Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique

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Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface

Définition

......Le vecteur élément de surface en un point $\;M\;$ de la surface $\;(S)$, noté $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$, est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en $\;M\;$ à la surface $\;(S)$, $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ selon

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ .

Propriété

......De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et celle du vecteur surface élémentaire, $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ est normal à la surface $\;(S)\;$ en $\;M\;$ et on peut écrire

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{M}\;$ avec 
$\;{\vec {n}}_{M}\;$ un vecteur unitaire $\;\perp \;$ à $\;(S)\;$ en $\;M$,
$\;dS_{M}\;$ définissant l'aire élémentaire de $\;(S)\;$ en $\;M$.

Pratique courante

......Le plus souvent, il existe un repérage de $\;M\;$ tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe sont dans le plan tangent à $\;(S)\;$ en $\;M$ ;
......dans ces conditions, appelant $\;{\vec {u}}_{1}\;{\text{et}}\;{\vec {u}}_{2}\;$ ces deux vecteurs de la base orthonormée directe $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$, les déplacements élémentaires de $\;M\;$ dans le plan tangent s'écrivant alors $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}=dM_{1}\,{\vec {u}}_{1}\;\;{\text{et}}\;\;{\overrightarrow {dM_{2}}}=dM_{2}\,{\vec {u}}_{2}$, on en déduit

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{3}\;$$\quad$ avec $\;dS_{M}=dM_{1}\;dM_{2}\;$.

......Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de $\;(S)\;$ en $\;M\;$ est de rechercher quel vecteur de base est $\;\perp \;$ à $\;(S)\;$ en $\;M$, l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base (on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c'est-à-dire que le produit s'exprime bien en $\;m^{2}{\big )}\;$ …

Orientation des angles du plan tangent à la surface en M

......Dans le cas où l'une des longueurs élémentaires $\;dM_{1}\;$ ou $\;dM_{2}\;$ du plan tangent à $\;(S)\;$ en $\;M\;$ seraient définies à partir d'un angle élémentaire de ce plan, le sens $\;+\;$ des angles de ce dernier est défini à partir du vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{3}\;$ qui lui est perpendiculaire selon la règle suivante dite de « l'auto-stoppeur droitier » pour un espace orienté par une base directe  :

......« Le pouce de l'auto-stoppeur droitier étant le long de $\;{\vec {u}}_{3}\;$, ce dernier dirigé vers l'extrémité du pouce, l'auto-stoppeur ferme le poing en courbant la paume, le sens $\;+\;$ des angles du plan est donné par la courbure de la paume » .

Expressions en paramétrage cartésien

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire du plan $\;xOy\;$ repéré en cartésien

......Si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, orientée par $\;{\vec {u}}_{z}$,

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\quad$ avec $\quad dS_{M}=dx\;dy\;$.

Expressions en paramétrage cylindro-polaire

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire du plan $\;xOy\;$ repéré en cylindro-polaire

......Si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, orientée par $\;{\vec {u}}_{z}$,

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\quad$ avec $\quad dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;$.

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;a\;$ repéré en cylindro-polaire

......Si la surface est la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;a$, laquelle est orientée par $\;{\vec {u}}_{\rho }$,

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }\quad$ avec $\quad dS_{M}=a\;d\theta \;dz\;$.

Expressions en paramétrage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire d'une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ repérée en sphérique

......Si la surface est une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$, orientée par $\;{\vec {u}}_{r}$,

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}\quad$ avec $\quad dS_{M}=a^{2}\,\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$.

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire de la surface latérale d'un cône de révolution de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha \;$ repéré en sphérique

......Si la surface est la surface latérale d'un cône de révolution de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha$, laquelle est orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }$,

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\theta }\quad$ avec $\quad dS_{M}=r\,\sin(\alpha )\;d\varphi \;dr\;$.

Notions d'intégrale surfacique

......Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » vue au chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », mais dans les intégrales surfaciques le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe.

