Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite »
orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [1] positionné en un point
de l'espace
,
cette orientation à droite induisant la « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs
et
de l'espace vectoriel direction [2] de l'espace physique affine à trois dimensions » [3] telle que le trièdre
est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] et
cette orientation à droite induisant le « caractère positif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires
,
et
de l'espace vectoriel direction [2] de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre
est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] » [5]
et le « caractère négatif si le trièdre
est indirect c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche [6] » [5]
.
Remarque : si l'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions était inversée, l'espace devenant « orienté à gauche »
orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [7] positionné en un point
de l'espace
,
Remarque : le produit vectoriel de deux vecteurs serait changé en son opposé [8] de même que le produit mixte de trois vecteurs changé en son opposé [9].
Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface[modifier | modifier le wikicode]
Le vecteur élément de surface en un point
de la surface
, noté
[10], est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en
à la surface
,
et
selon
[11], [12].
Remarque : une condition nécessaire
C.N.
pour pouvoir définir un vecteur élément de surface en un point
de la surface
considérée est qu'il existe en ce point
un plan tangent à la surface
, ce qui nécessite que
soit un « point régulier de la surface
»
si la surface
est définie par une équation sous forme implicite
, la fonction
doit être continûment dérivable en
pour que ce dernier soit un point régulier de
c.-à-d. que
y soit de classe
; par la suite «
sera toujours un point régulier de la surface
»
De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et celle du vecteur surface élémentaire,
est normal à la surface
en
[13] et on peut écrire

avec

un vecteur unitaire

à

en

,

définissant l'aire élémentaire de

en

.
Le plus souvent, il existe un repérage de
tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe [14] sont dans le plan tangent à
en
;
dans ces conditions, appelant
et
ces deux vecteurs de la base orthonormée directe [14]
, les déplacements élémentaires de
dans le plan tangent s'écrivant alors
et
, on en déduit
[15] avec
[16].
Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de
en
est de rechercher quel vecteur de base est
à
en
, l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base
on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c.-à-d. que le produit s'exprime bien en
Orientation des angles du plan tangent à la surface en M[modifier | modifier le wikicode]
Dans le cas où l'une des longueurs élémentaires
ou
du plan tangent à
en
seraient définies à partir d'un angle élémentaire [17] de ce plan, le sens
des angles de ce dernier est défini à partir du vecteur unitaire
qui lui est
selon la règle suivante dite de « l'auto-stoppeur droitier » pour un espace orienté à droite [18], [19] :
« Le pouce de l'auto-stoppeur droitier étant le long de
, ce dernier dirigé vers l'extrémité du pouce, l'auto-stoppeur ferme le poing en courbant la paume, le sens
des angles du plan est donné par la courbure de la paume » [20].
À retenir

aire élémentaire du plan

repéré en cartésien
Si la surface est
plane 
à

, « orientée par

»,
«

» avec «

»
[21].
À retenir

aire élémentaire du plan

repéré en cylindro-polaire
Si la surface est
plane 
à

, « orientée par

»,
«

» avec «

»
[22].
À retenir

aire élémentaire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe

et de rayon

repéré en cylindro-polaire
Si la surface est la
surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe

et de rayon

, laquelle est « orientée par

»,
«

» avec «

»
[23].
À retenir

aire élémentaire d'une sphère de centre

et de rayon

repérée en sphérique
Si la surface est une
sphère de centre

et de rayon

, « orientée par

»,
«

» avec «

»
[24].
À retenir

aire élémentaire de la surface latérale d'un cône de révolution de sommet

, d'axe

et de demi-angle au sommet

repéré en sphérique
Si la surface est la
surface latérale d'un cône de révolution de sommet

