de hauteur H ne dépend pas de l'abscisse angulaire θ (mais dépend de la cote z), on peut envisager un « tuyau cylindrique élémentaire compris entre les deux cotes infiniment proches z et z + dz comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire [58] résultant de l'intégration sur de 0 à de l'aire élémentaire [59] ;
    ......[60] Peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée  ou encore [61].

Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

......L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » [62] , noté [63], est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en de cette expansion tridimensionnelle , , et selon

[64], [65].

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

......Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume  .

Pratique courante[modifier | modifier le wikicode]

......À partir d'une base orthonormée « directe » [66] de l'expansion tridimensionnelle , on considère le plus souvent les déplacements élémentaires de de cette expansion tridimensionnelle construits le long de chacun des vecteurs de base, soit , , et on en déduit l'élément de volume en , soit encore, avec [67],

.

Expression en paramétrage cartésien[modifier | modifier le wikicode]


Expression en paramétrage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]


Expression en paramétrage sphérique[modifier | modifier le wikicode]



Notions d'intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]

......Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [16] ou « celle des intégrales surfaciques » vue ci-dessus dans ce chapitre mais ............dans les intégrales volumiques, le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle au lieu de se déplacer sur une courbe ou une surface.

Les deux types d'intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]

......Dans une intégrale volumique (ou de volume) on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » usuellement limitée par « une surface continue fermée » ;

............la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est est le volume élémentaire en de et

...........la contribution élémencelle d'une fonction vectorielle est [71] est toujours le volume élémentaire en de  ;

............les intégrales volumiques s'écrivent alors respectivement :  , étant la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle de , ou

............les intégrales volumiques s'écrivent alors respectivement : définissant le champ vectoriel de cette portion d'expansion tridimensionnelle dont le champ vectoriel est la densité volumique ;

............après le choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle , paramètres notés [72], l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle, la méthode étant identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique et rappelée au paragraphe suivant.

Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]

Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit :

............on fige deux des paramètres par exemple et et on intègre sur le dernier entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, deux premiers paramètres figés et , le résultat de cette première intégration dépendant dans ce cas de ces deux paramètres figés et , puis

............on libère un seul des deux paramètres par exemple et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, du dernier paramètre figé , le résultat de cette deuxième intégration dépendant dans ce cas du dernier paramètre figé , enfin

............on libère le dernier paramètre et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent des limites spatiales de sur de la portion d'expansion tridimensionnelle  ;

......dans le cas où la première intégrale sur le paramètre se fait entre des bornes qui dépendent au moins d'un des paramètres figés et , les trois intégrales sont dites « emboîtées » [73], le calcul des deux autres intégrales nécessitant de connaître le résultat de la première …

......et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une première intégration n'aboutissant pas [21], les deux autres ne peuvent être faites mais … ......un « théorème de Fubini » [22] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [23], la modification de l'ordre d'intervention des paramètres peut conduire à une évaluation aboutissant.

Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]

......On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales sur un intervalle successives mais en une intégrale surfacique suivie d'un intégrale sur un intervalle, en effet figer un paramètre parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres paramètres, c'est-à-dire à une intégrale surfacique, cela peut donc être plus rapide si, dans l'intégrale surfacique, on reconnaît une intégrale de résultat connu, dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante :

............figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat connu (correspondant donc à une intégration sur les deux autres paramètres laissés libres), puis

............libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation.

Exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle est une intégrale volumique de la fonction scalaire sur la portion d'expansion tridimensionnelle dont on cherche le volume [74] ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.


......Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H : on utilise le repérage cylindro-polaire, le volume élémentaire étant avec variant de 0 à , de 0 à et de 0 à les intégrales sont indépendantes selon [78].

......Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur H et dont la base est de rayon R : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône O » et d'axe « l'axe de révolution Oz orienté vers la base du cône » [79], le volume élémentaire étant , toutefois les intégrales seront partiellement emboîtées ;
............on fige et , on intègre sur de 0 à [80] puis
............on libère en laissant figé et on intègre sur de 0 à [81] et enfin
............on intègre sur de 0 à [82], soit
............ [83] ou encore [84] soit finalement, en éliminant le résultat énoncé.

......Établissement du volume d'une boule de rayon R : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule O », le volume élémentaire étant , variant de 0 à , variant de 0 à et de 0 à les intégrales sont indépendantes selon [85].

Autres exemples d'intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]

...... peut être une grandeur scalaire volumique comme la masse volumique ou la charge volumique s'exprimant respectivement en ou en , permettant de calculer la masse ou la charge de l'expansion volumique respectivement par l'intégrale volumique ou  ;

...... peut être une grandeur vectorielle volumique comme le poids volumique ou la force électrique volumique s'exprimant en , permettant de calculer le poids de l'expansion volumique ou la force électrique s'exerçant sur elle respectivement par l'intégrale volumique [86] ou [87].

Notion de volume élémentaire semi-intégré[modifier | modifier le wikicode]

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

......Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré » [88] peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples :

  • quand la fonction à intégrer f(M) sur une boule (B) de rayon R ne dépend ni de la longitude φ, ni de la colatitude θ (mais dépend du rayon r), on peut envisager une « couche sphérique élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment proches r et r + dr comme volume élémentaire semi intégré » [89], de volume [90] [91] résultant de l'intégration sur de 0 à et sur de 0 à du volume élémentaire [92] ;
    ......[93] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré  ou encore [94] ;
  • quand la fonction à intégrer f(M) sur un cylindre de révolution (C) d'axe Oz, de rayon R et de hauteur H ne dépend pas ni du rayon polaire ρ ni de l'abscisse angulaire θ (mais dépend de la cote z), on peut envisager une « tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment proches z et z + dz comme volume élémentaire semi intégré » [89], de volume [90] [95] résultant de l'intégration sur de 0 à et sur de 0 à du volume élémentaire [96] ;
    ......[97] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré  ou encore [98] ;
  • quand la fonction à intégrer f(M) sur un cylindre de révolution (C) d'axe Oz, de rayon R et de hauteur H ne dépend pas ni de la cote z ni de l'angle polaire θ (mais dépend du rayon polaire r), on peut envisager une « couche cylindrique élémentaire de hauteur H comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches r et r + dr comme volume élémentaire semi intégré » [89], de volume [90] [99] résultant de l'intégration sur de 0 à et sur de 0 à du volume élémentaire [100] ;
    ......[101] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré  ou encore [102].

Application au calcul du volume d'un cône de révolution[modifier | modifier le wikicode]

Demi-coupe d'un cône de révolution avec utilisation du repérage cylindro-polaire pour évaluer son volume