Les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation

......Dans une intégrale surfacique (ou de surface) on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction $-$ scalaire ou vectorielle $-$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » $\;(S)\;$ usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ;

............la contribution élémentaire d'une fonction scalaire $\;f(M)\;$ est $\;f(M)\;dS_{M}\;$ où $\;dS_{M}\;$ est l'aire élémentaire en $\;M\;$ sur $\;(S)\;$ et

............celle d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ est le flux élémentaire du champ vectoriel $\;\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ où $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ est le vecteur surface élémentaire en $\;M\;$ sur $\;(S)$ ;

............les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant $\;(\Gamma )\;$ la courbe fermée limitant la portion de surface sur $\;(S)$, respectivement : $\;\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}f(M)\;dS_{M}\;$ ou $\;\Phi _{(S)_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ définissant le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface ;

............après le choix d'un paramétrage de $\;M\;$ sur la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}$, paramètres notés $\;(p,\,q)\;$, l'évaluation de l'intégrale surfacique revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle :

..................on fige alors un des paramètres par exemple $\;p\;$ et on intègre sur l'autre $\;q\;$ entre les bornes qui dépendent en général du premier paramètre figé $\;p$, le résultat de cette première intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé $\;p$, puis

..................on libère ce paramètre $\;p\;$ et on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales $\;(\Gamma )\;$ de la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}$ ;

............dans le cas où la première intégrale sur le paramètre $\;q\;$ se fait entre des bornes qui dépendent du paramètre figé $\;p$, les deux intégrales sont dites « emboîtées » , le calcul de la deuxième intégrale nécessitant de connaître le résultat de la première …

............et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une première intégration n'aboutissant pas , la deuxième ne peut être faite mais …
..................un « théorème de Fubini » précisant qu'il est possible de permuter les intégrations , la modification de l'ordre d'intervention des paramètres peut conduire à une évaluation aboutissant [on fige d'abord le paramètre $\;q\;$ et on intègre sur l'autre paramètre $\;p\;$ entre les bornes dépendant de $\;q$, si cette première intégration aboutit, on peut alors intégrer sur $\;q\;$ entre des bornes qui dépendent des limites spatiales $\;(\Gamma )\;$ de la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}{\big ]}$.

Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle

Schéma précisant la portion de disque (entre corde et arc de cercle) dont on calcule l'aire

......On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon $\;R\;$ et de centre $\;O$, la corde étant à la distance $\;a\;$ de ce dernier c'est-à-dire calculer l'intégrale surfacique $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}dS_{M}\;$ (voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé) :

• choix du « paramétrage de la surface »  : repérage polaire de pôle $\;O$, centre du cercle, l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant porté par la médiatrice de la corde, orienté de la corde vers l'arc, d'où $\;dS_{M}=\rho \,d\rho \,d\theta \;$ et $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=$ $\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}\rho \,d\rho \,d\theta$,
• figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le premier paramètre figé :

............$\succ$ on fige $\;\rho \;$ et on intègre sur $\;\theta \;$ de $\;-\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$ à $\;+\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$, $\;\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$ étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et du cercle de rayon $\;\rho \;$ soit $\;\theta _{\text{lim}}(\rho )=\arccos \!\left({\dfrac {a}{\rho }}\right)\;$ puis
................on intègre sur $\;\rho \;$ de $\;a\;$ à $\;R\;$ 
................d'où la succession d'intégrales emboîtées $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{a}^{R}{\rho \left[\displaystyle \int _{-\theta _{\text{lim}}(\rho )}^{+\theta _{\text{lim}}(\rho )}d\theta \right]d\rho }$ ;

................la première intégration sur $\;\theta \;$ ne présentant aucune difficulté on obtient $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{a}^{R}\rho \left[2\,\theta _{\text{lim}}(\rho )\right]d\rho =\displaystyle \int _{a}^{R}2\,\rho \,\arccos \!\left({\dfrac {a}{\rho }}\right)d\rho$, le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé , on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ;

............$\succ$ on fige $\;\theta \;$ et on intègre sur $\;\rho \;$ de $\;\rho (\theta )\;$ à $\;R$, $\;\rho (\theta )\;$ étant la distance séparant $\;O\;$ du point de la corde d'angle polaire $\;\theta \;$ (voir schéma ci-dessus) soit $\;\rho (\theta )={\dfrac {a}{cos(\theta )}}\;$ puis
................on intègre sur $\;\theta \;$ de $\;-\alpha \;$ à $\;+\alpha \;$ 
................d'où la succession d'intégrales emboîtées $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left[\displaystyle \int _{\rho (\theta )}^{R}\rho \;d\rho \right]d\theta }$ ;

