Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation

**Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 23
Chap. préc. :	Portrait de phase d'un système dynamique
Chap. suiv. :	Barycentre d'un système de points

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace^[1] pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée, mais elle fut découverte par Leonhard Euler^[2].

Transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ ayant les propriétés suivantes :

« les valeurs de la fonction sont nulles pour $\;t<0\;$ »^[3] ${\big (}$ la fonction est alors qualifiée de « causale »^[4] ${\big )}$ ,
« la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$ »^[5]^,^[6],
« au voisinage de $\;t=0$ , $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$ »^[7] et
« la fonction est “ d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$ ” avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$ », $\Leftrightarrow$ « $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha ,\;\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <M,\;\;\forall \,t>\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$ »^[8].

Définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) ci-dessus[modifier | modifier le wikicode]

Définition

La transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction

\;f(t)

« causale »^[4]^,^[9], continue par morceaux sur tout intervalle

\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;

^[5], intégrable au

\;{\mathcal {V}}(0)\;

^[10] et « d'ordre exponentiel

\;\alpha \;

»^[11] est la fonction

\;F\;

de la variable complexe

\;p\;

^[12] définie par «

\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;

»^[13]
définie pour «

\;p\in \mathbb {C} \;

tel que

\;\Re (p)>\alpha \;

»,

\;\alpha \;

étant appelée l'« abscisse de convergence » ;
on dit encore que

\;F(p)\;

est l'« image de

\;f(t)\;

» par transformation de Laplace^[1].

Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] d'une fonction à support positif^[14] à celles

Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$ monolatérale $\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c'est-à-dire de support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ où $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est un voisinage ouvert à gauche de $\;0$ , borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;$ dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable^[15] et

Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$ monolatérale $\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une distribution $\;{\big (}$ la distribution devant être telle que l'intégrale de définition^[16] de sa transformée de Laplace^[1] converge^[17] ${\big )}$ .

Premiers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

« Fonction de Heaviside^[18] $\;{\big (}$ ou échelon unité ${\big )}$ $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[19]
en effet le calcul conduit à « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt=\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }={\dfrac {1}{p}}\;$ »^[13].
« Pic de Dirac^[20] d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>0\\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=0\\0\qquad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t)\;$ »^[21] $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$ »^[22]
en effet, si $\;\Re (p)\;$ est $\;>0$ , on a « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {Y}}(t)\;dt\;$ »^[13] donnant « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace ={\cancel {\left[\exp(-p\,t)\;Y(t)\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\,\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt\;$ ^[13] en intégrant par parties^[16]^,^[23] soit $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =p\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt\;$ ^[13] $\;=p\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }=p\;{\dfrac {1}{p}}=1\;$ » mais le résultat reste le même
en effet si $\;\Re (p)\;$ est $\;\leqslant 0$ , ce qui s'établit en utilisant une autre démonstration que l'intégration par parties^[24]^,^[25].
« Fonction rampe $\;f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[26]
en effet le calcul conduit à « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f_{\text{rampe}}(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;a\;t\;dt\;$ ^[13] donnant $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;t\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;dt\;$ ^[13] en intégrant par parties^[23] soit $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p}}\;\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{-}}^{+\infty }={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ dès lors que $\;\Re (p)\;$ est $\;>0\;$ ».

Principales propriétés des transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème d'unicité (admis)

« Dans la mesure où elle existe, la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] d'une fonction $\;{\big (}$ ou d'une distribution ${\big )}\;$ est unique ».

Linéarité de la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soient « $\;f_{1}(t)\;$ et $\;f_{2}(t)\;$ deux fonctions $\;{\big (}$ ou distributions ${\big )}\;$ » admettant pour « transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] respectives $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;$ et $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$ », avec
     Soient « $\;\color {transparent}{f_{1}(t)}\;$ et $\;\color {transparent}{f_{2}(t)}\;$ « $\;\alpha =\max \left\lbrace \alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\rbrace \;$ la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] et
     Soient « $\;a\;$ un réel non nul quelconque »,
     on démontre les propriétés suivantes $\;{\big \{}$ ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction $\;{\big (}$ ou la distribution ${\big )}\;$ à sa transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] ${\big \}}$ :

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)+f_{2}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace +{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;

» pour «

\;\Re (p)>\alpha \;

»
et
«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{1}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;

» pour «

\;\Re (p)>\alpha _{1}\;

» ou «

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{2}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;

» pour «

\;\Re (p)>\alpha _{2}\;

».

Conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ »,
Soit $\;{\dot {f}}(t)\;$ la dérivée de la fonction $\;{\big (}$ ou dérivée de la distribution^[16] ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha '\;$ »^[13] avec « $\;\alpha '\;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dérivée de la dite fonction $\;{\big (}$ ou de celle de la distribution^[27] ${\big )}\;$ »^[28] ;

nous établissons ci-après la propriété suivante

Influence de la dérivation sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

étant

\;{\big (}

dans la mesure où elle existe

{\big )}\;

la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

\;f(t)\;

» d'« abscisse de convergence

\;\alpha \;

» et
«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace \;

celle de la dérivée de la fonction

\;{\big (}

ou de la dérivée de la distribution^[27]

{\big )}

\;{\dot {f}}(t)\;

» d'« abscisse de convergence

\;\alpha '\;

^[28] »,
ces deux transformées de Laplace^[1] sont liées par la relation suivante : «

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{-})\;

pour

\;\Re (p)>\alpha \;

» si «

\;{\dot {f}}(t)\;

diverge en

\;t=0\;

^[29] »^[30]
ou
«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{+})\;

pour

\;\mathbb {R} (p)>\alpha \;

» si «

\;{\dot {f}}(t)\;

converge en

\;t=0\;

^[31] ».

Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ ^[13]^,^[32] dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ » c'est-à-dire « $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ »,
Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où « $\;{\dot {f}}(t)\;$ est la dérivée d'une distribution^[16] ou d'une fonction, dérivée divergeant en $\;t=0\;$ », on procède en intégrant par parties^[32]^,^[23] et on obtient « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[13] $=-f(0^{-})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ »^[33] alors que

Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où « $\;{\dot {f}}(t)\;$ est la dérivée d'une fonction, dérivée convergeant en $\;t=0\;$ », on peut affirmer « $\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt=0\;$ » dans la mesure où « $\;{\dot {f}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce^[34] ou continue en $\;t=0\;$ »^[35] d'où « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;+}}\,\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ »^[13] $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ »^[13] que l'on intègre par parties^[23] selon « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{+}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=$ $-f(0^{+})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ »^[33]^,^[36].

Conséquence de l'intégration sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ »,
Soit $\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$ la primitive de la fonction $\;{\big (}$ ou primitive de la distribution^[16] ${\big )}\;$ s'annulant en $\;t=0\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =$ $\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha ''\;$ »^[13] avec « $\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la primitive de la dite fonction $\;{\big (}$ ou de celle de la distribution^[27] ${\big )}\;$ »^[37] ;

nous établissons ci-après la propriété suivante

Influence de l'intégration sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

étant

\;{\big (}

dans la mesure où elle existe

{\big )}\;

la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

\;f(t)\;

» d'« abscisse de convergence

\;\alpha \;

» et
«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;

celle de la primitive de la fonction

\;{\big (}

ou de la primitive de la distribution^[27]

{\big )}

\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;

s'annulant en

\;t=0\;

» d'« abscisse de convergence

\;\alpha ''\;

^[37] »,
ces deux transformées de Laplace^[1] sont liées par la relation suivante : «

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace ={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;

pour

\;\Re (p)>\alpha ''\;

».

Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$ ^[13]^,^[32] dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$ » c'est-à-dire « $\;\Re (p)>\alpha ''\;$ avec $\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$ »,
Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ on procède en intégrant par parties^[32]^,^[23] et on obtient « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;f(t)\;dt\;$ ^[13] $={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;$ »^[38].

Conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ »,
Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ résultant de la translation $\;t'=t-t_{0}\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;t_{0}>0\;$ ^[39] et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(t'+t_{0})\right]\,f(t')\;dt'\;$ ^[27]^,^[13] avec la même condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[40] ;

nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « théorème du retard »

Théorème du retard
[ou influence d'une translation en t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

étant

\;{\big (}

dans la mesure où elle existe

{\big )}\;

la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

\;f(t)\;

» d'« abscisse de convergence

\;\alpha \;

» et
«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;

celle de la translatée de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

\;f'(t)=f(t-t_{0})\;

avec

\;t_{0}>0\;

»^[39]

\;{\Big [}{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =

{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \!{\Big ]}\;

de « même abscisse de convergence

\;\alpha \;

^[40] »,
ces deux transformées de Laplace^[1] sont liées par la relation suivante : «

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \;

avec

\;t_{0}>0\;

=\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

pour

\;\Re (p)>\alpha \;

»,
le facteur

\;\exp(-p\;t_{0})

étant appelé « facteur retard ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t-t_{0})\;dt=\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$ ^[13]^,^[32] dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ » c'est-à-dire « $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ »^[40],
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;>0\;$ » on décompose l'intervalle d'intégration^[32] $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ sur la variable $\;u=t-t_{0}\;$ selon $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,0^{-}\right[\cup \left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ et on obtient « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$ »^[13] dans laquelle la 1^ère intégrale entre crochets est nulle $\;{\big [}$ la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f(t)\;$ étant à support positif ${\big ]}\;$ et la 2^nde égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ d'où « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ » ou
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;<0\;$ » on étend l'intervalle d'intégration^[32] $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ sur la variable $\;u=t-t_{0}\;$ selon $\;\left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ en soustrayant $\;\left[0^{-}\,,\,-t_{0}^{-}\right[\;$ et on obtient « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{-t_{0}^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{t_{0}^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$ »^[13] dans laquelle la 1^ère intégrale entre crochets est égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ et la 2^nde est non nulle $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \neq \exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ même pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ » d'où la nécessité d'exiger $\;t_{0}>0$ .

Conséquence d'un changement d'échelle de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ »,
Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ résultant du changement d'échelle $\;t'=k\;t\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;k>0\;$ ^[41] $\;\neq 1\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt\;$ ^[27]^,^[13] avec pour condition de convergence $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$ »^[42] ;

nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « règle de similitude »

Règle de similitude [ou influence d'un changement d'échelle de t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

étant

\;{\big (}

dans la mesure où elle existe

{\big )}\;

la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

\;f(t)\;

» d'« abscisse de convergence

\;\alpha \;

» et
«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;

celle de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

résultant d'un changement d'échelle

\;f'(t)=f(k\;t)\;

avec

\;k>0\;

»^[41] et

\;\neq 1

\;{\Big [}{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!{\Big ]}\;

d'« abscisse de convergence

\;k\;\alpha \;

^[42] »,
ces deux transformées de Laplace^[1] sont liées par la relation suivante : «

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;

^[43] avec

\;k>0\;

et

\;\neq 1\;

={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[{\dfrac {p}{k}}\right]\;

^[44] pour

\;\Re (p)>k\;\alpha \;

».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;k\;t\right]\,f(k\;t)\;{\dfrac {d(k\;t)}{k}}\;$ ^[13]^,^[32] dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ » c'est-à-dire « $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ »^[42], ou encore,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace }\;$ en remplaçant $\;k\;t\;$ par $\;t'$ , on obtient « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;dt'\;$ »^[13] dans laquelle l'intégrale généralisée^[32] égale à « $\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$ ^[13]^[45] en posant $\;p'={\dfrac {p}{k}}\;$ s'identifie à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$ » d'où
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace }\;$ « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]$ $={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'={\dfrac {p}{k}}\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$ ».

Conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ »,
Soit $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ de $\;t\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ^[46] et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$ ^[27]^,^[13] avec pour condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha -a\;$ »^[47] ;

nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom de « règle de translation en $\;p\;$ »

Règle de translation en p [ou conséquence de la multiplication par une fonction exponentielle sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

étant

\;{\big (}

dans la mesure où elle existe

{\big )}\;

la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

\;f(t)\;

» d'« abscisse de convergence

\;\alpha \;

» et
«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;

celle de la fonction

\;{\big (}

ou distribution

{\big )}

résultant d'une multiplication par une fonction exponentielle

\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;

avec

\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;

»^[46]

\;{\Big [}{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!{\Big ]}\;

d'« abscisse de convergence

\;\alpha '=\alpha -a\;

^[47] »,
ces deux transformées de Laplace^[1] sont liées par la relation suivante : «

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;

^[43] avec

\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;

={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+a\right]\;

^[48] pour

\;\Re (p)>\alpha -a\;

^[47] ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$ ^[13]^,^[32] dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ » c'est-à-dire « $\;\Re (p)>\alpha -a\;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ »^[47], ou encore,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace }\;$ en remplaçant $\;p+a\;$ par $\;p'$ , on obtient « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$ »^[13] dans laquelle l'intégrale généralisée^[32] de variable complexe $\;p'\;$ s'identifie à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>\alpha -a\;$ » d'où
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace }\;$ « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'=p+a\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>\alpha -a\;$ ».

Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;>0\;$ » la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;t\;$ traduisant un « amortissement exponentiel de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ » et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] s'élargit » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a<\alpha \;$ » alors que
Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;<0\;$ » la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;t\;$ traduisant une « amplification exponentielle de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ » et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] s'amenuise » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a>\alpha \;$ ».

     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$ avec $\;{\underline {a}}=\Re ({\underline {a}})+i\,\Im ({\underline {a}})\;$ $\Rightarrow$ $\;\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)=\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\,\exp \!\left[-i\,\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;$ définissant une fonction complexe dont les parties réelle et imaginaire sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\\\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\end{array}}\right\rbrace$ ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)=\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\;$ » ${\big \{}$ résultat de la multiplication de la fonction ou $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ réelle $\;f(t)\;$ par l'exponentielle complexe ${\big \}}\;$ a pour « parties réelle et imaginaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\\\Im \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\end{array}}\right\rbrace$ » lesquelles admettent toutes deux une transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] sous la même « condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha '\;$ avec $\;\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$ »^[49] ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ de ce qui précède on peut déduire la « définition de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ d'une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)\;$ » à partir de celle des parties réelle et imaginaire de cette dernière selon $\;{\Bigg \langle }{\begin{array}{c}{\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\\{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\end{array}}{\Bigg \rangle }\;$ ^[50] $\Rightarrow$ « $\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace +i\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \;$ »^[51] ou encore
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ « $\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt+i\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;{\underline {f'}}(t)\;dt\;$ »^[13]^,^[32] c'est-à-dire la même définition que celle d'une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ réelle ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'établir « $\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \exp(-{\underline {a}}\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+{\underline {a}}\right]\;$ pour $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$ », la « convergence de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] complexe de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ complexe $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ nécessitant $\;\Re (p)>\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ ».

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Fonction holomorphe en une valeur du domaine de définition

Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$ » est dite « holomorphe en $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$ »

si, « pour $\;{\underline {z}}\in \Omega$ , $\;\lim \limits _{{\underline {z}}\,\rightarrow \,{\underline {z_{0}}}}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{{\underline {z}}-{\underline {z_{0}}}}}\;$ existe en étant indépendant de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$ », « cette limite définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ » et étant notée « $\;{\underline {F}}'({\underline {z_{0}}})\;$ ou $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$ »^[52] ou
en explicitant la direction d'approche, $\;{\big [}{\underline {h}}\;$ étant un complexe quelconque de module unité définissant une direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}{\big ]}$ , si « $\;\lim \limits _{u\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z_{0}}}+u\,{\underline {h}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{u}}\;$ existe $\;\forall \,{\underline {h}}\;$ ^[53] et est indépendant de $\;{\underline {h}}\;$ », « cette limite indepndante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$ définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ » et étant simplement notée $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$ »^[54].

Fonction holomorphe sur un ouvert du domaine de définition

Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$ » est dite « holomorphe sur $\;\Omega \;$ » si « elle est holomorphe en tout point de $\;\Omega \;$ » ;
on peut alors « définir la dérivée de $\;{\underline {F}}\;$ en tout $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$ »^[55].

     Remarques : Dans la mesure où la fonction complexe $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ est holomorphe sur l'ouvert $\;\Omega \;$ sur laquelle elle est définie, on peut
     Remarques : $\succ \;$ définir la « fonction complexe dérivée $\;{\underline {F}}'({\underline {z}})=D{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d{\underline {F}}}{d{\underline {z}}}}({\underline {z}})\;$ » et étudier son éventuelle holomorphie et si celle-ci est établie,
     Remarques : $\succ \;$ définir la « fonction complexe dérivée seconde $\;{\underline {F}}''({\underline {z}})=D^{2}{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d^{2}{\underline {F}}}{d{\underline {z}}^{2}}}({\underline {z}})\;$ » et étudier son éventuelle holomorphie
     Remarques : $\succ \;$ $\ldots$

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction (ou d'une distribution)

     On admet que « la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] d'une fonction $\;{\big (}$ ou d'une distribution ${\big )}$ $\;f(t)\;$ ^[56] c'est-à-dire $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$ » est
     « holomorphe sur tout son domaine de définition » $\;{\big (}$ à l'exception de ses points singuliers^[57] ${\big )}\;$ tel que « $\;\Re (p)>\alpha \;$ » $\;{\big \{}\alpha \;$ étant l'abscisse de convergence de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la fonction $\;{\big (}$ ou de la distribution ${\big )}{\big \}}\;$ et
     « holomorphe sur tout son domaine de définition> » ceci à n'importe quel ordre^[58].

On démontre ci-dessous le résultat suivant « $\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ».

Démonstration : La transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] d'une fonction $\;{\big (}$ ou d'une distribution ${\big )}$ $\;f(t)\;$ s'écrivant « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$ »^[13]^,^[32] et « admettant l'holomorphie à n'importe quel ordre de cette fonction complexe sur tout ouvert satifaisant $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$ », on vérifie d'abord la propriété pour $\;n=1\;$ puis on l'établit par récurrence soit

Démonstration : $\succ \;$ « pour $\;n=1\;$ », $\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}={\dfrac {d\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$ ^[13]^,^[32] $\;=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;f(t)\;dt\;$ après permutation de l'intégration sur $\;t\;$ et de la dérivation par rapport à $\;p$ , d'où $\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$ ^[13]^,^[32] et finalement « $\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace \;$ » C.Q.F.D^[59].,

Démonstration : $\succ \;$ hypothèse de récurrence « $\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ quelconque », on forme $\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}={\dfrac {d\left[(-1)^{n}\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$ ^[13]^,^[32] puis, on permute l'intégration sur $\;t\;$ et la dérivation par rapport à $\;p$ , d'où $\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;t^{n}\;f(t)\;dt=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$ ^[13]^,^[32] et finalement, en regroupant les facteurs, « $\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}$ $=(-1)^{(n+1)}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;f(t)\right\rbrace \;$ » C.Q.F.D^[59].,

Démonstration : $\succ \;$ la propriété $\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ « $\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ » étant « vraie pour $\;n=1\;$ » avec « $\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}_{(n+1)}\;$ » est établie par récurrence pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ .

Conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ »,
Soit $\;f'(t)=t^{n}\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction $\;t^{n}\;$ puissance n^ème de $\;t\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ^[60] et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$ ^[27]^,^[13] avec pour condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[61] ;

de la relation « $\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » établie au paragraphe « holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}\;

pour

\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;

» soit
« pour

\;n=1

,

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}\;

»,
« pour

\;n=2

,

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;f(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{2}}}\;

»

\;\ldots

Application : soit à « évaluer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace \;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;Y(t)\;$ la fonction de Heaviside^[18] connaissant $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ si $\;\Re e(p)>0\;$ », l'application du résultat ci-dessus nous conduit à

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}\;

si

\;\Re e(p)>0\;

» soit successivement :

Application : $\succ \;$ « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp}}={\dfrac {1}{p^{2}}}\;$ »,

Application : $\succ \;$ « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{2}}}={\dfrac {2}{p^{3}}}\;$ »^[62],

Application : $\succ \;$ « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{3}\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d^{3}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{3}}}={\dfrac {6}{p^{4}}}\;$ »^[63],

Application : $\succ \;$ avec pour hypothèse de récurrence « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{n+1}}}\;$ » ${\big (}$ vérifiée pour $\;n=1{\big )}$ , on en déduit « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t\,\left[t^{n}\;Y(t)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\right]}{dp}}=$ $(n+1)\;{\dfrac {n!}{p^{(n+2)}}}={\dfrac {(n+1)!}{p^{(n+2)}}}\;$ » ce qui valide l'hypothèse de récurrence d'où

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\;

pour

\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;

et

\;\Re e(p)>0\;

».

