Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Formes différentielles et différentielles de fonctions

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Sommaire

Forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une forme différentielle des variables indépendantes « x, y et z »[modifier | modifier le wikicode]

......On appelle « forme différentielle des variables indépendantes [1] », toute expression formée à partir des trois fonctions scalaires de classe [2] des trois variables indépendantes [1] et des trois éléments différentiels selon

[3].

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Si sont les coordonnées cartésiennes du point générique de l'espace à trois dimensions, la circulation élémentaire du champ vectoriel [4] définie selon est une forme différentielle car , les trois fonctions scalaires de la forme différentielle étant respectivement les trois composantes acrtésiennes du champ vectoriel soit .

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'un point dans l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Si sont les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) du point générique de l'espace à trois dimensions [5], la circulation élémentaire du champ vectoriel [4] définie selon est une forme différentielle car [6], les trois fonctions scalaires de la forme différentielle étant liées aux trois composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du champ vectoriel par .

Exemple dans le cas où les variables indépendantes sont les coordonnées sphériques d'un point dans l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Si sont les coordonnées sphériques du point générique de l'espace à trois dimensions [7], la circulation élémentaire du champ vectoriel [4] définie selon est une forme différentielle car [8], les trois fonctions scalaires de la forme différentielle étant liées aux trois composantes sphériques du champ vectoriel par .

Exemple dans le cas où les variables indépendantes ne sont pas des coordonnées d'un point de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

......Nous aurons de nombreux exemples dans le domaine de la thermodynamique ou de la statique des fluides, les variables indépendantes pouvant être

  • définies en chaque point de l'espace comme la température absolue , la pression , la concentration volumique molaire ou la masse volumique ou
  • définies pour l'ensemble du système étudié comme le volume , la quantité de matière ou la masse ou encore
  • un ensemble des deux judicieusement défini …

Distinction entre forme différentielle et différentielle de fonction scalaire des variables indépendantes « x, y et z »[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, désigne n'importe quel type de variables indépendantes [1].

Rappel sur la notion de différentielle d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes et généralisation à plus de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir la notion de « différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » ainsi que la définition correspondante introduites au chap. 6 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit

pour la fonction scalaire des deux variables indépendantes ,
la différentielle définie au point selon
dans laquelle et sont les dérivées partielles de au point en question[9],[10] ;

......la généralisation à une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes est explicitée ci-dessous dans le cas de trois variables indépendantes soit

pour la fonction scalaire des trois variables indépendantes ,
la différentielle définie en selon
dans laquelle , et sont les dérivées partielles de au point en question[9],[10].

Distinction entre une « forme différentielle » et une « différentielle de fonction scalaire » (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)[modifier | modifier le wikicode]

......La différentielle de la fonction scalaire des deux variables indépendantes étant un cas particulier de forme différentielle dans laquelle les deux fonctions a priori indépendantes l'une de l'autre sont liées entre elles comme dérivées partielles de la fonction , nous pouvons qualifier de « forme différentielle » la différentielle d'une fonction scalaire tant que nous n'avons pas vérifié qu'il s'agit bien d'une différentielle de fonction scalaire …

......Si on intègre une forme différentielle quelconque [11] des deux variables indépendantes à partir d'un point jusqu'à un point en suivant une courbe et

  • si on obtient un résultat dépendant de la courbe suivie pour un même couple de points extrêmes , la forme différentielle n'est pas une différentielle de fonction scalaire [12] mais
  • si le résultat est indépendant de la courbe suivie pour un même couple de points extrêmes , la forme différentielle est en fait une différentielle de fonction scalaire [une forme différentielle qui est une différentielle de fonction scalaire est encore appelée « différentielle exacte » [13]].

Retour sur les exemples où les trois variables indépendantes sont les coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

Correspondance entre « forme différentielle des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de cet espace »[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas où les trois variables indépendantes sont des coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques d'un point de l'espace tridimensionnel, toute forme différentielle [11] est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace [4] et réciproquement selon la correspondance suivante :

  • en repérage cartésien toute forme différentielle [11] est aussi la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel ,
  • en repérage cylindro-polaire [5] toute forme différentielle [11] est aussi la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel et
  • en repérage sphérique [7] toute forme différentielle [11] est aussi la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel .

