Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique

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     Dans ce chapitre nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » $\;{\big (}$orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}$,

     cette orientation à droite induisant la « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions » telle que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\rbrace \;$ est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite et
     cette orientation à droite induisant le « caractère positif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\right\rbrace \;$ est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite  » $\;{\big \{}$et
     cette orientation à droite induisant le « caractère négatif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\right\rbrace \;$ est indirect c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche  » ${\big \}}$.

     Remarque : si l'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions était inversée, l'espace devenant « orienté à gauche » $\;{\big (}$orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}$,
     Remarque : le produit vectoriel de deux vecteurs serait changé en son opposé de même que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs serait changé en son opposé .

Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface

Définition

     Le vecteur élément de surface en un point $\;M\;$ de la surface $\;(S)$, noté $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$, est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en $\;M\;$ à la surface $\;(S)$, 
          Le vecteur élément de surface en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la surface $\;\color {transparent}{(S)}$, noté $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {dS}}_{M}}\;$, est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ selon
    Le vecteur élément de surface en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la surface $\;\color {transparent}{(S)}$, noté«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$» .

     Remarque : une condition nécessaire $\;{\big (}$C.N.${\big )}\;$ pour pouvoir définir un vecteur élément de surface en un point $\;M\;$ de la surface $\;(S)\;$ considérée
     Remarque : une condition nécessaire $\;\color {transparent}{\big (}$C.N.$\color {transparent}{\big )}\;$ est qu'il existe en ce point $\;M\;$ un plan tangent à la surface $\;(S)$, ce qui nécessite
     Remarque : une condition nécessaire $\;\color {transparent}{\big (}$C.N.$\color {transparent}{\big )}\;$ est que $\;M\;$ soit un « point régulier de la surface $\;(S)\;$» $\;{\Big [}$si la surface $\;(S)\;$ est définie par une équation sous forme implicite $\;f(M)=0$,
     Remarque : une condition nécessaire $\;\color {transparent}{\big (}$C.N.$\color {transparent}{\big )}\;$ est que $\;\color {transparent}{M}\;$ soit un « point régulier de la surface $\;\color {transparent}{(S)}\;$» $\;\color {transparent}{\Big [}$la fonction $\;f\;$ doit être continûment dérivable en $\;M\;$ pour que $\;M\;$ soit un point régulier de $\;(S)\;$
     Remarque : une condition nécessaire $\;\color {transparent}{\big (}$C.N.$\color {transparent}{\big )}\;$ est que $\;\color {transparent}{M}\;$ soit un « point régulier de la surface $\;\color {transparent}{(S)}\;$» $\;\color {transparent}{\Big [}$c.-à-d. que $\;f\;$ y soit de classe $\;C^{\,1}{\Big ]}$ ;
     Remarque : par la suite «$\;M\;$ sera toujours un point régulier de la surface $\;(S)\;$» $\;\ldots$

Propriété

     De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et
              De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ est normal à la surface $\;(S)\;$ en $\;M\;$ et on peut écrire
           De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{M}\;$» avec $\;{\vec {n}}_{M}\;$ un vecteur unitaire $\;\perp \;$ à $\;(S)\;$ en $\;M$,
           De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{M}}\;$» avec $\;dS_{M}\;$ définissant l'aire élémentaire de $\;(S)\;$ en $\;M$.

Pratique courante

     Le plus souvent, il existe un repérage de $\;M\;$ tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe sont dans le plan tangent à $\;(S)\;$ en $\;M$ ;
     dans ces conditions, appelant $\;{\vec {u}}_{1}\;$ et $\;{\vec {u}}_{2}\;$ ces deux vecteurs de la base orthonormée directe $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$,
     dans ces conditions, les déplacements élémentaires de $\;M\;$ dans le plan tangent s'écrivant alors «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {dM_{1}}}=dM_{1}\,{\vec {u}}_{1}\\{\overrightarrow {dM_{2}}}=dM_{2}\,{\vec {u}}_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{3}\;$» avec «$\;dS_{M}=dM_{1}\;dM_{2}\;$» .

     Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de $\;(S)\;$ en $\;M\;$ est de
     Si tel est le cas, rechercher quel vecteur de base est $\;\perp \;$ à $\;(S)\;$ en $\;M$,
     Si tel est le cas, l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base
    Si tel est le cas, l'aire élémentaire étant alors le produit ${\big (}$on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c.-à-d. que le produit s'exprime bien en $\;m^{2}{\big )}\;$ $\ldots$

Expressions en paramétrage cartésien

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire du plan $\;xOy\;$ repéré en cartésien

     Si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec «$\;dS_{M}=dx\;dy\;$» .

     Autres aires élémentaires : $\succ \;$si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;yOz$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{x}\;$», «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{x}\;$» avec «$\;dS_{M}=dy\;dz\;$» ,
     Autres aires élémentaires : $\succ \;$si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;zOx$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{y}\;$», «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{y}\;$» avec «$\;dS_{M}=dz\;dx\;$» .

Expressions en paramétrage cylindro-polaire

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire du plan $\;xOy\;$ repéré en cylindro-polaire

     Si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec «$\;dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;$» .

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;a\;$ repéré en cylindro-polaire

     Si la surface est la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution $\;Oz\;$ et de rayon $\;a$, laquelle est « orientée par $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» avec «$\;dS_{M}=a\;d\theta \;dz\;$» .

     Autre aire élémentaire : si la surface est plane contenant l'axe $\;Oz$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$», «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» avec «$\;dS_{M}=d\rho \;dz\;$» .

Expressions en paramétrage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire d'une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ repérée en sphérique

     Si la surface est une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{r}\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec «$\;dS_{M}=a^{2}\,\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$» .

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire de la surface latérale d'un cône de révolution de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha \;$ repéré en sphérique

     Si la surface est la surface latérale d'un cône de révolution de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha$, laquelle est « orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» avec «$\;dS_{M}=r\,\sin(\alpha )\;d\varphi \;dr\;$» .

     Autre aire élémentaire : si la surface est plane contenant l'axe $\;Oz$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$», «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» avec «$\;dS_{M}=dr\;r\;d\theta \;$» .

Notions d'intégrale surfacique

     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » , mais dans les intégrales surfaciques le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe.