.................la première intégration sur $\;\rho \;$ ne présentant aucune difficulté on obtient $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left\lbrace \left[{\dfrac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{\rho (\theta )}^{R}\right\rbrace d\theta }=$ $\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left\lbrace {\dfrac {R^{2}-\left[\rho (\theta )\right]^{2}}{2}}\right\rbrace d\theta }\;$ conduisant à la deuxième intégrale $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left[{\dfrac {R^{2}}{2}}-{\dfrac {a^{2}}{2\,\cos ^{2}(\theta )}}\right]d\theta }\;$ dont le calcul ne pose a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\theta )}}\;$ est $\;\tan(\theta )\;$ d'où $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\left[{\dfrac {R^{2}}{2}}\,\theta -{\dfrac {a^{2}}{2}}\,\tan(\theta )\right]_{-\alpha }^{+\alpha }=R^{2}\,\alpha -a^{2}\,\tan(\alpha )\;$ avec $\;\alpha \;$ se déterminant dans le triangle rectangle $\;OHA\;$ où $\;A\;$ est l'extrémité supérieure de la corde et $\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;O\;$ sur cette dernière soit $\;\alpha =\arccos \!\left({\dfrac {a}{R}}\right)\;$ et $\;\tan(\alpha )={\dfrac {HA}{OH}}=$ ${\dfrac {\sqrt {OA^{2}-OH^{2}}}{OH}}={\dfrac {\sqrt {R^{2}-a^{2}}}{a}}\;$ soit finalement

$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=R^{2}\,\arccos \!\left({\dfrac {a}{R}}\right)-a\,{\sqrt {R^{2}-a^{2}}}\;$.

Exemples d'aire de surface classique

......Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la portion de surface dont on cherche l'aire  ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation .

À retenir $\rightsquigarrow$ Aire de surfaces classiques

......Aire d'un disque de rayon $\;R\;$ :............$\;{\mathcal {A}}_{\text{disque}}=\pi \,R^{2}$,
......Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H\;$ :
..................Aire d'un disque de rayon ~R~$\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}=2\,\pi \,R\,H\;$,
......Aire d'une sphère de rayon $\;R\;$ :.........$\;{\mathcal {A}}_{\text{sphère}}=4\,\pi \,R^{2}\;$.

......Établissement de l'aire d'un disque de rayon R : on utilise le repérage polaire, $\;\theta \;$ variant de 0 à $\;2\,\pi \;$ et $\;\rho \;$ de 0 à $\;R\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon $\;{\mathcal {A}}_{\text{disque}}=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \,d\rho \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta$.

......Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H : on utilise le repérage cylindro-polaire, $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ étant suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, $\;dS=dM_{\theta }\,dM_{z}=R\,d\theta \,dz$, $\;\theta \;$ variant de 0 à $\;2\,\pi \;$ et $\;z\;$ de 0 à $\;H\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon $\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{H}dz\times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R\,d\theta$.

......Établissement de l'aire d'une sphère de rayon R : on utilise le repérage sphérique, $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ étant suivant $\;{\vec {u}}_{r}$, $\;dS=dM_{\theta }\,dM_{\varphi }=R^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi$, $\;\theta \;$ variant de 0 à $\;\pi \;$ et $\;\varphi \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon $\;{\mathcal {A}}_{\text{sphère}}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\,d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R^{2}\,d\varphi =$ $\left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\pi }\times \left(2\,\pi \,R^{2}\right)$ $=2\times \left(2\,\pi \,R^{2}\right)$.

......Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur H et de demi-angle au sommet α : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône O » et d'axe « l'axe de révolution du cône Oz orienté du sommet vers la base » , $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ étant suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;dS=$ $dM_{r}\,dM_{\varphi }=$ $r\,\sin(\alpha )\,dr\,d\varphi$, $\;\varphi \;$ variant de 0 à $\;2\,\pi \;$ et $\;r\;$ de 0 à $\;{\dfrac {H}{\cos(\alpha )}}\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon $\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{\frac {H}{\cos(\alpha )}}r\,dr\times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin(\alpha )\,d\varphi =\left[{\dfrac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{\frac {H}{\cos(\alpha )}}\times \left[2\,\pi \,\sin(\alpha )\right]$ $={\dfrac {H^{2}}{\cos ^{2}(\alpha )}}\times \pi \,\sin(\alpha )=\pi \,H^{2}\,{\dfrac {\tan(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\;$.