Conséquence de la dérivation (ou intégration) par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de la dérivation par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t,\,m)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ dépendant du paramètre $\;m\;$ relativement auquel elle est dérivable^[27] et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =$ $\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ » et
Soit $\;f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;$ la dérivée de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ relativement au paramètre $\;m\;$ ^[27] admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace =$ $\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t,\,m)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;$ ^[13]^,^[27] avec, dans le cas général, la même condition de convergence que celle de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$ soit $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[64] ;

nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] et de la dérivation par rapport à un paramètre »

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace }{\partial m}}\right)_{\!p}\;

».

Démonstration : partant de « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13], nous pouvons « permuter la dérivation par rapport à $\;m\;$ et l'intégration par rapport à $\;t\;$ »^[65] et obtenons « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial \left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\right]}{\partial m}}\right)_{\!p}=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace }{\partial m}}\right)_{\!p}\;$ » sous la même condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ dans le cas général^[64].

Conséquence de l'intégration par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t,\,m)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ dépendant du paramètre $\;m\;$ relativement auquel elle est intégrable^[27] et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =$ $\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ » et
Soit $\;f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\;$ la primitive de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ relativement au paramètre $\;m\;$ ^[27] s'annulant pour $\;m=0\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace =$ $\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f''(t,\,m)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\;dt\;$ ^[13]^,^[27] avec, dans le cas général, la même condition de convergence que celle de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$ soit $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[66] ;

nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] et de l'intégration par rapport à un paramètre »

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{m}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m')\right\rbrace \,dm'\;

».

Démonstration : partant de « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13], nous pouvons « permuter l'intégration par rapport à $\;m\;$ et l'intégration par rapport à $\;t\;$ »^[67] et obtenons « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{m}\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m')\;dt\right]\,dm'=\displaystyle \int _{0}^{m}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m')\right\rbrace \,dm'\;$ » sous la même condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ dans le cas général^[66].

Conséquence du caractère périodique d'une fonction (ou distribution) sur sa transformée (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ de période $\;T\;$ c'est-à-dire telle que « $\;f(t+T)=f(t)\;$ » et admettant pour transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re e(p)>\alpha \;$ »^[13] avec « $\;\alpha \geqslant 0\;$ ^[68] abscisse de convergence de la transformée de Laplace^[1] de la dite fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ » ;

nous établissons ci-dessous la propriété « traduisant la périodicité de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ sur la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de cette dernière »

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1-\exp(-p\;T)}}\;

»^[27].

Démonstration : partant de « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ^[27] si $\;\Re (p)>\alpha \;$ »^[13], on décompose l'intégrale sur chaque période selon

     Démonstration : « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\displaystyle \int _{T}^{2\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\displaystyle \int _{2\,T}^{3\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\cdots +\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\cdots \;$ »^[27] ou,
     Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;t=t_{n}+n\;T\;$ sur l'intégrale $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ pour se ramener à une intégrale sur $\;\left[0\,,\,T\right]\;$ » sachant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f(t)=f(t_{n})\\dt=dt_{n}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit
     Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t_{n})\;\exp(-p\,n\,T)\;f(t_{n})\;dt_{n}\;$ ou, $\;t_{n}\;$ étant une variable muette et $\;\exp(-p\,n\,T)\;$ une constante,
     Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\exp(-p\,n\,T)\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$
     Démonstration : soit, après factorisation par $\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ dans la somme, « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\left[1+\sum \limits _{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}^{1\,..\,+\infty }\exp(-p\,n\;T)\right]\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ » puis,
     Démonstration : en reconnaissant dans les termes entre crochets la « somme infinie d'une progression géométrique de 1^er terme $\;1\;$ et de raison $\;\exp(-p\,T)\;$ de module $\;<1\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[69] $\;{\big [}$ d'où la nécessité que l'abscisse de convergence $\;\alpha \;$ de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ soit $\;\geqslant 0\;$ pour que la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ $T-$ périodique existe ${\big ]}\;$
     Démonstration : et finalement, « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1-\exp(-p\;T)}}\;$ »^[27] C.Q.F.D^[59]..

Transformées (monolatérales) de fonctions (ou distributions) usuelles[modifier | modifier le wikicode]

Liste évidemment non exhaustive.

Fonction de Heaviside (ou échelon unité)[modifier | modifier le wikicode]

« Fonction de Heaviside^[18] $\;{\big (}$ ou échelon unité ${\big )}$ $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[70].

« Fonction de Heaviside^[18] $\;{\big (}$ ou échelon unité ${\big )}\;$ retardé $\;Y(t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>\tau \\0\;{\text{si}}\;t<\tau \end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t-\tau )\right\rbrace ={\dfrac {\exp(-p\,\tau )}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[71].

« Fonction créneau unité sur $\;\left[0\,,\,\tau \right]$ : $\;C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\;{\text{si}}\;t>\tau \\1\;\;{\text{si}}\;0<t<\tau \\0\;\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =Y(t)-Y(t-\tau )\;$ » d'où $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace -{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t-\tau )\right\rbrace \;$ ${\big \{}$ la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] étant linéaire ${\big \}}\;$ soit « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1-\exp(-p\,\tau )}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ ».

Pic de Dirac d'impulsion unité[modifier | modifier le wikicode]

« Pic de Dirac^[20] d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>0\\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=0\\0\qquad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t)\;$ »^[21] $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$ »^[70].

« Pic de Dirac^[20] d'impulsion unité retardé $\;\delta (t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>\tau \\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=\tau \\0\qquad {\text{si}}\;t<\tau \end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t-\tau )\;$ »^[72] $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t-\tau )\right\rbrace =\exp(-p\,\tau )\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$ »^[71].

Fonction rampe de pente a[modifier | modifier le wikicode]

« Fonction rampe $\;f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[70].

« Fonction rampe retardée $\;f_{\text{rampe}}(t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant \tau \\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant \tau \end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t-\tau )\right\rbrace ={\dfrac {a\;\exp(-p\,\tau )}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[71].

« Fonction triangle symétrique sur $\;\left[0\,,\,2\,\tau \right]$ : $\;f_{\text{triang sym}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \qquad \quad {\text{si}}\;t\geqslant 2\,\tau \\-a\;(t-2\,\tau )\;{\text{si}}\;t\in \left[\tau \,,\,2\,\tau \right]\\a\;t\qquad \qquad \;{\text{si}}\;t\in \left[0\,,\,\tau \right]\\0\qquad \qquad \quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace =f_{\text{rampe}}(t)-2\,f_{\text{rampe}}(t-\tau )+f_{\text{rampe}}(t-2\,\tau )\;$ » soit, la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] étant linéaire, « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{triang sym}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a\,\left[1-2\,\exp(-p\,\tau )+\exp(-2\,p\,\tau )\right]}{p^{2}}}={\dfrac {a\,\left[1-\exp(-p\,\tau )\right]^{2}}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[71].

Fonction exponentielle réelle[modifier | modifier le wikicode]

« Fonction exponentielle réelle $\;f_{\text{exp}}(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ »^[73] $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{exp}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[74].

« Approche exponentielle réelle de l'échelon unité $\;f_{\text{app exp}}(t)=\left[1-\exp(-a\,t)\right]\,Y(t)=Y(t)-\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] soit, la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] étant linéaire, « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{app exp}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{p+a}}={\dfrac {a}{p\;(p+a)}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[76].

Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

« Fonction cosinusoïdale $\;f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] s'obtenant en utilisant « $\;f_{\text{cos}}(t)=\Re \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$ », « $\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[77] ainsi que, « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$ , $\;\Re \left\lbrace {\underline {\mathcal {L}}}\left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace \;$ »^[51] c'est-à-dire « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace =\Re \,\left[{\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}=\Re \,\left[{\dfrac {p+i\,\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$ » soit encore, en se limitant aux valeurs réelles de $\;p\;$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$ » et enfin, en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ ^[78]

«

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re e(p)>0\;

».

Autre démonstration : il existe une démonstration, exposée ci-dessous, utilisant le caractère périodique de la fonction cosinusoïdale, sans le besoin d'admettre que l'extension aux valeurs complexes du résultat établi avec des valeurs réelles de

\;p\;

est valide ;

Autre démonstration : la fonction cosinusoïdale

\;f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;

étant «

\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}-

périodique » on en déduit «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f_{\text{cos}}(t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

»^[79] soit, en reportant la « formule d'Euler^[2] du cosinus

\;\cos(\omega \,t)={\dfrac {\exp(i\,\omega \,t)+\exp(-i\,\omega \,t)}{2}}\;

» dans l'intégrale de l'expression précédemment obtenue de la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction cosinudoïdale, «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]+\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\right\rbrace \,dt}{2\,\left[1-\exp(-p\,T)\right]}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

» et, le numérateur du 2^nd membre se réécrivant comme la somme des deux intégrales suivantes,

Autre démonstration :

\succ \;

«

\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt=\left[-{\dfrac {\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]}{p-i\;\omega }}\right]_{0}^{T}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)\;\exp(i\;\omega \;T)}{p-i\;\omega }}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p-i\;\omega }}\;

» car

\;\exp(i\;\omega \;T)=\exp(i\;2\;\pi )=1\;

et

Autre démonstration :

\succ \;

«

\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt=\left[-{\dfrac {\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]}{p+i\;\omega }}\right]_{0}^{T}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)\;\exp(-i\;\omega \;T)}{p+i\;\omega }}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p+i\;\omega }}\;

» car

\;\exp(-i\;\omega \;T)=\exp(-i\;2\;\pi )=1\;

d'où

Autre démonstration : la réécriture de

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace \;

selon «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}+{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}\right]\;

» après simplification évidente ou, après réduction au même dénominateur et simplification^[80], «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re e(p)>0\;

».

« Fonction sinusoïdale $\;f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] s'obtenant en utilisant « $\;f_{\text{sin}}(t)=\Im \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$ », « $\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[77] ainsi que, « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$ , $\;\Im \left\lbrace {\underline {\mathcal {L}}}\left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace \;$ »^[51] c'est-à-dire « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace =\Im \,\left[{\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}=\Im \,\left[{\dfrac {p+i\,\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$ » soit encore, en se limitant aux valeurs réelles de $\;p\;$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$ » et enfin, en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ ^[78]

«

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Autre démonstration : tout comme pour la fonction cosinusoïdale il existe une démonstration, exposée ci-dessous, utilisant le caractère périodique de la fonction sinusoïdale, sans le besoin d'admettre que l'extension aux valeurs complexes du résultat établi avec des valeurs réelles de

\;p\;

est valide ;

Autre démonstration : la fonction sinusoïdale

\;f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;

étant «

\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}-

périodique » on en déduit «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f_{\text{sin}}(t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

»^[79] soit, en reportant la « formule d'Euler^[2] du sinus

\;\sin(\omega \,t)={\dfrac {\exp(i\,\omega \,t)-\exp(-i\,\omega \,t)}{2\;i}}\;

» dans l'intégrale de l'expression précédemment obtenue de la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] de la fonction sinudoïdale, «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]-\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\right\rbrace \,dt}{2\;i\,\left[1-\exp(-p\,T)\right]}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

» et, le numérateur du 2^nd membre se réécrivant comme la différence des deux intégrales calculées précédemment,

Autre démonstration :

\succ \;

«

\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt\;{\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p-i\;\omega }}\;

» et

Autre démonstration :

\succ \;

«

\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt\;{\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p+i\;\omega }}\;

» d'où

Autre démonstration : la réécriture de

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace \;

selon «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;i}}\,\left[{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}-{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}\right]\;

» après simplification évidente ou, après réduction au même dénominateur et simplification^[81], «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

     Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de « $\;f(t)=\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ ^[75] et $\;\varphi \in \left]-\pi \,,\,+\pi \right]\;$ », pour cela
     Application : on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon « $\;\cos(\omega \,t+\varphi )=\cos(\omega \,t)\;\cos(\varphi )-\sin(\omega \,t)\;\sin(\varphi )\;$ » ce qui permet de réécrire la fonction dont on cherche la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] selon « $\;f(t)=\cos(\varphi )\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)-\sin(\varphi )\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ » dont
     Application : on tire, compte-tenu de la linéarité de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace -\sin(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace \;$ » soit finalement

«

\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}-\sin(\varphi )\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement[modifier | modifier le wikicode]

« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f_{\text{cos amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[75] » s'obtenant en utilisant « $\;f_{\text{cos amort}}(t)=\Re \left[\exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$ », « $\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace$ $={\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[77] et, « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$ , $\;\Re {\Big \langle }{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }={\mathcal {L}}{\Big \langle }\Re \left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }\;$ »^[51] c'est-à-dire « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace$ $=\Re \,\left[{\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}=\Re \,\left[{\dfrac {p+a+i\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$ » soit, en se limitant aux valeurs réelles de $\;p\;$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$ » et enfin, en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ ^[78]

«

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>-a\;

».

« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f_{\text{sin amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[75] » s'obtenant en utilisant « $\;f_{\text{sin amort}}(t)=\Im \left[\exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$ », « $\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace$ $={\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[77] et, « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$ , $\;\Im {\Big \langle }{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }={\mathcal {L}}{\Big \langle }\Im \left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }\;$ »^[51] c'est-à-dire « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace$ $=\Im \,\left[{\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}=\Im \,\left[{\dfrac {p+a+i\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$ » soit, en se limitant aux valeurs réelles de $\;p\;$ « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$ » et enfin, en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ ^[78]

«

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>-a\;

».

Transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction (ou distribution) complexe d'une variable complexe[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction complexe $\;F\;$ ^[82] de la variable complexe $\;p\;$ ^[82] holomorphe sur son domaine de définition.

Définition de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) complexe F(p) de la variable complexe p[modifier | modifier le wikicode]

Définition

La transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

inverse de Laplace^[1] de la fonction complexe

\;F(p)

de la variable complexe

\;p\;

holomorphe sur son domaine de définition est la fonction réelle

\;f(t)\;

de la variable réelle

\;t

, de support positif, continue par morceaux sur tout intervalle

\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;

telle que «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=F(p)\;

^[13] pour

\;p\;

tel que

\;\Re (p)>\alpha \;

»^[83],

\;\alpha \;

étant l'« abscisse de convergence » de la transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] ;
on dit encore que

\;f(t)\;

est l'« originale de

\;F(p)\;

» par transformation

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1].

     Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est à support positif^[14] à celle
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$ monolatérale $\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c'est-à-dire de support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ où $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est un voisinage ouvert à gauche de $\;0$ , borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;$ dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable^[15] ainsi qu'à celle
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$ monolatérale $\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est une distribution $\;{\big (}$ la distribution devant être telle que l'intégrale de définition^[16] de sa transformée de Laplace^[1] converge^[17] ${\big )}$ .

Remarques : Dans le domaine d'holomorphie de $\;F(p)\;$ il peut y avoir des valeurs de $\;p\;$ isolées pour lesquelles $\;F(p)\;$ est discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce, dans ce dernier cas $\;F(p)\;$ est alors une distribution holomorphe^[16].

Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) inverses de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème (admis) d'unicité de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe

Dans la mesure où elle existe, la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] d'une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ complexe holomorphe^[84] est unique en dehors des éventuels points de discontinuité.

Linéarité de la transformation (monolatérale) inverse de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soient « $\;F_{1}(p)\;$ et $\;F_{2}(p)\;$ deux fonctions $\;{\big (}$ ou distributions ${\big )}\;$ complexes holomorphes^[84] » admettant pour « transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ inverses de Laplace^[1] respectives $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace \;$ et $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;$ », avec
     Soient « $\;\alpha =\max \left\lbrace \alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\rbrace \;$ la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] et
     Soient « $\;a\;$ un réel non nul quelconque »,

on démontre les propriétés suivantes $\;{\big \{}$ ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ à sa transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] ${\big \}}$ :

«

\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)+F_{2}(p)\right\rbrace ={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace +{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;

» pour «

\;\Re (p)>\alpha \;

»
et
«

\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace a\;F_{1}(p)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace \;

pour

\;\Re (p)>\alpha _{1}\;

» ou «

\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace a\;F_{2}(p)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;

pour

\;\Re (p)>\alpha _{2}\;

».

Méthode analytique de calcul de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) F(p) holomorphe sur son domaine de définition[modifier | modifier le wikicode]

     Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer $\;f(t)\;$ connaissant $\;F(p)\;$ car, pour une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;F(p)$ ,
      Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f(t)\;$ correspondante ne fait vraisemblablement pas partie des fonctions usuelles et même
       Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ ou distribution $\color {transparent}{\big )}$ sa définition peut nécessiter une forme intégrale $\;{\big (}$ ou un développement en série ${\big )}$ $\;\ldots$

Une façon de définir l'originale de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;F(p)\;$ holomorphe sur son domaine de définition est

«

\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;\pi \;i}}\;\displaystyle \int _{\gamma \,-\,i\,\infty }^{\gamma \,+\,i\,\infty }\exp(p\,t)\;F(p)\;dp\;

»^[85] où

\;\gamma \in \mathbb {R} \;

est choisi tel que l'intégrale soit convergente^[86].

Méthode pratique de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire : une fonction $\;F(p)\;$ complexe de la variable $\;p\;$ complexe est dite rationnelle si elle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans $\;\mathbb {C}$ ;
Préliminaire : si $\;P\;$ et $\;Q\;$ sont deux fonctions polynômes non identiquement nulles^[87], « la fonction $\;F={\dfrac {P}{Q}}\;$ est définie pour tout $\;p\;$ tel que $\;Q(p)\neq 0\;$ par $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ ».

Soit « la fonction complexe rationnelle $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ telle que les polynômes $\;P\;$ et $\;Q\;$ sont à cœfficients réels avec le degré de $\;P(p)\;$ $<\;$ au degré de $\;Q(p)\;$ », cette fonction effectivement « holomorphe sur $\;\mathbb {C} \;$ privé des valeurs de $\;p\;$ qui annulent $\;Q(p)\;$ », « admet une transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] $\;f(t)=$ ${\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p\right\rbrace \;$ »^[88].

Exposé de la méthode de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur[modifier | modifier le wikicode]

Soit « $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ écrite sous forme normalisée »^[89] avec « $\;P\;$ et $\;Q\;$ à cœfficients réels et $\;\mathrm {deg} \left[P\right]<\mathrm {deg} \left[Q\right]\;$ », la méthode pour déterminer $\;f(t)\;$ sa transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] est la suivante :

rechercher les « zéros $\;z_{k}\;$ » $\;{\big [}$ racines complexes de $\;P(p){\big ]}\;$ ^[90] et les « pôles $\;q_{l}\;$ » $\;{\big [}$ racines complexes de $\;Q(p){\big ]}\;$ ^[90] pour écrire « $\;P(p)=A\;\prod \limits _{k}\left(p-z_{k}\right)\;$ »^[91] ainsi que « $\;Q(p)=\prod \limits _{l}\left(p-q_{l}\right)\;$ »^[92] d'où « $\;F(p)=A\;{\dfrac {\prod \limits _{k}\left(p-z_{k}\right)}{\prod \limits _{l}\left(p-q_{l}\right)}}\;$ »^[91]^,^[92] en ayant auparavant fait les simplifications éventuelles de façon à ce que la fonction rationnelle soit irréductible, puis
décomposer la fonction rationnelle irréductible en éléments simples soit, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples, « $\;F(p)=A\;\sum \limits _{l}{\dfrac {\rho _{l}}{p-q_{l}}}\;$ avec $\;\rho _{l}\in \mathbb {R} ^{*}\;$ constantes à déterminer »^[93]^,^[94] et enfin,
utiliser les connaissances ou un formulaire pour déterminer les originales des éléments simples de réduction comme par exemple « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\rho _{l}}{p-q_{l}}}\right\rbrace =$ $\rho _{l}\;\exp(q_{l}\,t)\;Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>q_{l}\;$ »^[95] et donc, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples, « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =A\left[\sum \limits _{l}\rho _{l}\;\exp(q_{l}\,t)\right]Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>\max \limits _{l}q_{l}\;$ »^[96] ^,^[95].

Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels simples[modifier | modifier le wikicode]

Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\;$ par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] », pour cela on commence par

déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$ » ainsi que
déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire les solutions de $\;p^{2}+5\,p+6=0\;$ de discriminant $\;\Delta =5^{2}-4\times 6=1>0\;$ $\Rightarrow$ « deux pôles réels et simples $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{1}={\dfrac {-5+{\sqrt {1}}}{2}}=-2\\q_{2}={\dfrac {-5-{\sqrt {1}}}{2}}=-3\end{array}}\right\rbrace \;$ » puis
déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{(p+2)\;(p+3)}}\;$ » pour
la décomposer en éléments simples irréductibles « $\;F(p)={\dfrac {p+1}{(p+2)\;(p+3)}}={\dfrac {\rho _{1}}{p+2}}+{\dfrac {\rho _{2}}{p+3}}\;$ » $\;{\big [}$ les constantes $\;\rho _{1}\;$ et $\;\rho _{2}\;$ restant à évaluer^[93] ${\big ]}$ ,
la décomposer la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p+2\;$ et en y faisant $\;p=-2\;$ soit $\;\left[{\dfrac {p+1}{p+3}}\right]_{\!p=-2}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}\;(p+2)}{p+3}}\right]_{\!p=-2}}}\;$ $\Rightarrow$ « $\;\rho _{1}=-1\;$ » et
la décomposer la constante $\;\rho _{2}\;$ en multipliant de part et d'autre par $\;p+3\;$ et en y faisant $\;p=-3\;$ soit $\;\left[{\dfrac {p+1}{p+2}}\right]_{\!p=-3}={\cancel {\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+3)}{p+2}}\right]_{\!p=-3}+}}\;\rho _{2}\;$ $\Rightarrow$ « $\;\rho _{2}=2\;$ » soit finalement « $\;F(p)=-{\dfrac {1}{p+2}}+{\dfrac {2}{p+3}}\;$ » et
en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\;$ par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] » « $\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =-{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+2}}\right\rbrace +2\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+3}}\right\rbrace \;$ ^[96] soit
$={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\right\rbrace =\left[-\exp(-2\,t)+2\;\exp(-3\,t)\right]\,Y(t)\;$ ^[95]
sous la condition $\;\Re (p)>\max \left(-2\,;\,-3\right)=-2\;$ ».

Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels dont un est multiple[modifier | modifier le wikicode]

Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] », pour cela on commence par

déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$ » ainsi que
déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire les solutions de $\;p\,(p^{2}+4\,p+4)=0\;$ donnant « un 1^er pôle réel simple $\;q_{1}=0\;$ »^[97] et d'autres pôles racines de $\;p^{2}+4\,p+4=0\;$ équation du 2^ème degré de discriminant réduit $\;\Delta '=2^{2}-4=0\;$ $\Rightarrow$ « un pôle réel double $\;q_{2}=-2\;$ » puis
déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p+2)^{2}}}\;$ » pour
la décomposer en éléments simples irréductibles « $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p+2)^{2}}}={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}}{(p+2)^{2}}}+{\dfrac {{\rho '}_{\!2}}{p+2}}\;$ » $\;{\big [}$ les constantes $\;\rho _{1}$ , $\;\rho _{2}\;$ et $\;{\rho '}_{\!2}\;$ restant à évaluer^[93]^,^[98] ${\big ]}$ ,
la décomposer la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;\left[{\dfrac {p+1}{(p+2)^{2}}}\right]_{\!p=0}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}\;p}{(p+2)^{2}}}\right]_{\!p=0}+\left[{\dfrac {{\rho '}_{2}\;p}{p+2}}\right]_{\!p=0}}}\;$ $\Rightarrow$ « $\;\rho _{1}={\dfrac {1}{4}}\;$ »,
la décomposer la constante $\;\rho _{2}\;$ en multipliant de part et d'autre par $\;(p+2)^{2}\;$ et en y faisant $\;p=-2\;$ soit $\;\left[{\dfrac {p+1}{p}}\right]_{\!p=-2}={\cancel {\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+2)^{2}}{p}}\right]_{\!p=-2}+}}\;\rho _{2}\;{\cancel {+\left[{\rho '}_{2}\;(p+2)\right]_{p=-2}}}\;$ $\Rightarrow$ « $\;\rho _{2}={\dfrac {1}{2}}\;$ » et
la décomposer la constante $\;{\rho '}_{2}\;$ en multipliant de part et d'autre par $\;p+2\;$ et en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ ^[99] soit $\;{\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p\,(p+2)}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }}}\;=\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+2)}{p}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}}{p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }+}}\;{\rho '}_{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\rho '}_{2}=-\rho _{1}\;$ c'est-à-dire, avec la valeur de $\;\rho _{1}\;$ déterminée précédemment, « $\;{\rho '}_{2}=-{\dfrac {1}{4}}\;$ » soit finalement « $\;F(p)={\dfrac {1}{4\;p}}+{\dfrac {1}{2\,(p+2)^{2}}}-{\dfrac {1}{4\,(p+2)}}\;$ » et
en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] » « $\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{4}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace +{\dfrac {1}{2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{(p+2)^{2}}}\right\rbrace -{\dfrac {1}{4}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+2}}\right\rbrace \;$ ^[96] soit
$={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{4}}\left[1+2\;t\;\exp(-2\,t)-\exp(-2\,t)\right]\,Y(t)\;$ ^[95]^,^[100]
sous la condition $\;\Re (p)>\max \left(0\,;\,-2\right)=0\;$ ».

Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant des pôles complexes conjugués[modifier | modifier le wikicode]

Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] », pour cela on commence par

déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$ » ainsi que
déterminer les pôles de cette dernière c'est-à-dire les solutions de $\;p\,(p^{2}+4\,p+4)=0\;$ donnant « un 1^er pôle réel simple $\;q_{1}=0\;$ »^[101] et d'autres pôles racines de $\;p^{2}+p+2=0\;$ équation du 2^ème degré de discriminant $\;\Delta =1^{2}-4\times 2=-7<0\;$ $\Rightarrow$ « deux pôles complexes conjugués qu'il n'est pas utiles de déterminer » puis
déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\;$ » ${\big (}$ la fonction était déjà sous sa forme normalisée factorisée sur $\;\mathbb {R} {\big )}\;$ pour
la décomposer en éléments simples irréductibles « $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+p+2}}\;$ » $\;{\big [}$ les constantes $\;\rho _{1}$ , $\;\rho _{2}\;$ et $\;{\rho '}_{\!2}\;$ restant à évaluer^[93]^,^[102] ${\big ]}$ ,
la décomposer la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;\left[{\dfrac {p+1}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=0}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\left(\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}\right)\,p}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=0}}}\;$ $\Rightarrow$ « $\;\rho _{1}={\dfrac {1}{2}}\;$ »,
la décomposer la constante $\;\rho _{2}\;$ en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ ^[103] soit $\;{\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }}}=\rho _{1}\;+\left[{\dfrac {\left(\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}\right)\,p}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho _{2}=-\rho _{1}\;$ c'est-à-dire, avec la valeur de $\;\rho _{1}\;$ déterminée précédemment, « $\;\rho _{2}=-{\dfrac {1}{2}}\;$ » et
la décomposer la constante $\;{\rho '}_{2}\;$ en donnant une valeur particulière à $\;p\;$ par exemple $\;p=-1\;$ ^[104] soit $\;{\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\right]_{\!p=-1}}}=\left[{\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=-1}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {{\rho '}_{2}}{2}}=\rho _{1}+{\dfrac {\rho _{2}}{2}}\;$ c'est-à-dire, avec les valeurs de $\;\rho _{1}\;$ et $\;\rho _{1}\;$ déterminées précédemment, « $\;{\rho '}_{2}={\dfrac {1}{2}}\;$ » soit finalement « $\;F(p)={\dfrac {1}{2\;p}}-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}\;$ » et
en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1] » après réécriture du 2^ème élément simple correspondant aux pôles complexes conjugués de façon à utiliser « $\;\left[{\begin{array}{c}{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\\{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\end{array}}\right]\;$ »^[105] soit, en transformant
en déduire l'« originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ le dénominateur de cet élément selon « $\;p^{2}+p+2=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}-{\dfrac {1}{4}}+2=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}\;$ » et
en déduire l'« originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ le numérateur selon « $\;p-1=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)-{\dfrac {3}{2}}=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;$ » d'où « $\;{\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}={\dfrac {p+{\dfrac {1}{2}}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\dfrac {\dfrac {\sqrt {7}}{2}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\;$ » et par suite
« $\;F(p)={\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {p+{\dfrac {1}{2}}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}+{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\dfrac {\dfrac {\sqrt {7}}{2}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\right]\;$ » conduisant à
« $\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace -{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+{\dfrac {1}{2}}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\right\rbrace +{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\dfrac {\sqrt {7}}{2}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\right\rbrace \right]\;$ ^[96] soit encore
$={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)+{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\right]\,Y(t)\;$ ^[95]^,^[105]
sous la condition $\;\Re (p)>\max \left(0\,;\,-{\dfrac {1}{2}}\right)=0\;$ ».

     Remarque : il est possible de mettre l'expression « $\;g(t)=\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\;$ » sous la forme « $\;g(t)=C\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\varphi \right)\;$ »^[106] en posant
     Remarque : « $\;C={\sqrt {(1)^{2}+{\dfrac {(-3)^{2}}{7}}}}={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;g(t)={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{4}}\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)-{\dfrac {3}{4}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\right]\;$ » puis
     Remarque : « $\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi )={\dfrac {\sqrt {7}}{4}}\\\sin(\varphi )={\dfrac {3}{4}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » correspondant à « $\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\;$ »^[107] $\Rightarrow$ « $\;g(t)={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\right]\;$ »
     Remarque : permettant de réécrire l'« originale de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\;$ » par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] sous la forme

«

\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\right]\right\rbrace \,Y(t)\;

^[108] sous la condition

\;\Re (p)>0\;

ou numériquement

\;\simeq {\dfrac {1}{2}}\left[1-1,512\;\exp \!\left(-0,5\;t\right)\,\cos \!\left(1,323\;t+0,848\right)\right]\,Y(t)\;

» sous la condition

\;\Re (p)>0

.

Théorèmes aux limites applicables dans la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème (admis) de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Soit une « fonction réelle causale^[4]^,^[9]

\;f(t)\;

de la variable réelle

\;t\;

»^[109],
Soit une « fonction réelle causale

\;\color {transparent}{f(t)}\;

convergeant en

\;t=0\;

^[110] et
Soit une « fonction réelle causale

\;\color {transparent}{f(t)}\;

telle qu'une transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] «

\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

» d'abscisse de convergence

\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;

^[111] lui est associée^[112],
nous admettons^[113] la propriété suivante «

\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[f(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }\;

».

Vérification du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples[modifier | modifier le wikicode]

À défaut de démonstration^[113], on peut vérifier le « théorème de la valeur initiale » sur des exemples :

« fonction de Heaviside^[18] $\;{\big (}$ ou échelon unité ${\big )}$ $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$ »,
« fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$ » de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », on vérifie que $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$ »,
« fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ » de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$ »,
« fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$ »,
« fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$ »,
« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ ^[75] et $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$ » et
« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ ^[75] et $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$ » $\;\ldots$

Généralisation à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace

     Soit une « fonction réelle causale^[4]^,^[9] $\;f(t)\;$ et sa dérivée temporelle^[114] $\;{\dot {f}}(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ »^[109],
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ convergeant toutes deux en $\;t=0\;$ ^[110] et
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ telle qu'une transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] leur est respectivement associée^[112] à savoir

« $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =F(p)\;$ » d'abscisse de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$ ^[111] pour la fonction $\;f(t)\;$ et
« $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;F(p)-f(0^{+})$ »^[115] d'abscisse de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$ ^[111] pour la dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)$ ,

nous admettons la validité de la propriété suivante^[116] «

\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[{\dot {f}}(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }

».

Application à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples[modifier | modifier le wikicode]

Reprenant les exemples des fonctions usuelles ayant servi à vérifier le théorème de la valeur initiale à l'exception de la fonction de Heaviside^[18] $\;{\big (}$ car sa dérivée diverge en $\;t=0{\big )}\;$ pour justifier la validité de la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle utilisant la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] :

« fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\big [}$ « $\;f(0^{+})=0\;$ » ${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », de « dérivée temporelle^[117] $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\quad {\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big (}$ discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ ^[34] ${\big )}\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)\;{\cancel {-p\;f(0^{+})}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=a={\dot {f}}(0^{+})\;$ »,
« fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ » $\;{\big [}$ « $\;f(0^{+})=1\;$ » ${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ », de « dérivée temporelle^[117] $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}-a\;\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big (}$ discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ ^[34] ${\big )}\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=$ $\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}}{p+a}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}-p\;(p+a)}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p\;a)}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=-a={\dot {f}}(0^{+})\;$ »,
« fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\cos(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] $\;{\big [}$ « $\;f(0^{+})=1\;$ » ${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », de « dérivée temporelle^[117] $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}-\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ ${\big \{}$ dérivée temporelle continue en $\;t=0\;$ bien que la fonction y est discontinue de 1^ère espèce^[34] ${\big \}}\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$ $=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{3}}{p^{2}+\omega ^{2}}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{3}-p\;(p^{2}+\omega ^{2})}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p\;\omega ^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0={\dot {f}}(0^{+})\;$ »,
« fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\sin(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] $\;{\big [}$ « $\;f(0^{+})=0\;$ » ${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », de « dérivée temporelle^[117] $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\omega \;\cos(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ ${\big \{}$ discontinue de 1^ère espèce^[34] ${\big \}}\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)\;{\cancel {-p\;f(0^{+})}}\;\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\;\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\omega =$ ${\dot {f}}(0^{+})\;$ »,
« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ ^[75] et $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] $\;{\big [}$ « $\;f(0^{+})=1\;$ » ${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)=$ ${\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ », de « dérivée temporelle^[117] $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big \{}$ discontinue de 1^ère espèce^[34] ${\big \}}\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,(p+a)}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,(p+a)-p\,(p+a)^{2}-p\;\omega ^{2}}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p^{2}\;a-p\;a^{2}-p\;\omega ^{2}}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=-a=$ ${\dot {f}}(0^{+})\;$ » et
« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ ^[75] et $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] $\;{\big [}$ « $\;f(0^{+})=0\;$ » ${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)=$ ${\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ », de « dérivée temporelle^[117] $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big \{}$ discontinue de 1^ère espèce^[34] ${\big \}}\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)\;{\cancel {-p\;f(0^{+})}}\;\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\;\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\omega ={\dot {f}}(0^{+})\;$ ».

Théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème (admis) de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Soit une « fonction réelle causale^[4]^,^[9]

\;f(t)\;

de la variable réelle

\;t\;

»^[109],
Soit une « fonction réelle causale

\;\color {transparent}{f(t)}\;

convergeant pour

\;t\rightarrow +\infty \;

^[118],
Soit une « fonction réelle causale

\;\color {transparent}{f(t)}\;

localement intégrable au voisinage de

\;t=0\;

^[119] et
Soit une « fonction réelle causale

\;\color {transparent}{f(t)}\;

telle qu'une transformée

\;{\big (}

monolatérale

{\big )}\;

de Laplace^[1] «

\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;

» d'abscisse de convergence

\;\alpha \in \mathbb {R} ^{-}\,\cup \,-\infty \;

^[120] lui est associée^[112],
nous admettons^[121] la propriété suivante «

\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }\;

».

Vérification du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples[modifier | modifier le wikicode]

À défaut de démonstration^[121], on peut vérifier le « théorème de la valeur finale » sur des exemples :

« fonction de Heaviside^[18] $\;{\big (}$ ou échelon unité ${\big )}$ $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ »,
« fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$ » de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction divergeant à l'infini, ce qu'on vérifie car « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {a}{p^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\infty \;$ »,
« fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ » de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[122], « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=$ $\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[{\dfrac {p}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ »^[123],
« fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ alors que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ n'existe pas »,
« fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ », on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ alors que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ n'existe pas »,
« fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ ^[75] et $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[122], « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ »^[124] et
« fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ ^[75] et $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ »^[75] de « transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[122], « $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ »^[125] $\;\ldots$

Utilisation de la transformation (monolatérale) de Laplace pour la résolution des équations différentielles linéaires à cœfficients constants[modifier | modifier le wikicode]

     Nous cherchons des « solutions réelles causales »^[4]^,^[9] d'« équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants homogènes ou hétérogènes » par utilisation de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;{\big [}$ tous les termes du 1^er et 2^nd membre de l'équation devant être pourvus d'une transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1], il est nécessaire que l'excitation du 2^nd membre de l'équation soit continue, discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[34]^,^[126] mais en aucun cas “ discontinue de 3^ème espèce ”^[127]^,^[128] ${\big ]}$ ,
     Nous cherchons des « solutions pouvant être continues ou discontinues de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ ^[34] pour une équation différentielle du 1^er ordre^[129] ou
     Nous cherchons des « solutions nécessairement continues en $\;t=0\;$ pour une équation différentielle du 2^ème ordre ou plus^[130].

Remarque : Si cette méthode par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] est pratique, elle n'est toutefois pas applicable dans toutes les configurations^[131] et surtout
Remarque : Si cette méthode par transformation $\;\color {transparent}{\big (}$ monolatérale $\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique par un étudiant de P.C.S.I. car il est exigé que ce soit par recherche de solutions libre et forcée suivie d'utilisation des C.I^[132]. que la résolution soit faite^[133].

Rappel des propriétés utilisées[modifier | modifier le wikicode]

« Linéarité de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace »^[1] soit « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \lambda \;f(t)+\mu \;g(t)\right\rbrace =\lambda \;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace +\mu \;{\mathcal {L}}\left\lbrace g(t)\right\rbrace ,\;$ $\forall \left(\lambda \,,\,\mu \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;\forall \left\lbrace f(t)\,,\,g(t)\right\rbrace \;$ fonctions $\;{\big (}$ ou distributions ${\big )}\;$ admettant des transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] d'abscisses de convergence finies ou égales à $\;-\infty \;$ ».

« Transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la fonction de Heauvide^[18] » « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ ».

« Transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] du pic de Dirac^[20] d'impulsion unité » « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;$ pour $\;\forall \;\Re (p)\,\in \,\mathbb {R} \;$ ».

« Transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la dérivée temporelle 1^ère d'une fonction $\;f(t)\;$ à support positif^[14] telle que $\;f(t)\;$ soit convergente en $\;t=0\;$ », « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =$ $p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ ».

« Transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la dérivée temporelle 2^nde d'une fonction $\;f(t)\;$ à support positif^[14] telle que $\;{\dot {f}}(t)\;$ soit convergente en $\;t=0\;$ », « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace -{\dot {f}}(0^{+})\;$ ou encore $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p^{2}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -p\;f(0^{+})-{\dot {f}}(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ ».

Méthode de résolution exposée sur un 1^er exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en y(t) hétérogène, sans terme du 1^erordre, à excitation sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif^[14] convergeant en $\;t=0$ ,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène, sans terme du 1^erordre,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à « excitation sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)$ , $\;\left(E\,,\,\omega \right)\in \left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;$ »^[75]^,^[134]
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire avec les « C.I^[132]. $\;y(0^{+})$ $=y_{0}\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\;$ »,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène, sans terme du 1^erordre, s'écrivant sous forme normalisée

«

\;{\ddot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;

avec

\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;

»^[134].

Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace »[modifier | modifier le wikicode]

« La transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de l'excitation sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ » s'écrivant « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =$ $E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ ^[135] pour $\;\Re (p)>0\;$ », nous obtenons, en utilisant le rappel des propriétés utilisées énoncé plus haut dans ce chapitre et en notant « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace y(t)\right\rbrace =Y(p)\;$ » pour simplifier l'écriture,

«

\;\left[p^{2}\;Y(p)-p\;y_{0}-{\dot {y}}_{0}\right]+c\;Y(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Détermination de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I.[modifier | modifier le wikicode]

De l'équation précédente on tire aisément

«

\;Y(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

» à condition que «

\;p^{2}+c\neq 0\;

».

Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I.[modifier | modifier le wikicode]

Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;Y(p)\;$ dans l'hypothèse où $\;p^{2}+c\neq 0\;$ » ${\big [}$ nécessairement réalisée si $\;c\;$ est $\;>0\;$ ^[136] mais qui nécessite une restriction de domaine de $\;p\;$ si $\;c\;$ est $\;<0\;$ ^[137] ${\big ]}$ .

Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où c est > 0[modifier | modifier le wikicode]

     Si $\;c\;$ est $\;>0$ , les « pôles de la fonction rationnelle $\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}\;$ étant deux à deux complexes conjugués » sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit :
      $\;\succ \;$ dans la mesure où « $\;c\neq \omega ^{2}\;$ », $\;A(p)={\dfrac {\rho _{1}\,p+{\rho '}_{1}}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\rho _{2}\,p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+c}}\;$ dans lequel on détermine
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)\;$ » en multipliant les deux membres par $\;p^{2}+\omega ^{2}$ , ensuite en y faisant $\;p=\pm i\;\omega \;$ soit $\;{\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=i\,\omega \\-\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=-i\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;\rho _{1}=0\;$ et $\;{\rho '}_{1}={\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}\;$ » puis
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\left(\rho _{2}\,,\,{\rho '}_{2}\right)\;$ » en multipliant les membres par $\;p^{2}+c$ , ensuite en y faisant $\;p=\pm i\;{\sqrt {c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{-c+\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{2}\,i\,{\sqrt {c}}+{\rho '}_{2}\;{\text{pour}}\;p=i\,{\sqrt {c}}\\-\rho _{2}\,i\,{\sqrt {c}}+{\rho '}_{2}\;{\text{pour}}\;p=-i\,{\sqrt {c}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;\rho _{2}=0\;$ et $\;{\rho '}_{2}={\dfrac {-1}{c-\omega ^{2}}}\;$ »
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ soit finalement

«

\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}\,\left[{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}-{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\right]\;

» ;

$\;\succ \;$ dans la mesure où « $\;c=\omega ^{2}\;$ », $\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}\;$ se réécrivant « $\;A(p)={\dfrac {1}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {1}{\left(p^{2}+c\right)^{2}}}\;$ » est déjà la décomposition en éléments irréductibles simples de $\;A(p)$ .

Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est > 0[modifier | modifier le wikicode]

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;Y(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ » avec « $\;p^{2}+c\neq 0\;$ »^[138] :

$\;\succ \;$ « pour $\;c>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$ », « $\;Y(p)={\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\,\left[{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}-{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\;{\dfrac {\sqrt {c}}{p^{2}+c}}\right]+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {\sqrt {c}}{p^{2}+c}}\;{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\;$ »^[139] dont on tire,
$\;\color {transparent}{\succ }\;$ « pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$ », en reconnaissant des originales de transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] classiques,

«

\;y(t)=\left\lbrace {\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \;t)-{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\;\sin({\sqrt {c}}\;t)\right]+y_{0}\;\cos({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\;\sin({\sqrt {c}}\;t)\right\rbrace Y(t)\;

» ou
«

\;y(t)=\left\lbrace y_{0}\,\cos({\sqrt {c}}\;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\right]\sin({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;\sin(\omega \,t)\right\rbrace Y(t)\;

» et

$\;\succ \;$ « pour $\;c>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$ », « $\;Y(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;y_{0}+{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;$ »^[140] dont on tire,
$\;\color {transparent}{\succ }\;$ « pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$ », en reconnaissant des originales de transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] classiques à l'« exception du 1^er terme du 2^nd membre $\;\propto \;$ à $\;{\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ »,

«

\;y(t)=E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace +\left\lbrace y_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right\rbrace Y(t)\;

» ;

      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$ », pour déterminer l'originale de $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ remarquons que $\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]}{dp}}={\dfrac {\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)-p\;2\;p}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {\omega ^{2}-p^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}=-{\dfrac {\omega ^{2}+p^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {2\;\omega ^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}=$ $-{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {2\;\omega ^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ « $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {1}{2\;\omega }}\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]}{dp}}+{\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ » puis utilisons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mathcal {L}}\!\left[\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\\{\dfrac {d{\mathcal {L}}\!\left[f(t)\right]}{dp}}\!\!&=&\!\!-{\mathcal {L}}\!\left[t\;f(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[141] pour en déduire « $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}$ $=-{\dfrac {1}{2\;\omega }}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace t\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace +{\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \left[\sin(\omega \;t)-\omega \;t\;\cos(\omega \;t)\right]\,Y(t)\right\rbrace \;$ » d'où
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$ », pour déterminer l'originale de $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ : « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \;t)-\omega \;t\;\cos(\omega \;t)\right]\,Y(t)\;$ » ;
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$ », finalement la solution cherchée s'écrit, dans le cas où $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}$ , selon

«

\;y(t)=\left\lbrace {\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{2\;\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \,t)-\omega \;t\;\cos(\omega \,t)\right]+y_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right\rbrace Y(t)\;

» ou
«

\;y(t)=\left\lbrace y_{0}\,\cos(\omega \;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}+{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}}}\right]\sin(\omega \;t)-{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega }}\;t\;\cos(\omega \,t)\right\rbrace Y(t)\;

».

Décomposition des fonctions rationnelles en éléments irréductibles simples dans le cas où c est < 0[modifier | modifier le wikicode]

      $\;\succ \;$ « $\;c\;$ étant $\;<0\;$ », les « pôles de la fonction rationnelle $\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont complexes conjugués d'une part et réels simples opposés d'autre part » sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit alors « $\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\rho _{1}\,p+{\rho '}_{1}}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\rho _{2}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\rho _{3}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$ » dans lequel on détermine
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », « $\;\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p^{2}+\omega ^{2}$ , puis en y faisant $\;p=\pm i\;\omega \;$ soit $\;{\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=i\,\omega \\-\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=-i\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;\rho _{1}=0\;$ et $\;{\rho '}_{1}=-{\dfrac {1}{\omega ^{2}-c}}\;$ »,
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », « $\;\rho _{2}\;$ » en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$ , puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{(-c+\omega ^{2})\,(-2\;{\sqrt {-c}})}}=\rho _{2}\;$ d'où « $\;\rho _{2}=-{\dfrac {1}{2\;(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-c}})}}\;$ » et
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », « $\;\rho _{3}\;$ » en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$ , puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{(-c+\omega ^{2})\,(2\;{\sqrt {-c}})}}=\rho _{3}\;$ d'où « $\;\rho _{3}={\dfrac {1}{2\;(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-c}})}}\;$ »
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », soit finalement

«

\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{\omega ^{2}-c}}\,\left\lbrace -{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\right\rbrace \;

» ;

      $\;\succ \;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », les « pôles de la fonction rationnelle $\;B'(p)={\dfrac {p}{p^{2}+c}}={\dfrac {p}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont réels simples opposés » sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit alors « $\;B'(p)=$ ${\dfrac {p}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\zeta _{1}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\zeta _{2}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$ » dans lequel on détermine
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », « $\;\zeta _{1}\;$ » en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$ , puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {-\;{\sqrt {-c}}}{-2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{1}\;$ d'où « $\;\zeta _{1}={\dfrac {1}{2}}\;$ » et
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », « $\;\zeta _{2}\;$ » en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$ , puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {\sqrt {-c}}{2\;{\sqrt {-c}})}}=\zeta _{2}\;$ d'où « $\;\zeta _{2}={\dfrac {1}{2}}\;$ »
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », soit finalement

«

\;B'(p)={\dfrac {p}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}\right]\;

» ;

      $\;\succ \;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », les « pôles de la fonction rationnelle $\;C'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont réels simples opposés » sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit alors « $\;C'(p)=$ ${\dfrac {1}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\zeta _{3}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\zeta _{4}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$ » dans lequel on détermine
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », « $\;\zeta _{3}\;$ » en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$ , puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{-2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{3}\;$ d'où « $\;\zeta _{3}=-{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\;$ » et
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », « $\;\zeta _{4}\;$ » en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$ , puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{4}\;$ d'où « $\;\zeta _{4}={\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\;$ »
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$ », soit finalement

«

\;C'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\;

» ;

$\;\succ \;$ nous en déduisons la décomposition de la transformée $\;{\big (}$ monolatérlae ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la solution dans le cas où $\;c\;$ est $\;<0\;$ selon

«

\;Y(p)={\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\,\left\lbrace -{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\omega }{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\right\rbrace +{\dfrac {y_{0}}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}\right]+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\;

pour

\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;

»^[142]
ou, après regroupement de termes semblables,
«

\;Y(p)=-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\;

pour

\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;

».

Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est < 0[modifier | modifier le wikicode]

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;Y(p)\;$ avec $\;c<0\;$ soit, pour $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}$ , la somme des trois termes indépendants suivante $\;Y(p)=$ $-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\;$ » en reconnaissant des originales de transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] classiques d'où

«

\;y(t)=\left\lbrace -{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;\sin(\omega \;t)+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,t\right)-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,t\right)\right\rbrace \;Y(t)\;

».

Comparaison de la méthode classique de résolution d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants hétérogènes et de la méthode par transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Nous rappelons que la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ou hétérogène par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] est un complément de P.C.S.I. pour le domaine de la physique^[143] et que seule la méthode de résolution par solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I^[132]. peut être utilisée dans le domaine de la physique ;

nous allons donc vérifier, dans l'exemple de « $\;{\ddot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ainsi que $\;\left(E\,,\,\omega \right)\in {\mathbb {R} ^{+\;*}}^{2}\;$ »^[134], que nous trouvons le même résultat dans l'ensemble des fonctions réelles « causales »^[4]^,^[9] avec les « C.I. $\;y(0^{+})=y_{0}\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\;$ » en reprenant la résolution par méthode classique de recherche des solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I^[132]..

Recherche de la solution libre y_l(t)[modifier | modifier le wikicode]

Soit à résoudre « $\;{\ddot {y_{l}}}(t)+c\;y_{l}(t)=0\;$ » d'équation caractéristique^[144] « $\;s^{2}+c=0\;$ »^[145] de racines différentes suivant le signe de $\;c$ :

« si $\;c\;$ est $\;>0\;$ », l'équation caractéristique^[144] a « deux racines imaginaires distinctes $\;{\underline {s_{\pm }}}=\pm i\,{\sqrt {c}}\;$ » $\Rightarrow$ la solution libre « $\;y_{l}(t)=A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )\;$ avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ »^[146] et
« si $\;c\;$ est $\;<0\;$ », elle a « deux racines réelles distinctes $\;s_{\pm }=\pm {\sqrt {-c}}\;$ » $\Rightarrow$ la solution libre « $\;y_{l}(t)=A_{+}\,\exp({\sqrt {-c}}\;t)+A_{-}\,\exp(-{\sqrt {-c}}\;t)\;$ avec $\;\left(A_{+}\,,\,A_{-}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ ».

Recherche de la solution forcée y_f(t)[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à déterminer la « solution forcée $\;y_{f}(t)\;$ solution particulière de $\;{\ddot {y_{f}}}(t)+c\;y_{f}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ de même forme^[147] que l'excitation $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » c'est-à-dire
     Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme générale « $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y})\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ »^[148], avec $\;\left(Y\,,\,\varphi _{y}\right)\in \mathbb {R} \;$ à déterminer, ou mieux,
     Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme particulière « $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » $\;{\big [}$ en raison de l'absence de terme du 1^er ordre dans l'équation différentielle ${\big ]}$ , le choix de $\;\varphi _{y}=0\;$ étant validée par le résultat trouvé :

« si $\;c\;$ est $\;>0\;$ », le report de $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;$ dans l'équation nous conduit à « $\;\left(-\omega ^{2}+c\right)\,Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$ » d'où la discussion suivante
$\;\succ \;$ « si $\;c\neq \omega ^{2}\;$ » on en déduit « $\;Y={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;$ » et par suite la solution forcée « $\;y_{f}(t)={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » et
$\;\succ \;$ « si $\;c=\omega ^{2}\;$ » on en déduit l'absence de solution forcée de même forme que l'excitation puisque cela conduirait à $\;Y\;$ infinie ;

\;\color {transparent}{\succ }\;

« si

\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;

» on cherche alors une « solution particulière de la forme^[149]

\;y_{f}(t)=Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})\;

»^[150]

\Rightarrow

«

\;{\dot {y_{f}}}(t)=Y'\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})+\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})\;

\Rightarrow

\;{\ddot {y_{f}}}(t)=2\;\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})-\omega ^{2}\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})\;

» soit, en reportant dans l'équation différentielle et en tenant compte de «

\;c=\omega ^{2}\;

», l'équation en

\;\left(Y'\,,\,\varphi _{y'}\right)\;

simplifiée suivante «

\;2\;\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})\;{\cancel {-\;\omega ^{2}\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})+c\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})}}\;=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;

» d'où «

\;\varphi _{y'}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;

»^[151] et «

\;Y'={\dfrac {E}{2\,\omega }}={\dfrac {E}{2\,{\sqrt {c}}}}\;

» et par suite «

\;y_{f}(t)=

{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin \!\left(\omega \,t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;

»^[152] ;

« si $\;c\;$ est $\;<0\;$ », le report de $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;$ dans l'équation nous conduit à « $\;\left(-\omega ^{2}+c\right)\,Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$ » $\Rightarrow$ « $\;Y=-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;$ » d'où « $\;y_{f}(t)=$ $-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ ».

Forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.[modifier | modifier le wikicode]

« Si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$ », « $\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )+{\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ », avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I^[132]. ;
« si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$ », « $\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\cos(\omega \;t+\varphi )-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ »^[153], avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I^[132]. ;
« si $\;c\;$ est $\;<0\;$ », « $\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A_{+}\,\exp({\sqrt {-c}}\;t)+A_{-}\,\exp(-{\sqrt {-c}}\;t)-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ », avec $\;\left(A_{+}\,,\,A_{-}\right)$ $\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I^[132]..

Utilisation des C.I. pour déterminer la solution complète y(t)[modifier | modifier le wikicode]

Il faut donc écrire dans les expressions précédentes « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y(0^{+})=y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit :

« si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$ », « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A\,\cos(\varphi )\qquad \qquad \qquad \qquad \quad =y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=-A\,{\sqrt {c}}\,\sin(\varphi )+{\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\omega ={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'où « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\,\cos(\varphi )=y_{0}\\A\,\sin(\varphi )={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit, en utilisant $\;A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )=$ $A\,\cos(\varphi )\,\cos({\sqrt {c}}\;t)-A\,\sin(\varphi )\,\sin({\sqrt {c}}\;t)$ , la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;y(t)=y_{0}\,\cos({\sqrt {c}}\;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\right]\sin({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » ;
« si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$ », « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A\,\cos(\varphi )\qquad \qquad \quad \quad =y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=-A\,\omega \,\sin(\varphi )-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'où « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\,\cos(\varphi )=y_{0}\\A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\,\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit, en utilisant la formule de trigonométrie $\;A\,\cos(\omega \;t+\varphi )=$ $A\,\cos(\varphi )\,\cos(\omega \;t)-A\,\sin(\varphi )\,\sin(\omega \;t)$ , la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;y(t)=y_{0}\,\cos(\omega \;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}+{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}}}\right]\sin(\omega \;t)-{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega }}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » ;
« si $\;c\;$ est $\;<0\;$ », « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A_{+}+A_{-}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\,=y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=A_{+}\,{\sqrt {-c}}-A_{-}\,{\sqrt {-c}}-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;\omega ={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'où « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{+}+A_{-}=y_{0}\\A_{+}-A_{-}={\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » dont on tire aisément les constantes cherchées « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{+}={\dfrac {1}{2}}\left[y_{0}+{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\right]\\A_{-}={\dfrac {1}{2}}\left[y_{0}-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » donnant effectivement la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] « $\;y(t)=\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\,{\sqrt {-c}}}{2\,{\sqrt {-c}}}}\right]\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,t\right)-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\,{\sqrt {-c}}}{2\,{\sqrt {-c}}}}\right]\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,t\right)-{\dfrac {E\,{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\,\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ ».

Résolution exposée sur un 2^ème exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en y(t) hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif^[14],
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à « excitation $\;e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)$ , $\;\left(E\,,\,E'\right)\in {\mathbb {R} ^{*}}^{2}\;$ »^[134] discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126]
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire avec les « C.I^[132]. $\;y(0^{-})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{-})=0\;$ »^[154],
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] s'écrivant

«

\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;

»^[155] avec «

\;\left(b\,,\,c\right)\in \left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;

»^[75]^,^[134] ou,
en notation de physique, posant «

\;c=\omega _{0}^{2}\;

avec

\;\omega _{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;

»^[75] et «

\;b=2\;\sigma \;\omega _{0}\;

avec

\;\sigma \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;

»^[75],
«

\;{\ddot {y}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {y}}(t)+\omega _{0}^{2}\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;

».

Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace »[modifier | modifier le wikicode]

La « transformée $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de l'excitation $\;e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$ » s'écrivant « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace +E'\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =$ ${\dfrac {E}{p}}+E'\;$ ^[156] pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[157], nous obtenons, en utilisant le « rappel des propriétés utilisées » énoncé plus haut dans ce chapitre ainsi que le caractère divergent en $\;t=0\;$ de $\;{\ddot {y}}(t)\;$ ^[155] et en notant « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace y(t)\right\rbrace =Y(p)\;$ » pour simplifier l'écriture,

«

\;\left[p^{2}\;Y(p){\cancel {-p\;y(0^{-})-{\dot {y}}(0^{-})}}\right]+b\,\left[p\;Y(p){\cancel {-y(0^{-})}}\right]+c\;Y(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;

pour

\;\Re (p)>0\;

»^[158]
soit «

\;p^{2}\;Y(p)+b\;p\;Y(p)+c\;Y(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;

pour

\;\Re (p)>0\;

» ou
en notation de physique, «

\;p^{2}\;Y(p)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;p\;Y(p)+\omega _{0}^{2}\;Y(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Détermination de la transformée de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I.[modifier | modifier le wikicode]

De l'équation précédente on tire aisément

«

\;Y(p)={\dfrac {E}{p\;(p^{2}+b\,p+c)}}+{\dfrac {E'}{p^{2}+b\,p+c}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

» sous condition «

\;p^{2}+b\,p+c\neq 0\;

»
ou, en notation de physique,
«

\;Y(p)={\dfrac {E}{p\;(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}+{\dfrac {E'}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

» sous condition «

\;p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}\neq 0\;

».

Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I.[modifier | modifier le wikicode]

Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;Y(p)\;$ sous $\;\Re (p)>0\;$ si $\;p^{2}+b\,p+c\neq 0\;$ » $\;{\big [}$ nécessairement réalisée pour $\;\Re (p)>0\;$ ^[159] ${\big ]}$ .

Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b² - 4 c est > 0[modifier | modifier le wikicode]

Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0[modifier | modifier le wikicode]

     Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0$ , « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines réelles distinctes $\;q_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ » la décomposition de $\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{p\;(p-q_{(+)})\;(p-q_{(-)})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;A(p)={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{(+)}}{p-q_{(+)}}}+{\dfrac {\rho _{(-)}}{p-q_{(-)}}}\;$ dans lequel on détermine
        « $\;\rho _{1}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{c}}=\rho _{1}\;$ d'où « $\;\rho _{1}={\dfrac {1}{c}}\;$ »,
        « $\;\rho _{(+)}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(+)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(+)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(+)}\,[q_{(+)}-q_{(-)}]}}=\rho _{(+)}\;$ se réécrivant, avec $\;q_{(+)}-q_{(-)}={\sqrt {b^{2}-4\;c}}\;$ selon « $\;\rho _{(+)}={\dfrac {1}{q_{(+)}\;{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}}\;$ » ou encore, avec $\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ selon « $\;\rho _{(+)}={\dfrac {2}{{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\right)}}\;$ » et
        « $\;\rho _{(-)}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(-)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(-)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(-)}\,[q_{(-)}-q_{(+)}]}}=\rho _{(-)}\;$ se réécrivant, avec $\;q_{(-)}-q_{(+)}=-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\;$ selon « $\;\rho _{(-)}={\dfrac {-1}{q_{(-)}\;{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}}\;$ » ou encore, avec $\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ selon « $\;\rho _{(-)}={\dfrac {2}{{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\left(b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\right)}}$ »
        soit finalement la décomposition de $\;A(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ selon

«

\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\,\left[{\dfrac {\dfrac {1}{q_{(+)}}}{p-q_{(+)}}}-{\dfrac {\dfrac {1}{q_{(-)}}}{p-q_{(-)}}}\right]\;

» avec
«

\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;

et

\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$ »^[160] et la décomposition de la 1^ère fonction rationnelle $\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit

«

\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\left[{\dfrac {q_{(-),\,{\text{réd}}}}{p-\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {q_{(+),\,{\text{réd}}}}{p-\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\;

»^[161] avec
«

\;q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;

et

\;q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;

».

Décomposition de la 2^ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0[modifier | modifier le wikicode]

     Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0$ , « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines réelles distinctes $\;q_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ » la décomposition de $\;B(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {1}{(p-q_{(+)})\;(p-q_{(-)})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;B(p)={\dfrac {{\rho '}_{(+)}}{p-q_{(+)}}}+{\dfrac {{\rho '}_{(-)}}{p-q_{(-)}}}\;$ dans lequel on détermine
        « $\;{\rho '}_{(+)}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(+)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(+)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(+)}-q_{(-)}}}={\rho '}_{(+)}\;$ se réécrivant, avec $\;q_{(+)}-q_{(-)}={\sqrt {b^{2}-4\;c}}\;$ selon « $\;{\rho '}_{(+)}={\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;$ » et
        « $\;{\rho '}_{(-)}\;$ » en multipliant les deux membres par $\;p-q_{(-)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(-)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(-)}-q_{(+)}}}={\rho '}_{(-)}\;$ se réécrivant, avec $\;q_{(-)}-q_{(+)}=-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\;$ selon « $\;{\rho '}_{(-)}={\dfrac {-1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;$ »
        soit finalement la décomposition de $\;B(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ selon

«

\;B(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-q_{(+)}}}-{\dfrac {1}{p-q_{(-)}}}\right]\;

» avec
«

\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;

et

\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$ »^[160] et la décomposition de la 2^ème fonction rationnelle $\;B(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit

«

\;B(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}={\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\;

» avec
«

\;q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;

et

\;q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;

».

Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0[modifier | modifier le wikicode]

En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans $\;Y(p)=E\;A(p)+E'\;B(p)\;$ nous obtenons, après regroupement des éléments irréductibles simples identiques

«

\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\left[{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'}{p-q_{(+)}}}-{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'}{p-q_{(-)}}}\right]\;

» avec
«

\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;

et

\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$ »^[160] et la décomposition de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit

«

\;Y(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'}{p-\omega _{0}\,q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'}{p-\omega _{0}\,q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\;

» avec
«

\;q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;

et

\;q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0[modifier | modifier le wikicode]

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\left[{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'}{p-q_{(+)}}}-{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'}{p-q_{(-)}}}\right]\;$ » sachant que

« $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace =Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[156] et
« $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+a}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[95] donc a fortiori pour $\;\Re (p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0$ ;

nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1], la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ c'est-à-dire dans le cas d'un régime apériodique :

«

\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'\right]\exp \!\left[q_{(+)}\;t\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'\right]\exp \!\left[q_{(-)}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;

»
avec «

\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}<0\;

et

\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}<0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$ »^[160] et la solution globale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] s'écrit

«

\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}\;t\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;

» avec
«

\;q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;

et

\;q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;

».

Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial^[162] : Faisons $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ puis
Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans celle de sa dérivée temporelle $\;{\dot {y}}(t)\;$ ^[27] nous obtenons :

« $\;y(0^{+})={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\left\lbrace 1+{\dfrac {1}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[{\dfrac {1}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {1}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\right\rbrace \;$ » ou, sachant que « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {1}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}=q_{(-),\,{\text{réd}}}\\{\dfrac {1}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}=q_{(+),\,{\text{réd}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ »^[161], « $\;y(0^{+})$ $={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\left\lbrace 1+{\dfrac {1}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[q_{(-),\,{\text{réd}}}-q_{(+),\,{\text{réd}}}\right]\right\rbrace \;$ » soit encore, avec « $\;q_{(-),\,{\text{réd}}}-q_{(+),\,{\text{réd}}}=-2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$ » la valeur post-initiale de la solution « $\;y(0^{+})=0\;$ » en accord avec la continuité de la solution à l'instant initial ;
« $\;{\dot {y}}(t)\;$ ^[27] contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$ ^[27] : $\;{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\delta (t)+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}\;t\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}\;t\right]\right\rbrace \delta (t)+\cdots \;$ » s'annulant en $\;t=0^{+}\;$ ^[163] et un dernier terme « $\;{\dot {y}}(t)=\cdots +\left\lbrace {\dfrac {\left[E+\omega _{0}\;E'\;q_{(+),\,{\text{réd}}}\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}\;t\right]-\left[E+\omega _{0}\;E'\;q_{(-),\,{\text{réd}}}\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}\;t\right]}{2\,\omega _{0}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\right\rbrace \,Y(t)\;$ » dans lequel on a « $\;Y(0^{+})=1\;$ » d'où « $\;{\dot {y}}(0^{+})$ $={\dfrac {E'\left[q_{(+),\,{\text{réd}}}-q_{(-),\,{\text{réd}}}\right]}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\;$ » soit finalement, avec « $\;q_{(+),\,{\text{réd}}}-q_{(-),\,{\text{réd}}}=2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$ », la valeur post-initiale de la dérivée temporelle de la solution « $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ »^[164] en accord avec la discontinuité de 1^ère espèce de la dérivée temporelle^[117] de la solution à l'instant initial.

Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b² - 4 c est = 0[modifier | modifier le wikicode]

Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0[modifier | modifier le wikicode]

     Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0$ , « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant une racine double réelle $\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;$ » la décomposition de $\;A'(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{p\,\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;A'(p)={\dfrac {\rho _{2}}{p}}+{\dfrac {\rho _{(d),\,1}}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}+{\dfrac {\rho _{(d),\,2}}{p-q_{(d)}}}\;$ dans lequel on détermine
        « $\;\rho _{2}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{c}}=\rho _{2}\;$ d'où « $\;\rho _{2}={\dfrac {1}{c}}\;$ »,
        « $\;\rho _{(d),\,1}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;\left[p-q_{(d)}\right]^{2}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(d)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(d)}}}=\rho _{(d),\,1}\;$ d'où selon « $\;\rho _{(d),\,1}={\dfrac {1}{q_{(d)}}}=-{\dfrac {1}{\sqrt {c}}}\;$ » et
        « $\;\rho _{(d),\,2}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(d)}\;$ puis en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit $\;0=\rho _{2}+\rho _{(d),\,2}\;$ d'où « $\;\rho _{(d),\,2}=-\rho _{2}\;$ » ou sachant que $\;\rho _{2}={\dfrac {1}{c}}$ , « $\;\rho _{(d),\,2}=-{\dfrac {1}{c}}\;$ »
        soit finalement la décomposition de $\;A'(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ selon

«

\;A'(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\sqrt {c}}}\,{\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}-{\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p-q_{(d)}}}\;

» avec
«

\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$ »^[160] et la décomposition de la 1^ère fonction rationnelle $\;A'(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit

«

\;A'(p)=\left[{\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\right]_{\sigma =1}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}}}\,{\dfrac {1}{\left[p-\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}\right]^{2}}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}}}\;

» avec «

\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1\;

»,
soit «

\;A'(p)=\left[{\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\right]_{\sigma =1}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}}}\,{\dfrac {1}{\left[p+\omega _{0}\right]^{2}}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p+\omega _{0}}}\;

».

Décomposition de la 2^ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0[modifier | modifier le wikicode]

Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0$ , « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant une racine double réelle $\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;$ » la décomposition de $\;B'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}\;$ en éléments irréductibles simples est déjà réalisée selon

«

\;B'(p)={\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}\;

» avec «

\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$ »^[160] et la décomposition de la 2^ème fonction rationnelle est selon

«

\;B'(p)=\left[{\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\right]_{\sigma =1}={\dfrac {1}{\left[p-\omega _{0}\,q_{(d),\,{\text{réd}}}\right]^{2}}}\;

» avec «

\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1\;

»,
soit «

\;B'(p)=\left[{\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\right]_{\sigma =1}={\dfrac {1}{\left[p+\omega _{0}\right]^{2}}}\;

».

Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0[modifier | modifier le wikicode]

En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans $\;Y(p)=E\;A'(p)+E'\;B'(p)\;$ nous obtenons, après regroupement des éléments irréductibles simples identiques

«

\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p-q_{(d)}}}\;

»
avec «

\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$ »^[160] et la décomposition de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit

«

\;Y(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p-\omega _{0}\,q_{(d),\,{\text{réd}}}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\,q_{(d),\,{\text{réd}}}}}\;

»
avec «

\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1

pour

\;\Re (p)>0\;

»,
soit «

\;Y(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p+\omega _{0}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p+\omega _{0}}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4 c est = 0[modifier | modifier le wikicode]

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p-q_{(d)}}}\;$ » sachant que

« $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace =Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[156],
« $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+a}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[95] donc a fortiori pour $\;\Re e(p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0$ et
$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{(p+a)^{2}}}\right\rbrace =t\;\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ^[141] pour $\;\Re e(p)>-a\;$ donc a fortiori pour $\;\Re (p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0$ ;

nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1], la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ c'est-à-dire dans le cas d'un régime apériodique critique :

«

\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[q_{(d)}\;t\right]+{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left[q_{(d)}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;

»
avec «

\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}<0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$ »^[160] et la solution globale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] s'écrit

«

\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}\;t\right]+{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;

» avec «

\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1\;

»
ou «

\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]+{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;

».

Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial^[162] : Faisons $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ puis
Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans celle de sa dérivée temporelle $\;{\dot {y}}(t)\;$ ^[27] nous obtenons :

« $\;y(0^{+})={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}=0\;$ » d'où la valeur post-initiale de la solution « $\;y(0^{+})=0\;$ » en accord avec la continuité de la solution à l'instant initial ;
« $\;{\dot {y}}(t)\;$ ^[27] contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$ ^[27] : $\;{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\delta (t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]+{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]\right\rbrace \delta (t)+\cdots \;$ » s'annulant en $\;t=0^{+}\;$ ^[163] et un dernier terme « $\;{\dot {y}}(t)=$ $\cdots -\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]\omega _{0}\;t\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\omega _{0}\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]\right\rbrace \,Y(t)\;$ » dans lequel on a « $\;Y(0^{+})=1\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dot {y}}(0^{+})=\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]-{\dfrac {E}{\omega _{0}}}\;$ » d'où la valeur post-initiale de la dérivée temporelle de la solution « $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ »^[164] en accord avec la discontinuité de 1^ère espèce de la dérivée temporelle^[117] de la solution à l'instant initial.

Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b² - 4 c est < 0[modifier | modifier le wikicode]

Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0[modifier | modifier le wikicode]

     Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0$ , « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines complexes conjuguées $\;{\underline {q_{(\pm )}}}={\dfrac {-b\pm i\,{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}=q_{re}\pm i\,q_{im}\;$ où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=\Re \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}=\Im \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$ », la décomposition de $\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;A''(p)={\dfrac {\rho _{3}}{p}}+{\dfrac {\rho _{c,\,1}\,p+\rho _{c,\,2}}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {\rho _{3}}{p}}+{\dfrac {\rho _{c,\,1}\,p+\rho _{c,\,2}}{\left[p+{\dfrac {b}{2}}\right]^{2}+c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}={\dfrac {\rho _{3}}{p}}+{\dfrac {\rho _{c,\,1}\,p+\rho _{c,\,2}}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ dans lequel on détermine
        « $\;\rho _{3}\;$ » en multipliant chaque membre par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{c}}=\rho _{3}\;$ d'où « $\;\rho _{3}={\dfrac {1}{c}}\;$ »,
        « $\;\rho _{c,\,1}\;$ » en multipliant chaque membre par exemple par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit $\;0=\rho _{3}+\rho _{c,\,1}\;$ d'où selon « $\;\rho _{c,\,1}=-\rho _{3}\;$ » ou sachant que $\;\rho _{3}={\dfrac {1}{c}}$ , « $\;\rho _{c,\,1}=-{\dfrac {1}{c}}\;$ » et
        « $\;\rho _{c,\,2}\;$ » en multipliant chaque membre par exemple par $\;p-q_{re}-i\,q_{im}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{re}+i\,q_{im}\;$ ${\big [}$ le trinôme « $\;p^{2}+b\,p+c\;$ s'écrivant encore $\;(p-q_{re}-i\,q_{im})\;(p-q_{re}+i\,q_{im})\;$ » ${\big ]}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{(q_{re}+i\,q_{im})\;(2\,i\,q_{im})}}$ $={\dfrac {\rho _{c,\,1}\;(q_{re}+i\,q_{im})+\rho _{c,\,2}}{2\,i\,q_{im}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\rho _{c,\,1}\;(q_{re}+i\,q_{im})+\rho _{c,\,2}={\dfrac {1}{q_{re}+i\,q_{im}}}={\dfrac {q_{re}-i\,q_{im}}{q_{re}^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{c,\,1}\;q_{re}+\rho _{c,\,2}={\dfrac {q_{re}}{q_{re}^{2}+q_{im}^{2}}}\\\rho _{c,\,1}\;{\cancel {(i\,q_{im})}}=-{\dfrac {\cancel {i\,q_{im}}}{q_{re}^{2}+q_{im}^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec $\;q_{re}^{2}+q_{im}^{2}=\left({\dfrac {-b}{2}}\right)^{\!2}+{\dfrac {\vert \Delta \vert }{4}}$ $={\dfrac {b^{2}}{4}}+\left(c-{\dfrac {b^{2}}{4}}\right)=c\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho _{c,\,1}\;q_{re}+\rho _{c,\,2}={\dfrac {q_{re}}{c}}\;$ ou « $\;\rho _{c,\,2}={\dfrac {q_{re}}{c}}-\rho _{c,\,1}\;q_{re}\;$ » et, avec $\;\rho _{c,\,1}=-{\dfrac {1}{c}}\;$ ^[165], « $\;\rho _{c,\,2}={\dfrac {2\;q_{re}}{c}}=-{\dfrac {b}{c}}\;$ »
        soit finalement la décomposition de $\;A''(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ selon

«

\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{c}}\,{\dfrac {p+b}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;

» avec
«

\;q_{re}={\dfrac {-b}{2}}<0\;

et

\;q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}={\sqrt {c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}>0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$ »^[160] et la décomposition de la 1^ère fonction rationnelle $\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit

«

\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {p+2\,\sigma \,\omega _{0}}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}\;

» ou
avec «

\;\alpha =\sigma \;\omega _{0}\;

» et «

\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}};

»
«

\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {p+2\;\alpha }{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}\;

».

Décomposition de la 2^ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0[modifier | modifier le wikicode]

Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0$ , « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines complexes conjuguées $\;{\underline {q_{(\pm )}}}={\dfrac {-b\pm i\,{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}=q_{re}\pm i\,q_{im}\;$ où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=\Re \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}=\Im \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$ », la décomposition de $\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}\;$ en éléments irréductibles simples est déjà réalisée selon

«

\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {1}{\left[p+{\dfrac {b}{2}}\right]^{2}+c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}={\dfrac {1}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;

»
avec «

\;q_{re}={\dfrac {-b}{2}}<0\;

et

\;q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}={\sqrt {c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}>0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$ »^[160] et la décomposition de la 2^ème fonction rationnelle $\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\;$ en éléments irréductibles simples est selon

«

\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}={\dfrac {1}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}\;

» ou
avec «

\;\alpha =\sigma \;\omega _{0}\;

» et «

\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}};

»
«

\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}={\dfrac {1}{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}\;

».

Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0[modifier | modifier le wikicode]

En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans $\;Y(p)=E\;A''(p)+E'\;B''(p)\;$ on obtient, après regroupement des éléments simples identiques

«

\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {p+b}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;

» avec
«

\;q_{re}={\dfrac {-b}{2}}<0\;

et

\;q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}={\sqrt {c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}>0\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$ »^[160] et la décomposition de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit

«

\;Y(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {p+2\;\sigma \;\omega _{0}}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

» ou
avec «

\;\alpha =\sigma \;\omega _{0}\;

» et «

\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}};

»
«

\;Y(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {p+2\;\alpha }{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}\;

pour

\;\Re (p)>0\;

».

Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4 c est < 0[modifier | modifier le wikicode]

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] $\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {p+b}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ » sachant que

« $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace =Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »^[156],
« $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+b^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\cos(b\;t)\;Y(t)\;$ avec $\;b>0\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[105] donc a fortiori pour $\;\Re (p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0$ et
« $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {b}{(p+a)^{2}+b^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\sin(b\;t)\;Y(t)\;$ avec $\;b>0\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »^[105] donc a fortiori pour $\;\Re (p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0$ ;

nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ inverse de Laplace^[1], la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ c'est-à-dire dans le cas d'un régime pseudo-périodique :

«

\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-\left[{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left(q_{re}\;t\right)\;\cos \!\left(q_{im}\;t\right)-\left({\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {q_{re}}{q_{im}}}+{\dfrac {E'}{q_{im}}}\right)\exp \!\left(q_{re}\;t\right)\;\sin \!\left(q_{im}\;t\right)\right]Y(t)\;

»^[166] avec
«

\;q_{re}={\dfrac {-b}{2}}<0\;

et

\;q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}={\sqrt {c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}>0\;

».

Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$ », « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$ »^[160] et la solution globale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] s'écrit

«

\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t\right)+\left({\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {\alpha }{\omega }}-{\dfrac {E'}{\omega }}\right)\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t\right)\right]Y(t)\;

»
avec «

\;\alpha =\sigma \;\omega _{0}\;

et

\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;

».

Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial^[162] : Faisons $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ puis
Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans celle de sa dérivée temporelle $\;{\dot {y}}(t)\;$ ^[27] nous obtenons :

« $\;y(0^{+})={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}=0\;$ » d'où la valeur post-initiale de la solution « $\;y(0^{+})=0\;$ » en accord avec la continuité de la solution à l'instant initial ;
« $\;{\dot {y}}(t)\;$ ^[27] contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(t)=\delta (t)\;$ ^[27] : $\;{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\delta (t)-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t\right)+\left({\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {\alpha }{\omega }}-{\dfrac {E'}{\omega }}\right)\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t\right)\right]\delta (t)+\cdots \;$ » s'annulant en $\;t=0^{+}\;$ ^[163] et un dernier terme « $\;{\dot {y}}(t)=$ $\cdots +\left\lbrace \alpha \,\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t\right)+\left({\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {\alpha }{\omega }}-{\dfrac {E'}{\omega }}\right)\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t\right)\right]+\omega \,\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t\right)-\left({\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {\alpha }{\omega }}-{\dfrac {E'}{\omega }}\right)\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t\right)\right]\right\rbrace \,\,Y(t)\;$ » dans lequel on a « $\;Y(0^{+})=1\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dot {y}}(0^{+})=\alpha \;{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}+\left(E'-\alpha \;{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\right)\;$ » d'où la valeur post-initiale de la dérivée temporelle de la solution « $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ »^[164] en accord avec la discontinuité de 1^ère espèce de la dérivée temporelle^[117] de la solution à l'instant initial.

Comparaison de la méthode classique de résolution d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants hétérogènes et de la méthode par transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons que la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ou hétérogène par transformation $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] est un complément de P.C.S.I. pour le domaine de la physique^[143] et que seule la méthode de résolution par solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I^[132]. peut être utilisée dans le domaine de la physique ;

nous allons donc vérifier, dans l'exemple de « $\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)$ , $\;\left(E\,,\,E'\right)\in {\mathbb {R} ^{*}}^{2}\;$ »^[134] discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[126] avec les « C.I^[132]. $\;y(0^{-})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{-})=0\;$ »^[154] en reprenant la résolution par méthode classique de recherche des solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I^[132]..

Recherche de la solution libre y_l(t)[modifier | modifier le wikicode]

Soit à résoudre « $\;{\ddot {y_{l}}}(t)+b\;{\dot {y}}_{l}(t)+c\;y_{l}(t)=0\;$ » d'équation caractéristique^[144] « $\;s^{2}+b\;s+c=0\;$ »^[167] de racines différentes suivant le signe de $\;\Delta =b^{2}-4\;c$ :

« si $\;\Delta \;$ est $\;>0\;$ », l'équation caractéristique^[144] a « deux racines réelles distinctes $\;s_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm \,{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;$ » $\Rightarrow$ la solution libre « $\;y_{l}(t)=A_{(+)}\,\exp \!\left[s_{(+)}\;t\right]+A_{(-)}\,\exp \!\left[s_{(-)}\;t\right]\;$ avec les deux constantes d'intégration $\;\left\lbrace (A_{(+)}\,,\,A_{(-)}\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$ »^[168],
« si $\;\Delta \;$ est $\;=0\;$ », elle a « une racine réelle double $\;s_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}\;$ » $\Rightarrow$ la solution libre « $\;y_{l}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left[s_{(d)}\;t\right]\;$ avec $\;\left\lbrace (A\,,\,B\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$ »^[169] et
« si $\;\Delta \;$ est $\;<0\;$ », elle a « deux racines complexes conjuguées distinctes $\;{\underline {s}}_{(c,\,\pm )}={\dfrac {-b\pm \,i\,{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;$ » $\Rightarrow$ la solution libre « $\;y_{l}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)\;$ avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ »^[170].

Recherche de la solution forcée y_f(t)[modifier | modifier le wikicode]

Soit à déterminer la « solution forcée $\;y_{f}(t)\;$ solution particulière de $\;{\ddot {y_{f}}}(t)+b\;{\dot {y_{f}}}(t)+c\;y_{f}(t)=E\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ de même forme^[147] que l'excitation $\;e(t)=E\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » c'est-à-dire
Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme générale « $\;y_{f}(t)=cste\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ »^[171] ;

le report de $\;y_{f}(t)=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dot {y_{f}}}(t)=0\\{\ddot {y_{f}}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ dans l'équation nous conduit à « $\;c\;cste=E\;\;\forall \;t>0\;$ » d'où la solution forcée « $\;y_{f}(t)={\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ ».

Forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.[modifier | modifier le wikicode]

« Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ », « $\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A_{(+)}\,\exp \!\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+A_{(-)}\,\exp \!\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+{\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » avec « $\;\left\lbrace (A_{(+)}\,,\,A_{(-)}\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$ » à déterminer par C.I^[132].,
« si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ », « $\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]+{\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » avec « $\;\left\lbrace (A\,,\,B\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$ » à déterminer par C.I^[132]. et
« si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ », « $\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)+{\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ » avec « $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ » à déterminer par C.I^[132]..