......Soit à calculer le volume d'un cône de révolution de hauteur et dont la base est de rayon en utilisant le « repérage cylindro-polaire » [103] de pôle , le sommet du cône et d'axe , l'axe de révolution orienté du sommet vers la base ;
......l'équation de la génératrice située dans le demi-plan méridien repéré par étant « indépendante de θ » [104] plus précisément valant est le demi-angle au sommet du cône, la fonction à intégrer est de valeur 1 pour toute valeur de à condition que c'est-à-dire qu'étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte z, de rayon ρ(z) et d'épaisseur dz » [105], il est possible de considérer cette dernière comme « volume semi-intégré » [89] de volume [90] soit ou, en éliminant , .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Ou simplement s'il n'y a pas ambiguïté.
  2. on rappelle que est représenté par l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs et [revoir le paragraphe « interprétation géométrique (du produit vectoriel) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].
  3. Il faut préciser l'orientation de l'espace « directe ou indirecte » et nous supposerons l'orientation directe de l'espace dans toute la suite ; en règle générale, si le choix n'est pas rappelé, c'est que l'espace est orienté de façon directe.
  4. C.-à-d. perpendiculaire au plan tangent de la surface en , et étant deux déplacements élémentaires du plan tangent.
  5. Le vecteur unitaire normal à en est donc .
  6. L'aire élémentaire de en étant le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base perpendiculaire au vecteur unitaire normal à en , .
  7. Comme c'est le cas pour une longueur élémentaire du repérage cylindro-polaire ou pour deux longueurs élémentaires du repérage sphérique.
  8. Ou de « l'auto-stoppeur gaucher » pour un espace orienté par une base indirecte.
  9. On peut remplacer la règle de « l'auto-stoppeur droitier » de l'orientation d'un espace par une base directe par celle du « tire-bouchon de Maxwell » spécifique à l'orientation d'un espace par une base directe, règle s'énonçant selon : « Tournant le tire-bouchon dans le sens des angles du plan, il se déplace dans le bouchon supposé fixe dans le sens de  ».
  10. La règle de « l'auto-stoppeur gaucher » utilisée pour orienter un espace par une base indirecte s'énonçant selon : « Le pouce de l'auto-stoppeur gaucher étant le long de , ce dernier dirigé vers l'extrémité du pouce, l'auto-stoppeur ferme le poing en courbant la paume, le sens des angles du plan est donné par la courbure de la paume ».
  11. Le vecteur unitaire normal à en étant et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de et de .
  12. Le vecteur unitaire normal à en étant et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de et de .
  13. Le vecteur unitaire normal à la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe et de rayon en étant et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de et de .
  14. Le vecteur unitaire normal à la sphère de centre en étant et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque , l'aire élémentaire s'obtient par le produit de et de .
  15. Le vecteur unitaire normal à surface latérale d'un cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet en étant et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque , l'aire élémentaire s'obtient par le produit de et de .
  16. 16,0 et 16,1 Une intégrale curviligne ajoute les contributions élémentaires d'une fonction d'un point générique se déplaçant sur une courbe d'un point à un point  ; si on paramètre à l'aide d'un paramètre scalaire (il suffit que toute valeur de d'un intervalle à préciser permette de décrire la courbe telle qu'il n'existe qu'une seule position de correspondant à une valeur de , l'intégrale curviligne devient une intégrale sur un intervalle [usuellement le paramètre est l'abscisse curviligne du point ou le temps dans le cas d'un mouvement sur la courbe].
  17. On a aussi le cas (plus rare) de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle donnant est la densité surfacique du champ vectoriel car .
  18. Voir, plus loin dans ce chapitre, une « introduction à la notion de flux ».
  19. En effet la portion de surface étant un espace à deux dimensions nécessite deux paramètres qui peuvent être et en repérage cartésien du plan ou et en repérage polaire du même plan ou bien d'autres choix possibles … Nous les notons et  » quand nous ne souhaitons pas préciser le type de repérage.