, d'axe

et de demi-angle au sommet

, laquelle est « orientée par

»,
«

» avec «

»
[25].
Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » [26] vue au chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », mais dans les intégrales surfaciques le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe.
Les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation[modifier | modifier le wikicode]
Dans une intégrale surfacique
ou de surface
on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction
scalaire ou vectorielle
d'un point
assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface »
usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ;
la contribution élémentaire d'une fonction scalaire
est «
» [27] où
est l'aire élémentaire en
sur
et
la contribution élémentairecelle d'une fonction vectorielle
est le flux élémentaire du champ vectoriel «
» [28] où
est le vecteur surface élémentaire en
sur
;
les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant
la courbe fermée limitant la portion de surface sur
, respectivement :
«
» ou «
» définissant le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface [29] ;
après le choix d'un paramétrage de
sur la portion de surface
, paramètres notés «
» [30], l'évaluation de l'intégrale surfacique revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle :
on fige alors un des paramètres par exemple
et on intègre sur l'autre
entre les bornes qui dépendent en général du premier paramètre figé
, le résultat de cette première intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé
, puis
on libère ce paramètre
et on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales
de la portion de surface
;
dans le cas où la 1ère intégrale sur le paramètre
se fait entre des bornes qui dépendent du paramètre figé
, les deux intégrales sont dites « emboîtées » [31], le calcul de la 2ème intégrale nécessitant de connaître le résultat de la 1ère
et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une 1ère intégration n'aboutissant pas [32], la 2ème ne peut être faite mais
il existe un « théorème de Fubini » [33] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [34], la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant
on fige d'abord le paramètre
et on intègre sur l'autre paramètre
entre les bornes dépendant de
, si cette 1ère intégration aboutit, on peut alors intégrer sur
entre des bornes qui dépendent des limites spatiales
de la portion de surface
.
Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle[modifier | modifier le wikicode]
Schéma précisant la portion de disque

entre corde et arc de cercle

dont on calcule l'aire
On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon
et de centre
, la corde étant à la distance
de ce dernier [35] c.-à-d. calculer l'intégrale surfacique «
» [36]
voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé
:
- choix du « paramétrage de la surface » [37] : repérage polaire de pôle
, centre du cercle, l'axe polaire
étant porté par la médiatrice de la corde, orienté de la corde vers l'arc, d'où «
» et «
»,
- figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé :
on fige
et on intègre sur
de
à
[38],
étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et du cercle de rayon
soit
[39] puis
on intègre sur
de
à
d'où la succession d'intégrales emboîtées «
» ;
la 1ère intégration sur
ne présentant aucune difficulté on obtient «
», le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé [40], on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ;
on fige
et on intègre sur
de
à
,
étant la distance séparant
du point de la corde d'angle polaire
voir schéma ci-dessus
soit
[41] puis
on intègre sur
de
à
d'où la succession d'intégrales emboîtées «
» ;
la 1ère intégration sur
ne présentant aucune difficulté on obtient «
» conduisant à la 2ème intégrale
dont le calcul ne pose a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de
est
d'où
avec
se déterminant dans le triangle rectangle
où
est l'extrémité supérieure de la corde et
le projeté orthogonal de
sur cette dernière soit
et
[42] soit finalement
«

»
[43].
Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique de la fonction scalaire
sur la portion de surface dont on cherche l'aire [44] ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation [45].
À retenir

Aire de surfaces classiques
Aire d'un disque de rayon
: «
»,
Aire intérieure d'une ellipse de demi-axes
et
:
Aire d'un disque de rayon ~R~«
»,
Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon
et de hauteur
:
Aire d'un disque de rayon ~R~«
» [46],
Aire d'une sphère de rayon
: «
» [47].
Établissement de l'aire d'un disque de rayon R : on utilise le repérage polaire,
variant de 0 à
et
de 0 à
les intégrales sont indépendantes selon
.
Présentation de l'affinité d'axe

