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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique

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Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique
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Chapitre no 17
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Divers repérages d'un point dans l'espace
Chap. suiv. :Intégrales généralisées (ou impropres)
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     Dans ce chapitre nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [1] positionné en un point de l'espace,

     cette orientation à droite induisant la « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction [2] de l'espace physique affine à trois dimensions » [3] telle que le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] et

     cette orientation à droite induisant le « caractère positif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires , et de l'espace vectoriel direction [2] de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] » [5] et le « caractère négatif si le trièdre est indirect c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche [6] » [5].

     Remarque : si l'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions était inversée, l'espace devenant « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [7] positionné en un point de l'espace,

     Remarque : le produit vectoriel de deux vecteurs serait changé en son opposé [8] de même que le produit mixte de trois vecteurs changé en son opposé [9].

Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté [10], est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en à la surface et selon

[11], [12].

     Remarque : une condition nécessaire C.N. pour pouvoir définir un vecteur élément de surface en un point de la surface considérée est qu'il existe en ce point un plan tangent à la surface , ce qui nécessite que soit un « point régulier de la surface » si la surface est définie par une équation sous forme implicite , la fonction doit être continûment dérivable en pour que ce dernier soit un point régulier de c.-à-d. que y soit de classe  ; par la suite « sera toujours un point régulier de la surface »

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

     De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et celle du vecteur surface élémentaire, est normal à la surface en [13] et on peut écrire

avec 
un vecteur unitaire à en ,
définissant l'aire élémentaire de en .

Pratique courante[modifier | modifier le wikicode]

     Le plus souvent, il existe un repérage de tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe [14] sont dans le plan tangent à en  ;
     dans ces conditions, appelant et ces deux vecteurs de la base orthonormée directe [14] , les déplacements élémentaires de dans le plan tangent s'écrivant alors et , on en déduit

[15] avec [16].

     Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de en est de rechercher quel vecteur de base est à en , l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c.-à-d. que le produit s'exprime bien en

Orientation des angles du plan tangent à la surface en M[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où l'une des longueurs élémentaires ou du plan tangent à en seraient définies à partir d'un angle élémentaire [17] de ce plan, le sens des angles de ce dernier est défini à partir du vecteur unitaire qui lui est selon la règle suivante dite de « l'auto-stoppeur droitier » pour un espace orienté à droite [18], [19] :

     « Le pouce de l'auto-stoppeur droitier étant le long de , ce dernier dirigé vers l'extrémité du pouce, l'auto-stoppeur ferme le poing en courbant la paume, le sens des angles du plan est donné par la courbure de la paume » [20].

Expressions en paramétrage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

Expressions en paramétrage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

Expressions en paramétrage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Notions d'intégrale surfacique[modifier | modifier le wikicode]

     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » [26] vue au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », mais dans les intégrales surfaciques le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe.

Les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation[modifier | modifier le wikicode]

     Dans une intégrale surfacique ou de surface on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ;

          la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est «» [27] est l'aire élémentaire en sur et

  la contribution élémentairecelle d'une fonction vectorielle est le flux élémentaire du champ vectoriel «» [28] est le vecteur surface élémentaire en sur  ;

          les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant  la courbe fermée limitant la portion de surface sur , respectivement :

«» ou «» définissant le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface [29] ;

          après le choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , paramètres notés «» [30], l'évaluation de l'intégrale surfacique revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle :

               on fige alors un des paramètres par exemple et on intègre sur l'autre entre les bornes qui dépendent en général du premier paramètre figé , le résultat de cette première intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé , puis

               on libère ce paramètre et on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales de la portion de surface  ;

          dans le cas où la 1ère intégrale sur le paramètre se fait entre des bornes qui dépendent du paramètre figé , les deux intégrales sont dites « emboîtées » [31], le calcul de la 2ème intégrale nécessitant de connaître le résultat de la 1ère

          et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une 1ère intégration n'aboutissant pas [32], la 2ème ne peut être faite mais
               il existe un « théorème de Fubini » [33] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [34], la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant on fige d'abord le paramètre et on intègre sur l'autre paramètre entre les bornes dépendant de , si cette 1ère intégration aboutit, on peut alors intégrer sur entre des bornes qui dépendent des limites spatiales de la portion de surface .

Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle[modifier | modifier le wikicode]

Schéma précisant la portion de disque entre corde et arc de cercle dont on calcule l'aire

     On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon et de centre , la corde étant à la distance de ce dernier [35] c.-à-d. calculer l'intégrale surfacique «» [36] voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé :

  • choix du « paramétrage de la surface » [37] : repérage polaire de pôle , centre du cercle, l'axe polaire étant porté par la médiatrice de la corde, orienté de la corde vers l'arc, d'où «» et « »,
  • figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé :

           on fige et on intègre sur de à [38], étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et du cercle de rayon soit [39] puis
                                   on intègre sur de à  
               d'où la succession d'intégrales emboîtées «» ;

               la 1ère intégration sur ne présentant aucune difficulté on obtient «», le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé [40], on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ;

           on fige et on intègre sur de à , étant la distance séparant du point de la corde d'angle polaire voir schéma ci-dessus soit [41] puis
                                   on intègre sur de à  
               d'où la succession d'intégrales emboîtées «» ;

               la 1ère intégration sur ne présentant aucune difficulté on obtient « » conduisant à la 2ème intégrale dont le calcul ne pose a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de est d'où avec se déterminant dans le triangle rectangle est l'extrémité supérieure de la corde et le projeté orthogonal de sur cette dernière soit et [42] soit finalement

«» [43].

Exemples d'aire de surface classique[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique de la fonction scalaire sur la portion de surface dont on cherche l'aire [44] ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation [45].

     Établissement de l'aire d'un disque de rayon R : on utilise le repérage polaire, variant de 0 à et de 0 à les intégrales sont indépendantes selon .

Présentation de l'affinité d'axe , de direction et de rapport [48] transformant le cercle de centre et de rayon en ellipse de même centre , de grand axe et de petit axe

     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes a et b : on utilise le repérage paramétrique d'une ellipse, voir schéma ci-contre, introduit au paragraphe « conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy (justification) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », , l'abscisse angulaire de , point générique du cercle de centre dont l'image par affinité d'axe , de direction et de rapport [48] est l'ellipse étudiée, cette abscisse angulaire variant de à et la coordonnée radiale du point générique du disque de à  ;
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes a et b : les coordonnées de , point générique de l'ellipse étant, quant à elles, avec variant de à , le point générique de l'intérieur de l'ellipse à figé donc à figé étant d'ordonnée avec variant de à , l'aire élémentaire de l'intérieur de l'ellipse s'écrit alors «» [49] « » [50] soit encore « » [51] soit finalement «».

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H : on utilise le repérage cylindro-polaire, étant suivant , «», variant de à et de à les intégrales sont indépendantes selon « ».

     Établissement de l'aire d'une sphère de rayon R : on utilise le repérage sphérique, étant suivant , «», variant de à et de à les intégrales sont indépendantes selon « ».

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur H et de demi-angle au sommet α : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône » et d'axe « l'axe de révolution du cône orienté du sommet vers la base » [52], étant suivant , « », variant de à et de à [53] les intégrales sont indépendantes selon « » [54].

Exemple de calcul de flux de champ vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface[modifier | modifier le wikicode]

     Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » [55] associé au transport de la puissance lumineuse solaire ;
     l'« onde lumineuse émise par le soleil » [56] est de nature vectorielle c'est une onde électromagnétique «» définie en chaque point de l'espace et à chaque instant , constituée d'une multitude de composantes monochromatiques, elle se propage dans le vide à la célérité de façon isotrope [57] ;

     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , on associe un vecteur d'onde «», la direction de ce dernier correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et étant à [58] ;

     la puissance lumineuse associée à son transport est caractérisée par un vecteur « le vecteur de Poynting » défini à partir des deux composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde selon « » [59], lequel l'onde dans le vide étant transversale est colinéaire à , c.-à-d. porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ;

     la norme du vecteur de Poynting d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse que cette composante transporte par unité de surface de section droite et si on souhaite « définir la puissance correspondante reçue par une surface » il convient qu'elle soit définie « à partir du vecteur de Poynting de cette composante » mais aussi « à partir de son orientation relativement à la surface » [60], d'où

la définition de la puissance instantanée reçue par la surface comme
« flux du vecteur de Poynting à travers cette surface (S) orientée » [29] «» [61].

Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés[modifier | modifier le wikicode]

     On se propose de calculer le flux du champ vectoriel à travers « une calotte sphérique » de demi-angle d'ouverture d'une sphère de centre et de rayon [62] ;

     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le point de la calotte étant de coordonnées sphériques avec variant de à et de à , le vecteur surface élémentaire au point étant « » et le champ vectoriel ayant pour composantes sphériques dans la base locale de , « » ;

     le flux de à travers étant défini par «» se réécrit « » [63] soit encore, l'intégrale sur valant , «», cette dernière intégrale pouvant se calculer entre autres par linéarisation [64] selon «» soit «» que l'on peut encore écrire, à l'aide de formule trigonométrique «».