Les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation

     Dans une intégrale surfacique on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction $-$ scalaire ou vectorielle $-$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » $\;(S)\;$ usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ;
           Dans une intégrale surfacique la contribution élémentaire d'une fonction scalaire $\;f(M)\;$ est «$\;f(M)\;dS_{M}\;$» où $\;dS_{M}\;$ est l'aire élémentaire en $\;M\;$ sur $\;(S)\;$ et
  Dans une intégrale surfacique la contributionusuellement celle d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ est «$\;\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» avec $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ vecteur élément de surface en $\;M\;$ sur $\;(S)$ c.-à-d.
  Dans une intégrale surfacique la contribution usuellement celle d'une fonction vectorielle $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ estle flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ ;

     les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant $\;(\Gamma )\;$ la courbe fermée limitant la portion de surface $\;(S)$, $\bullet \;$«$\;\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}f(M)\;dS_{M}\;$» ou
           les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ la courbe fermée limitant la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)}$, $\bullet \;$«$\;\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}=\Phi _{(S)_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$» définissant
           les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ la courbe fermée limitant la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$« le flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers cette portion de surface $\;(S)\;$ ;

     après choix d'un paramétrage de $\;M\;$ sur la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}$, paramètres notés «$\;(p,\,q)\;$» ,
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, l'évaluation de l'intégrale surfacique revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle :
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\blacktriangleright \;$on fige un des paramètres par exemple $\;p\;$ et
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on intègre sur l'autre $\;q\;$ entre les bornes qui dépendent en général du 1^er paramètre figé $\;p$,
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le résultat de cette 1^ère intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé $\;p$, puis
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\blacktriangleright \;$on libère ce paramètre $\;p\;$ et
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales $\;(\Gamma )\;$ de la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}$ ;
après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\succ \;$si les bornes de la 1^ère intégrale sur le paramètre $\;q\;$ dépendent du paramètre figé $\;p$, les deux intégrales sont dites « emboîtées »,
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, le calcul de la 2^ème intégrale nécessitant de connaître le résultat de la 1^ère et
après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\succ \;$si l'ordre d'intervention des paramètres conduit à une 1^ère intégration n'aboutissant pas , la 2^ème ne peut être faite mais $\;\ldots$
après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\succ \;$il existe un « théorème de Fubini » précisant qu'il est possible de permuter les intégrations ,
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, ${\big [}$on fige d'abord le paramètre $\;q\;$ et on intègre sur l'autre paramètre $\;p\;$ entre les bornes dépendant de $\;q$,
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\color {transparent}{\big [}$si cette 1^ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2^ème sur $\;q\;$ entre des bornes qui dépendent des limites spatiales $\;(\Gamma )\;$
     après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur la portion de surface $\;\color {transparent}{(S)_{(\Gamma )}}$, $\color {transparent}{\big [}$si cette 1^ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2^ème sur $\;\color {transparent}{q}\;$ entre des bornes qui de la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}\;$${\big ]}$.

Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle

Schéma précisant la portion de disque $\;{\big (}$entre corde et arc de cercle${\big )}\;$ dont on calcule l'aire

     On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon $\;R\;$ et de centre $\;O$,
     On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde étant à la distance $\;a\;$ du centre $\;O\;$ c.-à-d.
     On souhaite calculer l'intégrale surfacique «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}dS_{M}\;$» $\;{\big (}$voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé${\big )}$ :

• choix du « paramétrage de la surface »  : repérage polaire de pôle $\;O$, centre du cercle, l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant porté par la médiatrice de la corde,
        choix du « paramétrage de la surface » : repérage polaire de pôle $\;\color {transparent}{O}$, centre du cercle, l'axe polaire $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant orienté de la corde vers l'arc, d'où
        choix du « paramétrage de la surface » : «$\;dS_{M}=\rho \,d\rho \,d\theta \;$» et «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}\rho \,d\rho \,d\theta \;$»,
• figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\blacktriangleright \;$on fige $\;\rho \;$ et on intègre sur $\;\theta \;$ de $\;-\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$ à $\;+\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$,
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$ étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\color {transparent}{\theta _{\text{lim}}(\rho )}\;$ étant l'angle polaire du point d'intersection du cercle de rayon $\;\rho \;$ soit
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\theta _{\text{lim}}(\rho )=\arccos \!\left({\dfrac {a}{\rho }}\right)\;$ puis
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on intègre sur $\;\rho \;$ de $\;a\;$ à $\;R\;$ d'où la succession d'intégrales emboîtées «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{a}^{R}{\rho \left[\displaystyle \int _{-\theta _{\text{lim}}(\rho )}^{+\theta _{\text{lim}}(\rho )}d\theta \right]d\rho }\;$» ;
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la 1^ère intégration sur $\;\theta \;$ ne présente aucune difficulté $\;\displaystyle \int _{-\theta _{\text{lim}}(\rho )}^{+\theta _{\text{lim}}(\rho )}d\theta =\left[\theta \right]_{-\theta _{\text{lim}}(\rho )}^{+\theta _{\text{lim}}(\rho )}=2\,\theta _{\text{lim}}(\rho )=2\,\arccos \!\left({\dfrac {a}{\rho }}\right)\;$
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$d'où la réécriture de l'intégrale surfacique suivant «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{a}^{R}2\,\rho \,\arccos \!\left({\dfrac {a}{\rho }}\right)d\rho \;$»,
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé $\Rightarrow$
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ;
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\blacktriangleright \;$on fige $\;\theta \;$ et on intègre sur $\;\rho \;$ de $\;\rho (\theta )\;$ à $\;R$,
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\rho (\theta )\;$ étant la distance séparant $\;O\;$ du point de la corde d'angle polaire $\;\theta$ $\;{\big (}$voir schéma ci-dessus${\big )}\;$ soit
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\rho (\theta )={\dfrac {a}{cos(\theta )}}\;$ puis
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on intègre sur $\;\theta \;$ de $\;-\alpha \;$ à $\;+\alpha \;$ d'où la succession d'intégrales emboîtées «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left[\displaystyle \int _{\rho (\theta )}^{R}\rho \;d\rho \right]d\theta }\;$» ;
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la 1^ère intégration sur $\;\rho \;$ se résout aisément $\;\displaystyle \int _{\rho (\theta )}^{R}\rho \;d\rho =\left[{\dfrac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{\rho (\theta )}^{R}={\dfrac {R^{2}-\left[\rho (\theta )\right]^{2}}{2}}={\dfrac {R^{2}}{2}}-{\dfrac {a^{2}}{2\,\cos ^{2}(\theta )}}\;$ d'où
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réécriture de l'intégrale surfacique suivant «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left[{\dfrac {R^{2}}{2}}-{\dfrac {a^{2}}{2\,\cos ^{2}(\theta )}}\right]d\theta }\;$»
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le calcul ne posant a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\theta )}}\;$ est $\;\tan(\theta )\;$ d'où
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\left[{\dfrac {R^{2}}{2}}\,\theta -{\dfrac {a^{2}}{2}}\,\tan(\theta )\right]_{-\alpha }^{+\alpha }=R^{2}\,\alpha -a^{2}\,\tan(\alpha )\;$ avec
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\alpha \;$ se déterminant dans le triangle rectangle $\;OHA\;$ où $\;A\;$ est l'extrémité supérieure de la corde et
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\color {transparent}{\alpha }\;$ se déterminant dans le triangle rectangle $\;\color {transparent}{OHA}\;$ où $\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;O\;$ sur cette dernière soit
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\alpha =\arccos \!\left({\dfrac {a}{R}}\right)\;$ et $\;\tan(\alpha )={\dfrac {HA}{OH}}={\dfrac {\sqrt {OA^{2}-OH^{2}}}{OH}}={\dfrac {\sqrt {R^{2}-a^{2}}}{a}}\;$ soit finalement
  figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=R^{2}\,\arccos \!\left({\dfrac {a}{R}}\right)-a\,{\sqrt {R^{2}-a^{2}}}\;$» .

