Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées de Laplace directes et inverses et leur utilisation

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Transformées de Laplace directes et inverses et leur utilisation
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Chapitre no 23
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. : Portrait de phase d'un système dynamique
Chap. suiv. : Barycentre
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Sommaire

......La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace [1] pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée, mais elle fut découverte par Leonhard Euler [2].

Transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction réelle de la variable réelle ayant les propriétés suivantes :

  • les valeurs de la fonction sont nulles pour [3] la fonction est alors qualifiée de «~causale~» [4],
  • la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle [5],
  • au voisinage de , tels que [6] et
  • la fonction est «~d'ordre exponentiel ~», , tels que .

Définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) ci-dessus[modifier | modifier le wikicode]


......Remarques : On prolonge la définition de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction à support positif [10] à celle d'une fonction à support positif étendu à gauche de c.-à-d. de support est un voisinage ouvert à gauche de , borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable [11] ainsi que

............Remarques : On prolonge la définition de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction à support positif à celle d'une distribution la distribution devant être telle que l'intégrale de définition de sa transformée de Laplace [12] converge [13].

Premiers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

  • Fonction de Heaviside [14] (ou échelon unité) pour [15]
    ......en effet le calcul conduit à .
  • Pic de Dirac [16] d'impulsion unité [17] [18]
    ......en effet, si est , on a donnant, en intégrant par parties [12], mais
    ......on établit que le résultat reste le même si est en utilisant une autre démonstration que l'intégration par parties [19], [20].
  • Fonction rampe pour [21]
    ......en effet le calcul conduit à donnant, en intégrant par parties, .

Transformée (bilatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle « non causale » d'une variable réelle[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction réelle «~non causale~» [22] de la variable réelle ayant les propriétés suivantes :

  • la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle fermé ,
  • au voisinage de , tels que et
  • la fonction est «~d'ordres exponentiels ~» avec et en étant , tels que , .

Définition de la transformée (bilatérale) de Laplace de la fonction « non causale » g(t) ci-dessus[modifier | modifier le wikicode]


......Remarques : On prolonge la définition de la transformée (bilatérale) de Laplace d'une fonction à celle d'une distribution la distribution devant être telle que l'intégrale de définition de sa transformée de Laplace [12] converge [26] ;

......Remarques : en physique la transformée (bilatérale) de Laplace n'est quasiment pas utilisée, on lui préfère la transformation (monolatérale) de Laplace, raison pour laquelle on introduit la même notation pour les deux, toutefois, dans le cas où les deux transformations apparaitraient dans le même exposé, nous noterons la transformation bilatérale et la transformation monolatérale.

Écriture de la transformée monolatérale de Laplace de la fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence) en transformée bilatérale de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction « causale » admettant une transformée monolatérale de Laplace pour , étant l'abscisse de convergence de la transformée monolatérale de Laplace, on montre aisément que avec la fonction d'Heaviside [14], se réécrivant selon avec [27] c.-à-d. la transformée bilatérale de [28] soit

.

Principales propriétés des transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Énoncé (admis) : Dans la mesure où elle existe, la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction (ou distribution) est unique.

Linéarité de la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soient et deux fonctions (ou distributions) admettant pour transformées (monolatérales) de Laplace respectives et , avec la plus grande des abscisses de convergence des deux transformées (monolatérales) de Laplace et
......soit un réel non nul quelconque, on a les propriétés suivantes [29] :

  • pour et
  • pour [30].

Conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
...... la dérivée de la fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dérivée de la dite fonction (ou distribution) [31] ;

on établit pour si est une distribution ou une fonction divergeant en et
pour si est une fonction convergeant en [32],
avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la fonction (ou distribution) .

......Démonstration : pour calculer en se plaçant dans le domaine de validité de la transformée de Laplace c.-à-d. avec abscisse de convergence de , dans l'hypothèse où est une distribution ou une fonction divergeant en , on procède à une intégration par parties [33] et on obtient [34] ;

......Démonstration : pour calculer dans l'hypothèse où est une fonction convergeant en , on peut écrire que [35] d'où que l'on intègre par parties soit [36].

Conséquence de l'intégration sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
...... la primitive de la fonction (ou distribution) s'annulant en admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la primitive de la dite fonction (ou distribution) s'annulant en [37] ;

on établit si
avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la primitive de la fonction (ou distribution) s'annulant en .

......Démonstration : pour calculer en se plaçant dans le domaine de validité de la transformée de Laplace c.-à-d. avec abscisse de convergence de , on procède à une intégration par parties [33] et on obtient [38].

Conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
......la translation sur la variable avec permettant d'introduire la nouvelle fonction (ou distribution) [39] admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace avec la même condition de convergence [40] ;

on établit alors pour
ce théorème est encore appelé «~théorème du retard~» et le facteur «~facteur retard~».

......Démonstration : pour calculer en se plaçant dans le domaine de validité commun des transformées de Laplace c.-à-d. , on décompose l'intervalle d'intégration [33] en réintroduisant et on obtient soit, en sortant la constante des intégrales, [41] et finalement, la variable étant uniquement d'intégration donc muette on obtient .

Conséquence d'un changement d'échelle de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
......le changement d'échelle sur la variable avec et permettant d'introduire la nouvelle fonction (ou distribution) [42] admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace avec la même condition de convergence [43] ;

on établit alors [44], [45] pour et
cette règle est encore appelé «~règle de similitude~».

......Démonstration : pour calculer en se plaçant dans le domaine de validité commun des transformées de Laplace c.-à-d. ou encore, en remplaçant par , soit, en sortant la constante des intégrales, avec et finalement, la variable étant uniquement d'intégration donc muette on obtient .

Conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
......la fonction exponentielle de avec permettant d'introduire la nouvelle fonction (ou distribution) [46] admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace avec la nouvelle condition de convergence avec [47] ;

on en déduit [44], [48] pour
cette règle est encore appelé «~règle de translation en ~».

......Remarque 1 : si est la fonction exponentielle de est une fonction de traduisant un amortissement exponentiel de la fonction (ou distribution) et simultanément le domaine de validité de la transformée de Laplace s'élargit car la nouvelle abscisse de convergence alors que
......Remarque 1 : si est la fonction exponentielle de est une fonction de traduisant une amplification exponentielle de la fonction (ou distribution) et simultanément le domaine de validité de la transformée de Laplace s'amenuise car la nouvelle abscisse de convergence .

......Remarque 2 : Envisageons maintenant avec définissant une fonction complexe dont les parties réelle et imaginaire sont  ;
......Remarque 2 : la nouvelle fonction (ou distribution) (obtenue par multiplication de l'exponentielle complexe) a pour parties réelle et imaginaire lesquelles admettent toutes deux une transformée de Laplace sous la même condition de convergence avec [49] ;
......Remarque 2 : on définit alors la transformée de Laplace d'une fonction (ou distribution) complexe à partir de celle des parties réelle et imaginaire de cette dernière selon [50] et [51] laquelle s'écrit encore c.-à-d. la même définition que celle d'une fonction (ou distribution) réelle ;
......Remarque 2 : il est alors aisé d'établir pour , la convergence de la transformée de Laplace nécessitant avec l'abscisse de convergence de .

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Une fonction complexe d'une variable complexe définie sur un ouvert est dite «~holomorphe en ~»
......Préliminaire : si, pour , existe en étant indépendant de la direction d'approche de à partir de , cette limite définissant la dérivée de en et étant notée ou [52] ou, en explicitant la direction d'approche,
......Préliminaire : étant un complexe quelconque de module unité définissant une direction d'approche de à partir de , si existe et est indépendant de , la dérivée de en suivant la direction définie par est notée [53] quand elle dépend de la direction d'approche de à partir de , mais ici la dérivée de en suivant la direction définie par , à savoir , étant indépendant de , sa valeur est notée simplement [54].
......Préliminaire : Une fonction complexe d'une variable complexe définie sur un ouvert est dite «~holomorphe sur ~» si elle est holomorphe en tout point de  ; on peut alors définir la dérivée de en tout [55].
......Préliminaire : Dans la mesure où la fonction complexe est holomorphe sur l'ouvert sur laquelle elle est définie, on peut

  • définir la fonction complexe dérivée et étudier son éventuelle holomorphie et si celle-ci est établie,
  • définir la fonction complexe dérivée seconde et étudier son éventuelle holomorphie


......On admet que la transformation (monolatérale) de Laplace d'une fonction (ou distribution) [56] à savoir est holomorphe sur tout son domaine de définition (à l'exception de ses points singuliers [57]) tel que , étant l'abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la fonction (ou distribution) et ceci à n'importe quel ordre [58].

On admet dans le paragraphe suivant pour tout .

Conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
......la fonction puissance de avec permettant d'introduire la nouvelle fonction (ou distribution) [59] admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace avec la même condition de convergence que celle de la transformée de Laplace initiale [60] ;

on admet alors [61] pour soit
pour , ,
pour ,

......Application : soit à évaluer avec et la fonction de Heaviside [14] connaissant si , l'application du résultat admis ci-dessus nous conduit à si soit successivement :

  • ,
  • [62],
  • [63],
  • avec pour hypothèse de récurrence vérifiée pour , on en déduit ce qui valide l'hypothèse de récurrence d'où
pour et .