Utilisation des C.I. pour déterminer la solution complète y(t)[modifier | modifier le wikicode]

Pour déterminer les deux constantes d'intégration il faut faire $\;t=0^{+}\;$ dans les expressions précédentes et pour cela
Pour établir au préalable les valeurs de « $\;y(0^{+})\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})\;$ » connaissant celles de « $\;y(0^{-})\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{-})\;$ » ainsi que la nature de la discontinuité de $\;y(t)\;$ et celle de $\;{\dot {y}}(t)\;$ ^[117] $\;{\big [}$ voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ :

l'équation différentielle pour tout $\;t\;$ s'écrivant « $\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$ » dans laquelle l'excitation est discontinue de 2^ème espèce^[126] nous en déduisons

« $\;{\ddot {y}}(t)\;$ discontinue de 2^ème espèce »^[126],
« $\;{\dot {y}}(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce »^[34] $\Rightarrow$ « $\;{\dot {y}}(0^{+})-{\dot {y}}(0^{-})\;$ finie » $\;{\Bigg [}$ pour cela il suffit d'intégrer $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ ce qui donne, « $\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\ddot {y}}(t)\,dt\;{\cancel {+\;b\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {y}}(t)\,dt+c\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}y(t)\,dt}}\;=\;$ ${\cancel {E\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}Y(t)\,dt\;+}}\;E'\;{\cancel {\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt}}\;$ soit $\;{\dot {y}}(0^{+})-{\dot {y}}(0^{-})=E'\;$ » ou, avec $\;{\dot {y}}(0^{-})=0$ , « $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ » ${\Bigg ]}\;$ et
« $\;y(t)\;$ continue » $\Rightarrow$ « $\;y(0^{+})=y(0^{-})\;$ » soit, avec $\;y(0^{-})=0$ , « $\;y(0^{+})=0\;$ » ;

utilisant les « valeurs de $\;y(0^{+})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ » dans les expressions de $\;y(t)\;$ et $\;{\dot {y}}(t)\;$ suivant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ nous obtenons :

      $\blacktriangleright \;$ « si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ », « $\;y(0^{+})=A_{(+)}+A_{(-)}+{\dfrac {E}{c}}=0\;$ » $\Rightarrow$ « $\;A_{(+)}+A_{(-)}=-{\dfrac {E}{c}}\;$ » d'une part et
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », avec « $\;{\dot {y}}(t)=A_{(+)}\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+A_{(-)}\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dot {y}}(0^{+})=A_{(+)}\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]+A_{(-)}\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]\;$ » soit, avec $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ et en regroupant les termes identiques, « $\;\left[A_{(+)}+A_{(-)}\right]{\dfrac {-b}{2}}+\left[A_{(+)}-A_{(-)}\right]{\dfrac {\sqrt {\Delta }}{2}}=E'\;$ » d'autre part d'où
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », $\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{(+)}+A_{(-)}=-{\dfrac {E}{c}}\\A_{(+)}-A_{(-)}={\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\Delta }}}+{\dfrac {b}{\sqrt {\Delta }}}\left[A_{(+)}+A_{(-)}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{(+)}+A_{(-)}=-{\dfrac {E}{c}}\\A_{(+)}-A_{(-)}={\dfrac {2\;E'-b\;{\dfrac {E}{c}}}{\sqrt {\Delta }}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{(+)}={\dfrac {E'}{\sqrt {\Delta }}}-{\dfrac {\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{c}}}{2\;{\sqrt {\Delta }}}}\\A_{(-)}=-{\dfrac {E'}{\sqrt {\Delta }}}+{\dfrac {\left(b-{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{c}}}{2\;{\sqrt {\Delta }}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit finalement la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1]

«

\;y(t)={\dfrac {E}{c}}+{\dfrac {1}{\sqrt {\Delta }}}\left\lbrace \left[E'-\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{2\;c}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+\left[-E'+\left(b-{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{2\;c}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]\right\rbrace \;\;{\text{pour}}\;t>0\;

»^[172] ;

      $\blacktriangleright \;$ « si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ », « $\;y(0^{+})=A+{\dfrac {E}{c}}=0\;$ » $\Rightarrow$ « $\;A=-{\dfrac {E}{c}}\;$ » d'une part et
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$ », avec « $\;{\dot {y}}(t)=B\;\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]-{\dfrac {b}{2}}\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dot {y}}(0^{+})=B-{\dfrac {b}{2}}\;A\;$ » soit, avec $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ et $\;A=-{\dfrac {E}{c}}$ , « $\;B=E'-{\dfrac {b}{2\;c}}\;E\;$ » d'autre part
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ », soit finalement la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1]

«

\;y(t)={\dfrac {E}{c}}+\left[-{\dfrac {E}{c}}+\left(E'-{\dfrac {b}{2\;c}}\;E\right)\,t\right]\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]\;\;{\text{pour}}\;t>0\;

»
ou, sachant que «

\;b=2\;{\sqrt {c}}\;

»,
«

\;y(t)={\dfrac {E}{c}}+\left[-{\dfrac {E}{c}}+\left(E'-{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}\right)\,t\right]\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]\;\;{\text{pour}}\;t>0\;

»^[173] ;

      $\blacktriangleright \;$ « si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ », « $\;y(0^{+})=A\;\cos(\varphi )+{\dfrac {E}{c}}=0\;$ » $\Rightarrow$ « $\;A\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{c}}\;$ » d'une part et
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ », avec « $\;{\dot {y}}(t)=-{\dfrac {b}{2}}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)-{\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\dot {y}}(0^{+})=-{\dfrac {b}{2}}\;A\;\cos(\varphi )-{\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;A\;\sin(\varphi )\;$ » soit, avec $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ et $\;A\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{c}}$ , « $\;A\;\sin(\varphi )=-{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}+{\dfrac {b\;E}{c\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}}\;$ » d'autre part d'où
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ », $\left\lbrace {\begin{array}{l}A\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{c}}\\A\;\sin(\varphi )={\dfrac {b\;E}{c\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}}-{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ce qui permettrait d'exprimer $\;A={\sqrt {\left[A\;\cos(\varphi )\right]^{2}+\left[A\;\sin(\varphi )\right]^{2}}}\;$ d'une part et $\;\varphi \,\in \left]-\pi \,,\,\pi \right]\;$ d'autre part^[174] mais $\;\ldots$
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ », comme nous cherchons à identifier $\;y(t)\;$ obtenue ici avec l'originale de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1] et que celle-ci a été exprimée en fonction de $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;$ et $\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)$ , nous en déduisons finalement, en utilisant $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)=\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;\cos(\varphi )-\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;\sin(\varphi )$ ,
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ », une solution identique à celle trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace^[1]

«

\;y(t)={\dfrac {E}{c}}-{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)+\left(-{\dfrac {b\;E}{c\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}}+{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;