Exemples d'aire de surface classique

     Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la portion de surface dont on cherche l'aire  ;
     Préliminaire : les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation .

À retenir $\rightsquigarrow$ Aire de surfaces classiques

     Aire d'un disque de rayon $\;R\;$ :                                                       «$\;{\mathcal {A}}_{\text{disque}}=\pi \,R^{2}\;$»,
     Aire intérieure d'une ellipse de demi-axes $\;a\;$ et $\;b\;$ :                     «$\;{\mathcal {A}}_{\text{int. d'une ellipse}}=\pi \,a\,b\;$»,
     Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H\;$ :
          Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution «$\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}=2\,\pi \,R\,H\;$» ,
     Aire d'une sphère de rayon $\;R\;$ :                                              «$\;{\mathcal {A}}_{\text{sphère}}=4\,\pi \,R^{2}\;$» .

     Établissement de l'aire d'un disque de rayon$\;R$ : on utilise le repérage polaire avec $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ «$\;dS=\rho \,d\theta \,d\rho \;$» , «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et «$\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$» $\Rightarrow$
          Établissement de l'aire d'un disque de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on utilise le repérage polaire avec $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dS}}\;$ suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{dS=\rho \,d\theta \,d\rho }\;$», «$\;\color {transparent}{\theta }\;$ variant de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{2\,\pi }\;$» et les intégrales sont indépendantes,
     Établissement de l'aire d'un disque de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : l'aire est donc le produit de deux intégrales sur un intervalle $\;{\mathcal {A}}_{\text{disque}}=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \,d\rho \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta =\left[{\dfrac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}\times \left[\theta \right]_{0}^{2\,\pi }={\dfrac {R^{2}}{2}}\times 2\,\pi =\pi \;R^{2}\;$ C.Q.F.D. .

Présentation de l'affinité d'axe $\;Ox$, de direction $\;Oy\;$ et de rapport $\;{\dfrac {b}{a}}\;$ transformant le cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ en ellipse de même centre $\;O$, de grand axe $\;Ox\;$ et de petit axe $\;Oy$

     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;a\;$et$\;b$ : on utilise le repérage paramétrique d'une ellipse $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, de paramètre
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : $\;\theta \;={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{c}}}\right)}}$, abscisse angulaire de $\;M_{c}$, point générique du cercle de centre $\;O$
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : dont l'image par affinité d'axe $\;Ox$, de direction $\;Oy\;$ et de rapport $\;{\dfrac {b}{a}}\;$ est l'ellipse étudiée,
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : cette abscisse angulaire «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : la coordonnée radiale «$\;\rho _{d}\;$ du point générique $\;M_{d}\;$ du disque de $\;0\;$ à $\;a\;$» ;
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : les coordonnées de $\;M$, point générique de l'ellipse étant, quant à elles, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\y=b\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : les coordonnées de $\;\color {transparent}{M}$, avec «$\;\theta \;={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{c}}}\right)}}\;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$»,
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : le point générique de l'intérieur de l'ellipse à $\;x=a\;\cos(\theta )\;$ figé $\;{\big [}\!\Rightarrow$ $\;\theta \;$ figé${\big ]}\;$ étant
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : d'ordonnée $\;\lambda \;\sin(\theta )\;$ avec «$\;\lambda \;$ variant de $\;0\;$ à $\;b\;$», l'aire élémentaire de la surface intérieure
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : à l'ellipse s'écrit alors «$\;dS=\left[\sin(\theta )\;d\lambda \right]\times \left[-dx\right]=\left[\sin(\theta )\;d\lambda \right]\times \left\lbrace -d\!\left[a\;\cos(\theta )\right]\right\rbrace \;$»
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}=\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }\left[\displaystyle \int _{\lambda \,=\,0}^{\lambda \,=\,b}\sin(\theta )\;d\lambda \right]d\!\left[-a\;\cos(\theta )\right]$
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}}$ $=\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }\left[b\;\sin(\theta )\right]a\;d\!\left[-\cos(\theta )\right]=a\;b\;\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }\sin ^{2}(\theta )\;d\theta =a\;b\;\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }{\dfrac {1-\cos(2\;\theta )}{2}}\;d\theta \;$» ou      Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes$\;\color {transparent}{a}\;$et$\;\color {transparent}{b}$ : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}=a\;b\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\cancel {-\;\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }{\dfrac {\cos(2\;\theta )\;d\theta }{2}}}}\right\rbrace \;$» soit «$\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}=\pi \;a\;b\;$» C.Q.F.D. .

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon$\;R\;$et de hauteur$\;H$ : on utilise le repérage cylindro-polaire avec $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ $\Rightarrow$ «$\;dS=R\,d\theta \,dz\;$» ,
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et «$\;z\;$ de $\;0\;$ à $\;H\;$» $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes,
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : «$\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}=\displaystyle \int _{0}^{H}dz\times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R\,d\theta =\left[z\right]_{0}^{H}\times \left[R\,\theta \right]_{0}^{2\,\pi }=H\times 2\,\pi \,R$
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}}$ $=2\,\pi \,R\,H\;$» C.Q.F.D. .