Conséquence de la dérivation (ou intégration) par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de la dérivation par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) dépendant du paramètre relativement auquel elle est dérivable et admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
......la dérivée de la fonction (ou distribution) relativement au paramètre c.-à-d. admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace avec la même condition de convergence que celle de la transformée de Laplace initiale [64] ;

on établit alors
c.-à-d. que la transformation de Laplace et la dérivation par rapport à un paramètre sont permutables.

......Démonstration : partant de si , on permute la dérivation par rapport à et l'intégration par rapport à [65] et on obtient sous la même condition de convergence .

Conséquence de l'intégration par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) dépendant du paramètre relativement auquel elle est dérivable et admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) et
......la primitive de la fonction (ou distribution) relativement au paramètre c.-à-d. admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace avec la même condition de convergence que celle de la transformée de Laplace initiale [66] ;

on établit alors
c.-à-d. que la transformation de Laplace et l'intégration par rapport à un paramètre sont permutables.

......Démonstration : partant de si , on permute l'intégration par rapport à et l'intégration par rapport à [67] et on obtient sous la même condition de convergence .

Conséquence du caractère périodique d'une fonction (ou distribution) sur sa transformée (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une fonction (ou distribution) de période c.-à-d. telle que et
........Soit ~f(t)~ une fonction (ou distribution) admettant pour transformée (monolatérale) de Laplace si avec [68] abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction (ou distribution) ;

on établit alors .

......Démonstration : partant de si , on décompose l'intégrale sur chaque période selon ou, en faisant le changement de variable sur l'intégrale pour se ramener à une intégrale sur sachant que d'une part et d'autre part soit ou, étant une variable muette et une constante, soit finalement, après factorisation par , puis, en reconnaissant dans les termes entre crochets la somme infinie d'une progression géométrique de premier terme et de raison de module pour [69] on établit le résultat affirmé ci-dessus avec l'abscisse de convergence de la transformée de Laplace [70].

Transformées (monolatérales) de fonctions (ou distributions) usuelles[modifier | modifier le wikicode]

Liste évidemment non exhaustive.

Fonction de Heaviside (ou échelon unité)[modifier | modifier le wikicode]

......Fonction de Heaviside [14] (ou échelon unité) pour [71].

......Fonction de Heaviside [14] (ou échelon unité) retardé pour [72].

......Fonction créneau unité sur  : d'où, la transformation (monolatérale) de Laplace étant linéaire pour .

Pic de Dirac d'impulsion unité[modifier | modifier le wikicode]

......Pic de Dirac [16] d'impulsion unité [17] [71].

......Pic de Dirac [16] d'impulsion unité retardé [73] [72].

Fonction rampe de pente a[modifier | modifier le wikicode]

......Fonction rampe pour [71].

......Fonction rampe retardée pour [72].

......Fonction triangle symétrique sur  : pour [72].

Fonction exponentielle réelle[modifier | modifier le wikicode]

......Fonction exponentielle réelle avec [74] pour [75].

......Approche exponentielle réelle de l'échelon unité avec d'où, par linéarité de la transformation de Laplace, pour [76] soit finalement .

Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

......Fonction cosinusoïdale avec s'obtient en utilisant et pour [75] d'où [51] soit, en poursuivant la restriction du domaine de aux valeurs réelles, soit, en étendant ce résultat aux valeurs complexes de [77]

pour .

......Fonction sinusoïdale avec s'obtient en utilisant et pour [75] d'où [51] soit, en poursuivant la restriction du domaine de aux valeurs réelles, soit, en étendant ce résultat aux valeurs complexes de [77]

pour .

......Remarque : Il existe une démonstration utilisant le caractère périodique des fonctions cosinusoïdale (ou sinusoïdale), sans le besoin d'admettre que l'extension aux valeurs complexes du résultat établi avec des valeurs réelles de est valide, voir ci-dessous :

  • pour la fonction cosinusoïdale qui est «-périodique~» on a pour [78] soit, en utilisant et en reportant dans l'intégrale , on obtient ou, avec , soit encore après réduction au même dénominateur et finalement pour ,
  • pour la fonction sinusoïdale qui est «-périodique~» on a pour [78] soit, en utilisant et en reportant dans l'intégrale , on obtient ou, avec , soit encore après réduction au même dénominateur et finalement pour .

......Application : soit à déterminer la transformée (monolatérale) de Laplace de avec et , on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon ce qui permet de réécrire la fonction dont on cherche la transformée (monolatérale) de Laplace selon dont on tire, compte-tenu de la linéarité de la transformation de Laplace soit finalement

pour .

Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement[modifier | modifier le wikicode]

......Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement avec