, de direction

et de rapport
[48] transformant le cercle de centre

et de rayon

en ellipse de même centre

, de grand axe

et de petit axe

Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes a et b : on utilise le repérage paramétrique d'une ellipse,
voir schéma ci-contre
, introduit au paragraphe « conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy (justification) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
, l'abscisse angulaire de
, point générique du cercle de centre
dont l'image par affinité d'axe
, de direction
et de rapport
[48] est l'ellipse étudiée, cette abscisse angulaire variant de
à
et la coordonnée radiale du point générique du disque de
à
;
Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes a et b : les coordonnées de
, point générique de l'ellipse étant, quant à elles,
avec
variant de
à
, le point générique de l'intérieur de l'ellipse à
figé
donc à
figé
étant d'ordonnée
avec
variant de
à
, l'aire élémentaire de l'intérieur de l'ellipse s'écrit alors «
» [49]
«
» [50] soit encore «
» [51] soit finalement «
».
Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H : on utilise le repérage cylindro-polaire,
étant suivant
, «
»,
variant de
à
et
de
à
les intégrales sont indépendantes selon «
».
Établissement de l'aire d'une sphère de rayon R : on utilise le repérage sphérique,
étant suivant
, «
»,
variant de
à
et
de
à
les intégrales sont indépendantes selon «
».
Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur H et de demi-angle au sommet α : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône
» et d'axe « l'axe de révolution du cône
orienté du sommet vers la base » [52],
étant suivant
, «
»,
variant de
à
et
de
à
[53]
les intégrales sont indépendantes selon «
» [54].
Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface[modifier | modifier le wikicode]
Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » [55] associé au transport de la puissance lumineuse solaire ;
l'« onde lumineuse émise par le soleil » [56] est de nature vectorielle
c'est une onde électromagnétique «
» définie en chaque point
de l'espace et à chaque instant
, constituée d'une multitude de composantes monochromatiques
, elle se propage dans le vide à la célérité
de façon isotrope [57] ;
à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide
se propageant dans la direction
, on associe un vecteur d'onde «
», la direction de ce dernier correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et étant
à
[58] ;
la puissance lumineuse associée à son transport est caractérisée par un vecteur « le vecteur de Poynting » défini à partir des deux composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde selon «
» [59], lequel
l'onde dans le vide étant transversale
est colinéaire à
, c.-à-d. porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ;
la norme du vecteur de Poynting d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse que cette composante transporte par unité de surface de section droite et si on souhaite « définir la puissance correspondante reçue par une surface » il convient qu'elle soit définie « à partir du vecteur de Poynting de cette composante » mais aussi « à partir de son orientation relativement à la surface » [60], d'où
la définition de la puissance
instantanée
reçue par la surface
comme
« flux du vecteur de Poynting à travers cette surface (S) orientée » [29] «
» [61].
Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés[modifier | modifier le wikicode]
On se propose de calculer le flux du champ vectoriel
à travers « une calotte sphérique »
de demi-angle d'ouverture
d'une sphère de centre
et de rayon
[62] ;
compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle
et d'axe
» s'impose, le point
de la calotte étant de coordonnées sphériques
avec
variant de
à
et
de
à
, le vecteur surface élémentaire au point
étant «
» et le champ vectoriel
ayant pour composantes sphériques dans la base locale de
, «
» ;
le flux de
à travers
étant défini par «
» se réécrit «
» [63] soit encore, l'intégrale sur
valant
, «
», cette dernière intégrale pouvant se calculer entre autres par linéarisation [64] selon «
» soit «
» que l'on peut encore écrire, à l'aide de formule trigonométrique «
».
Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » [65] peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :
- quand la fonction à intégrer
sur une sphère
de rayon
ne dépend pas de la longitude
mais dépend de la colatitude
, on peut envisager une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches
et
comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «
» [66] résultant de l'intégration sur
de
à
de l'aire élémentaire
[67] ; «
» [68] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
«
» ou encore «
» [69] ;
- quand la fonction à intégrer
sur la surface latérale d'un cône de révolution
de sommet
, d'axe
et de demi-angle au sommet
ne dépend pas de la longitude
mais dépend du rayon polaire
, on peut envisager une « couronne tronconique élémentaire comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches
et
comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «
» [70] résultant de l'intégration sur
de
à
de l'aire élémentaire
[67] ; «
» [71] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
«
» ou encore «
» [72] ;
- quand la fonction à intégrer
sur un tuyau cylindrique de révolution
d'axe
, de rayon
et de hauteur
ne dépend pas de l'abscisse angulaire
mais dépend de la cote
, on peut envisager un « tuyau cylindrique élémentaire compris entre les deux cotes infiniment proches
et
comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «
» [73] résultant de l'intégration sur
de
à
de l'aire élémentaire
[74] ; «
» [75] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
«
» ou encore «
» [76].
Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)[modifier | modifier le wikicode]
L'élément de volume en un point
de l'« expansion tridimensionnelle » [77]
, noté
[78], est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en
de cette expansion tridimensionnelle
,
,
et
selon
«

»
[79], [12].
Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume
.
À partir d'une base orthonormée « directe » [14]
de l'expansion tridimensionnelle
, on considère le plus souvent les déplacements élémentaires de
de cette expansion tridimensionnelle
construits le long de chacun des vecteurs de base, soit
,
,
et on en déduit l'élément de volume en
,
soit encore, avec
,
«