Exemple de calcul de flux de champ vectoriel

Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface

......Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » associé au transport de la puissance lumineuse solaire ;
......l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle [c'est une onde électromagnétique $\;({\vec {E}},\,{\vec {B}})\;$ définie en chaque point $\;M\;$ de l'espace et à chaque instant $\;t$, constituée d'une multitude de composantes monochromatiques], elle se propage dans le vide à la célérité $\;c\;$ de façon isotrope  ;

......à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ se propageant dans la direction $\;{\vec {u}}$, on associe un vecteur d'onde $\;{\vec {k}}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{0}}}\,{\vec {u}}$, la direction de ce dernier correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et étant $\;\perp$ à $({\vec {E}},\,{\vec {B}})\;$ ;

......la puissance lumineuse associée à son transport est caractérisée par un vecteur « le vecteur de Poynting » défini à partir des deux composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde selon $\;{\vec {\Pi }}={\dfrac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\;$, lequel $-$ l'onde dans le vide étant transversale $-$ est colinéaire à $\;{\vec {k}}$, c'est-à-dire porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ;

......la norme du vecteur de Poynting d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse que cette composante transporte par unité de surface de section droite et si on souhaite « définir la puissance correspondante reçue par une surface » il convient qu'elle soit définie « à partir du vecteur de Poynting de cette composante » mais aussi « à partir de son orientation relativement à la surface » , d'où la définition de la puissance (instantanée) reçue par la surface $\;(S)\;$ comme « flux du vecteur de Poynting à travers cette surface (S) orientée » $\;\Phi _{(S)}\!\left({\vec {\Pi }},\,t\right)=\displaystyle \iint _{(S)}\left[{\vec {\Pi }}(M,\,t)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\right]\;$.

Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés

......On se propose de calculer le flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\;$ à travers « une calotte sphérique » $\;(S)_{\text{calotte}}\;$ de centre $\;O$, de rayon $\;R\;$ et de demi-angle d'ouverture $\;\alpha \;$ ;

......compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle O et d'axe Oz » s'impose, le point $\;M\;$ de la calotte étant de coordonnées sphériques $\;(R,\,\theta ,\,\varphi )\;$ avec $\;\theta \;$ variant de 0 à $\;\alpha \;$ et $\;\varphi \;$ de 0 à $\;2\,\pi$, le vecteur surface élémentaire au point $\;M\;$ étant $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=$ $R^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \,{\vec {u}}_{r}\;$ et le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ ayant pour composantes sphériques dans la base locale de $\;M$, $\;{\vec {A}}(M)=A_{0}\,{\vec {u}}_{z}=$ $A_{0}\,\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{r}-A_{0}\,\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }$ ;

......le flux de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers $\;(S)_{\text{calotte}}\;$ étant défini par $\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\!\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\!\cdot \left[R^{2}\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \,{\vec {u}}_{r}\right]\;$ se calcule par $\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,\cos(\theta )\,R^{2}\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi =\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\left\lbrace A_{0}\,R^{2}\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\left[\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi \right]d\theta \right\rbrace \;$ soit encore, l'intégrale sur $\;\varphi \;$ valant $\;2\,\pi$, $\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }2\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\,d\theta$, cette dernière intégrale pouvant se calculer entre autres par linéarisation selon $\;\displaystyle \int _{0}^{\alpha }2\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\,d\theta =\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(2\,\theta )\,d\theta =\left[{\dfrac {-\cos(2\,\theta )}{2}}\right]_{0}^{\alpha }={\dfrac {1-\cos(2\,\alpha )}{2}}\;$ soit $\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,{\dfrac {1-\cos(2\,\alpha )}{2}}\;$ que l'on peut encore écrire, à l'aide de formule trigonométrique $\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )$.