     Établissement de l'aire d'une sphère de rayon$\;R$ : on utilise le repérage sphérique avec $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}\;$ $\Rightarrow$ «$\;dS=R^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$» , «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\pi \;$» et «$\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» $\Rightarrow$
           Établissement de l'aire d'une sphère de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle
           Établissement de l'aire d'une sphère de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : «$\;{\mathcal {A}}_{\text{sphère}}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\,d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R^{2}\,d\varphi =\left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\pi }\times \left(2\,\pi \,R^{2}\right)$ $=2\times \left(2\,\pi \,R^{2}\right)=4\,\pi \,R^{2}\;$» C.Q.F.D. .

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;H\;$et de demi-angle au sommet$\;\alpha$ : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône $\;O\;$» et
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : on utilise le repérage sphérique d'axe « l'axe de révolution du cône $\;Oz\;$
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : on utilise le repérage sphérique d'axe « orienté du sommet vers la base » avec
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ $\Rightarrow$ «$\;dS=r\,\sin(\alpha )\,dr\,d\varphi \;$» , «$\;\varphi \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et
           Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dS}}\;$ suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{dS=r\,\sin(\alpha )\,dr\,d\varphi }\;$», «$\;r\;$ de $\;0\;$ à $\;{\dfrac {H}{\cos(\alpha )}}\;$» $\Rightarrow$
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit sur un intervalle
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : «$\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}}=\displaystyle \int _{0}^{\frac {H}{\cos(\alpha )}}r\,dr\times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin(\alpha )\,d\varphi$
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}}}$ $=\left[{\dfrac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{\frac {H}{\cos(\alpha )}}\times \left[2\,\pi \,\sin(\alpha )\right]={\dfrac {H^{2}}{\cos ^{2}(\alpha )}}\times \pi \,\sin(\alpha )$
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et de demi-angle au sommet$\;\color {transparent}{\alpha }$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}}}$ $=\pi \,H^{2}\,{\dfrac {\tan(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\;$» .

Exemple de calcul de flux de champ vectoriel

Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface

     Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » associé au transport de la puissance lumineuse solaire ;
     l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle $\;{\big [}$c'est une onde électromagnétique «$\;({\vec {E}}\,,\,{\vec {B}})\;$» définie en chaque point $\;M\;$ de l'espace et à chaque instant $\;t$,
           l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle $\;\color {transparent}{\big [}$c'est une onde électromagnétique «$\;\color {transparent}{({\vec {E}}\,,\,{\vec {B}})}\;$» constituée d'une multitude de composantes monochromatiques${\big ]}$,
            l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle elle se propage dans le vide à la célérité $\;c\;$ de façon isotrope  ;
     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ se propageant dans la direction $\;{\vec {u}}$, on associe un vecteur d'onde «$\;{\vec {k}}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{0}}}\,{\vec {u}}\;$»,
     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\;\color {transparent}{\lambda _{0}}\;$ se propageant dans la direction $\;\color {transparent}{\vec {u}}$, la direction de $\;{\vec {k}}\;$ correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et
     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\;\color {transparent}{\lambda _{0}}\;$ se propageant dans la direction $\;\color {transparent}{\vec {u}}$, la direction de $\;\color {transparent}{\vec {k}}\;$ étant $\;\perp \;$ au champ électromagnétique $\;({\vec {E}},\,{\vec {B}})\;$ ;
     à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » défini à partir des composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde
           à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » défini selon «$\;{\vec {\Pi }}={\dfrac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\;$» , lequel est colinéaire à $\;{\vec {k}}\;$, c.-à-d.
           à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ;
     à une composante monochromatique la norme du vecteur de Poynting d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse transportée par unité d'aire de section droite et
     à une composante monochromatique la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte « de la norme du vecteur de Poynting de cette composante » mais aussi
     à une composante monochromatique la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte « de l'orientation du vecteur de Poynting relativement à la surface » , d'où
     à une composante monochromatique la définition de la puissance $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ reçue par la surface $\;(S)\;$ comme le « flux du vecteur de Poynting à travers cette surface $\;(S)\;$ orientée »
     à une composante monochromatique la définition de la puissance $\;\color {transparent}{\big (}$instantanée$\color {transparent}{\big )}\;$ reçue par la surface $\;\color {transparent}{(S)}\;$ comme le «$\;\Phi _{(S)}\!\left({\vec {\Pi }},\,t\right)=\displaystyle \iint _{(S)}\left[{\vec {\Pi }}(M,\,t)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\right]\;$» .

Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés

     On souhaite calculer le flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\;$ à travers « une calotte sphérique » $\;(S)_{\text{calotte}}\;$ de demi-angle d'ouverture $\;\alpha \;$ d'une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ ;

     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;Oz\;$» s'impose, le point $\;M\;$ de la calotte sphérique étant de coordonnées sphériques $\;(R,\,\theta ,\,\varphi )\;$
     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et d'axe $\;\color {transparent}{Oz}\;$» s'impose, le point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la calotte sphérique étant de avec «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\alpha \;$» et «$\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$»,
     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et d'axe $\;\color {transparent}{Oz}\;$» s'impose, le vecteur élément de surface au point $\;M\;$ étant «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=R^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \,{\vec {u}}_{r}\;$» et
     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et d'axe $\;\color {transparent}{Oz}\;$» s'impose, le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ ayant pour composantes sphériques dans la base locale de $\;M$,
   compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et d'axe $\;\color {transparent}{Oz}\;$» s'impose, le champ vectoriel «$\;{\vec {A}}(M)=A_{0}\,{\vec {u}}_{z}=A_{0}\,\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{r}-A_{0}\,\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\;$» ;

     le flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers $\;(S)_{\text{calotte}}\;$ étant défini par «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\!\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\!\cdot \left[R^{2}\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \,{\vec {u}}_{r}\right]\;$» se réécrit
          le flux du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ à travers $\;\color {transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;$ étant défini par «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,\cos(\theta )\,R^{2}\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi =\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\left\lbrace A_{0}\,R^{2}\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\left[\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi \right]d\theta \right\rbrace \;$» soit encore,
          le flux du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ à travers $\;\color {transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;$ étant défini par «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }2\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\,d\theta \;$» , cette intégrale se calculant, entre autres, par linéarisation selon
          le flux du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ à travers $\;\color {transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;$ étant défini par «$\;\displaystyle \int _{0}^{\alpha }2\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\,d\theta =\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(2\,\theta )\,d\theta =\left[{\dfrac {-\cos(2\,\theta )}{2}}\right]_{0}^{\alpha }={\dfrac {1-\cos(2\,\alpha )}{2}}\;$» soit finalement
          le flux du champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ à travers $\;\color {transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;$ étant défini par «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,{\dfrac {1-\cos(2\,\alpha )}{2}}=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )\;$» à l'aide de formule trigonométrique de duplication.