»^[175].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ ^1,000 ^1,001 ^1,002 ^1,003 ^1,004 ^1,005 ^1,006 ^1,007 ^1,008 ^1,009 ^1,010 ^1,011 ^1,012 ^1,013 ^1,014 ^1,015 ^1,016 ^1,017 ^1,018 ^1,019 ^1,020 ^1,021 ^1,022 ^1,023 ^1,024 ^1,025 ^1,026 ^1,027 ^1,028 ^1,029 ^1,030 ^1,031 ^1,032 ^1,033 ^1,034 ^1,035 ^1,036 ^1,037 ^1,038 ^1,039 ^1,040 ^1,041 ^1,042 ^1,043 ^1,044 ^1,045 ^1,046 ^1,047 ^1,048 ^1,049 ^1,050 ^1,051 ^1,052 ^1,053 ^1,054 ^1,055 ^1,056 ^1,057 ^1,058 ^1,059 ^1,060 ^1,061 ^1,062 ^1,063 ^1,064 ^1,065 ^1,066 ^1,067 ^1,068 ^1,069 ^1,070 ^1,071 ^1,072 ^1,073 ^1,074 ^1,075 ^1,076 ^1,077 ^1,078 ^1,079 ^1,080 ^1,081 ^1,082 ^1,083 ^1,084 ^1,085 ^1,086 ^1,087 ^1,088 ^1,089 ^1,090 ^1,091 ^1,092 ^1,093 ^1,094 ^1,095 ^1,096 ^1,097 ^1,098 ^1,099 ^1,100 ^1,101 ^1,102 ^1,103 ^1,104 ^1,105 ^1,106 ^1,107 ^1,108 ^1,109 ^1,110 ^1,111 ^1,112 ^1,113 ^1,114 ^1,115 ^1,116 ^1,117 ^1,118 ^1,119 ^1,120 ^1,121 ^1,122 ^1,123 ^1,124 ^1,125 ^1,126 ^1,127 ^1,128 ^1,129 ^1,130 ^1,131 ^1,132 ^1,133 ^1,134 ^1,135 ^1,136 ^1,137 ^1,138 ^1,139 ^1,140 ^1,141 ^1,142 ^1,143 ^1,144 ^1,145 ^1,146 ^1,147 et ^1,148 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire $\;{\big (}$ expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ${\big )}\;$ ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ${\big )}$ ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ calcul différentiel et calcul intégral ${\big )}\;$ dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
↑ ^2,0 ^2,1 et ^2,2 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » $\;{\big (}$ a priori il s'agit de positif au sens large ${\big )}$ .
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 et ^4,6 En supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant $\;t=0$ , les effets ne pouvant se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout $\;t<0\;$ sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction ne traduit pas les effets d'une cause.
↑ ^5,0 et ^5,1 $\;t_{0}\;$ étant un réel quelconque $\;>0$ .
↑ Elle n'est donc pas nécessairement définie pour $\;t=0$ .
↑ Ainsi $\;f(0^{+})\;$ peut être fini, ou
Ainsi $\;f(t)\;$ n'avoir aucune limite quand $\;t\rightarrow 0^{+}\;$ en restant de valeur absolue bornée $\;{\Big [}$ comme $\;\sin \!\left({\dfrac {A}{t}}\right){\Big ]}\;$ ou même
Ainsi $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ avoir une limite infinie à condition que son équivalent soit de la forme $\;{\dfrac {A}{t^{\gamma '}}}\;$ avec $\;\gamma '<\gamma \;$ tous deux $\;\in \left]0\,,\,1\right[$ .
↑ C.-à-d. que la fonction $\;\vert f(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha \;$ et $\;\forall \,t\,>\,0$ .
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 ^9,4 et ^9,5 C.-à-d. à support positif $\;{\big (}$ voir précision dans la note « ³ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ .
↑ C.-à-d. au voisinage de $\;0$ , la « condition d'existence de $\;\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }f(t)\;dt\;$ $\;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0){\big ]}\;$ » est « $\;\exists \;\gamma \,\in \,\left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$ » ;
on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;f(t)={\dfrac {1}{t}}\;$ puisqu'elle ne respecte pas cette condition.
↑ Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est $\;f(t)=\exp(t^{2})$ , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;f(t)=\exp(t^{2})$ .
↑ Bien que $\;p\;$ soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas $\;{\underline {p}}\;$ pour simplifier l'écriture.
↑ ^13,00 ^13,01 ^13,02 ^13,03 ^13,04 ^13,05 ^13,06 ^13,07 ^13,08 ^13,09 ^13,10 ^13,11 ^13,12 ^13,13 ^13,14 ^13,15 ^13,16 ^13,17 ^13,18 ^13,19 ^13,20 ^13,21 ^13,22 ^13,23 ^13,24 ^13,25 ^13,26 ^13,27 ^13,28 ^13,29 ^13,30 ^13,31 ^13,32 ^13,33 ^13,34 ^13,35 ^13,36 ^13,37 ^13,38 ^13,39 ^13,40 ^13,41 ^13,42 ^13,43 ^13,44 ^13,45 ^13,46 et ^13,47 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^14,0 ^14,1 ^14,2 ^14,3 ^14,4 et ^14,5 Sous condition d'existence de transformée de Laplace.
↑ ^15,0 et ^15,1 Alors que $\;f(0^{-})=0\;$ pour une fonction $\;f\;$ à support positif, pour une fonction $\;f\;$ à support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})$ , $\;f(0^{-})\neq 0$ .
↑ ^16,0 ^16,1 ^16,2 ^16,3 ^16,4 ^16,5 et ^16,6 Au sens des distributions.
↑ ^17,0 et ^17,1 Ceci nécessitant que $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\;$ où $\;f(t)\;$ est la distribution et $\;\beta \;$ un réel quelconque $\;\geqslant \alpha \;$ soit une distribution tempérée ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une distribution à support compact $\;{\big (}$ le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts ${\big )}$ ,
   par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ a pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace$ , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et
   par exemple la distribution $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;\delta (t)\;$ a également pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ évidemment compact et ceci pour tout $\;\beta \in \mathbb {R}$ ;
   par exemple on peut donc définir la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité, son abscisse de convergence $\;\alpha \;$ étant $\;-\infty$ .
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, voir la note « ¹⁹ » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.
   Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, voir la note « ¹⁷ » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 ^18,3 ^18,4 ^18,5 ^18,6 et ^18,7 Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphie, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom $\;{\big (}$ encore appelée échelon ou marche ${\big )}\;$ utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ L'abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la fonction de Heaviside étant $\;\alpha =0$ .
↑ ^20,0 ^20,1 ^20,2 et ^20,3 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ ^21,0 et ^21,1 Il s'agit d'une distribution telle que $\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\;dt=1\;$ avec intégration ainsi que dérivation au sens des distributions, voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ L'abscisse de convergence de la transformée de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité étant $\;\alpha =-\infty$ .
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 et ^23,4 Voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul d'intégrale (exposé de la méthode d'intégration par parties) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ D'une part le résultat autorise $\;p=0\;$ alors que la démonstration utilise $\;{\dfrac {1}{p}}$ , d'autre part l'i.p.p. fait intervenir successivement $\;\left[\exp(-p\,t)\;Y(t)\right]_{0^{-}}^{+\infty }\;$ et $\;\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }\;$ qui diverge quand $\;\Re (p)\;$ est $\;<0\;$ sans mettre en évidence qu'il y a en fait compensation.
↑ Démonstration que nous ne ferons pas.
↑ L'abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la fonction rampe étant $\;\alpha =0$ .
↑ ^27,00 ^27,01 ^27,02 ^27,03 ^27,04 ^27,05 ^27,06 ^27,07 ^27,08 ^27,09 ^27,10 ^27,11 ^27,12 ^27,13 ^27,14 ^27,15 ^27,16 ^27,17 ^27,18 ^27,19 ^27,20 ^27,21 ^27,22 ^27,23 ^27,24 ^27,25 ^27,26 ^27,27 ^27,28 ^27,29 ^27,30 ^27,31 ^27,32 ^27,33 ^27,34 ^27,35 ^27,36 ^27,37 ^27,38 et ^27,39 Dans le cas d'une distribution, l'intégration $\;{\big (}$ ou la dérivation ${\big )}\;$ doit être faite au sens des distributions.
↑ ^28,0 et ^28,1 On vérifie, sur les exemples, que l'abscisse de convergence de la dérivée est $\;\leqslant \;$ à l'abscisse de convergence de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ c'est-à-dire « $\;\alpha '\leqslant \alpha \;$ », ceci ayant pour conséquence que la dérivation de la fonction $\;{\big \{}$ ou la dérivation de la distribution $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}{\big \}}\;$ élargit le domaine de validité de la transformée de Laplace associée.
↑ C.-à-d. $\;\lim _{t\,\rightarrow \,0}{\dot {f}}(t)=\infty$ ou n'existe pas.
↑ Si la fonction que l'on dérive est à support positif, $\;f(0^{-})=0\;$ et le lien entre les deux transformées de Laplace se réécrit « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ », c'est le cas de $\;f(t)=Y(t)$ ;
dans le cas d'une fonction à support positif étendu à gauche ou d'une distribution il n'y a pas de simplification « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{-})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ ».
↑ C.-à-d. pour $\;f(t)\;$ une fonction à support positif, $\;\lim _{t\,\rightarrow \,0^{+}}{\dot {f}}(t)\;$ existe et est finie $\;{\Big \{}\lim _{t\,\rightarrow \,0^{-}}{\dot {f}}(t)\;$ étant nulle ${\Big \}}$ ;
C.-à-d. pour $\;f(t)\;$ une fonction à support positif étendu à gauche de $\;0$ , $\;\lim _{t\,\rightarrow \,0^{+}}{\dot {f}}(t)\;$ existe et est finie de même que $\;\lim _{t\,\rightarrow \,0^{-}}{\dot {f}}(t)\;$ mais $\;{\dot {f}}(0^{+})\;$ peut être $\;\neq \;$ de $\;{\dot {f}}(0^{-})\;$ en général non nulle.
↑ ^32,00 ^32,01 ^32,02 ^32,03 ^32,04 ^32,05 ^32,06 ^32,07 ^32,08 ^32,09 ^32,10 ^32,11 ^32,12 ^32,13 ^32,14 ^32,15 et ^32,16 Éventuellement au sens des distributions.
↑ ^33,0 et ^33,1 En effet $\;\Re (p)\;$ étant $\;>\alpha$ , $\;\lim \limits _{\Re (p)\,\rightarrow \,+\infty }\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]=0\;$ compte-tenu du fait que $\;f(t)\;$ est « d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$ ».
↑ ^34,00 ^34,01 ^34,02 ^34,03 ^34,04 ^34,05 ^34,06 ^34,07 ^34,08 et ^34,09 Voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet la fonction à intégrer sur un voisinage de $\;t=0\;$ restant bornée en valeur absolue, la valeur de l'intégrale tend vers $\;0\;$ avec la largeur de l'intervalle d'intégration.
↑ En effet si $\;{\dot {f}}(t)\;$ est une fonction convergeant en $\;t=0$ , $\;f(t)\;$ est une fonction à support positif ou à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ $\Rightarrow$ $\;f(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce $\;{\big [}$ voir note « ³⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ ou continue en $\;t=0\;$ d'où « $\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=0\;$ » $\;{\big [}$ voir note « ³⁵ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ et la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de $\;f(t)\;$ est telle que « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ ».
↑ ^37,0 et ^37,1 On vérifie, sur les exemples, que l'abscisse de convergence de la primitive est $\;\geqslant \;$ à l'abscisse de convergence de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ c'est-à-dire « $\;\alpha ''\geqslant \alpha \;$ », ceci ayant pour conséquence que l'intégration de la fonction $\;{\big \{}$ ou l'intégration de la distribution $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}{\big \}}\;$ restreint le domaine de validité de la transformée de Laplace associée.
↑ En effet $\;\Re (p)\;$ étant $\;>\alpha ''$ , $\;\lim \limits _{\Re (p)\,\rightarrow \,+\infty }\left[\exp(-p\,t)\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right]=0\;$ compte-tenu du fait que $\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$ est « d'ordre exponentiel $\;\alpha ''\;$ » d'une part et s'annule en $\;t=0\;$ d'autre part.
↑ ^39,0 et ^39,1 Dans le cas où $\;f(t)\;$ est une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ à support positif, la condition $\;t_{0}>0\;$ $\Rightarrow$ « $\;f'(t)=f(t')=f(t-t_{0})=0\;$ pour $\;t-t_{0}<0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;t<t_{0}\;$ » et par suite « la fonction $\;f'(t)\;$ est aussi à support positif » puisque étant nulle pour tout $\;t<t_{0}\;$ ${\big [}>0{\big ]}\;$ et
Dans le cas où $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ est une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ ou distribution $\color {transparent}{\big )}\;$ à support positif, la condition $\;t_{0}<0\;$ $\Rightarrow$ « $\;f'(t)=f(t')\;$ n'est a priori pas une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ à support positif » puisque $\;t<0\;$ $\Rightarrow$ $\;t'=t-t_{0}<-t_{0}=$ $\vert t_{0}\vert \;$ et pour $\;t'\,\in \,\left[0\,,\,\vert t_{0}\vert \right[$ , $\;f(t')\;$ ${\big [}$ donc $\;f'(t){\big ]}\;$ est a priori $\;\neq 0$ $\;{\big [}$ alors que $\;t\;$ est $\;<0{\big ]}$ .
↑ ^40,0 ^40,1 et ^40,2 $\;f(t)\;$ et $\;f'(t)=f(t-t_{0})\;$ étant de même « ordre exponentiel $\;\alpha \;$ » dans la mesure où elles ont évidemment le même comportement à l'infini.
↑ ^41,0 et ^41,1 Dans le cas où $\;f(t)\;$ est une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ à support positif, la condition $\;k>0\;$ $\Rightarrow$ « $\;f'(t)=f(t')=f(k\;t)=0\;$ pour $\;t<0\;$ » et par suite « la fonction $\;f'(t)\;$ est aussi à support positif ».
↑ ^42,0 ^42,1 et ^42,2 $\;f(t)\;$ étant d'« ordre exponentiel $\;\alpha \;$ », $\;f'(t)=f(k\;t)\;$ l'est d'« ordre $\;k\;\alpha \;$ » en effet « $\;\vert f(t)\vert \;$ étant majorée par $\;M\;\exp(\beta \;t)\;$ $\forall \,\beta \geqslant \alpha \;$ et $\;\forall \,t>0\;$ » nous en déduisons « $\;\vert f'(t)\vert =$ $\vert f(k\;t)\vert \;$ majorée par $\;M\;\exp(\beta \;k\;t)\;$ $\forall \,\beta \geqslant \alpha \;$ et $\;\forall \,t>0\;$ » ou « $\;\vert f'(t)\vert \;$ majorée par $\;M\;\exp(\beta '\;t)\;$ ${\big [}$ avec $\;\beta '=k\;\beta {\big ]}\;$ $\forall \,\beta '\geqslant k\;\alpha \;$ et $\;\forall \,t>0\;$ ».
↑ ^43,0 et ^43,1 Jusqu'à présent la variable $\;p\;$ ne changeant pas, on ne la précisait pas dans la notation $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ mais avec la possibilité d'être modifiée on notera $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]$ .
↑ Dans le résultat ci-contre la variable de la transformée de Laplace passe de $\;p\;$ dans $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \;$ à $\;{\dfrac {p}{k}}\;$ dans $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ d'où la nécessité de l'indiquer $\;{\big (}$ ce qu'on fait en mettant la variable entre crochets ${\big )}$ .
↑ $\;t'\;$ étant une variable muette peut être remplacée par $\;t$ .
↑ ^46,0 et ^46,1 Dans le cas où $\;f(t)\;$ est une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ à support positif, il en est de même de $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ car les valeurs de la fonction $\;\exp(-a\;t)\;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,0\right]\;$ sont multipliées par $\;0$ .
↑ ^47,0 ^47,1 ^47,2 et ^47,3 En effet la transformée monolatérale de Laplace de $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ se déduisant de celle de $\;f(t)\;$ en remplaçant $\;p\;$ par $\;p+a$ , la condition de validité se transforme en $\;\Re (p+a)>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>\alpha -a$ .
↑ Dans le résultat ci-contre la variable de la transformée de Laplace passe de $\;p\;$ dans $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \;$ à $\;p+a\;$ dans $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ d'où la nécessité de l'indiquer $\;{\big (}$ ce qu'on fait en mettant la variable entre crochets ${\big )}$ .
↑ La multiplication de $\;f(t)\;$ par $\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;$ ou $\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;$ qui sont deux fonctions de valeur absolue majorée par $\;1\;$ ne modifie pas « l'ordre exponentiel $\;\alpha \;$ », seule la multiplication par $\;\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;$ le modifie selon la même règle que celle obtenue dans le cas où $\;a\in \mathbb {R} ^{*}$ .
↑ Attention la variable $\;p\;$ étant complexe, la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de la partie réelle d'une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ complexe est complexe en devenant réelle en restreignant $\;p\;$ aux valeurs réelles et
Attention la variable $\;\color {transparent}{p}\;$ étant complexe, la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de la partie imaginaire d'une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ complexe est aussi complexe en devenant réelle $\;{\big (}$ donc imaginaire pure si on la multiplie par $\;i{\big )}\;$ en restreignant de même $\;p\;$ aux valeurs réelles.
↑ ^51,0 ^51,1 ^51,2 ^51,3 et ^51,4 Attention « $\;{\Bigg \langle }{\begin{array}{c}\Re \!\left[{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \right]\neq {\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \\\Im \!\left[{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \right]\neq {\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \end{array}}{\Bigg \rangle }\;$ » car la variable $\;p\;$ est complexe, ce n'est que lorsqu'on restreint $\;p\;$ aux valeurs réelles que les égalités deviennent correctes soit « $\;{\Bigg \langle }{\begin{array}{c}\Re \!\left[{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \\\Im \!\left[{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \end{array}}{\Bigg \rangle }_{\!\!{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,\alpha '}\;$ ».
↑ La dérivée de la fonction complexe en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ pouvant s'écrire encore, en adoptant la notation différentielle de la dérivée d'une fonction d'une variable réelle prolongée aux fonctions d'une variable complexe $\;{\big [}$ mais ceci n'est possible que si la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ est indépendante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}{\big ]}$ , « $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{d{\underline {z}}}}({\underline {z_{0}}})\;$ »,
la notion de différentielle de la fonction complexe ayant un sens dans la mesure où la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ est indépendante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$ et pouvant s'écrire « $\;d{\underline {F}}={\underline {F}}'({\underline {z_{0}}})\;d{\underline {z}}\;$ », « la grandeur $\;d{\underline {z}}\;$ définissant cette direction d'approche ».
↑ Dans la mesure où la limite dépend de $\;{\underline {h}}$ , elle définit la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ suivant la direction imposée par $\;{\underline {h}}\;$ et est notée « $\;D{\underline {F}}_{\underline {h}}({\underline {z_{0}}})\;$ » $\;{\big [}$ l'indice $\;{\underline {h}}\;$ étant indispensable quand la dérivée en dépend ${\big ]}$ .
↑ Si « la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ suivant la direction définie par $\;{\underline {h}}$ , à savoir $\;D{\underline {F}}_{\underline {h}}({\underline {z_{0}}})$ , est indépendant de $\;{\underline {h}}\;$ », la notation différentielle de la dérivée d'une fonction d'une variable réelle peut être prolongée aux fonctions d'une variable complexe et
Si « la dérivée de $\;\color {transparent}{{\underline {F}}({\underline {z}})}\;$ en $\;\color {transparent}{\underline {z_{0}}}\;$ suivant la direction définie par $\;\color {transparent}{\underline {h}}$ , à savoir $\;\color {transparent}{D{\underline {F}}_{\underline {h}}({\underline {z_{0}}})}$ , est indépendant de $\;\color {transparent}{\underline {h}}\;$ », la différentielle de $\;{\underline {F}}\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$ suivant la direction définie par $\;{\underline {h}}\;$ ${\big [}$ avec pour élément $\;d{\underline {z}}\;$ suivant cette direction d'approche « $\;d{\underline {z}}={\underline {h}}\;du\;$ » ${\big ]}\;$ s'écrivant $\;d{\underline {F}}=D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;d{\underline {z}}\;$ c'est-à-dire étant $\;\propto \;$ à $\;{\underline {h}}\;$ $\Rightarrow$ l'adoption possible de la notation « $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{d{\underline {z}}}}({\underline {z_{0}}})\;$ pour $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$ » puisque le quotient $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{d{\underline {z}}}}\;$ est indépendant de $\;{\underline {h}}$ .
↑ D'où la nécessité que $\;\Omega \;$ soit un ouvert éliminant le problème de la dérivée sur la frontière, celle-ci ne pouvant évidemment pas exister quelle que soit la direction d'approche.
↑ Dans la mesure où $\;f(t)\;$ satisfait aux conditions d'existence de sa transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace.
↑ Ici un point singulier de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace est un « point en lequel la transformée de Laplace n'est pas définie ».
↑ Ce qui signifie que la dérivée n^ème de la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace existe quel que soit $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ .
↑ ^59,0 ^59,1 et ^59,2 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ Dans le cas où $\;f(t)\;$ est une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ à support positif, il en est de même de $\;f'(t)=t^{n}\;f(t)\;$ car les valeurs de la fonction $\;t^{n}\;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,0\right]\;$ sont multipliées par $\;0$ .
↑ En effet la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f(t)\;$ étant d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$ c'est-à-dire que $\;\vert f(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\forall \,\beta >\alpha \;$ nous en déduisons que la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f'(t)=$ $t^{n}\;f(t)\;$ étant telle que $\;\vert f'(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;t^{n}\;\exp \!\left(\beta \;t\right)=M\;\exp \!\left[\beta \;t+n\;\ln(t)\right]\;$ de terme prépondérant au voisinage de l'infini $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\forall \,\beta >\alpha \;$ est également d'ordre exponentiel $\;\alpha$ .
↑ On pouvait aussi écrire $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;Y(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t\,\left[t\;Y(t)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;Y(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\dfrac {d\!\left({\dfrac {1}{p^{2}}}\right)}{dp}}={\dfrac {2}{p^{3}}}$ .
↑ On pouvait aussi écrire $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{3}\;Y(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t\,\left[t^{2}\;Y(t)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;Y(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\dfrac {d\!\left({\dfrac {2}{p^{3}}}\right)}{dp}}={\dfrac {6}{p^{4}}}$ .
↑ ^64,0 et ^64,1 A priori la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;$ se comporte comme $\;f(t,\,m)\;$ à l'infini puisque que la dérivation est faite par rapport au paramètre sans agir sur la variable, elles sont donc a priori toutes deux d'« ordre exponentiel $\;\alpha \;$ »,
toutefois il se pourrait que la dérivation par rapport au paramètre fasse disparaître des termes de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ en rendant la dérivée d'« ordre exponentiel plus faible » que celui de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ , cas particulier que nous n'envisageons pas ici.
↑ Ce qui est possible, la dérivation se faisant à $\;t\;$ figé, il est possible d'intégrer sur $\;t\;$ avant de dériver.
↑ ^66,0 et ^66,1 A priori la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\;$ se comporte comme $\;f(t,\,m)\;$ à l'infini puisque que l'intégration est faite par rapport au paramètre sans agir sur la variable, elles sont donc a priori toutes deux d'« ordre exponentiel $\;\alpha \;$ »,
toutefois il se pourrait que l'intégration par rapport au paramètre fasse apparaître des termes de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ en rendant la primitive d'« ordre exponentiel plus grand » que celui de la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ , cas particulier que nous n'envisageons pas ici.
↑ Ce qui est possible, l'intégration par rapport à $\;m\;$ se faisant à $\;t\;$ figé, il est possible d'intégrer sur $\;t\;$ avant d'intégrer sur $\;m$ .
↑ La raison de cette condition est justifiée à la fin de la démonstration.
↑ Voir le paragraphe « somme des 1^ers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n » du chap. $12$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où « $\;u_{0}=1\;$ » et $\;u_{n}=$ $\exp(-p\,n\;T)=\left[\exp(-p\,T)\right]^{n}=q^{n}\;$ ${\big (}$ « $\;q=\exp(-p\,T)\;$ étant la raison » ${\big )}\;$ donne « $\;S_{\left[0\,,\,n\right]}=u_{0}\;{\dfrac {1-q^{n+1}}{1-q}}\;$ » avec « $\;\lim \limits _{n\,\rightarrow \,\infty }q^{n+1}=0\;$ car $\;\vert q\vert =\vert \exp(-p\,T)\vert <1\;$ si $\;\Re (p)\;$ est $\;>0\;$ ».
↑ ^70,0 ^70,1 et ^70,2 Voir le paragraphe « 1^ers exemples de transformée (monolatérale de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles » plus haut dans le chapitre.
↑ ^71,0 ^71,1 ^71,2 et ^71,3 Utilisation du résultat du paragraphe « conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace » plus haut dans le chapitre.
↑ Il s'agit d'une distribution telle que « $\;\displaystyle \int _{\tau ^{-}}^{\tau ^{+}}\delta (t-\tau )\;dt=1\;$ » avec intégration ainsi que dérivation au sens des distributions.
↑ Si $\;a\;$ est $\;>0\;$ l'exponentielle est $\;\searrow \;$ traduisant, lorsqu'elle est en facteur d'un autre signal, un amortissement de ce dernier, $\;{\dfrac {1}{a}}\;$ étant appelé « constante de temps » de l'exponentielle et
si $\;a\;$ est $\;<0\;$ l'exponentielle est $\;\nearrow \;$ traduisant, lorsqu'elle est en facteur d'un autre signal, une amplification de ce dernier, $\;{\dfrac {-1}{a}}\;$ ne portant aucun nom particulier.
↑ Utilisation du résultat du paragraphe « conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace » plus haut dans le chapitre.
↑ ^75,00 ^75,01 ^75,02 ^75,03 ^75,04 ^75,05 ^75,06 ^75,07 ^75,08 ^75,09 ^75,10 ^75,11 ^75,12 ^75,13 ^75,14 ^75,15 ^75,16 ^75,17 ^75,18 ^75,19 ^75,20 ^75,21 ^75,22 ^75,23 ^75,24 ^75,25 ^75,26 et ^75,27 L'ensemble des réels non nuls étant noté $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ on trouvera encore pour l'ensemble des réels strictement positifs $\;\mathbb {R} ^{+\,*}\;$ mais les mathématiciens notant l'ensemble des réels positifs ou nuls $\;\mathbb {R} _{+}\;$ la notation attendue est celle utilisée.
↑ Car il faut assurer la convergence de $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace \;$ plus stricte que celle de $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;Y(t)\right\rbrace$ .
↑ ^77,0 ^77,1 ^77,2 et ^77,3 Utilisation du résultat du paragraphe « conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace (remarque 2) » plus haut dans le chapitre.
↑ ^78,0 ^78,1 ^78,2 et ^78,3 On admet la validité de l'extension aux valeurs complexes de $\;p$ .
↑ ^79,0 et ^79,1 Voir le paragraphe « conséquence du caractère périodique d'une fonction (ou distribution) sur sa transformée (monolatérale) de Laplace » plus haut dans le chapitre.
↑ En effet $\;{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}+{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}={\dfrac {p+i\;\omega +p-i\;\omega }{p^{2}-(i\;\omega )^{2}}}={\dfrac {2\;p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$ .
↑ En effet $\;{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}-{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}={\dfrac {\left(p+i\;\omega \right)-\left(p-i\;\omega \right)}{p^{2}-(i\;\omega )^{2}}}={\dfrac {2\;i\;\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$ .
↑ ^82,0 et ^82,1 Bien que les grandeurs soient complexes l'usage veut qu'on ne les souligne pas dans l'utilisation des transformées directes ou inverses de Laplace.
↑ Si le domaine de définition de $\;F(p)\;$ contient des valeurs de $\;p\;$ telles que $\;\Re (p)\leqslant \alpha \;$ alors, pour ces valeurs, elle n'est pas la transformée de Laplace d'une fonction.
↑ ^84,0 et ^84,1 Dans le cas d'une distribution, l'holomorphie doit être faite au sens des distributions.
↑ Formule donnée mais nous ne l'utiliserons pas car son utilisation nécessite des connaissances plus approfondies.
↑ Cela suppose que $\;\gamma \;$ soit $\;>\;$ à la partie réelle de tout point singulier de $\;F(p)\;$ et
Cela suppose que $\;\color {transparent}{\gamma }\;$ soit tel qu'à l'infini, $\;\vert F(p)\vert \;$ tende vers $\;0\;$ au moins aussi rapidement que $\;{\dfrac {1}{\vert p\vert ^{2}}}$ ;