Notion de surface élémentaire semi-intégrée

......Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :

• quand la fonction à intégrer f(M) sur une sphère (S) de rayon R ne dépend pas de la longitude φ (mais dépend de la colatitude θ), on peut envisager une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches θ et θ + dθ comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire $\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}=2\,\pi \,R\,\sin(\theta )\,R\,d\theta \;$ résultant de l'intégration sur $\;\varphi \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=R\,\sin(\theta )\,d\varphi \,R\,d\theta \;$ ;
  ......$\left.{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint _{(S)}f(\theta )\,dS\\\\\end{array}}\right.\;$ peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\theta )\,dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}\;$ ou encore $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\theta )\,2\,\pi \,R\,\sin(\theta )\,R\,d\theta \;$ ;
• quand la fonction à intégrer f(M) sur la surface latérale d'un cône de révolution (K) de sommet O, d'axe Oz et de demi-angle au sommet α ne dépend pas de la longitude φ (mais dépend du rayon polaire r), on peut envisager une « couronne tronconique élémentaire comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches r et r + dr comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire $\;dS_{{\text{couronne tronconique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=$ $2\,\pi \,r\,\sin(\alpha )\,dr\;$ résultant de l'intégration sur $\;\varphi \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=r\,\sin(\alpha )\,d\varphi \,dr\;$ ;
  ......$\;\displaystyle \iint _{(K)}f(r)\,dS\;$ peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée $\;\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}}f(r)\,dS_{{\text{couronne troncon. sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$ ou encore $\;\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}}f(r)\,2\,\pi \,r\,\sin(\alpha )\,dr\;$ ;
• quand la fonction à intégrer f(M) sur un tuyau cylindrique de révolution (T) d'axe Oz, de rayon R et de hauteur H ne dépend pas de l'abscisse angulaire θ (mais dépend de la cote z), on peut envisager un « tuyau cylindrique élémentaire compris entre les deux cotes infiniment proches z et z + dz comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire $\;dS_{{\text{tuyau cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=2\,\pi \,R\,dz\;$ résultant de l'intégration sur $\;\theta \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=R\,d\theta \,dz\;$ ;
  ......$\;\displaystyle \iint _{(T)}f(z)\,dS\;$ Peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée $\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,dS_{{\text{tuyau cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}\;$ ou encore $\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,2\,\pi \,R\,dz\;$.

Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)

Définition

......L'élément de volume en un point $\;M\;$ de l'« expansion tridimensionnelle » $\;({\mathcal {V}})$, noté $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$, est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en $\;M\;$ de cette expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})$, $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}$, $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{3}}}\;$ selon

$\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{3}}}\;$ .

Propriété

......Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{2}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{3}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{1}}}\\{\text{ou encore}}\\d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{3}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{1}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{2}}}\end{array}}\right.$.

Pratique courante

......À partir d'une base orthonormée « directe » $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})$, on considère le plus souvent les déplacements élémentaires de $\;M\;$ de cette expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ construits le long de chacun des vecteurs de base, soit $\;{\overrightarrow {dM}}_{1}=dM_{1}\,{\vec {u}}_{1}$, $\;{\overrightarrow {dM}}_{2}=dM_{2}\,{\vec {u}}_{2}$, $\;{\overrightarrow {dM}}_{3}=dM_{3}\,{\vec {u}}_{3}\;$ et on en déduit l'élément de volume en $\;M$, $\;d{\mathcal {V}}_{M}=dM_{1}\,dM_{2}\,dM_{3}\left({\vec {u}}_{1}\wedge {\vec {u}}_{2}\right)\!\cdot {\vec {u}}_{3}\;$ soit encore, avec $\;\left({\vec {u}}_{1}\wedge {\vec {u}}_{2}\right)\!\cdot {\vec {u}}_{3}=1\;$,

$\;d{\mathcal {V}}_{M}=dM_{1}\,dM_{2}\,dM_{3}$.

Expression en paramétrage cartésien

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en cartésien

$\;d{\mathcal {V}}_{M}=dx\;dy\;dz\;$.

Expression en paramétrage cylindro-polaire

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en cylindro-polaire

$\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;dz\;$.

Expression en paramétrage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en sphérique

$\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;dr\;d\theta \;d\varphi \;$.

Notions d'intégrale volumique

......Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » du chapitre$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou « celle des intégrales surfaciques » vue ci-dessus dans ce chapitre mais ......…......dans les intégrales volumiques, le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle au lieu de se déplacer sur une courbe ou une surface.

