Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation

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Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation
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Chapitre no 23
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Portrait de phase d'un système dynamique
Chap. suiv. :Barycentre d'un système de points
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation
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     La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace [1] pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée, mais elle fut découverte par Leonhard Euler [2].

Transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction réelle de la variable réelle ayant les propriétés suivantes :

  • « les valeurs de la fonction sont nulles pour » [3] la fonction est alors qualifiée de « causale » [4],
  • « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle » [5], [6],
  • « au voisinage de , tels que » [7] et
  • « la fonction est “ d'ordre exponentiel ” avec », « tels que et » [8].

Définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) ci-dessus[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace [1] d'une fonction à support positif [14] à celles

         Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de c.-à-d. de support est un voisinage ouvert à gauche de , borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable [15] et

         Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une distribution la distribution devant être telle que l'intégrale de définition [16] de sa transformée de Laplace [1] converge [17].

Premiers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

  • « Fonction de Heaviside [18] ou échelon unité » « pour » [19]
    en effet le calcul conduit à «» [13].
  • « Pic de Dirac [20] d'impulsion unité » [21] «» [22]
    en effet, si est , on a «» [13] donnant «[13] en intégrant par parties [16], [23] soit [13] » mais le résultat reste le même
    en effet si est , ce qui s'établit en utilisant une autre démonstration que l'intégration par parties [24], [25].
  • « Fonction rampe » « pour » [26]
    en effet le calcul conduit à «[13] donnant [13] en intégrant par parties [23] soit dès lors que est ».

Principales propriétés des transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Linéarité de la transformation (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soient « et deux fonctions ou distributions» admettant pour « transformées monolatérales de Laplace [1] respectives et », avec
     Soient « et « la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées monolatérales de Laplace [1] et
     Soient « un réel non nul quelconque »,
     on démontre les propriétés suivantes ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction ou la distribution à sa transformée monolatérale de Laplace [1] :

«» pour «»
et
«» pour «»      ou      «» pour «».

Conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction ou distribution admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la dite fonction ou distribution»,
     Soit la dérivée de la fonction ou dérivée de la distribution [16] admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la dérivée de la dite fonction ou de celle de la distribution [27]» [28] ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante

     Démonstration : « pour calculer [13], [32] dans le domaine de validité de la transformée monolatérale de Laplace [1] » c.-à-d. « avec abscisse de convergence de »,
     Démonstration : « pour calculer dans l'hypothèse où « est la dérivée d'une distribution [16] ou d'une fonction, dérivée divergeant en », on procède en intégrant par parties [32], [23] et on obtient «[13] » [33] alors que

     Démonstration : « pour calculer dans l'hypothèse où « est la dérivée d'une fonction, dérivée convergeant en », on peut affirmer «» dans la mesure où « est discontinue de 1ère espèce [34] ou continue en » [35] d'où «» [13] «» [13] que l'on intègre par parties [23] selon « » [33], [36].

Conséquence de l'intégration sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction ou distribution admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la dite fonction ou distribution»,
     Soit la primitive de la fonction ou primitive de la distribution [16] s'annulant en et admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] « [27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la primitive de la dite fonction ou de celle de la distribution [27]» [37] ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante

     Démonstration : « pour calculer [13], [32] dans le domaine de validité de la transformée monolatérale de Laplace [1] » c.-à-d. « avec abscisse de convergence de »,
     Démonstration : « pour calculer on procède en intégrant par parties [32], [23] et on obtient «[13] » [38].

Conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction ou distribution admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la dite fonction ou distribution»,
     Soit une nouvelle fonction ou distribution résultant de la translation sur la variable avec [39] et admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] « [27], [13] avec la même condition de convergence » [40] ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « théorème du retard »

     Démonstration : « pour calculer [13], [32] dans le domaine de validité de la transformée monolatérale de Laplace [1] » c.-à-d. « avec abscisse de convergence de » [40],
     Démonstration : « pour calculer « si est » on décompose l'intervalle d'intégration [32] sur la variable selon et on obtient «» [13] dans laquelle la 1ère intégrale entre crochets est nulle la fonction ou distribution étant à support positif et la 2nde égale à si d'où « pour » ou
     Démonstration : « pour calculer « si est » on étend l'intervalle d'intégration [32] sur la variable selon en soustrayant et on obtient «» [13] dans laquelle la 1ère intégrale entre crochets est égale à si et la 2nde est non nulle « même pour » d'où la nécessité d'exiger .

