Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions trigonométriques inverses

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Rappel et additif sur les fonctions trigonométriques directes[modifier | modifier le wikicode]

Ce sont les fonctions sinus , cosinus , tangente et cotangente [1] :

......le domaine de définition est pour les deux premières, pour tangente et pour cotangente ;
......les deux premières sont -périodiques et les deux suivantes -périodiques ;
......elles sont continues et dérivables sur leur domaine de définition, leurs dérivées étant respectivement :

  • [2]
  •   [2],
  •  [3] et
  • [4] ;


...... les tracés sont rappelés ci-dessous [5].

Condition pour qu'une fonction soit inversable, notion de fonction bijective[modifier | modifier le wikicode]

Définition de fonction bijective[modifier | modifier le wikicode]

......Une fonction est « bijective » si et seulement si « tout élément du domaine des valeurs a un et un seul antécédent du domaine de définition » c'est-à-dire encore « si tout élément du domaine des valeurs est image d'exactement un élément du domaine de définition » ;
............une fonction bijective est à la fois « injective » [6] et « surjective » [7].

Condition pour qu'une fonction soit inversable[modifier | modifier le wikicode]

......Pour qu'une fonction soit inversable elle doit être bijective :

  • si l'ensemble de départ est son domaine de définition et l'ensemble d'arrivée son domaine de valeurs, elle est nécessairement surjective car tout élément du domaine de valeurs a au moins un antécédent dans le domaine de définition mais elle peut ne pas être injective car des éléments du domaine des valeurs peuvent avoir plusieurs antécédents dans le domaine de définition (c'est le cas de la fonction « sinus » appliquant dans
  • si la fonction n'est pas injective quand on considère son domaine de définition complet (cas de la fonction « sinus »), on peut restreindre le domaine de définition en maintenant le domaine des valeurs pour que la « fonction restreinte » devienne injective [8], tout en restant surjective [9].

Fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que la fonction soit inversable il faut restreindre son domaine de définition de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et ceci est réalisé pour un domaine de définition restreint à  ;

Tracé du graphe de arcsin(x)

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant restreint à et le domaine des valeurs restant on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs  ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique de celui de par rapport à la première diagonale] ;

......on observe que la fonction est , continue sur et dérivable sur , sa dérivée valant

 ;
......justification : on démontre ce résultat en inversant la fonction [10], puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne dont on tire à condition que ne soit pas nul, réalisé si ou [11], on termine en éliminant au profit de avec [12] soit dont on déduit  ;

......on déduit de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est .

Fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que la fonction soit inversable il faut restreindre son domaine de définition de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et ceci est réalisé pour un domaine de définition restreint à  ;

Tracé du graphe de arccos(x)

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant restreint à et le domaine des valeurs restant on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs  ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique de celui de par rapport à la première diagonale] ;

......on observe que la fonction est , continue sur et dérivable sur , sa dérivée valant

 ;
......justification : on démontre ce résultat en inversant la fonction [13], puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne dont on tire à condition que ne soit pas nul, réalisé si ou [14], on termine en éliminant au profit de avec [15] soit dont on déduit  ;

......on déduit de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est encore .

Fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que la fonction soit inversable il faut restreindre son domaine de définition de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et ceci est réalisé pour un domaine de définition restreint à  ;

Tracé du graphe de arctan(x)

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant restreint à et le domaine des valeurs restant on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs  ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique de celui de par rapport à la première diagonale] ;

......on observe que la fonction est , continue sur et dérivable sur , sa dérivée valant

 ;
......justification : on démontre ce résultat en inversant la fonction [16], puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne dont on tire et on termine en éliminant au profit de avec soit dont on déduit  ;

......on déduit de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est .

Fonction inverse de la fonction cotangente : fonction arccotangente[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : La fonction étant très peu utilisée relativement à la fonction , cela est encore plus marqué avec leur fonction inverse et on pourrait se passer d'introduire la fonction , la fonction suffisant amplement [17].

......Pour que la fonction soit inversable il faut restreindre son domaine de définition de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et ceci est réalisé pour un domaine de définition restreint à  ;

Tracé du graphe de arccot(x)

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant restreint à et le domaine des valeurs restant on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs  ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique de celui de par rapport à la première diagonale] ;

......on observe que la fonction est , continue sur et dérivable sur , sa dérivée valant

 ;
......justification : pour cela on inverse la fonction [18], puis on différencie la fonction inversée, ce qui donne dont on tire et on termine en éliminant au profit de avec soit dont on déduit  ;

......on déduit de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est .

Simplification de fonction composée de grandeurs trigonométriques directe et inverse[modifier | modifier le wikicode]

......Nous nous proposons de simplifier des expressions du genre ou [20]

Présentation de la méthode de simplification sur le premier exemple[modifier | modifier le wikicode]

......Soit à simplifier  :

............Posant , on cherche donc à évaluer en fonction de [21] ;

............l'inversion de conduit à , avec dont on déduit  ;

............il reste alors à utiliser le lien entre ce qu'on cherche à évaluer et ce qu'on connaît soit dont on tire et comme est , soit, avec , ou finalement

.