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative » et correspondance entre la « circulation élémentaire d'un tel champ » et la « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace »[modifier | modifier le wikicode]

Notion de « champ vectoriel à circulation conservative »[modifier | modifier le wikicode]

......Un champ vectoriel de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation le long de la courbe de à [14] définie par est indépendante de la courbe suivie.

Correspondance entre « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et « circulation élémentaire d'un champ vectoriel à circulation conservative »[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu des propriétés et définition fournies précédemment, à savoir :

  • toute forme différentielle [11] dont l'intégrale à partir d'un point jusqu'à un point en suivant une courbe est indépendante de la courbe suivie est une différentielle de fonction scalaire,
  • toute forme différentielle [11] des coordonnées de l'espace est aussi la circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace et
  • tout champ vectoriel de l'espace dont la circulation le long de la courbe de à [14] est indépendante de la courbe suivie est dit « à circulation conservative »,

......on en déduit que toute « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » est la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel [4] à circulation conservative » et réciproquement.

Définition équivalente d'un « champ vectoriel à circulation conservative »[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la correspondance entre une « différentielle de fonction scalaire des coordonnées de l'espace » et la « circulation élémentaire d'un champ vectoriel [4] à circulation conservative », nous en déduisons qu'il est équivalent de définir un champ vectoriel à circulation conservative selon :

......Un champ vectoriel de l'espace est dit « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire [4] est une différentielle de fonction scalaire (c'est-à-dire une différentielle exacte [13]).

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire (conditions d'« égalités des dérivées croisées »)[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une forme différentielle qui est la différentielle d'une fonction scalaire c'est-à-dire telle que avec , cette identification devant être vérifiée pour tout triplet , on en déduit donc  ;

......admettant que lors d'une dérivation partielle du 2nd ordre on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat (théorème de Schwarz [15]) on en déduit les C.N. [16] suivantes :

  • de on déduit ,
  • de on déduit et
  • de on déduit .

......Ces trois C.N. [16] pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire (c'est-à-dire une différentielle exacte [13]) sont connues sous le nom de « conditions d'égalités des dérivées croisées » [17].

Intégration d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Bien que les variables indépendantes au nombre de 2 ou 3 ne soient pas nécessairement des coordonnées de points de l'espace physique, nous pouvons construire un espace virtuel à 2 ou 3 dimensions tel qu'un point quelconque de cet espace virtuel ait pour coordonnées les variables indépendantes utilisées (par exemple, en thermodynamique ou statique des fluides, si les variables indépendantes sont la pression et la température absolue , l'espace virtuel à 2 dimensions serait généré par l'ensemble des couples possibles) ;

......Préliminaire : on peut alors définir une courbe continue dans cet espace virtuel à 2 ou 3 dimensions par 2 ou 3 équations paramétriques ou par 1 ou 2 équation(s) implicite(s), et par conséquent définir aussi une courbe continue fermée dans cet espace virtuel.

......Soit la différentielle de la fonction scalaire des deux variables indépendantes [18] et une courbe continue fermée de l'espace engendré par tous les couples possibles, l'intégrale curviligne étant égale à est nulle quelle que soit la courbe .

......Conclusion : L'intégrale d'une différentielle exacte sur une courbe continue fermée est nécessairement nulle soit .

Exemple de forme différentielle vérifiant les conditions d'« égalités des dérivées croisées » mais n'étant pas une différentielle de fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la forme différentielle des deux variables indépendantes définie sur , cette forme vérifie la condition d'égalité des dérivées croisées mais ce n'est pas la différentielle d'une fonction scalaire car son intégrale sur un cercle de centre ne donne pas 0 comme il serait nécessaire de trouver pour l'intégrale d'une différentielle de fonction scalaire sur une courbe continue fermée en effet

...... se simplifie en repérant le point générique du cercle par ses coordonnées polaires de pôle soit est le rayon du cercle, dont on tire permettant de réécrire la forme différentielle en restant sur selon et par suite et donc .