si cette dernière condition n'est pas satisfaite, la formule dite de Bromwich-Mellin $\;{\big [}$ Thomas John I'Anson Bromwich (1875 - 1929) est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement cette formule permettant le calcul de la transformée de Laplace inverse et Hjalmar Mellin (1854 - 1933) mathématicien finlandais à qui on doit la transformation de Mellin et qui fut remarqué à la fin de sa carrière par son opposition critique à la théorie de la relativité ${\big ]}\;$ est encore applicable sous des conditions dont on trouvera le détail dans « méthodes analytiques pour évaluer la transformée inverse de Laplace ».
↑ En fait si $\;Q\;$ est la fonction polynôme identiquement nulle, le domaine de définition de la fonction $\;F\;$ est $\;\emptyset \;$ ${\big (}$ ce qu'on rejette évidemment ${\big )}\;$ alors que
En fait si $\;P\;$ est la fonction polynôme identiquement nulle, le domaine de définition de la fonction $\;F\;$ est $\;\mathbb {C} \;$ avec $\;F\;$ identiquement nulle $\;{\big (}$ ce qu'on rejette aussi car physiquement sans intérêt ${\big )}$ .
↑ En restreignant éventuellement le domaine de définition de $\;F(p)\;$ à $\;\Re (p)>\alpha \;$ où $\;\alpha \;$ est l'abscisse de convergence de $\;F(p)={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace$ .
↑ C.-à-d. telle que le cœfficient de plus haut degré de $\;Q\;$ est égal à $\;1$ .
↑ ^90,0 et ^90,1 Le polynôme étant à cœfficients réels, quand les racines du polynôme ne sont pas réelles elles sont couplées en étant complexes conjuguées.
↑ ^91,0 et ^91,1 Si, dans le produit, deux zéros étaient complexes conjugués $\;{\big [}$ voir la notation utilisée en physique du conjugué d'un complexe dans le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , on remplacerait $\;\left(p-{\underline {z}}\right)\left(p-{\underline {z}}^{*}\right)\;$ par $\;p^{2}-\left({\underline {z}}+{\underline {z}}^{*}\right)p+{\underline {z}}\;{\underline {z}}^{*}\;$ ou encore par $\;p^{2}-2\;\Re ({\underline {z}})\;p+\vert {\underline {z}}\vert ^{2}$ $\;{\big [}$ on rappelle que $\;{\underline {z}}\;{\underline {z}}^{*}=\vert {\underline {z}}\vert ^{2}\;$ c'est-à-dire le carré du module du complexe ${\big ]}$ .
↑ ^92,0 et ^92,1 Si, dans le produit, deux pôles étaient complexes conjugués $\;{\big [}$ voir la notation utilisée en physique du conjugué d'un complexe dans le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , on remplacerait $\;\left(p-{\underline {q}}\right)\left(p-{\underline {q}}^{*}\right)\;$ par $\;p^{2}-\left({\underline {q}}+{\underline {q}}^{*}\right)p+{\underline {q}}\;{\underline {q}}^{*}\;$ ou encore par $\;p^{2}-2\;\Re ({\underline {q}})\;p+\vert {\underline {q}}\vert ^{2}$ $\;{\big [}$ on rappelle que $\;{\underline {q}}\;{\underline {q}}^{*}=\vert {\underline {q}}\vert ^{2}\;$ c'est-à-dire le carré du module du complexe ${\big ]}$ .
↑ ^93,0 ^93,1 ^93,2 et ^93,3 Voir le développement de « quelques méthodes de calcul (façon la plus rapide pour déterminer la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » exposant uniquement le cas de pôles simples.
↑ Sont explicités par la suite le cas de pôles réels et multiples $\;{\big [}$ voir le paragraphe « exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels dont un est multiple » plus loin dans ce chapitre ${\big ]}\;$ ainsi que celui de pôles complexes conjugués deux à deux $\;{\big [}$ voir le paragraphe « exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant des pôles complexes conjugués » plus loin dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ ^95,0 ^95,1 ^95,2 ^95,3 ^95,4 ^95,5 et ^95,6 Voir le paragraphe « transformée de Laplace directe d'une fonction exponentielle réelle » plus haut dans le chapitre.
↑ ^96,0 ^96,1 ^96,2 et ^96,3 Voir le paragraphe « linéarité de la transformation (monolatérale) inverse de Laplace » plus haut dans le chapitre.
↑ Ce pôle est effectivement simple car il n'est pas solution de l'équation du 2^ème degré $\;p^{2}+4\,p+4=0\;$ déterminant les autres pôles.
↑ L'évaluation de la constante $\;{\rho '}_{\!2}\;$ nécessitant un traitement particulier exposé dans la note « ⁹⁸ » plus bas dans ce chapitre.
↑ Multiplier par $\;p+2\;$ transformant le dernier élément simple du 2^ème membre en $\;{\rho '}_{2}\;$ et simultanément
faire tendre $\;p\;$ vers l' $\infty \;$ annule le 1^ermembre et le 2^ème élément simple du 2^ème membre $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace » plus haut dans le chapitre.
↑ Ce pôle est effectivement simple car il n'est pas solution de l'équation du 2^ème degré $\;p^{2}+p+2=0\;$ déterminant les autres pôles.
↑ L'évaluation des constantes $\;\rho _{2}\;$ et $\;{\rho '}_{\!2}\;$ nécessitant un traitement particulier exposé dans les notes « ¹⁰³ » et « ¹⁰⁴ » plus bas dans ce chapitre.
↑ Multiplier par $\;p\;$ et faire tendre $\;p\;$ vers l' $\infty \;$ transformant le dernier élément simple du 2^ème membre en $\;\rho _{2}\;$ et annulant le 1^ermembre $\;\ldots$
↑ Donner la valeur $\;-1\;$ à $\;p\;$ annulant le 1^er membre $\;\ldots$
↑ ^105,0 ^105,1 ^105,2 et ^105,3 Voir le paragraphe de détermination de la « transformée (monolatérale) de Laplace des fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement » plus haut dans le chapitre.
↑ Voir le paragraphe « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier (établissemnt du lien permettant d'obtenir “C_n, φ_n” à partir de “A_n, B_n”) » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La partie cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f_{\text{cos amort}}(t)\;$ correspond aux pôles complexes conjugués de la fonction $\;F(p)\;$ c'est-à-dire aux racines de $\;p^{2}+p+2=0\;$ de discriminant $\;\Delta =-7\;$ conduisant aux pôles $\;{\underline {\rho _{\pm }}}={\dfrac {-1\pm i\,{\sqrt {7}}}{2}}\;$ dont la partie réelle est le cœfficient de $\;t\;$ de l'argument de l'exponentielle de $\;f_{\text{cos amort}}(t)\;$ et dont la valeur absolue de la partie imaginaire est le cœfficient de $\;t\;$ de l'argument de la partie cosinusoïdale de $\;f_{\text{cos amort}}(t)$ .
↑ ^109,0 ^109,1 et ^109,2 Le domaine de définition de $\;f(t)\;$ étant appelé « domaine temporel ».
↑ ^110,0 et ^110,1 Donc ayant une limite finie en $\;t=0$ .
↑ ^111,0 ^111,1 et ^111,2 Donc « $\;\alpha \neq +\infty \;$ », $\;{\big [}\alpha =+\infty \;$ signifierait que le domaine de variation de la variable $\;p\;$ de Laplace est vide puisque $\;\Re (p)\;$ devrait être $\;>\;$ à $\;+\infty {\big ]}$ .
↑ ^112,0 ^112,1 et ^112,2 Voir le paragraphe « transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle » plus haut dans ce chapitre exposant les conditions sur $\;f(t)\;$ pour que cette dernière admette une transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace.
↑ ^113,0 et ^113,1 Nous l'admettons mais la démonstration ne présente aucune difficulté majeure et les lecteurs intéressés peuvent trouver la démonstration au paragraphe « théorème de la valeur initiale » dans l'article de wikipédia traitant de la transformée de Laplace.
↑ Également causale selon les notes « ⁴ » et « ⁹ » explicitées plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace » plus haut dans ce chapitre.
↑ Ne figurant pas dans l'article de wikipédia traitant des propriétés de la transformée de Laplace $\;{\big (}$ une éventuelle démonstration ne peut donc pas y être trouvée ${\big )}\;$ mais, à ma connaissance, propriété valide au moins dans les cas apparaissant en physique.
↑ ^117,00 ^117,01 ^117,02 ^117,03 ^117,04 ^117,05 ^117,06 ^117,07 ^117,08 et ^117,09 Dérivée temporelle au sens des fonctions.
↑ Donc ayant une limite finie quand $\;t\rightarrow +\infty$ .
↑ C.-à-d. $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0$ .
↑ Donc « $\;\alpha \ngtr 0\;$ », $\;{\Big \{}$ en effet « $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ existant et étant finie » $\Rightarrow$ $\;{\big [}$ dans la mesure où $\;f(t)\;$ admet une transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace ${\big ]}\;$ « l'abscisse de convergence de cette dernière est $\;\alpha \leqslant 0\;$ » ${\Big \}}$ .
↑ ^121,0 et ^121,1 Nous l'admettons mais la démonstration ne présente aucune difficulté majeure et les lecteurs intéressés peuvent trouver la démonstration au paragraphe « théorème de la valeur finale » dans l'article de wikipédia traitant de la transformée de Laplace.
↑ ^122,0 ^122,1 et ^122,2 Effectivement $\;\leqslant 0$ .
↑ Bien que $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[{\dfrac {p}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ soit encore valable pour $\;a<0$ , le théorème de la valeur finale n'est pas applicable à la fonction exponentielle $\;\nearrow$ $\;{\big (}$ divergeant à l'infini ${\big )}$ , en effet la valeur $\;0^{+}\;$ pour la partie réelle de la variable de Laplace étant inférieure à l'abscisse de convergence $\;-a>0$ , la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace n'y a aucun sens d'où, l'absurdité qui conduirait à l'application du théorème de valeur finale pour $\;a<0$ .
↑ Bien que $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ soit encore valable pour $\;a<0$ , le théorème de la valeur finale n'est pas applicable à la fonction cosinusoïdale amplifiée exponentiellement $\;{\big (}$ divergeant à l'infini ${\big )}$ , en effet la valeur $\;0^{+}\;$ pour la partie réelle de la variable de Laplace étant inférieure à l'abscisse de convergence $\;-a>0$ , la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace n'y a aucun sens d'où, l'absurdité qui conduirait à l'application du théorème de valeur finale pour $\;a<0$ .
↑ Bien que $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ soit encore valable pour $\;a<0$ , le théorème de la valeur finale n'est pas applicable à la fonction sinusoïdale amplifiée exponentiellement $\;{\big (}$ divergeant à l'infini ${\big )}$ , en effet la valeur $\;0^{+}\;$ pour la partie réelle de la variable de Laplace étant inférieure à l'abscisse de convergence $\;-a>0$ , la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace n'y a aucun sens d'où, l'absurdité qui conduirait à l'application du théorème de valeur finale pour $\;a<0$ .
↑ ^126,00 ^126,01 ^126,02 ^126,03 ^126,04 ^126,05 ^126,06 ^126,07 ^126,08 ^126,09 ^126,10 et ^126,11 Voir le paragraphe « discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Notion introduite pour définir une échelle de discontinuité hors mathématiques voir le paragraphe « dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ “ Discontinu de 3^ème espèce ” comme l'est la dérivée temporelle du pic de Dirac d'impulsion unité $\;{\dot {\delta }}(t)\;$ n'admettant pas de transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace étant donné que $\;{\dot {\delta }}(0^{-})=+\infty$ .
↑ Voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big [}$ l'excitation étant continue, discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce en $\;t=0{\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big [}$ l'excitation étant continue, discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce en $\;t=0{\big ]}$ , l'exposé fait pour une équation différentielle d'ordre deux restant applicable $\;{\big (}$ sans modification ${\big )}\;$ pour n'importe quel ordre entier $\;>2$ .
↑ Même si le nombre de configurations où elle ne peut pas être utilisée est très faible $\;\ldots$
Par exemple le cas où l'excitation est “ discontinue de 3^ème espèce ” $\;{\big [}$ voir les notes « ¹²⁷ » et « ¹²⁸ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ comme dans l'exemple du paragraphe « étude théorique du R L C série soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $\;{\big \{}$ l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène étant du 2^ème ordre avec un terme d'excitation $\;\propto \;$ à un “ double pic de Dirac inversé ” $\;{\big [}$ voir le paragraphe « dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , cette équation différentielle ne pouvant pas être résolue par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace $\;{\big (}$ le “ double pic de Dirac inversé ” étant “ discontinu de 3^ème espèce ” n'en a pas ${\big )}$ , se résout par la recherche de solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des conditions initiales ${\big \}}$ .
↑ ^132,00 ^132,01 ^132,02 ^132,03 ^132,04 ^132,05 ^132,06 ^132,07 ^132,08 ^132,09 ^132,10 ^132,11 ^132,12 et ^132,13 Conditions Initiales.
↑ Par contre un étudiant de P.C.S.I. peut l'utiliser en S.I. $\;{\big (}$ science de l'ingénieur ${\big )}\;$ car la transformée de Laplace fait partie du programme de S.I..
↑ ^134,0 ^134,1 ^134,2 ^134,3 ^134,4 et ^134,5 Dans tout ce paragraphe nous ne faisons aucune considération de dimension sur les grandeurs introduites, c'est-à-dire que nous prenons le point de vue d'un mathématicien et non d'un physicien $\;{\big (}$ lequel se sert des dimensions pour éventuellement déterminer des erreurs de calcul par obtention de résultats non homogènes à ceux que la considération de dimension exige ${\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace des fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale » plus haut dans le chapitre.
↑ Car $\;p^{2}+c=0\;$ avec $\;c>0\;$ donne $\;p=\pm i\;{\sqrt {c}}\;$ telle que $\;\Re (p)=0\;$ ce qui donnerait la divergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace y(t)\right\rbrace \;$ dans la mesure où l'existence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace \;$ nécessite $\;\Re (p)>0$ .
↑ En effet $\;p^{2}+c=0\;$ avec $\;c<0\;$ donnant $\;p=\pm {\sqrt {-c}}$ , de l'existence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace \;$ nécessitant $\;\Re (p)>0$ , nous en déduisons que la valeur $\;p={\sqrt {-c}}\;$ est dans le domaine d'existence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace \;$ et par conséquent, pour que $\;p^{2}+c=0\;$ avec $\;c<0\;$ soit à rejeter, il est nécessaire de restreindre le domaine de $\;p\;$ à $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$ pour que la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de la solution existe dans le cas où $\;c\;$ est $\;<0$ .
↑ Ce qui est nécessairement vérifié si $\;c\;$ est $\;>0$ ${\big [}$ revoir la note « ¹³⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ On fait apparaître « $\;{\dfrac {\sqrt {c}}{p^{2}+c}}\;$ qui est la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de $\;\sin({\sqrt {c}}\,t)\;Y(t)\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « transformées (monolatérales) de Laplace des fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ On fait apparaître « $\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ qui est la transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace de $\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « transformées (monolatérales) de Laplace des fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ ^141,0 et ^141,1 Voir le paragraphe « conséquence d'une multiplication par une puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace » plus haut dans le chapitre.
↑ En effet $\;c<0\;$ restreint le domaine de convergence de $\;Y(p)\;$ ${\big [}$ voir la justification dans la note « ¹³⁷ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ ^143,0 et ^143,1 Alors qu'elle fait partie du programme de P.C.S.I. pour le domaine de la S.I. $\;{\big (}$ science de l'ingénieur ${\big )}$ .
↑ ^144,0 ^144,1 ^144,2 et ^144,3 Voir le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène (équation caractéritique) » du chap. $2$ « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Dans la pratique la solution libre doit être donnée sans résoudre l'équation caractéristique car il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti dont la solution doit être connue.
↑ ^147,0 et ^147,1 Sous condition d'existence.
↑ Voir le paragraphe « solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2^ème ordre » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » développant la méthode classique à utiliser bien qu'ici nous ne l'utilisons pas compte-tenu de l'absence du terme du 1^er ordre rendant la recherche directe sous forme sinusoïdale plus aisée.
↑ Voir le paragraphe « cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big [}$ « $\;y\;$ ici étant une fonction de $\;t\;$ et non de $\;x\;$ », la pulsation est temporelle et non spatiale mais la méthode reste la même ${\big ]}$ .
↑ « $\;\varphi _{y'}\;$ étant a priori $\;\neq \;$ de $\;0\;$ à $\;\pi \;$ près », le caractère « en phase ou en opposition de phase avec l'excitation » de la solution forcée $\;{\big (}$ non sinusoïdale ${\big )}\;$ n'ayant d'ailleurs plus de sens.
↑ On rappelle que « $\;\cos \!\left(a-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-a\right)=\sin(a)\;$ ».
↑ On rappelle que « $\;\sin \!\left(a-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=-\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-a\right)=-\cos(a)\;$ ».
↑ On rappelle que $\;{\sqrt {c}}=\omega$ .
↑ ^154,0 et ^154,1 Le système décrit par $\;y(t)\;$ avec $\;y(0^{-})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{-})=0\;$ est alors qualifié de « initialement au repos ».
↑ ^155,0 et ^155,1 L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde $\;{\ddot {y}}(t)\;$ l'est aussi $\;{\big [}$ voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$
       L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde $\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)}\;$ l'est aussi impliquant sa divergence à $\;t=0\;$ et par suite
       L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde $\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)}\;$ l'est aussi impliquant la nécessité, lors de l'introduction des transformées $\;{\big (}$ monolatérales ${\big )}\;$ de Laplace,
       L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde $\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)}\;$ l'est aussi impliquant la nécessité, d'utiliser la règle de dérivation applicable aux fonctions à support positif divergeant à $\;t=0\;$ vue plus haut dans le chapitre dans le paragraphe « conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace » à savoir « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =$ $p\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace -{\dot {f}}(0^{-})\;$ » et
       L'excitation étant discontinue de 2^ème espèce, la dérivée seconde $\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)}\;$ l'est aussi impliquant la nécessité, non celle de dérivation applicable aux fonctions à support positif convergeant à $\;t=0\;$ laquelle aurait donné « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =$ ${\cancel {p\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace -{\dot {f}}(0^{+})\;}}$ » ce qui aurait conduit à une erreur dans la mesure où $\;{\dot {f}}(t)\;$ étant discontinue de 1^ère espèce $\;{\dot {f}}(0^{+})\neq {\dot {f}}(0^{-})\;$ ${\big [}$ on note, en appliquant la même règle de détermination de la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène connaissant celle de l'excitation, que $\;y(t)\;$ est continue en $\;t=0{\big ]}$ .
↑ ^156,0 ^156,1 ^156,2 et ^156,3 Voir le paragraphe « transformées (monolatérales) de fonctions (ou distributions) usuelles » plus haut dans le chapitre.
↑ C.-à-d. le domaine de convergence le plus restrictif à savoir celui de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace$ .
↑ ${\dot {y}}(t)\;$ convergeant en $\;t=0\;$ car elle est discontinue de 1^ère espèce, on aurait donc pu écrire « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {y}}(t)\right\rbrace =p\;Y(p)-y(0^{+})\;$ au lieu de $\;p\;Y(p)-y(0^{-})\;$ » mais cela aurait donné la même chose du fait de la continuité de $\;y(t)\;$ en $\;t=0$ ;
de même, s'il fallait écrire « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {y}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {y}}(t)\right\rbrace -{\dot {y}}(0^{-})\;$ » compte-tenu du caractère divergent de $\;{\ddot {y}}(t)\;$ en $\;t=0$ $\;{\big (}$ discontinuité de 2^ème espèce en $\;t=0{\big )}$ ,
de même on aurait pu écrire « $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {y}}(t)\right\rbrace =p\,\left[p\;Y(p)-y(0^{+})\right]-{\dot {y}}(0^{-})\;$ au lieu de $\;p\,\left[p\;Y(p)-y(0^{-})\right]-{\dot {y}}(0^{-})\;$ » mais cela aurait donné la même chose compte-tenu de la continuité de $\;y(t)\;$ en $\;t=0$ .
↑ En effet le discriminant du trinôme valant $\;\Delta =b^{2}-4\,c$ , dans l'hypothèse où ce dernier est $\;>0$ , les racines s'écrivent $\;p_{\pm }={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2}}\;$ toutes deux $\;<0\;$ ${\big (}$ leur somme étant $\;<0\;$ et leur produit $\;>0{\big )}\;$ donc hors domaine de convergence de $\;Y(p)$ ,
En effet le discriminant du trinôme valant $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\,c}$ , dans l'hypothèse où le discriminant est nul la racine double s'écrit $\;p_{d}={\dfrac {-b}{2}}<0\;$ donc hors domaine de convergence de $\;Y(p)\;$ et
En effet le discriminant du trinôme valant $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\,c}$ , dans l'hypothèse où le discriminant est négatif les racines complexes conjuguées s'écrivent $\;{\underline {p_{\pm }}}={\dfrac {-b\pm i\,{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;$ à partie réelle négative donc hors domaine de convergence de $\;Y(p)$ .
↑ ^160,00 ^160,01 ^160,02 ^160,03 ^160,04 ^160,05 ^160,06 ^160,07 ^160,08 ^160,09 ^160,10 et ^160,11 $\;\sigma \;$ étant $\;>0$ .
↑ ^161,0 et ^161,1 En effet le produit des racines du trinôme $\;q_{(+)}\;q_{(-)}=c=\omega _{0}^{2}\;$ d'où $\;q_{(+),\,{\text{réd}}}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}=1\;$ et par suite $\;{\dfrac {1}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}=q_{(-),\,{\text{réd}}}\;$ ainsi que $\;{\dfrac {1}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}=q_{(+),\,{\text{réd}}}\;$ $\ldots$
↑ ^162,0 ^162,1 et ^162,2 C.-à-d. à l'instant $\;0^{+}$ .
↑ ^163,0 ^163,1 et ^163,2 Car le pic de Dirac d'impulsion unité est nul pour toute valeur $\;\neq \;$ de $\;0$ , voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^164,0 ^164,1 et ^164,2 On retrouve cette valeur en intégrant $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ ce qui donne, compte-tenu des discontinuités déjà énoncées, « $\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\ddot {y}}(t)\,dt\;{\cancel {+b\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {y}}(t)\,dt+c\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}y(t)\,dt}}\;=\;$ ${\cancel {E\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}Y(t)\,dt+}}\;E'\;{\cancel {\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt}}\;$ soit $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$ ».
↑ Valeur que l'on retrouve par la 2^ème équation $\;\rho _{c,\,1}=-{\dfrac {1}{q_{re}^{2}+q_{im}^{2}}}=-{\dfrac {1}{c}}$ .
↑ En effet, compte-tenu de « $\;q_{re}=-{\dfrac {b}{2}}\;$ », $\;Y(p)\;$ se réécrit $\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {p-2\;q_{re}}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {p-q_{re}}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}+{\dfrac {E'+{\dfrac {E}{c}}\;q_{re}}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ soit encore $\;Y(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {p-q_{re}}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}+\left({\dfrac {E'}{q_{im}}}+{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {q_{re}}{q_{im}}}\right)\,{\dfrac {q_{im}}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ d'où l'expression de l'originale cherchée.
↑ Voir le paragraphe « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'\right]\exp \!\left[q_{(+)}\;t\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'\right]\exp \!\left[q_{(-)}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$ » avec $\;b^{2}-4\;c=\Delta \;$ et $\;q_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4c est > 0 » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ se réécrivant « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)+{\dfrac {1}{\sqrt {\Delta }}}\left\lbrace \left[{\dfrac {2\;E}{-b+{\sqrt {\Delta }}}}+E'\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+\left[{\dfrac {2\;E}{b+{\sqrt {\Delta }}}}-E'\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$ » ou, en supprimant les expressions irrationnelles aux dénominateurs $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {2\;E}{-b+{\sqrt {\Delta }}}}={\dfrac {2\;E\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)}{-b^{2}+\Delta }}={\dfrac {2\;E\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)}{-b^{2}+b^{2}-4\;c}}=-{\dfrac {E\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)}{2\;c}}\\{\dfrac {2\;E}{b+{\sqrt {\Delta }}}}={\dfrac {2\;E\left(-b+{\sqrt {\Delta }}\right)}{-b^{2}+\Delta }}={\dfrac {2\;E\left(-b+{\sqrt {\Delta }}\right)}{-b^{2}+b^{2}-4\;c}}={\dfrac {E\left(b-{\sqrt {\Delta }}\right)}{2\;c}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la réécriture de la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)+{\dfrac {1}{\sqrt {\Delta }}}\left\lbrace \left[E'-\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{2\;c}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+\left[-E'+\left(b-{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{2\;c}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$ ».
↑ En effet la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[q_{(d)}\;t\right]+{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left[q_{(d)}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$ » avec $\;b=2\;{\sqrt {c}}\;$ et $\;q_{(d)}=-{\dfrac {b}{2}}\;$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4c est = 0 » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ se réécrivant « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)+\left\lbrace \left[E'-{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}\right]t-{\dfrac {E}{c}}\right\rbrace \,\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]\,Y(t)\;$ » s'identifie effectivement à la solution trouvée par la méthode utilisée dans ce paragraphe.
↑ Si $\;\cos(\varphi )\;$ est $\;>0$ , $\;\varphi \,\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et peut se mettre sous la forme d'un arctangente $\;{\big [}$ voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ selon $\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {A\;\sin(\varphi )}{A\;\cos(\varphi )}}\right]$ ,
si $\;\cos(\varphi )\;$ est $\;<0\;$ avec $\;\sin(\varphi )>0$ , $\;\varphi \,\in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right]\;$ et $\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {A\;\sin(\varphi )}{A\;\cos(\varphi )}}\right]+\pi \;$ et
si $\;\cos(\varphi )\;$ est $\;<0\;$ avec $\;\sin(\varphi )<0$ , $\;\varphi \,\in \left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et $\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {A\;\sin(\varphi )}{A\;\cos(\varphi )}}\right]-\pi$ .
↑ En effet la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-\left[{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left(q_{re}\;t\right)\;\cos \!\left(q_{im}\;t\right)-\left({\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {q_{re}}{q_{im}}}+{\dfrac {E'}{q_{im}}}\right)\exp \!\left(q_{re}\;t\right)\;\sin \!\left(q_{im}\;t\right)\right]Y(t)\;$ » avec « $\;q_{re}=-{\dfrac {b}{2}}\;$ et $\;q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b² - 4c est < 0 » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ se réécrivant « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-\left[{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)-\left(-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {b}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}+{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}\right)\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\right]Y(t)\;$ » d'où la réécriture de la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$ monolatérale ${\big )}\;$ de Laplace « $\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\,Y(t)+\left(-{\dfrac {b\;E}{c\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}}+{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\,Y(t)\;$ ».