Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique
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Suite (ou progression) arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

Expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

     Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«».

     Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme :

  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la « suite arithmétique de 1er terme et de raison arithmétique », on définit la « somme des 1ers termes jusqu'au rang » par

«» ;

     son expression se réécrit «» [2] ou,
     son expression se réécrit avec la somme des 1ers entiers naturels «» [3],
     son expression se réécrit «» ou encore «» soit finalement

«» [4].

Suite (ou progression) géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

     Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«».

     Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme :

  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la « suite géométrique de 1er terme et de raison géométrique », on définit la « somme des 1ers termes jusqu'au rang » par

«» ;

     son expression se réécrit «» ou,
     son expression se réécrit avec la somme des 1ères puissances entières naturelles de , «» [5],
     son expression se réécrit «» ou encore «» [6].

Suite arithmético-géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite arithmético-géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

Induction du terme général par développement des premiers termes[modifier | modifier le wikicode]

  • 1er terme ou terme de rang  : «»,
  • 2ème terme ou terme de rang  : «»,
  • 3ème terme ou terme de rang  : «» soit
    «»,
  • 4ème terme ou terme de rang  : «» soit
    «»,
  • 5ème terme ou terme de rang  : «» soit
    «»,
  • ème terme ou terme de rang  : dans tous les termes sauf le 1er, apparaît en facteur, il est donc apparu fois dans le terme de rang d'où l'existence de «» et
    ème terme ou terme de rang  : dans tous les termes sauf le 1er, apparaît à l'état brut dans le 2nd, multiplié par dans le 3ème multiplié par dans le d'où l'existence de «» dans le terme de rang
    «».

Validation par récurrence de l'expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

     Supposant que le terme de rang s'écrive «» hypothèse de récurrence,
     il nous faut montrer que le terme de rang s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant par soit «» ;

     pour cela « on reporte dans la relation de récurrence » « » ou encore, le résultat attendu «» [9] d'où la démonstration de cette expression par récurrence cette expression étant établie pour les 1ers termes [10].

L'expression du terme général est donc «» [11].

     Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme :

  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».

Simplification de l'expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

     Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique en reconnaissant dans son 2ème terme «»
     Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique en reconnaissant un 2ème facteur «» dont la simplification dépend de la valeur de  :
     « pour », «» étant la somme des 1ers termes d'une progression géométrique de 1er terme et de raison «» [12],
     « pour », « se réécrivant est égal à la somme de répété fois », soit «»,

     Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique d'où l'expression simplifiée du terme général

« pour », «»,
« pour », «» [13].         

     Le retour sur les deux cas particuliers dans le cas où dépendant du rang du 1er terme conduit à :

  • « pour » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
  • « pour » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la « suite arithmético-géométrique de 1er terme , de constantes et dans la relation affine de récurrence » [14], on définit la « somme des 1ers termes jusqu'au rang » par

«» ;

     son expression se réécrit «» ou,
     son expression se réécrit après factorisation, «» [15] ou,
     son expression se réécrit avec la somme des 1ères puissances entières naturelles de , «» [12],

«» ;

     le résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c.-à-d. «» et «», en effet
     le résultat précédent peut encore se réécrire «» ou,
     le résultat précédent peut encore se réécrire avec «» «» « »,
     le résultat précédent peut encore se réécrire «» ou,
     le résultat précédent peut encore se réécrire après factorisation partielle, «» soit

«».

     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme donnent :

  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «»,
  • « si » c.-à-d. si le 1er terme est de rang , «».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 et 1,6 Ou rationnel(s) ou entier(s) relatif(s)
  2. Il y a en effet termes c.-à-d. autant de fois .
  3. En effet si on écrit cette somme
          en croissant puis
       en décroissant et
       En effet si on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans «», fois le même terme d'où «» ;
       le cas où nous conduit au résultat classique de la somme des 1ers entiers naturels «».
  4. On rappelle que «».
  5. En effet cette somme s'écrivant «», on vérifie en la multipliant par et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit « » d'où «».
  6. On rappelle que .
  7. Si était , la suite serait simplement « arithmétique » de raison à condition que soit non nul ;
       si était et , la suite deviendrait simplement « constante ».
  8. Si était nul, la suite deviendrait simplement « géométrique » de raison à condition que soit  ;
       si était nul et , la suite deviendrait simplement « constante ».
  9. Le passage de à correspond d'une part à l'introduction du facteur dans le terme générique ce qui modifie la variation de , ce dernier variant de à au lieu de à et d'autre part la factorisation du dernier terme ce qui modifie la variation de , ce dernier variant de à au lieu de à .
  10. L'établissement pour le 2ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2ème terme
  11. On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique et et à une suite géométrique et .
  12. 12,0 et 12,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique jusqu'au rang n » ci-dessus.
  13. On retrouve, si , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.
  14. On suppose , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si déjà traité ou « constante » si sans intérêt.
  15. En effet, dans la 2ème somme, le terme apparaît fois.