Notion de surface élémentaire semi-intégrée[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » [65] peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :

  • quand la fonction à intégrer sur une sphère de rayon ne dépend pas de la longitude mais dépend de la colatitude , on peut envisager une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches et comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «» [66] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [67] ;
    «» [68] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
    «» ou encore «» [69] ;
  • quand la fonction à intégrer sur la surface latérale d'un cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet ne dépend pas de la longitude mais dépend du rayon polaire , on peut envisager une « couronne tronconique élémentaire comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches et comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire « » [70] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [67] ;
    «» [71] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
    «» ou encore «» [72] ;
  • quand la fonction à intégrer sur un tuyau cylindrique de révolution d'axe , de rayon et de hauteur ne dépend pas de l'abscisse angulaire mais dépend de la cote , on peut envisager un « tuyau cylindrique élémentaire compris entre les deux cotes infiniment proches et comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire « » [73] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [74] ;
    «» [75] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
    «» ou encore «» [76].

Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » [77] , noté [78], est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en de cette expansion tridimensionnelle , , et selon

«» [79], [12].

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

     Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume  .

Pratique courante[modifier | modifier le wikicode]

     À partir d'une base orthonormée « directe » [14] de l'expansion tridimensionnelle , on considère le plus souvent les déplacements élémentaires de de cette expansion tridimensionnelle construits le long de chacun des vecteurs de base, soit , , et on en déduit l'élément de volume en , soit encore, avec ,

«».

Expression en paramétrage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

Expression en paramétrage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

Expression en paramétrage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Notions d'intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]

     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [26] ou « celle des intégrales surfaciques » vue ci-dessus dans ce chapitre mais dans les intégrales volumiques, le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle au lieu de se déplacer sur une courbe ou une surface.

Les deux types d'intégrales volumiques[modifier | modifier le wikicode]

     Dans une intégrale volumique ou de volume on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » usuellement limitée par « une surface continue fermée » ;

          la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est «» où est le volume élémentaire en de et

  la contribution élémentairecelle d'une fonction vectorielle est «» [83] est toujours le volume élémentaire en de  ;

          les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant  la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , respectivement :

«» ou «» définissant le champ vectoriel de cette portion d'expansion tridimensionnelle
                                                                                                                                                           dont le champ vectoriel est la densité volumique ;

          après le choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle , paramètres notés [84], l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle, la méthode étant identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique et rappelée au paragraphe suivant.

Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]

Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit :

          on fige deux des paramètres par exemple et et on intègre sur le dernier entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, des deux 1ers paramètres figés et , le résultat de cette 1ère intégration dépendant, dans ce cas, de ces deux paramètres figés et , puis

          on libère un seul des deux paramètres par exemple et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, du dernier paramètre figé , le résultat de cette 2ème intégration dépendant dans ce cas du dernier paramètre figé , enfin

          on libère le dernier paramètre et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent des limites spatiales de sur de la portion d'expansion tridimensionnelle  ;

     dans le cas où la 1ère intégrale sur le paramètre se fait entre des bornes qui dépendent au moins d'un des paramètres figés et , les trois intégrales sont dites « emboîtées » [85], le calcul des deux autres intégrales nécessitant de connaître le résultat de la 1ère

     et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une 1ère intégration n'aboutissant pas [32], les deux autres ne peuvent être faites mais
          il existe un « théorème de Fubini » [33] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [34], la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant.

Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]

     On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales sur un intervalle successives mais en une intégrale surfacique suivie d'un intégrale sur un intervalle, en effet figer un paramètre parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres paramètres, c.-à-d. à une intégrale surfacique, cela peut donc être plus rapide si, dans l'intégrale surfacique, on reconnaît une intégrale de résultat connu, dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante :

          figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat connu correspondant donc à une intégration sur les deux autres paramètres laissés libres, puis

          libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation.

Exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle est une intégrale volumique de la fonction scalaire sur la portion d'expansion tridimensionnelle dont on cherche le volume [86] ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.

     Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon et de hauteur  : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour axe l'axe de révolution du cylindre et pour pôle le centre de la base inférieure, le volume élémentaire étant « » avec variant de à , de à et de à les intégrales sont indépendantes selon « » [90].

     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur et dont la base est de rayon  : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône » et d'axe « l'axe de révolution orienté vers la base du cône » [91], le volume élémentaire étant «», toutefois les intégrales seront partiellement emboîtées ;
          on fige et , on intègre sur de à [92] puis
          on libère en laissant figé et on intègre sur de à [93] et enfin
          on intègre sur de à [94], soit
          « » [95] ou encore «» [96] soit finalement, en éliminant «» le résultat énoncé.

     Établissement du volume d'une boule de rayon  : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule », le volume élémentaire étant « », variant de à , variant de à et de à les intégrales sont indépendantes selon « » [97].

Autres exemples d'intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]

      peut être une grandeur scalaire volumique comme la masse volumique «» ou la charge volumique «» s'exprimant respectivement en ou en , permettant de calculer la masse ou la charge de l'expansion volumique respectivement par l'intégrale volumique «» ou «» ;

      peut être une grandeur vectorielle volumique comme le poids volumique «» ou la force électrique volumique «» s'exprimant en , permettant de calculer le poids de l'expansion volumique ou la force électrique s'exerçant sur elle respectivement par l'intégrale volumique «» [98] ou «» [99].

