Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier
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Énoncé du théorème de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes (évoqués ici) et leur application au problème de la propagation de la chaleur …
Début d’un théorème
Fin du théorème

Premier développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Le calcul des cœfficients est un complément pour la 1ère année, il n'est donc pas exigible :

......Calcul de la composante continue : [3].

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche [3], égale à la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire égale à la somme (infinie) des moyennes de chaque harmonique [3] ; or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles » [4], il reste, à droite, la moyenne de l'harmonique de rang zéro (c'est-à-dire de la composante continue) et comme cet harmonique est une constante, il reste C.Q.F.D[5]..

......Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang n non nul : [3].

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie les deux membres par et on prend la moyenne du membre de gauche [3], égale à la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire, après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme (infinie) des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif [6]
[3] ;
or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de [7], il reste donc, à droite, ou ou, en linéarisant , la somme suivante soit, « la seconde moyenne étant nulle » [8], C.Q.F.D. dans la mesure où est équivalent à .

......Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang n non nul : [3].

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie les deux membres par et on prend la moyenne du membre de gauche [3], égale à la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire, après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme (infinie) des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif[6]
[3] ;
or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de [9], il reste donc, à droite, ou ou, en linéarisant , la somme suivante soit, « la seconde moyenne étant nulle »[8], C.Q.F.D. dans la mesure où est équivalent à .

Deuxième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

Passage du premier au second développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit on en déduit :

  • ,
  •  ;

......le but recherché est de déterminer et connaissant et  :

............Partant de la somme d'harmoniques pair et impair , on fait apparaître dans le facteur ce qui donne , puis on définit par  [10], d'où soit finalement avec [11] et t.q. [12].

Troisième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Ce 3e développement en série de Fourier est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite ; il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients [13] :

......Calcul du cœfficient  : [3].

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie le 3e développement en série de Fourier par et on prend la moyenne du membre de gauche [3], égale à la moyenne du membre de droite, soit encore égale à la somme (infinie) des moyennes de ou encore
[3] ;
or chaque moyenne pour est nulle car [14] d'où [15] (C.Q.F.D.).

Passage du second au troisième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Ces deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit on en déduit :

  • ,
  • ou, avec la formule d'Euler relative au cosinus [16], ,

......soit, par identification des cœfficients de ainsi que ceux de , ou

............ si , et

............ si , [17].

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Nous verrons une autre façon (moins immédiate) de déterminer les cœfficients du 3e développement en série de Fourier en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1er développement à savoir : , et [3],[13] ;

......ces deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit on en déduit :

...... ou, en utilisant dans le 1er développement les « formules d'Euler »[16]

et

en identifiant les cœfficients de dans les deux développements :

............ si , soit [3],

............ si , soit [3] et

............ si , soit,
sachant que [3].

Théorème de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

......Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval (ou égalité de Parseval) » dont il eut l'intuition sans le démontrer (il estimait que c'était une évidence).

Théorème de Parseval utilisant le 3e développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant le 3e développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence , dans lequel est appelé cœfficient de Fourier complexe de pour , et formant la série suivante [18], Parseval a eu l'intuition de la convergence de cette série vers .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique[modifier | modifier le wikicode]

......On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction en utilisant son 3ème développement en série de Fourier soit  ; pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés , de termes « rectangles » selon avec mais dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

  • les intégrales des 1ers termes à savoir se distinguent suivant que
    ...... donnant ou
    ...... donnant [20] et
  • les intégrales des 2èmes termes à savoir avec mais se distinguent suivant que
    ...... donnant [21] ou
    ...... donnant [22] ;

......finalement d'ou, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval .

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2e développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le 2e développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence , dans lequel définissent respectivement la composante continue et l'amplitude de l'harmonique de rang , pour réécrire l'égalité de Parseval dans ce nouveau contexte il faut de transformer en fonction des nouveaux cœfficients et soit [23] d'où .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1er développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence dans lequel [25] définissent respectivement la composante continue et les amplitudes de l'harmonique pair et impair de rang , pour réécrire l'égalité de Parseval dans ce nouveau contexte il faut de transformer en fonction des nouveaux cœfficients , et soit [26] d'où .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Le substantif « harmonique » est « masculin ».
  2. Au sens permanent.
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 et 3,15 définit la valeur moyenne de la fonction , valeur moyenne notée .
  4. Un harmonique de rang de fréquence étant de période et admettant comme primitive un harmonique de même rang mais de parité différente (à un facteur multiplicatif près), la prise de cette primitive sur donne effectivement zéro, la primitive étant .
  5. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  6. 6,0 et 6,1 Ne pas confondre la variable fixée du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée .
  7. En effet, si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c'est-à-dire de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur  ;
    ......si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c'est-à-dire de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur  ;
    ......si , on linéarise et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence c'est-à-dire de période donnant une valeur moyenne nulle sur .
  8. 8,0 et 8,1 En effet on prend la moyenne sur d'une fonction sinusoïdale de fréquence donc de période .
  9. En effet, si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c'est-à-dire de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur  ;
    ......si , on linéarise et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence c'est-à-dire de période donnant une valeur moyenne nulle sur  ;
    ......si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c'est-à-dire de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur .
  10. Ceci est possible car il existe un angle t.q. et sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser on introduit le signe dans .
  11. étant représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang .
  12. Si et si , dans ces deux cas on peut écrire on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un que s'il est strictement compris entre et  ;
    ......si et on peut écrire  ;
    ......si et on peut écrire .
  13. 13,0 et 13,1 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
  14. La fonction à prendre entre 0 et étant
  15. La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
  16. 16,0 et 16,1 La formule d'Euler étant on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement et .
  17. Les cœfficients et étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer pour .
  18. C'est-à-dire somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de correspondant à un harmonique de rang .
  19. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique (c'est-à-dire la moyenne du carré de la fonction) utilisant le carré des modules des cœfficients de Fourier complexes de .
  20. La fonction étant -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour 0 et .
  21. On rappelle que se calculant par voir le paragraphe « 3ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et étant une fonction réelle, le conjugué de c'est-à-dire d'où .
  22. La fonction étant -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour 0 et .
  23. On rappelle que et étant conjugués ont même module.
  24. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques de .
  25. On a en effet établi que , et d'où les expressions de , et en fonction des cœfficients de Fourier complexes de .
  26. En effet et d'où .
  27. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques pairs et impairs de .