Développement de la méthode de simplification sur le deuxième exemple[modifier | modifier le wikicode]

......Soit à simplifier  :

............Posant , on cherche donc à évaluer en fonction de [22] ;

............l'inversion de conduit à , avec , étant de signe quelconque mais étant quant à elle  ;

............il reste alors à utiliser le lien entre ce qu'on cherche à évaluer et ce qu'on connaît soit , s'exprimant en fonction de par soit et comme est , d'où soit, avec , ou finalement

.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Cette dernière étant très peu utilisée.
  2. 2,0 et 2,1 Cette dernière expression peut se déduire soit, en en prenant la partie imaginaire (respectivement la partie réelle) et sachant que la dérivée de la partie imaginaire (respectivement de la partie réelle) est la partie imaginaire (respectivement la partie réelle) de la dérivée, la dernière expression énoncée concernant la dérivée de ou de .
  3. On dérive comme un quotient et on obtient soit, en utilisant , d'une part, et d'autre part en remplaçant 1 par et en distribuant le dénominateur  ; ces deux expressions sont à connaître.
  4. La fonction cotangente est liée à la fonction tangente par  ; du caractère croissant de la fonction tangente sur les intervalles continus où elle est définie, et donc de la positivité de sa dérivée, on en déduit que la fonction cotangente est décroissante sur les intervalles continus où elle est définie et que sa dérivée est négative d'où le signe précédant  ;
    ......on établit l'expression de la dérivée en dérivant comme un quotient et on obtient ou, avec , d'une part, et d'autre part en réintroduisant et en distribuant le dénominateur on obtient  ; ce résultat est beaucoup moins important que le précédent.
  5. On remarque que les fonctions « sinus », « tangente » et « cotangente » sont impaires, alors que la fonction «  cosinus » est paire.
  6. Une fonction est injective si tout élément du domaine des valeurs a au plus un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant dans n'est pas injective car tout élément de possède une infinité d'antécédents.
  7. Une fonction est surjective si tout élément du domaine des valeurs a au moins un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant dans est surjective car tout élément de possède au moins un antécédent ;
    ......si l'ensemble de départ est le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée le domaine des valeurs, une fonction est nécessairement surjective mais
    ......si l'ensemble de départ est restreint en maintenant l'ensemble d'arrivée confondu avec le domaine de toutes les valeurs possibles, par exemple la fonction sinus considérée comme appliquant dans , l'application peut ne pas être surjective et c'est le cas sur l'exemple de l'application sinus appliquant dans non surjective car aucun élément de n'a d'antécédent dans .
  8. La restriction du domaine de définition doit être telle que tout élément du domaine des valeurs ait au plus un antécédent dans le domaine restreint : par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition , l'ensemble d'arrivée restant .
  9. Attention à ne pas trop restreindre le domaine de définition de façon qu'il n'existe aucun élément du domaine des valeurs n'ayant plus d'antécédent dans le domaine de définition restreint :
    ...... par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition , l'ensemble d'arrivée restant , est certes injective car tout élément de a au plus un antécédent dans (en effet l'antécédent existe et est unique si l'élément d'arrivée et l'antécédent n'existe pas si l'élément d'arrivée mais n'est plus surjective (aucun élément de n'ayant d'antécédent dans .
  10. L'équivalence n'étant correcte que pour et .
  11. d'où le domaine de dérivabilité de la fonction restreint à .
  12. est d'où égal à .
  13. L'équivalence n'étant correcte que pour et .
  14. d'où le domaine de dérivabilité de la fonction restreint à .
  15. est d'où égal à .
  16. L'équivalence n'étant correcte que pour et .
  17. Toutefois, pour des raisons de symétrie d'exposé, l'introduction est faite, mais vous ne l'utiliserez vraisemblablement jamais.
  18. L'équivalence n'étant correcte que pour et .
  19. Ce lien justifiant que l'on pourrait se passer d'introduire la fonction puisque qu'elle n'est que le complément à de la fonction  ;
    ......bien que le lien entre et soit le même, la fonction est usuellement introduite bien qu'elle pourrait ne pas l'être, la fonction n'étant que le complément à de la fonction  ; toutefois ce n'est que lors de la prise de primitive que l'on privilégie la fonction au profit de la fonction .
  20. Ces deux exemples quelconques devraient suffire pour présenter la méthode de simplification.
  21. Le fait de baptiser la fonction va permettre de préciser son domaine de valeurs plus simplement , son domaine de définition étant .
  22. Le fait de baptiser la fonction va permettre de préciser son domaine de valeurs plus simplement , son domaine de définition étant .