Les deux types d'intégrale volumique

......Dans une intégrale volumique (ou de volume) on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction $-$ scalaire ou vectorielle $-$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » $\;({\mathcal {V}})\;$ usuellement limitée par « une surface continue fermée » ;

............la contribution élémentaire d'une fonction scalaire $\;f(M)$ est $\;f(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ où $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ est le volume élémentaire en $\;M\;$ de $\;({\mathcal {V}})\;$ et

...........la contribution élémencelle d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ est $\;\delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {A}}_{V}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ où $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ est toujours le volume élémentaire en $\;M\;$ de $\;({\mathcal {V}})$ ;

............les intégrales volumiques s'écrivent alors respectivement : $\;\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}f(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}$ , $\;(\Sigma )\;$ étant la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle de $\;({\mathcal {V}})$, ou

............les intégrales volumiques s'écrivent alors respectivement : $\;{\vec {\mathcal {A}}}\!\left[({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\right]=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}{\vec {A}}_{V}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ définissant le champ vectoriel $\;{\vec {\mathcal {A}}}\;$ de cette portion d'expansion tridimensionnelle dont le champ vectoriel $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ est la densité volumique ;

............après le choix d'un paramétrage de $\;M\;$ dans la portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}$, paramètres notés $\;(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\;$, l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle, la méthode étant identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique et rappelée au paragraphe suivant.

Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique

Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle

......Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\;$ par $\;p_{1}$, $\;p_{2}\;$ et $\;p_{3}$, on procède comme suit :

............on fige deux des paramètres par exemple $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}\;$ et on intègre sur le dernier $\;p_{3}\;$ entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, deux premiers paramètres figés $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, le résultat de cette première intégration dépendant dans ce cas de ces deux paramètres figés $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, puis

............on libère un seul des deux paramètres par exemple $\;p_{2}\;$ et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, du dernier paramètre figé $\;p_{1}$, le résultat de cette deuxième intégration dépendant dans ce cas du dernier paramètre figé $\;p_{1}$, enfin

............on libère le dernier paramètre $\;p_{1}\;$ et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent des limites spatiales de $\;p_{1}\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ de la portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}$ ;

......dans le cas où la première intégrale sur le paramètre $\;p_{3}\;$ se fait entre des bornes qui dépendent au moins d'un des paramètres figés $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, les trois intégrales sont dites « emboîtées » , le calcul des deux autres intégrales nécessitant de connaître le résultat de la première …

......et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une première intégration n'aboutissant pas , les deux autres ne peuvent être faites mais … ......un « théorème de Fubini » précisant qu'il est possible de permuter les intégrations , la modification de l'ordre d'intervention des paramètres peut conduire à une évaluation aboutissant.

Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle

......On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales sur un intervalle successives mais en une intégrale surfacique suivie d'un intégrale sur un intervalle, en effet figer un paramètre parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres paramètres, c'est-à-dire à une intégrale surfacique, cela peut donc être plus rapide si, dans l'intégrale surfacique, on reconnaît une intégrale de résultat connu, dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante :

............figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat connu (correspondant donc à une intégration sur les deux autres paramètres laissés libres), puis

............libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation.

Exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique

......Préliminaire : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle est une intégrale volumique de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la portion d'expansion tridimensionnelle dont on cherche le volume  ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.

À retenir $\rightsquigarrow$ Volume d'expansions tridimensionnelles classiques

......Volume d'un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H$ :

$\;{\mathcal {V}}_{\text{cylindre de révol.}}=\pi \,R^{2}\,H\;$

, ......Volume d'un cône de révolution de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R\;$ :

$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {\pi \,R^{2}\,H}{3}}\;$ ou
$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {1}{3}}\,{\mathcal {V}}_{{\text{cylindre de révol. de }}{\hat {\text{m}}}{\text{ param.}}}\;$,

......Volume d'une boule de rayon $\;R$ :

$\;{\mathcal {V}}_{\text{boule}}={\dfrac {4}{3}}\,\pi \,R^{3}\;$.

......Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H : on utilise le repérage cylindro-polaire, le volume élémentaire étant $\;d{\mathcal {V}}_{M}$ $=\rho \,d\rho \,d\theta \,dz\;$ avec $\;\theta \;$ variant de 0 à $\;2\,\pi$, $\;\rho \;$ de 0 à $\;R\;$ et $\;z\;$ de 0 à $\;H\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon $\;{\mathcal {V}}_{\text{cylindre de révol.}}$ $=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \,d\rho \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{H}dz\;$.

......Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur H et dont la base est de rayon R : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône O » et d'axe « l'axe de révolution Oz orienté vers la base du cône » , le volume élémentaire étant $\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\,dr\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi$, toutefois les intégrales seront partiellement emboîtées ;
............on fige $\;r\;$ et $\;\theta$, on intègre sur $\;\varphi \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ puis
............on libère $\;r\;$ en laissant $\;\theta \;$ figé et on intègre sur $\;r\;$ de 0 à $\;r_{\text{max}}(\theta )\;$ et enfin
............on intègre sur $\;\theta \;$ de 0 à $\;\alpha \;$, soit
............$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}=\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\left[\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}(\theta )}r^{2}\,dr\right]d\theta \right\rbrace \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi =2\,\pi \,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\,{\dfrac {\left[r_{\text{max}}(\theta )\right]^{3}}{3}}\,d\theta ={\dfrac {2\,\pi }{3}}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\,{\dfrac {H^{3}}{\cos ^{3}(\theta )}}\,d\theta =$ ${\dfrac {2\,\pi \,H^{3}}{3}}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\dfrac {d\left[-\cos(\theta )\right]}{\cos ^{3}(\theta )}}={\dfrac {2\,\pi \,H^{3}}{3}}\left[{\dfrac {1}{2\,\cos ^{2}(\theta )}}\right]_{0}^{\alpha }\;$ ou encore $\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {\pi \,H^{3}}{3}}\left[{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}-1\right]={\dfrac {\pi \,H^{3}}{3}}\,\tan ^{2}(\alpha )\;$ soit finalement, en éliminant $\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{H}}\;$ le résultat énoncé.

......Établissement du volume d'une boule de rayon R : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule O », le volume élémentaire étant $\;d{\mathcal {V}}_{M}$ $=r^{2}\,dr\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi$, $\;\varphi \;$ variant de 0 à $\;2\,\pi$, $\;\theta \;$ variant de 0 à $\;\pi \;$ et $\;r\;$ de 0 à $\;R\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon $\;{\mathcal {V}}_{\text{boule}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{R}r^{2}\,dr\times \displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\,d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi ={\dfrac {R^{3}}{3}}\times \left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\pi }\times 2\,\pi ={\dfrac {R^{3}}{3}}\times 2\times 2\,\pi \;$.

Autres exemples d'intégrale volumique

......$\;f(M)\;$ peut être une grandeur scalaire volumique comme la masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ ou la charge volumique $\;\rho (M)={\dfrac {dq}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ s'exprimant respectivement en $\;kg\!\cdot \!m^{-3}\;$ ou en $\;C\!\cdot \!m^{-3}$, permettant de calculer la masse ou la charge de l'expansion volumique respectivement par l'intégrale volumique $\;m_{({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ou $\;q_{({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}$ ;

......$\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ peut être une grandeur vectorielle volumique comme le poids volumique $\;\mu (M)\,{\vec {g}}={\dfrac {dm\,{\vec {g}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ ou la force électrique volumique $\;\rho (M)\,{\vec {E}}={\dfrac {dq\,{\vec {E}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ s'exprimant en $\;N\!\cdot \!m^{-3}$, permettant de calculer le poids de l'expansion volumique ou la force électrique s'exerçant sur elle respectivement par l'intégrale volumique $\;m_{({\mathcal {V}})}\,{\vec {g}}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\,{\vec {g}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ou $\;{\vec {F}}_{{\text{élec sur }}({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\,{\vec {E}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$.