Notion de surface élémentaire semi-intégrée

     Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :

• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur une sphère $\;(S)\;$ de rayon $R\;$ne dépend pas de la longitude$\;\varphi$ $\;{\big (}$mais dépend de la colatitude $\;\theta {\big )}$, on peut envisager une « couronne élémentaire de sphère comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches$\;\theta \;$et$\;\theta +d\theta \;$comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «$\;dS_{{\text{couronne de sphère sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}=2\,\pi \,R\,\sin(\theta )\,R\,d\theta \;$» résultant de l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=R\,\sin(\theta )\,d\varphi \,R\,d\theta \;$ ;
  l'intégrale surfacique «$\left.{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint _{(S)}f(\theta )\,dS\\\\\end{array}}\right.\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «$\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\theta )\,dS_{{\text{couronne de sphère sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}\;$» ou encore
                l'intégrale surfacique «$\color {transparent}{\left.\displaystyle \oiint _{(S)}f(\theta )\,dS\right.}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «$\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\theta )\,2\,\pi \,R\,\sin(\theta )\,R\,d\theta \;$»  ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur la surface latérale d'un cône de révolution $\;(K)\;$ de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha \;$ne dépend pas de la longitude$\;\varphi$$\;{\big (}$mais dépend du rayon polaire$\;r{\big )}$, on peut envisager une « couronne élémentaire de cône comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches$\;r\;$et$\;r+dr\;$comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «$\;dS_{{\text{couronne de cône sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=$ $2\,\pi \,r\,\sin(\alpha )\,dr\;$» résultant de l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=r\,\sin(\alpha )\,d\varphi \,dr\;$ ;
  l'intégrale surfacique «$\;\displaystyle \iint _{(K)}f(r)\,dS\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «$\;\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}}f(r)\,dS_{{\text{couronne de cône sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$» ou encore
        l'intégrale surfacique «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint _{(K)}f(r)\,dS}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «$\;\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}}f(r)\,2\,\pi \,r\,\sin(\alpha )\,dr\;$»  ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur un tuyau cylindrique de révolution $\;(T)\;$ d'axe $\;Oz$, de rayon $R\;$ et de hauteur $H\;$ne dépend pas de l'abscisse angulaire$\;\theta$$\;{\big (}$mais dépend de la cote$\;z{\big )}$, on peut envisager un « tuyau cylindrique de révolution élémentaire compris entre les deux cotes infiniment proches$\;z\;$et$\;z+dz\;$comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «$\;dS_{{\text{tuyau cylind. sur }}\left[z,\,z+dz\right]}$ $=2\,\pi \,R\,dz\;$» résultant de l'intégration sur $\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=R\,d\theta \,dz\;$ ;
  l'intégrale surfacique «$\;\displaystyle \iint _{(T)}f(z)\,dS\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,dS_{{\text{tuyau cylind. sur }}\left[z,\,z+dz\right]}\;$» ou encore
        l'intégrale surfacique «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint _{(T)}f(z)\,dS}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,2\,\pi \,R\,dz\;$» .

Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)

Définition

     L'élément de volume en un point $\;M\;$ de l'« expansion tridimensionnelle » $\;({\mathcal {V}})$, noté $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$, est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en $\;M\;\in \;({\mathcal {V}})$,
               L'élément de volume en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'« expansion tridimensionnelle » $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}$, noté $\;\color {transparent}{d{\mathcal {V}}_{M}}\;$, est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}$, $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{3}}}\;$ selon
         L'élément de volume en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'« expansion tridimensionnelle » $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}$, noté «$\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{3}}}\;$» .

Propriété

     Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{2}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{3}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{1}}}\\{\text{ou encore}}\\d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{3}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{1}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{2}}}\end{array}}\right.$.

Pratique courante

     Soient $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ et les déplacements élémentaires de $\;M\;\in \;({\mathcal {V}})\;$ construits le long de chaque $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$,
                Soient $\;\color {transparent}{({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})}\;$ une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ et les déplacements élémentaires de $\;\color {transparent}{M\;\in \;({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {dM}}_{1}=dM_{1}\;{\vec {u}}_{1}\\{\overrightarrow {dM}}_{2}=dM_{2}\;{\vec {u}}_{2}\\{\overrightarrow {dM}}_{3}=dM_{3}\;{\vec {u}}_{3}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
                Soient $\;\color {transparent}{({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})}\;$ une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ on en déduit l'élément de volume en $\;M\;$ «$\;d{\mathcal {V}}_{M}=dM_{1}\;dM_{2}\;dM_{3}\,\left({\vec {u}}_{1}\wedge {\vec {u}}_{2}\right)\!\cdot {\vec {u}}_{3}\;$» soit,
                Soient $\;\color {transparent}{({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})}\;$ une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ avec «$\;\left({\vec {u}}_{1}\wedge {\vec {u}}_{2}\right)\!\cdot {\vec {u}}_{3}=1\;$» ,            «$\;d{\mathcal {V}}_{M}=dM_{1}\;dM_{2}\;dM_{3}\;$».

Expression en paramétrage cartésien

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en cartésien

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=dx\;dy\;dz\;$» .

Expression en paramétrage cylindro-polaire

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en cylindro-polaire

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;dz\;$» .

Expression en paramétrage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en sphérique

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;dr\;d\theta \;d\varphi \;$» .

Notions d'intégrale volumique

     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » et « celle des intégrales surfaciques » , le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle au lieu de se déplacer sur une surface ou une courbe.