  20. En physique c'est très rarement le cas, les bornes d'intégration sur l'un des paramètres choisis au hasard étant indépendantes de l'autre paramètre figé, dans ce cas les intégrales sont indépendantes et l'intégrale surfacique revient simplement à un produit d'intégrales sur un intervalle, l'ordre d'intégration étant alors quelconque.
  21. 21,0 et 21,1 Par exemple parce que nécessitant des connaissances de primitives non encore acquises.
  22. 22,0 et 22,1 Guido Fubini (1879 - 1943) mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.
  23. 23,0 et 23,1 Sous conditions dans lesquelles nous ne rentrerons pas car toujours réalisées en physique.
  24. Ce qui délimite deux portions de disque, celle dont on souhaite déterminer l'aire étant la plus petite.
  25. Dans le cas d'un calcul d'aire, la fonction scalaire est  ; de plus pour que l'aire soit positive il faut intégrer sur les paramètres choisis dans le sens croissant de leur variation pour que soit toujours positif.
  26. Souvent imposé par la forme de la courbe limitant la surface.
  27. Non représenté sur le schéma car n'aboutit pas : on fige décrit un arc de cercle de rayon avec variant de à .
  28. En effet en appelant le point d'intersection du cercle de rayon et de la corde, le projeté orthogonal de sur la corde, dans le triangle rectangle , est l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle d'où .
  29. C'est la présence de qui est gênante, aussi peut-on suggérer une « intégration par parties » [méthode rappelée dans l'avant dernier exemple du paragraphe « Développement de quelques méthodes de calcul » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] qui conduirait à l'utilisation de sa dérivée soit ce qui n'est tout de même pas simple … Cela donnerait , l'intégrale dans le second terme se réécrivant car une primitive de est , soit finalement .
  30. En effet en appelant le point de la corde d'abscisse angulaire et le projeté orthogonal de sur la corde, dans le triangle rectangle , est l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle d'où .
  31. Ou encore .
  32. On vérifie l'homogénéité du résultat à une aire, étant sans dimension physique.
  33. Une « aire de portion de surface » (sans autre qualificatif) est en général non algébrisée (dans le cas contraire on l'appellera « aire algébrisée de portion de surface ») ; la méthode de calcul introduisant une aire de surface élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir une aire positive, de faire varier les paramètres choisis dans le sens croissant de leur variation.
  34. À l'exception de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de demi-angle au sommet et de hauteur dont l'utilisation est trop rare pour nécessiter de retenir le résultat, par contre la méthode pour l'établir doit être connue.
  35. Produit de la périphérie de la base par la hauteur.
  36. Quatre fois l'aire du disque équatorial.
  37. L'équation sphérique de la surface latérale d'un cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet étant .
  38. En effet la coupe par un demi-plan méridien est un triangle rectangle est le projeté orthogonal du sommet sur la base et l'extrémité de la génératrice, est le côté adjacent de l'angle et l'hypoténuse d'où
  39. L'aire peut s'exprimer en utilisant le « rayon R de la base » à la place du demi-angle au sommet sachant que et d'où .
  40. Usuellement appelé « vecteur de Poynting » ;
    John Henry Poynting (1852 - 1914) physicien anglais connu principalement pour ses travaux sur les ondes électromagnétiques.
  41. Lumineuse au sens large correspondant au visible ainsi qu'à son voisinage les « I.R. et U.V. » mais ce qui est dit reste valable pour tout le spectre électromagnétique.
  42. C.-à-d. que la célérité dans le vide est indépendante de la direction de propagation.
  43. L'onde étant transversale dans le vide.
  44. étant la perméabilité magnétique du vide
  45. Pour que la puissance solaire reçue par la surface soit maximale il faut que le vecteur de Poynting soit à cette surface, et si au contraire, les rayons solaires sont quasi-rasants relativement à cette surface, la puissance solaire reçue est quasi nulle.
  46. La puissance instantanée est sans intérêt à l'échelle de temps macroscopique ou mésoscopique car elle varie à la fréquence [avec fréquence de l'onde monochromatique, la raison du facteur 2 étant que le produit (vectoriel) de et sinusoïdaux de fréquence est sinusoïdal de fréquence tout comme sur l'exemple du simple produit de fonctions et étant très grande, la puissance lumineuse perçue à cette échelle de temps est la moyenne temporelle de la puissance instantanée c'est-à-dire le « flux du vecteur de Poynting moyen à travers la surface (S) orientée »  ;