Conséquence d'un changement d'échelle de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction ou distribution admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la dite fonction ou distribution»,
     Soit une nouvelle fonction ou distribution résultant du changement d'échelle sur la variable avec [41] et admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] « [27], [13] avec pour condition de convergence » [42] ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « règle de similitude »

     Démonstration : « pour calculer [13], [32] dans le domaine de validité de la transformée monolatérale de Laplace [1] » c.-à-d. « avec abscisse de convergence de » [42], ou encore,
     Démonstration : « pour calculer en remplaçant par , on obtient «» [13] dans laquelle l'intégrale généralisée [32] égale à «[13] [45] en posant s'identifie à si » d'où
     Démonstration : « pour calculer « si ».

Conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction ou distribution admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la dite fonction ou distribution»,
     Soit une nouvelle fonction ou distribution résultant de la multiplication de par la fonction exponentielle de avec [46] et admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27], [13] avec pour condition de convergence » [47] ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom de « règle de translation en »

     Démonstration : « pour calculer [13], [32] dans le domaine de validité de la transformée monolatérale de Laplace [1] » c.-à-d. « avec abscisse de convergence de » [47], ou encore,
     Démonstration : « pour calculer en remplaçant par , on obtient «» [13] dans laquelle l'intégrale généralisée [32] de variable complexe s'identifie à si » d'où
     Démonstration : « pour calculer « si ».

     Remarque 1 : « si est » la fonction exponentielle est une fonction de traduisant un « amortissement exponentiel de la fonction ou distribution » et simultanément « le domaine de validité de la transformée monolatérale de Laplace [1] s'élargit » car la « nouvelle abscisse de convergence » alors que
     Remarque 1 : « si est » la fonction exponentielle est une fonction de traduisant une « amplification exponentielle de la fonction ou distribution » et simultanément « le domaine de validité de la transformée monolatérale de Laplace [1] s'amenuise » car la « nouvelle abscisse de convergence ».

     Remarque 2 : Envisageons maintenant avec définissant une fonction complexe dont les parties réelle et imaginaire sont  ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant la « nouvelle fonction ou distribution complexe » résultat de la multiplication de la fonction ou ou distribution réelle par l'exponentielle complexe a pour « parties réelle et imaginaire » lesquelles admettent toutes deux une transformée monolatérale de Laplace [1] sous la même « condition de convergence avec » [49] ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant de ce qui précède on peut déduire la « définition de la transformée monolatérale de Laplace [1] d'une fonction ou distribution complexe » à partir de celle des parties réelle et imaginaire de cette dernière selon [50] «» [51] ou encore
     Remarque 2 : Envisageons maintenant «» [13], [32] c.-à-d. la même définition que celle d'une fonction ou distribution réelle ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant il est alors aisé d'établir « pour », la « convergence de la transformée monolatérale de Laplace [1] complexe de la fonction ou distribution complexe nécessitant avec abscisse de convergence de ».

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : Dans la mesure où la fonction complexe est holomorphe sur l'ouvert sur laquelle elle est définie, on peut
     Remarques : définir la « fonction complexe dérivée » et étudier son éventuelle holomorphie et si celle-ci est établie,
     Remarques : définir la « fonction complexe dérivée seconde » et étudier son éventuelle holomorphie
     Remarques :

     Démonstration : La transformée monolatérale de Laplace [1] d'une fonction ou d'une distribution s'écrivant «» [13], [32] et « admettant l'holomorphie à n'importe quel ordre de cette fonction complexe sur tout ouvert satifaisant avec abscisse de convergence de », on vérifie d'abord la propriété pour puis on l'établit par récurrence soit

     Démonstration : « pour », [13], [32] après permutation de l'intégration sur et de la dérivation par rapport à , d'où [13], [32] et finalement «» C.Q.F.D. [59],

     Démonstration : hypothèse de récurrence « pour quelconque », on forme [13], [32] puis, on permute l'intégration sur et la dérivation par rapport à , d'où [13], [32] et finalement, en regroupant les facteurs, « » C.Q.F.D. [59],

     Démonstration : la propriété «» étant « vraie pour » avec « » est établie par récurrence pour tout .

Conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une fonction ou distribution admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27] si » [13] avec « abscisse de convergence de la transformée de Laplace [1] de la dite fonction ou distribution»,
     Soit une nouvelle fonction ou distribution résultant de la multiplication de par la fonction puissance nème de avec [60] et admettant pour transformée monolatérale de Laplace [1] «[27], [13] avec pour condition de convergence » [61] ;

     de la relation « pour tout » établie au paragraphe « holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons

« pour » soit
« pour , »,                                             
« pour , »                                       

     Application : soit à « évaluer avec et la fonction de Heaviside [18] connaissant si », l'application du résultat ci-dessus nous conduit à

« si » soit successivement :

     Application : «»,

     Application : «» [62],

     Application : «» [63],

     Application : avec pour hypothèse de récurrence «» vérifiée pour , on en déduit « » ce qui valide l'hypothèse de récurrence d'où

« pour