Les deux types d'intégrales volumiques

     Dans une intégrale volumique on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction $-$ scalaire ou vectorielle $-$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » $\;({\mathcal {V}})\;$ usuellement limitée par « une surface continue fermée » ;
     Dans une intégrale volumique la contribution élémentaire d'une fonction scalaire $\;f(M)$ est «$\;f(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» où $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ est le volume élémentaire en $\;M\;$ de $\;({\mathcal {V}})\;$ et
  Dans une intégrale volumique la contribution élément celle d'une fonction vectorielle de densité volumique $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ est «$\;\delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {A}}_{V}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ le volume élémentaire en $\;M\;$ de $\;({\mathcal {V}})\;$ et
  Dans une intégrale volumique la contribution élément celle d'une fonction vectorielle de densité volumique $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ effectivement la densité volumique du champ vectoriel $\;{\vec {\mathcal {A}}}\;$ car $\;{\vec {A}}_{V}(M)={\dfrac {\delta {\vec {\mathcal {A}}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}$ ;

     les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant $\;(\Sigma )\;$ la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$, $\bullet \;$«$\;\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}f(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$, $\bullet \;$«$\;\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {\mathcal {A}}}\!\left[({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\right]\;$» champ vectoriel $\;{\vec {\mathcal {A}}}\;$ de
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$, $\color {transparent}{\bullet }\;$« cette portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ ou
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}{\vec {A}}_{V}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {\mathcal {A}}}\!\left[({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\right]\;$» avec $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$, $\color {transparent}{\bullet }\;$« la densité volumique du champ vectoriel $\;{\vec {\mathcal {A}}}$ ;

     après choix d'un paramétrage de $\;M\;$ dans la portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\;$, paramètres notés $\;(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\;$,
           après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans la portion d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle,
           après choix d'un paramétrage de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans la portion d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ méthode identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique rappelée au paragraphe suivant.

Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique

Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle

     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\;$ par $\;p_{1}$, $\;p_{2}\;$ et $\;p_{3}$, on procède comme suit $\bullet \;$on fige deux des paramètres par exemple $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}\;$ et
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\bullet }\;$on intègre sur le dernier $\;p_{3}\;$ entre les bornes dépendant, a priori, de $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$,
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\bullet }\;$le résultat de cette 1^ère intégration dépendant, dans ce cas, de ces deux derniers $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, puis
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\bullet \;$on libère un seul des deux paramètres par exemple $\;p_{2}\;$ et
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\bullet }\;$on intègre sur $\;p_{2}\;$ entre les bornes dépendant, a priori, du dernier paramètre figé $\;p_{1}$,
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\bullet }\;$le résultat de cette 2^ème intégration dépendant, dans ce cas, du dernier paramètre figé $\;p_{1}$, enfin
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\bullet \;$on libère le dernier paramètre $\;p_{1}\;$ et
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\bullet }\;$on intègre sur $\;p_{1}\;$ entre les bornes dépendant des limites spatiales de $\;p_{1}\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ de la portion
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\bullet }\;$on intègre sur $\;\color {transparent}{p_{1}}\;$ entre les bornes dépendant des d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\;$ ;
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\succ \;$si les bornes de la 1^ère intégration sur le paramètre $\;p_{3}\;$ dépendent au moins d'un des paramètres
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\succ }\;$figés $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, les trois intégrales sont dites « emboîtées », le calcul des deux autres intégrales
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\succ }\;$${\big \{}$revenant à un calcul d'intégrale surfacique${\big \}}\;$ nécessitant de connaître le résultat de la 1^ère et
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\succ \;$si l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduit à une 1^ère intégration n'aboutissant pas ,
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\succ }\;$les deux autres ne peuvent être faites mais $\;\ldots$
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\succ \;$il existe un « théorème de Fubini » précisant qu'il est possible de permuter les intégrations ,
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\succ }\;$la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation réussie,
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\succ \;$ce qui a été exposé pour la 1^ère intégration peut être répété pour la 2^nde en adaptant le paragraphe
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\succ }\;$« les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation ($\succ$) »
     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}\;$ par $\;\color {transparent}{p_{1}}$, $\;\color {transparent}{p_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{p_{3}}$, on procède comme suit $\color {transparent}{\succ }\;$« les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes plus haut dans ce chapitre $\;\ldots$

Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle

     On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », mais en une intégrale surfacique suivie d'une intégrale sur un intervalle, en effet
    On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple $\;p_{3}$, parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres, sur l'exemple $\;(p_{1}\,,\,p_{2})$, c.-à-d.
    On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple $\;\color {transparent}{p_{3}}$, parmi les trois aboutit à une intégrale surfacique , cela peut donc être plus rapide si,
    On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple $\;\color {transparent}{p_{3}}$, parmi les trois aboutit pour l'intégrale surfacique , on connaît déjà le résultat connu,
    On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple $\;\color {transparent}{p_{3}}$, parmi les trois aboutit dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante :
    On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat connu $\;{\big (}$correspondant donc à une intégration sur
          On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat les deux autres paramètres laissés libres${\big )}$, puis
    On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation.

Exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique

     Préliminaire : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle est une intégrale volumique de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur l'expansion tridimensionnelle dont on cherche le volume  ;
     Préliminaire : les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.

À retenir $\rightsquigarrow$ Volume d'expansions tridimensionnelles classiques

     Volume d'un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H$ :             «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cylindre de révol.}}=\pi \,R^{2}\,H\;$» ,

     Volume d'un cône de révolution de hauteur $\;H\;$ dont la base est de rayon $\;R$ : «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {\pi \,R^{2}\,H}{3}}\;$» ou
     Volume d'un cône de révolution de hauteur $\;\color {transparent}{H}\;$ dont la base est de rayon $\;\color {transparent}{R}$ : «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {{\mathcal {V}}_{{\text{cylindre de révol. de }}{\hat {\text{m}}}{\text{ param.}}}}{3}}\;$» ,

     Volume d'une boule de rayon $\;R$ :                                                                 «$\;{\mathcal {V}}_{\text{boule}}={\dfrac {4}{3}}\,\pi \,R^{3}\;$» .

     Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon$\;R\;$et de hauteur$\;H$ : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ l'axe de révolution du cylindre et
          Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour pôle $\;O\;$ le centre de la base inférieure,
          Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : le volume élémentaire étant «$\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \,d\rho \,d\theta \,dz\;$» , «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$», «$\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$» et
                  Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : le volume élémentaire étant «$\;\color {transparent}{d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \,d\rho \,d\theta \,dz}\;$» «$\;z\;$ de $\;0\;$ à $\;H\;$» $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes,
          Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : le volume est donc le produit de trois intégrales sur un intervalle
          Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cylindre de révol.}}=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \,d\rho \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{H}dz=\left[{\dfrac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}\times \left[\theta \right]_{0}^{2\,\pi }\times \left[z\right]_{0}^{H}={\dfrac {R^{2}}{2}}\times 2\,\pi \times H\;$
          Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$et de hauteur$\;\color {transparent}{H}$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{\text{cylindre de révol.}}}$ $=\pi \,R^{2}\,H\;$» C.Q.F.D. .

     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;H\;$et dont la base est de rayon$\;R$ : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône $\;O\;$» et
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on utilise le repérage sphérique d'axe « l'axe de révolution $\;Oz\;$ orienté vers la base du cône » ,
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : le volume élémentaire étant «$\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\,dr\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$» avec les trois intégrales sur un intervalle
            Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : le volume élémentaire étant «$\;\color {transparent}{d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\,dr\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi }\;$» avec les trois partiellement emboîtées ;
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on fige $\;r\;$ et $\;\theta$, on intègre sur «$\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» puis
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on libère $\;r\;$ en laissant $\;\theta \;$ figé et on intègre sur «$\;r\;$ de $\;0\;$ à $\;r_{\text{max}}(\theta )={\dfrac {H}{\cos(\theta )}}\;$» et enfin
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on intègre sur «$\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {R}{H}}\right)\;$» d'où
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : le volume est donc le produit de deux intégrales emboîtées et d'une intégrale sur un intervalle
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}=\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\left[\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}(\theta )}r^{2}\,dr\right]d\theta \right\rbrace \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi$
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}}$ $=\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\left[{\dfrac {r^{3}}{3}}\right]_{0}^{r_{\text{max}}(\theta )}d\theta \right\rbrace \times \left[\varphi \right]_{0}^{2\,\pi }=\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\,{\dfrac {\left[r_{\text{max}}(\theta )\right]^{3}}{3}}\,d\theta \right\rbrace \times 2\,\pi$
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}}$ $={\dfrac {2\,\pi }{3}}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\,{\dfrac {H^{3}}{\cos ^{3}(\theta )}}\,d\theta ={\dfrac {2\,\pi \,H^{3}}{3}}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\dfrac {d\left[-\cos(\theta )\right]}{\cos ^{3}(\theta )}}$
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}}$ $=\left.{\dfrac {2\,\pi \,H^{3}}{3}}\left[{\dfrac {1}{2\,\cos ^{2}(\theta )}}\right]_{0}^{\alpha }\right\rbrace \;$ $={\dfrac {\pi \,H^{3}}{3}}\left[{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}-1\right]={\dfrac {\pi \,H^{3}}{3}}\,\tan ^{2}(\alpha )\;$
     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur$\;\color {transparent}{H}\;$et dont la base est de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : «$\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}}$ $={\dfrac {\pi \,R^{2}\,H}{3}}\;$» en utilisant «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{H}}\;$» C.Q.F.D. .

     Établissement du volume d'une boule de rayon$\;R$ : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule $\;O\;$», le volume élémentaire étant «$\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\,dr\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$» ,
                Établissement du volume d'une boule de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule $\;\color {transparent}{O}\;$», «$\;\varphi \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$», «$\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;\pi \;$» et «$\;r\;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$» $\Rightarrow$
                Établissement du volume d'une boule de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule $\;\color {transparent}{O}\;$», «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ variant de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{2\,\pi }\;$», les intégrales sont indépendantes,
           Établissement du volume d'une boule de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : le volume est le produit de trois intégrales sur un intervalle «$\;{\mathcal {V}}_{\text{boule}}=\displaystyle \int _{0}^{R}r^{2}\,dr\times \displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\,d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi =\left[{\dfrac {r^{3}}{3}}\right]_{0}^{R}\times \left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\pi }\times \left[\varphi \right]_{0}^{2\,\pi }$
           Établissement du volume d'une boule de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : le volume est le produit de trois intégrales sur un intervalle «$\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{\text{boule}}}$ $={\dfrac {R^{3}}{3}}\times 2\times 2\,\pi ={\dfrac {4\,\pi }{3}}\;R^{3}\;$» C.Q.F.D. .

Autres exemples d'intégrale volumique

La liste des exemples est évidemment non exhaustive.

     $\blacktriangleright \;$«$\;f(M)\;$ peut être une grandeur scalaire volumique » comme la masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en $\;kg\!\cdot \!m^{-3}\;$» ou la charge volumique «$\;\rho (M)={\dfrac {dq}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en $\;C\!\cdot \!m^{-3}\;$»,
    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{f(M)}\;$ peut être une grandeur scalaire volumique » permettant de calculer la masse de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «$\;m_{({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou
    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{f(M)}\;$ peut être une grandeur scalaire volumique » permettant de calculer la charge de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «$\;q_{({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ;

     $\blacktriangleright \;$«$\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ peut être une grandeur vectorielle volumique » comme le poids volumique «$\;{\overrightarrow {P_{\text{oids}}}}_{V}={\dfrac {dm\;{\vec {g}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)=\mu (M)\,{\vec {g}}\;$ en $\;N\!\cdot \!m^{-3}\;$» ou
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{{\vec {A}}_{V}(M)}\;$ peut être une grandeur vectorielle volumique » comme la force électrique volumique «$\;{\overrightarrow {F_{\text{élec}}}}_{V}={\dfrac {dq\;{\vec {E}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)=\rho (M)\,{\vec {E}}\;$ en $\;N\!\cdot \!m^{-3}\;$»,
    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{{\vec {A}}_{V}(M)}\;$ peut être une grandeur vectorielle volumique » permettant de calculer le poids de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «$\;{\overrightarrow {P_{\text{oids}}}}_{({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\,{\vec {g}}\;d{\mathcal {V}}_{M}=m_{({\mathcal {V}})}\,{\vec {g}}\;$» ou
    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{{\vec {A}}_{V}(M)}\;$ peut être une grandeur vectorielle volumique » permettant de calculer la force électrique s'exerçant sur l'expansion volumique «$\;{\vec {F}}_{{\text{élec sur }}({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\,{\vec {E}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» .