».
À retenir

volume élémentaire en cartésien
«

»
[80].
À retenir

volume élémentaire en cylindro-polaire
«

»
[81].
À retenir

volume élémentaire en sphérique
«

»
[82].
Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [26] ou « celle des intégrales surfaciques » vue ci-dessus dans ce chapitre mais dans les intégrales volumiques, le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle au lieu de se déplacer sur une courbe ou une surface.
Dans une intégrale volumique
ou de volume
on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction
scalaire ou vectorielle
d'un point
assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle »
usuellement limitée par « une surface continue fermée » ;
la contribution élémentaire d'une fonction scalaire
est «
» où
est le volume élémentaire en
de
et
la contribution élémentairecelle d'une fonction vectorielle
est «
» [83] où
est toujours le volume élémentaire en
de
;
les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant
la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle
, respectivement :
«
» ou «
» définissant le champ vectoriel
de cette portion d'expansion tridimensionnelle
dont le champ vectoriel
est la densité volumique ;
après le choix d'un paramétrage de
dans la portion d'expansion tridimensionnelle
, paramètres notés
[84], l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle, la méthode étant identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique et rappelée au paragraphe suivant.
Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique[modifier | modifier le wikicode]
Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]
Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle
par
,
et
, on procède comme suit :
on fige deux des paramètres par exemple
et
et on intègre sur le dernier
entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, des deux 1ers paramètres figés
et
, le résultat de cette 1ère intégration dépendant, dans ce cas, de ces deux paramètres figés
et
, puis
on libère un seul des deux paramètres par exemple
et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, du dernier paramètre figé
, le résultat de cette 2ème intégration dépendant dans ce cas du dernier paramètre figé
, enfin
on libère le dernier paramètre
et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent des limites spatiales de
sur
de la portion d'expansion tridimensionnelle
;
dans le cas où la 1ère intégrale sur le paramètre
se fait entre des bornes qui dépendent au moins d'un des paramètres figés
et
, les trois intégrales sont dites « emboîtées » [85], le calcul des deux autres intégrales nécessitant de connaître le résultat de la 1ère
et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une 1ère intégration n'aboutissant pas [32], les deux autres ne peuvent être faites mais
il existe un « théorème de Fubini » [33] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [34], la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant.
Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]
On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales sur un intervalle successives mais en une intégrale surfacique suivie d'un intégrale sur un intervalle, en effet figer un paramètre parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres paramètres, c.-à-d. à une intégrale surfacique, cela peut donc être plus rapide si, dans l'intégrale surfacique, on reconnaît une intégrale de résultat connu, dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante :
figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat connu
correspondant donc à une intégration sur les deux autres paramètres laissés libres
, puis
libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation.
Exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle est une intégrale volumique de la fonction scalaire
sur la portion d'expansion tridimensionnelle dont on cherche le volume [86] ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.
À retenir