......Conclusion : Les conditions d'égalité des dérivées croisées vérifiées par une forme différentielle (alors qualifiée de « fermée ») ne sont pas suffisantes pour que cette forme soit une différentielle exacte [13].

Conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Une partie ouverte ou non de est dite « étoilée » lorsque contient au moins un point tel que pour tout point de le segment soit inclus dans , on dit alors que est « étoilée par rapport à » est « convexe » ssi est étoilée par rapport à chacun de ses points.


......Nous admettrons le théorème de Poincaré [19] relatif aux formes différentielles fermées [17] sur un ouvert étoilé de  :

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Dans le cas où le théorème de Poincaré [19] s'applique à une forme différentielle, la fonction dont cette forme est la différentielle est appelée « primitive de la forme différentielle sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».


......Remarques : La forme différentielle des deux variables indépendantes définie sur est effectivement fermée [17] mais la partie du domaine de définition qu'il est nécessaire de choisir pour définir le cercle de centre et de rayon le long duquel on intègre la forme différentielle, à savoir identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée en effet et étant deux points diamétralement opposés sur le cercle, le segment n'est pas inclus dans car il passe par le centre , on en déduit donc bien que cette forme différentielle n'est pas exacte sur la partie identique au disque privé du centre.

......Remarques : Toutefois, en physique, les formes différentielles qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie l'égalité des dérivées croisées (donc des formes différentielles fermées [17]) sont pratiquement toujours définies sur une partie étoilée et par conséquent sont des différentielles de fonction scalaire (c'est-à-dire des différentielles exactes [13]).

Exemples de forme différentielle, déterminations (ou non) de sa fermeture puis des primitives de cette forme différentielle dans le cas où cette dernière est exacte[modifier | modifier le wikicode]

1er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée[modifier | modifier le wikicode]

......La forme différentielle est-elle fermée [17] sur (c'est-à-dire cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées) ?

......Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » soit, pour les fonctions respectivement cœfficient de ,

  • soit une 1ère condition vérifiée,
  • soit une 2ème condition vérifiée et
  • soit une 3ème condition non vérifiée ;

......conclusion : la forme différentielle n'étant pas fermée [17], elle n'est pas donc pas exacte (c'est-à-dire qu'elle n'est pas une différentielle de fonction) et

......conclusion : toute tentative de recherche de primitive de cette forme différentielle selon la méthode exposée dans le paragraphe suivant conduirait à un blocage de l'application de cette méthode [il est donc préférable de vérifier la fermeture de la forme différentielle [20] avant de tenter de rechercher une primitive (inexistante) de celle-ci].

2ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » fermée et recherche des primitives de cette forme sans vérifier au préalable son exactitude[modifier | modifier le wikicode]

......La forme différentielle est-elle fermée [17] sur (c'est-à-dire cette forme vérifie-t-elle les conditions d'égalité des dérivées croisées) ?

......Pour répondre à cette question on compare, en les croisant, les dérivées partielles des fonctions « cœfficient des éléments différentiels » soit, pour les fonctions respectivement cœfficient de ,

  • soit une 1ère condition vérifiée,
  • soit une 2ème condition vérifiée et
  • soit une 3ème et dernière condition vérifiée ;

......conclusion : la forme différentielle étant fermée [17], elle est vraisemblablement exacte [21] (ce qui signifie que c'est vraisemblablement une différentielle de fonction [21]), on peut donc se lancer dans la recherche des primitives de la forme différentielle.