Notion de volume élémentaire semi-intégré

Présentation

     Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré » peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples :

• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur une boule $\;(B)\;$ de rayon $\;R\;$ne dépend ni de la longitude$\;\varphi$,ni de la colatitude$\;\theta$$\;{\big (}$mais dépend de la rayon polaire$\;r{\big )}$, on peut envisager le « volume de la couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment proches$\;r\;$et$\;r+dr\;$comme volume élémentaire semi intégré » soit «$\;d{\mathcal {V}}_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=4\,\pi \,r^{2}\,dr\;$» résultant des intégrations sur «$\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et sur «$\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;\pi \;$» du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=r\,\sin(\theta )\,d\varphi \,r\,d\theta \;dr\;$  ;
  l'intégrale volumique «$\;\displaystyle \iiint _{(B)}f(r)\,d{\mathcal {V}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$» ou encore
         l'intégrale volumique «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint _{(B)}f(r)\,d{\mathcal {V}}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,4\,\pi \,r^{2}\,dr\;$»  ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur un cylindre de révolution $\;(C)\;$ d'axe $\;Oz$, de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H\;$ne dépend ni du rayon polaire$\;\rho \;$ni de l'abscisse angulaire$\;\theta \;$${\big (}$mais est dépendant de la cote$\;z{\big )}$, on peut envisager le « volume de la tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment proches$\;z\;$et$\;z+dz\;$comme volume élémentaire semi intégré » soit l'expression «$\;d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}$ $=\pi \,R^{2}\,dz\;$» résultant de l'intégration sur «$\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et sur «$\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$» du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=\rho \,d\theta \,d\rho \,dz\;$  ;
  l'intégrale volumique «$\;\displaystyle \iiint _{(C)}f(z)\,d{\mathcal {V}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylind. sur }}\left[z,\,z+dz\right]}\;$» ou encore
         l'intégrale volumique «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint _{(C)}f(z)\,d{\mathcal {V}}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,\pi \,R^{2}\,dz\;$»  ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur un cylindre de révolution $\;(C)\;$ d'axe $\;Oz$, de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H\;$ne dépend ni de la cote$\;z\;$ni de l'angle polaire$\;\theta \;$${\big (}$mais dépend du rayon polaire$\;\rho {\big )}$, on peut envisager le « volume de la couche cylindrique élémentaire de hauteur$\;H\;$comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches$\;\rho \;$et$\;\rho +d\rho \;$comme volume élémentaire semi intégré » soit «$\;d{\mathcal {V}}_{{\text{couche cylindrique sur }}\left[\rho ,\,\rho +d\rho \right]}$ $=2\,\pi \,\rho \,H\,d\rho \;$» résultant de l'intégration sur «$\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et sur «$\;z\;$ de $\;0\;$ à $\;H\;$» du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=\rho \,d\theta \,d\rho \,dz\;$  ;
  l'intégrale volumique «$\;\displaystyle \iiint _{(C)}f(\rho )\,d{\mathcal {V}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(\rho )\,d{\mathcal {V}}_{{\text{couche cylind. sur }}\left[\rho ,\,\rho +d\rho \right]}\;$» ou encore
         l'intégrale volumique «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint _{(C)}f(\rho )\,d{\mathcal {V}}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(\rho )\,2\,\pi \,\rho \,H\,d\rho \;$» .

     Remarque : tout ce qui vient d'être exposé avec une fonction scalaire $\;f(M)\;$ peut être répété sans restriction avec une fonction vectorielle de densité volumique $\;{\vec {A}}_{V}(M)$.

Application au calcul du volume d'un cône de révolution

Demi-coupe d'un cône de révolution avec utilisation du repérage cylindro-polaire pour évaluer son volume

     Soit à calculer le volume d'un cône de révolution $\;(K)\;$ de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R\;$
      Soit à calculer le volume d'un cône de révolution en utilisant le « repérage cylindro-polaire » de pôle $\;O$, le sommet du cône de révolution et
             Soit à calculer le volume d'un cône de révolution en utilisant le « repérage cylindro-polaire » d'axe $\;Oz\;$ orienté du sommet vers la base ;
     l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par $\;\theta \;$ étant « indépendante de $\;\theta \;$» soit
     l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par $\;\color {transparent}{\theta }\;$ étant «$\;\rho (z)=z\;\tan(\alpha )\;$» avec $\;\alpha \;$ le
     l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par $\;\color {transparent}{\theta }\;$ étant demi-angle au sommet du cône et
     la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ étant de valeur $\;1\;$ pour tout point $\;M\;$ d'angle polaire $\;\theta _{M}\;$ respectant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{M}\leqslant \rho (z)\\z_{M}=z\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d.
     la fonction à intégrer $\;\color {transparent}{f(M)}\;$ étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte $\;z$, de rayon $\;\rho (z)\;$ et d'épaisseur $\;dz\;$» $\Rightarrow$ il est donc possible de
     la fonction à intégrer $\;\color {transparent}{f(M)}\;$ étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le « volume de la tranche cylindrique élémentaire de côte $\;z$, de rayon $\;\rho (z)\;$ et
     la fonction à intégrer $\;\color {transparent}{f(M)}\;$ étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le « volume de la tranche cylindrique élémentaire d'épaisseur $\;dz\;$» comme
     la fonction à intégrer $\;\color {transparent}{f(M)}\;$ étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le « volume semi-intégré $\;d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylind. sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=\pi \,\left[\rho (z)\right]^{2}\,dz\;$» d'où
     l'intégrale volumique exprimant le volume du cône de révolution $\;(K)\;$ de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R\;$ «$\;{\mathcal {V}}_{(K)}=\displaystyle \iiint _{(K)}d{\mathcal {V}}\;$» se réécrit selon
     l'intégrale volumique «$\;{\mathcal {V}}_{(K)}=\displaystyle \int _{0}^{H}d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylind. sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=\displaystyle \int _{0}^{H}\pi \,\left[\rho (z)\right]^{2}\,dz\;=\pi \,\tan ^{2}(\alpha )\,\displaystyle \int _{0}^{H}z^{2}\,dz=\pi \,\tan ^{2}(\alpha )\,{\dfrac {H^{3}}{3}}\;$» ou, avec «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{H}}\;$»,
     l'intégrale volumique «$\;{\mathcal {V}}_{(K)}={\dfrac {1}{3}}\,\pi \,R^{2}\,H\;$» C.Q.F.V. .