Notion de volume élémentaire semi-intégré[modifier | modifier le wikicode]

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré » [100] peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples :

  • quand la fonction à intégrer sur une boule de rayon ne dépend ni de la longitude , ni de la colatitude mais dépend de la rayon polaire , on peut envisager une « couche sphérique élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment proches et comme volume élémentaire semi intégré [101] », de volume [102] «» [103] résultant des intégrations sur de à et sur de à du volume élémentaire [104] ;
    «» [105] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
    «» ou encore «» [69] ;
  • quand la fonction à intégrer sur un cylindre de révolution d'axe , de rayon et de hauteur ne dépend ni du rayon polaire ni de l'abscisse angulaire mais dépend de la cote , on peut envisager une « tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment proches et comme volume élémentaire semi intégré » [101], de volume [102] «» [106] résultant de l'intégration sur de à et sur de à du volume élémentaire [107] ;
    «» [108] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
    «» ou encore «» [109] ;
  • quand la fonction à intégrer sur un cylindre de révolution d'axe , de rayon et de hauteur ne dépend ni de la cote ni de l'angle polaire mais dépend du rayon polaire , on peut envisager une « couche cylindrique élémentaire de hauteurcomprise entre les deux rayons polaires infiniment proches et comme volume élémentaire semi intégré » [101], de volume [102] « » [110] résultant de l'intégration sur de à et sur de à du volume élémentaire [111] ;
    «» [112] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
    «» ou encore «» [113].

Application au calcul du volume d'un cône de révolution[modifier | modifier le wikicode]

Demi-coupe d'un cône de révolution avec utilisation du repérage cylindro-polaire pour évaluer son volume

     Soit à calculer le volume d'un cône de révolution de hauteur et dont la base est de rayon en utilisant le « repérage cylindro-polaire » [114] de pôle , le sommet du cône et d'axe , l'axe de révolution orienté du sommet vers la base ;
     l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par étant « indépendante de » [115] plus précisément valant «» où est le demi-angle au sommet du cône et
     la fonction à intégrer étant de valeur pour tout point d'angle polaire respectant c.-à-d. étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte , de rayon et d'épaisseur » [116],
     il est possible de considérer la « tranche cylindrique élémentaire de côte , de rayon et d'épaisseur » comme « volume semi-intégré » [101] de volume [102] « » d'où l'expression du volume du cône de révolution de hauteur et dont la base est de rayon

« »
ou, en éliminant «»,
«».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ;
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
  2. 2,0 et 2,1 La direction d'un espace affine étant l'espace vectoriel à partir duquel l'espace affine est défini à l'aide de l'application qui, à chaque bipoint , associe un élément de noté vérifiant les deux propriétés suivantes :
    • «» relation de Chasles,
    • «» existence et unicité d'un translaté.
       Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  3. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  4. 4,0 et 4,1 Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « direct au sens de la physique» dans un espace orienté à gauche est dite « règle de la main droite » levant le pouce de la main droite dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier » ; il existe d'autres règles équivalentes :
       « règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras droit étant dans le sens de , la poigne de la main droite courbée dans le sens de , le pouce est alors levé dans le sens de ,
       « règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant de vers , il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de ,
       « règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur , ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens de , il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens de ,
       et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
  5. 5,0 et 5,1 Voir le paragraphe « propriétés (du produit mixte, 3ème propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Règle de la main gauche pour déterminer le caractère « indirect » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « indirect au sens de la physique» dans un espace orienté à gauche : « levant le pouce de la main gauche dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » pouvant encore être appelé « règle de l'apprenti cow-boy gaucher » ; là encore il est possible de trouver des règles équivalentes
  7. Le tire-bouchon de farces et attrapes serait en fait un tire-bouchon pour gaucher, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à gauche » parce qu'il faudrait tourner vers la gauche pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon.
  8. Voir le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace (remarque) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs (remarque) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. Ou simplement s'il n'y a pas ambiguïté.
  11. on rappelle que est représenté par l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs et revoir le paragraphe « interprétation géométrique (du produit vectoriel) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. 12,0 et 12,1 Il faut préciser l'orientation de l'espace « à droite ou à gauche », pour tout le chapitre nous avons imposé « à droite » ; en règle générale, si le choix n'est pas rappelé, c'est que l'espace est orienté à droite.
  13. C.-à-d. au plan tangent de la surface en , et étant deux déplacements élémentaires du plan tangent.
  14. 14,0 14,1 et 14,2 Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. Le vecteur unitaire normal à en est donc .
  16. L'aire élémentaire de en étant le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base et au vecteur unitaire normal à en , «