    ...ayant défini au chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » l'éclairement au point M transporté par l'onde lumineuse en ce point , nous constatons qu'il est aussi proportionnel à la norme du vecteur de Poynting moyen soit car, si on appelle l'angle que fait le vecteur de Poynting avec la normale à la surface élémentaire , la puissance lumineuse moyenne reçue par s'obtient par l'une ou l'autre des méthodes .
  47. C.-à-d. la portion de sphère résultant de l'intersection de la sphère de centre et de rayon avec l'expansion volumique limitée par le cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet , le centre de la calotte sphérique étant le « pôle Nord de la sphère ».
  48. Les intégrales étant d'ailleurs indépendantes.
  49. On peut aussi utiliser dérivée de d'où .
  50. C'est une appellation personnelle pour traduire que la surface élémentaire qui est, a priori, un produit de deux infiniment petits d'ordre un, a été partiellement intégrée pour devenir un infiniment petit d'ordre un.
  51. Longueur du parallèle de colatitude , [le rayon du parallèle étant multipliée par la largeur de la couronne .
  52. 52,0 et 52,1 ne dépendant pas de peut être sorti de l'intégrale sur d'où la justification de l'intégration de l'aire élémentaire sur , ce qui revient au remplacement de par pour passer de l'aire élémentaire à l'aire élémentaire semi intégrée.
  53. ne dépendant pas de ne dépend que de est constante sur un parallèle] d'où l'expression de l'intégrale surfacique ; la surface d'intégration étant fermée (on intègre sur la sphère complète) on note l'intégrale surfacique en ajoutant un sur l'intégrale double la notation est identique pour une intégrale curviligne sur une courbe fermée .
  54. Assez fréquemment utilisé (mais si on n'y pense pas, on ne perd que peu de temps).
  55. Longueur du parallèle de colatitude , [le rayon du parallèle étant multipliée par , la largeur de la couronne tronconique.
  56. ne dépendant pas de ne dépend que de est constante sur un parallèle] d'où l'expression de l'intégrale surfacique.
  57. Nettement moins fréquemment utilisé que dans le cas précédent d'une sphère ou le cas suivant d'un tuyau cylindrique.
  58. Longueur du contour de la section du tuyau de cote , multipliée par la hauteur du tuyau cylindrique .
  59. ne dépendant pas de peut être sorti de l'intégrale sur d'où la justification de l'intégration de l'aire élémentaire sur , ce qui revient au remplacement de par pour passer de l'aire élémentaire à l'aire élémentaire semi intégrée.
  60. ne dépendant pas de ne dépend que de est constante sur un contour de tuyau] d'où l'expression de l'intégrale surfacique.
  61. Encore plus fréquemment utilisé que dans le cas d'une sphère donc à utiliser sans hésitation.
  62. Alors qu'il existe deux termes en français pour distinguer l'expansion spatiale à deux dimensions que l'on nomme « surface », de la mesure de cette expansion que l'on nomme « aire », pour l'expansion spatiale à trois dimensions et sa mesure il n'y a qu'un seul terme le « volume », c'est là l'une des rares insuffisances de la langue française ! Pour éviter cela, on peut réserver le terme « volume » à la mesure et parler d'« expansion tridimensionnelle (ou volumique) » pour l'ensemble de points et c'est ce qui sera fait autant que possible.
  63. Ou simplement s'il n'y a pas ambigüité
  64. On rappelle que la valeur absolue du produit mixte représente le volume du parallélépipède construit à partir des vecteurs , et [revoir le paragraphe « interprétation géométrique (du produit mixte) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].
  65. Il faut toujours préciser l'orientation de l'espace « directe ou indirecte » et nous supposerons l'orientation directe de l'espace dans toute la suite ; en règle générale, si le choix n'est pas rappelé, c'est que l'espace est orienté de façon directe.
  66. Ou indirecte si l'espace était orienté par une base indirecte … Nous nous plaçons dans le cas le plus fréquent.
  67. On aurait le même résultat avec une base orthonormée indirecte dans un espace orienté de façon indirecte.
  68. Le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque.
  69. Le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque.
  70. Le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque.
  71. étant la densité volumique du champ vectoriel car .
  72. En effet la portion d'expansion tridimensionnelle étant un espace à trois dimensions nécessite trois paramètres qui peuvent être , et en repérage cartésien ou , et en repérage cylindro-polaire ou bien d'autres choix possibles … Nous les notons , et