Notion de volume élémentaire semi-intégré

Présentation

......Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré » peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples :

• quand la fonction à intégrer f(M) sur une boule (B) de rayon R ne dépend ni de la longitude φ, ni de la colatitude θ (mais dépend du rayon r), on peut envisager une « couche sphérique élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment proches r et r + dr comme volume élémentaire semi intégré » , de volume $\;d{\mathcal {V}}_{{\text{couche sphérique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=4\,\pi \,r^{2}\,dr\;$ résultant de l'intégration sur $\;\varphi \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ et sur $\;\theta \;$ de 0 à $\;\pi \;$ du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=r^{2}\,\sin(\theta )\,d\varphi \,d\theta \,dr\;$ ;
  ......$\;\displaystyle \iiint _{(B)}f(r)\,d{\mathcal {V}}\;$ peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré $\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{couche sphérique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$ ou encore $\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,4\,\pi \,r^{2}\,dr\;$ ;
• quand la fonction à intégrer f(M) sur un cylindre de révolution (C) d'axe Oz, de rayon R et de hauteur H ne dépend pas ni du rayon polaire ρ ni de l'abscisse angulaire θ (mais dépend de la cote z), on peut envisager une « tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment proches z et z + dz comme volume élémentaire semi intégré » , de volume $\;d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=\pi \,R^{2}\,dz\;$ résultant de l'intégration sur $\;\theta \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ et sur $\;\rho \;$ de 0 à $\;R\;$ du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=\rho \,d\theta \,d\rho \,dz\;$ ;
  ......$\;\displaystyle \iiint _{(C)}f(z)\,d{\mathcal {V}}\;$ peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré $\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylind. sur }}\left[z,\,z+dz\right]}\;$ ou encore $\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,\pi \,R^{2}\,dz\;$ ;
• quand la fonction à intégrer f(M) sur un cylindre de révolution (C) d'axe Oz, de rayon R et de hauteur H ne dépend pas ni de la cote z ni de l'angle polaire θ (mais dépend du rayon polaire r), on peut envisager une « couche cylindrique élémentaire de hauteur H comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches r et r + dr comme volume élémentaire semi intégré » , de volume $\;d{\mathcal {V}}_{{\text{couche cylindrique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=$ $2\,\pi \,r\,H\,dr\;$ résultant de l'intégration sur $\;\theta \;$ de 0 à $\;2\,\pi \;$ et sur $\;z\;$ de 0 à $\;H\;$ du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=\rho \,d\theta \,d\rho \,dz\;$ ;
  ......$\;\displaystyle \iiint _{(C)}f(r)\,d{\mathcal {V}}\;$ peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré $\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{couche cylind. sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$ ou encore $\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,2\,\pi \,r\,H\,dr\;$.

Application au calcul du volume d'un cône de révolution

Demi-coupe d'un cône de révolution avec utilisation du repérage cylindro-polaire pour évaluer son volume

......Soit à calculer le volume d'un cône de révolution $\;(K)\;$ de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R\;$ en utilisant le « repérage cylindro-polaire » de pôle $\;O$, le sommet du cône et d'axe $\;Oz$, l'axe de révolution orienté du sommet vers la base ;
......l'équation de la génératrice située dans le demi-plan méridien repéré par $\;\theta \;$ étant « indépendante de θ » plus précisément valant $\;\rho (z)=z\;\tan(\alpha )\;$ où $\;\alpha \;$ est le demi-angle au sommet du cône, la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ est de valeur 1 pour toute valeur de $\;\theta _{M}\;$ à condition que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{M}\leqslant \rho (z)\\z_{M}=z\end{array}}\right.\;$ c'est-à-dire qu'étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte z, de rayon ρ(z) et d'épaisseur dz » , il est possible de considérer cette dernière comme « volume semi-intégré » de volume $\;d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=$ $\pi \,\left[\rho (z)\right]^{2}\,dz\;$ soit $\;{\mathcal {V}}_{(K)}=\displaystyle \iiint _{(K)}d{\mathcal {V}}=\displaystyle \int _{0}^{H}d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=\displaystyle \int _{0}^{H}\pi \,\left[\rho (z)\right]^{2}\,dz=$ $\pi \,\tan ^{2}(\alpha )\,\displaystyle \int _{0}^{H}z^{2}\,dz=\pi \,\tan ^{2}(\alpha )\,{\dfrac {H^{3}}{3}}\;$ ou, en éliminant $\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{H}}$, $\;{\mathcal {V}}_{(K)}={\dfrac {1}{3}}\,\pi \,R^{2}\,H$.