......Recherche de primitives de cette forme différentielle : identifiant la forme différentielle avec la différentielle de la fonction cherchée , on est donc amené à trouver une fonction connaissant les trois dérivées partielles soit  ; pour cela il est conseillé de procéder exclusivement de la façon décrite ci-dessous [même si, dans certains cas, une méthode plus simple est possible, celle exposée ci-après assure l'obtention du résultat cherché] :

  • à partir de , on intègre par rapport à , (en laissant et figés le temps de l'intégration), soit
    est une fonction arbitraire des deux variables indépendantes et , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à puis,
  • on dérive l'expression précédente relativement à , (en laissant et figés le temps de la dérivation), dans le but d'introduire la fonction restant à déterminer dans la 2ème équation soit d'où la réécriture de la 2ème équation ou
    que l'on intègre par rapport à , (en laissant figé le temps de l'intégration), soit est une fonction arbitraire de la variable , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à , dont on déduit

    avec fonction arbitraire de la variable , enfin,
  • on dérive l'expression précédente relativement à , (en laissant et figés le temps de la dérivation), dans le but d'introduire la fonction restant à déterminer dans la 3ème équation soit d'où la réécriture de la 3ème équation ou
    [22]
    que l'on intègre par rapport à , soit et dont on déduit les primitives cherchées de cette forme différentielle
    .

Retour sur le 1er exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes « x, y, z » non fermée et constatation du blocage de la méthode de recherche de primitives de cette forme en accord avec leur inexistence[modifier | modifier le wikicode]

......Supposons que nous n'ayons pas cherché à savoir si la forme différentielle est fermée [17] sur (c'est-à-dire si cette forme vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées) et que, néanmoins, nous appliquions la méthode de recherche de primitives exposée dans le paragraphe précédent alors qu'il n'existe pas de primitives pour cette forme dans la mesure où, n'étant pas fermée [17], elle n'est pas exacte ; la méthode appliquée doit nécessairement conduire à une impasse, c'est celle-ci que l'on veut souligner ci-dessous :

......Si nous identifions la forme différentielle avec une différentielle de fonction , on est donc amené à chercher une fonction connaissant les trois dérivées partielles soit  ;

  • à partir de , on intègre par rapport à , (en laissant et figés le temps de l'intégration), soit
    est une fonction arbitraire des deux variables indépendantes et , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à puis,
  • on dérive l'expression précédente relativement à , (en laissant et figés le temps de la dérivation), dans le but d'introduire la fonction restant à déterminer dans la 2ème équation soit d'où la réécriture de la 2ème équation ou
    que l'on intègre par rapport à , (en laissant figé le temps de l'intégration), soit est une fonction arbitraire de la variable , laquelle est effectivement une constante pendant le temps de l'intégration relativement à , dont on déduit

    avec fonction arbitraire de la variable , enfin,
  • on dérive l'expression précédente relativement à , (en laissant et figés le temps de la dérivation), dans le but d'introduire la fonction restant à déterminer dans la 3ème équation soit d'où la réécriture de la 3ème équation ou
    ce qui n'admet aucune solution du fait que ne doit dépendre que de et aucunement de  ; nous sommes donc arrivé à l'impasse cherchée établissant qu'il n'existe aucune primitive de la forme différentielle , la raison de cette affirmation étant que cette forme n'est pas fermée [17], [23] et par conséquent encore moins exacte.

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative et détermination des potentiels scalaires dont dérive un tel champ[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la 2ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions étant « à circulation conservative » ssi sa circulation élémentaire [4] est une différentielle de fonction scalaire (ou une différentielle exacte [13]) soit

à circulation conservative ssi est une différentielle exacte [13],

......nous en déduisons que la recherche de l'« éventuel caractère d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions d'être à circulation conservative » est équivalente à celle de l'« éventuel caractère de la circulation élémentaire [4] de ce champ vectoriel d'être une différentielle exacte [13] » et par suite, il suffira de travailler sur cette dernière pour en tirer toutes les conséquences sur le champ vectoriel dont elle est la circulation élémentaire [4].

Conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative[modifier | modifier le wikicode]

......D'après le paragraphe précédent nous pouvons donc affirmer que les C.N. [16] (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative » sont celles pour lesquelles la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel est une « différentielle exacte [13] » ; ainsi, suivant la nature du repérage des points de l'espace (que nous supposons à trois dimensions) nous obtenons :

  • en repérage cartésien d'où les C.N. [16] (mais non suffisantes) pour que soit « à circulation conservative » sont ,
  • en repérage cylindro-polaire [5] soit, avec [6], on en déduit d'où les C.N. [16] (mais non suffisantes) pour que soit « à circulation conservative » sont ou obtenu en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant [24] et
  • en repérage sphérique [7] soit, avec [8], on en déduit d'où les C.N. [16] (mais non suffisantes) pour que soit « à circulation conservative » sont ou, en explicitant les dérivées partielles de produits de facteurs intervenant [24] .

Circulation d'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions à circulation conservative sur une courbe continue fermée[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le champ vectoriel à circulation conservative de l'espace physique à deux ou trois dimensions et une courbe continue fermée de cet espace, l'intégrale curviligne [14] étant égale à est nulle quelle que soit la courbe .

......Conclusion : La circulation d'un champ vectoriel[14] à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions sur une courbe continue fermée de cet espace est nécessairement nulle soit .

Exemple de champ vectoriel vérifiant les C.N. pour être « à circulation conservative » mais pour lequel les conditions ne sont pas suffisantes[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le champ vectoriel de l'espace physique à deux dimensions défini sur , la circulation élémentaire de ce champ [4] vérifie la C.N. [16] pour que ce champ soit à circulation conservative à savoir que cette circulation élémentaire [4] soit une différentielle exacte [13] (C.N. [16] d'égalité des dérivées croisées) mais ce n'est pas un champ à circulation conservative car sa circulation sur un cercle de centre ne donne pas 0 comme il serait nécessaire de trouver pour la circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative sur une courbe continue fermée en effet

...... se simplifie en repérant le point générique du cercle par ses coordonnées polaires de pôle soit est le rayon du cercle, dont on tire permettant de réécrire la circulation élémentaire du champ [4] en restant sur selon d'où et donc .

......Conclusion : Les C.N. [16] pour qu'un champ vectoriel soit à circulation conservative à savoir que la circulation élémentaire [4] de ce champ soit une différentielle exacte [13] (C.N. [16] d'égalité des dérivées croisées) ne sont, a priori, pas suffisantes.

Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit « à circulation conservative »[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème

......Dans le cas où le théorème de Poincaré [19] (réécrit en terme de champ vectoriel) s'applique à un champ vectoriel, l'opposé de la fonction [25] dont la circulation élémentaire est la différentielle est appelée « potentiel scalaire dont dérive le champ vectoriel sur l'ouvert étoilé de son domaine dé définition ».


......Remarques : La circulation élémentaire du champ vectoriel défini sur est effectivement fermée [17] mais la partie du domaine de définition qu'il est nécessaire de choisir pour définir le cercle de centre et de rayon le long duquel on cherche la circulation, à savoir identique au disque privé du centre, n'est pas étoilée en effet et étant deux points diamétralement opposés sur le cercle, le segment n'est pas inclus dans car il passe par le centre , on en déduit donc bien que cette circulation élémentaire n'est pas exacte sur la partie identique au disque privé du centre et par suite que le champ vectoriel n'est pas à circulation conservative.

......Remarques : Toutefois, en physique, les champs vectoriels qui y interviennent avec la vérification de l'égalité des dérivées croisées sur la circulation élémentaire [4] (la circulation élémentaire [4] est une forme différentielle fermée) sont usuellement définis sur une partie étoilée [26] et par conséquent sont des champs vectoriels à circulation conservative (c'est-à-dire tels que leur circulation élémentaire [4] est une différentielle exacte [13]).

Détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]



......La détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative revenant à celle des primitives de la circulation élémentaire du champ vectoriel [4] suivie d'un changement de signe, il suffit d'appliquer la méthode exposée dans le paragraphe « 2ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes “ x, y, z ” fermée et recherche des primitives de cette forme … » plus haut dans ce chapitre ;

......ainsi le champ vectoriel dont il a été établi précédemment que sa circulation élémentaire [4] est une forme différentielle fermée [17], [27] (plus précisément exacte car la fermeture est assurée sur toute partie étoilée de , forme différentielle dont les primitives ayant été déterminées précédemment [27] permettent de déduire les potentiels scalaires dont dérive le champ vectoriel soit


dérivant de .

2ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]



......Justification de l'équivalence : La 1ère définition des potentiels scalaires dont dérive le champ vectoriel à circulation conservative étant

et

......Justification de l'équivalence : le gradient d'un champ scalaire étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire [4] soit la différentielle du champ scalaire c'est-à-dire

,

......Justification de l'équivalence : on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations et par suite

 ;

......Justification de l'équivalence : réciproquement si on multiplie chaque membre de scalairement par , on obtient dans le membre de gauche la circulation élémentaire [4] du champ vectoriel et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle du potentiel scalaire c'est-à-dire la 1ère définition des potentiels scalaires dont dérive le champ vectoriel à circulation conservative.

Propriété locale d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la 1ère définition d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et une courbe continue quelconque allant de à , deux positions également quelconques, la circulation du champ vectoriel le long de la courbe orientée de à [14] définie par est indépendante de la courbe suivie [voir le paragraphe « notion de champ vectoriel à circulation conservative » plus haut dans ce chapitre].

Circulation le long d'une courbe fermée d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative », une courbe continue fermée quelconque orientée dans un sens arbitraire et un couple de points distincts quelconque sur la courbe séparant cette dernière en deux portions de courbe et toutes deux orientées de vers [nous appelons la portion de courbe orientée dans le même sens que , celle orientée en sens contraire étant donc , de la 1ère définition d'un champ vectoriel « à circulation conservative » nous déduisons que la circulation du champ vectoriel le long de ou de à [14] est la même soit ou et finalement, en reconnaissant dans le 1er membre , la propriété suivante :


Théorème de Kelvin - Stokes[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Stokes ».

Le théorème de Kelvin[29]-Stokes[30] (admis) transforme la circulation d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée orientée de façon arbitraire, en flux du rotationnel du champ vectoriel [31] à travers une surface ouverte quelconque s'appuyant sur et dont l'orientation est en accord avec celle du contour limitant la condition d'applicabilité de ce théorème étant la continuité du rotationnel du champ sur toute la surface ouverte s'appuyant sur soit

[32] .

Propriété locale caractérisant un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à circulation conservative » et une courbe fermée quelconque orientée de façon arbitraire,

  • de la propriété de la circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée nous en déduisons
  • et, par utilisation du théorème de Kelvin-Stokes, [32]

......d'où [32] et, comme la surface sur laquelle l'intégration est faite est quelconque, la fonction vectorielle de l'espace tridimensionnel dont on calcule le flux est nulle en tout point de l'espace soit [31] ;

......réciproque : « si [31], le champ vectoriel est à circulation conservative », se démontre sans difficulté en évaluant le flux à travers n'importe quelle surface ouverte de puis en transformant en intégrale curviligne par théorème de Kelvin-Stokes, d'où la conclusion par propriété de circulation d'un champ vectoriel à circulation conservative le long d'une courbe fermée …

Début d’un théorème


Fin du théorème

Formule de Green - Riemann (cas particulier du théorème de Kelvin - Stokes)[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Formule de Green-Riemann ».

La formule de Green[33]-Riemann[34], cas particulier du théorème de Kelvin-Stokes pour un champ vectoriel d'un espace bidimensionnel plan, transforme la circulation de ce champ vectoriel le long d'une courbe fermée plane orientée dans le sens trigonométrique direct, en intégrale surfacique de la grandeur sur la surface ouverte plane limitée par la condition d'applicabilité de ce théorème étant la continuité de la grandeur sur toute la surface ouverte s'appuyant sur soit

[32] avec .

Remarque 1 : Si l'on plonge le champ vectoriel de l'espace bidimensionnel plan dans l'espace tridimensionnel [pour cela on ajoute une composante de sur , , la grandeur à intégrer dans l'intégrale surfacique sur la surface plane du plan s'identifie à la seule composante cartésienne non nulle du champ vectoriel à savoir la composante sur , les autres composantes sur et sur étant nulles car