Volume d'expansions tridimensionnelles classiques
Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon
et de hauteur
: on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour axe
l'axe de révolution du cylindre et pour pôle
le centre de la base inférieure, le volume élémentaire étant «
» avec
variant de
à
,
de
à
et
de
à
les intégrales sont indépendantes selon «
» [90].
Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur
et dont la base est de rayon
: on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône
» et d'axe « l'axe de révolution
orienté vers la base du cône » [91], le volume élémentaire étant «
», toutefois les intégrales seront partiellement emboîtées ;
on fige
et
, on intègre sur
de
à
[92] puis
on libère
en laissant
figé et on intègre sur
de
à
[93] et enfin
on intègre sur
de
à
[94], soit
«
» [95] ou encore «
» [96] soit finalement, en éliminant «
» le résultat énoncé.
Établissement du volume d'une boule de rayon
: on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule
», le volume élémentaire étant «
»,
variant de
à
,
variant de
à
et
de
à
les intégrales sont indépendantes selon «
» [97].
peut être une grandeur scalaire volumique comme la masse volumique «
» ou la charge volumique «
» s'exprimant respectivement en
ou en
, permettant de calculer la masse ou la charge de l'expansion volumique respectivement par l'intégrale volumique «
» ou «
» ;
peut être une grandeur vectorielle volumique comme le poids volumique «
» ou la force électrique volumique «
» s'exprimant en
, permettant de calculer le poids de l'expansion volumique ou la force électrique s'exerçant sur elle respectivement par l'intégrale volumique «
» [98] ou «
» [99].
Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré » [100] peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples :
- quand la fonction à intégrer
sur une boule
de rayon
ne dépend ni de la longitude
, ni de la colatitude
mais dépend de la rayon polaire
, on peut envisager une « couche sphérique élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment proches
et
comme volume élémentaire semi intégré [101] », de volume [102] «
» [103] résultant des intégrations sur
de
à
et sur
de
à
du volume élémentaire
[104] ; «
» [105] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
«
» ou encore «
» [69] ;
- quand la fonction à intégrer
sur un cylindre de révolution
d'axe
, de rayon
et de hauteur
ne dépend ni du rayon polaire
ni de l'abscisse angulaire
mais dépend de la cote
, on peut envisager une « tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment proches
et
comme volume élémentaire semi intégré » [101], de volume [102] «
» [106] résultant de l'intégration sur
de
à
et sur
de
à
du volume élémentaire
[107] ; «
» [108] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
«
» ou encore «
» [109] ;
- quand la fonction à intégrer
sur un cylindre de révolution
d'axe
, de rayon
et de hauteur
ne dépend ni de la cote
ni de l'angle polaire
mais dépend du rayon polaire
, on peut envisager une « couche cylindrique élémentaire de hauteur
comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches
et
comme volume élémentaire semi intégré » [101], de volume [102] «
» [110] résultant de l'intégration sur
de
à
et sur
de
à
du volume élémentaire
[111] ; «
» [112] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
«
» ou encore «
» [113].
Application au calcul du volume d'un cône de révolution[modifier | modifier le wikicode]
Demi-coupe d'un cône de révolution avec utilisation du repérage cylindro-polaire pour évaluer son volume
Soit à calculer le volume d'un cône de révolution
de hauteur
et dont la base est de rayon
en utilisant le « repérage cylindro-polaire » [114] de pôle
, le sommet du cône et d'axe
, l'axe de révolution orienté du sommet vers la base ;
l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par
étant « indépendante de
» [115] plus précisément valant «
» où
est le demi-angle au sommet du cône et
la fonction à intégrer
étant de valeur
pour tout point
d'angle polaire
respectant
c.-à-d. étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte
, de rayon
et d'épaisseur
» [116],
il est possible de considérer la « tranche cylindrique élémentaire de côte
, de rayon
et d'épaisseur
» comme « volume semi-intégré » [101] de volume [102] «
» d'où l'expression du volume du cône de révolution
de hauteur
et dont la base est de rayon
«
»
ou, en éliminant «
»,
«
».
- ↑ Le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point
de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point
, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
- ↑ 2,0 et 2,1 La direction d'un espace affine
étant l'espace vectoriel
à partir duquel l'espace affine
est défini à l'aide de l'application
qui, à chaque bipoint
, associe un élément de
noté
vérifiant les deux propriétés suivantes :
- «
»
relation de Chasles
,
- «
»
existence et unicité d'un translaté
.
Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 4,0 et 4,1 Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs
dans un espace orienté à droite mais aussi « direct
au sens de la physique
» dans un espace orienté à gauche est dite « règle de la main droite »
levant le pouce de la main droite dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite
ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier »
; il existe d'autres règles équivalentes :
« règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras
droit
étant dans le sens de
, la poigne de la main
droite
courbée dans le sens de
, le pouce est alors levé dans le sens de
,
« règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant de
vers
, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de
,
« règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur
, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens de
, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens de
,
et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
- ↑ 5,0 et 5,1 Voir le paragraphe « propriétés (du produit mixte, 3ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Règle de la main gauche pour déterminer le caractère « indirect » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « indirect
au sens de la physique
» dans un espace orienté à gauche : « levant le pouce de la main gauche dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche »
pouvant encore être appelé « règle de l'apprenti cow-boy gaucher »
; là encore il est possible de trouver des règles équivalentes
- ↑ Le tire-bouchon de farces et attrapes serait en fait un tire-bouchon pour gaucher, plaçant un bouchon en un point
de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point
, elle est dite « à gauche » parce qu'il faudrait tourner vers la gauche pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon.
- ↑ Voir le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace (remarque) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs (remarque) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Ou simplement
s'il n'y a pas ambiguïté.
- ↑ on rappelle que
est représenté par l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs
et
revoir le paragraphe « interprétation géométrique (du produit vectoriel) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ 12,0 et 12,1 Il faut préciser l'orientation de l'espace « à droite ou à gauche », pour tout le chapitre nous avons imposé « à droite » ; en règle générale, si le choix n'est pas rappelé, c'est que l'espace est orienté à droite.
- ↑ C.-à-d.
au plan tangent de la surface
en
,
et
étant deux déplacements élémentaires du plan tangent.
- ↑ 14,0 14,1 et 14,2 Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Le vecteur unitaire normal à
en
est donc
.
- ↑ L'aire élémentaire de
en
étant le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base
et
au vecteur unitaire normal à
en
, «