Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses

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Fonctions hyperboliques directes et inverses
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Chapitre no 27
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème d'Emmy Nœther
Chap. suiv. :Formes différentielles et différentielles de fonctions
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses
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......Les fonctions hyperboliques ont été inventées par Vincenzo Riccati [1] vers alors qu'il cherchait à calculer l'« aire sous l'hyperbole d'équation  » [2], la méthode géométrique qu'il employa était semblable à celle qu'il utilisait pour calculer l'« aire sous le cercle d'équation  » méthode où il introduisait les fonctions trigonométriques qu'il appela « circulaires » ; par analogie il nomma les nouvelles fonctions créées « hyperboliques ».

Fonctions hyperboliques directes[modifier | modifier le wikicode]

......Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle entre les fonctions « trigonométriques » directes et les fonctions « hyperboliques » directes :

......par exemple le cosinus (trigonométrique) et le cosinus hyperbolique sont construits de la même façon à partir de la fonction exponentielle définie sur pour la 1ère et sur [3] pour la 2nde

Cosinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du graphe de cosinus hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à , l'intervalle de valeurs correspondantes étant

......Le cosinus hyperbolique, noté [4], est défini sur selon ,

..........Le cosinus hyperbolique, noté ~cosh()~ , son domaine de valeurs est ,

..........Le cosinus hyperbolique, noté ~cosh()~ , c'est une fonction paire c'est-à-dire et

..........Le cosinus hyperbolique, noté ~cosh()~ , c'est une fonction dérivable sur avec car d'après la définition du sinus hyperbolique [5] ;

......Le cosinus variation de  : de à 1 sur puis de 1 à sur voir graphe ci-contre avec un intervalle de définition restreint à  ;

......Le cosinus variace graphe est appelé « chaînette » [6], il est symétrique relativement à l'axe des ordonnées .

Sinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du graphe de sinus hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à , l'intervalle de valeurs correspondantes étant

......Le sinus hyperbolique, noté [7], est défini sur selon ,

...........Le sinus hyperbolique, noté ~sinh()~ , son domaine de valeurs est ,

...........Le sinus hyperbolique, noté ~sinh()~ , c'est une fonction impaire c'est-à-dire et

...........Le sinus hyperbolique, noté ~sinh()~ , c'est une fonction dérivable sur avec car d'après la définition du cosinus hyperbolique [8] ;

......Le sinus variation de  : de à sur voir graphe ci-contre avec un intervalle de définition restreint à  ;

......Le sinus variace graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage .

Tangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du graphe de tangente hyperbolique sur l'intervalle de définition restreint à , l'intervalle de valeurs correspondantes étant

......La tangente hyperbolique, notée [9], est définie sur selon ou encore, selon les deux autres fonctions hyperboliques précédentes ,

............La tangente hyperbolique, notée ~tanh()~ , son domaine de valeurs est ,

............La tangente hyperbolique, notée ~tanh()~ , c'est une fonction impaire c'est-à-dire et

............La tangente hyperbolique, notée ~tanh()~ , c'est une fonction dérivable sur avec car [10], la dérivée s'écrivant encore

............La tangente hyperbolique, notée ~tanh()~ , c'est une fonction dérivable sur ~R~ avec en effet au lieu d'utiliser la relation fondamentale liant et il suffit de transformer  ;

......La tangente variation de  : de à sur voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à  ;

......La tangente variace graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage et admet deux asymptotes horizontales pour les ordonnées .

Cotangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du graphe de cotangente hyperbolique sur l'intervalle restreint de définition avec pour intervalle de valeurs associées

......La cotangente hyperbolique, notée [11], est définie sur selon ou encore, selon les deux 1ères fonctions hyperboliques ou enfin, en fonction de la tangente hyperbolique, , raison pour laquelle la cotangente hyperbolique est très peu utilisée,

............La cotangente hyperbolique, notée ~coth()~ , son domaine de valeurs est ,

............La cotangente hyperbolique, notée ~coth()~ , c'est une fonction impaire c'est-à-dire ,

............La cotangente hyperbolique, notée ~coth()~ , c'est une fonction dérivable sur , de dérivée car [10], ou encore

............La cotangente hyperbolique, notée ~coth()~ , c'est une fonction dérivable sur ~R~, ~de dérivée en effet au lieu d'utiliser la relation fondamentale liant et il suffit de transformer  ;

......La cotangente variation de  : de à sur puis de à sur voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à et un domaine de valeurs à  ;

......La cotangente variace graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage et admet deux asymptotes horizontales pour les ordonnées .

Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati[modifier | modifier le wikicode]

Raison pour laquelle Vincenzo Riccati [1] introduisit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique [12]

......Une demi-droite passant par l'origine coupe l'hyperbole d'équation [2] en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction d'une grandeur par Vincenzo Riccati lui permirent de créer de nouvelles fonctions baptisées respectivement « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, plus précisément , le paramètre s'avérant être « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des abscisses » (en rouge sur le schéma ci-contre).

......Identification des fonctions hyperboliques créées par Vincenzo Ricati avec celles définies par exponentielles [13] :

  • tout d'abord on vérifie que le point d'abscisse et d'ordonnée vérifie effectivement l'équation de l'hyperbole [2] par utilisation de la relation fondamentale liant et [10] soit  ;
  • ensuite le vecteur position de s'écrivant on en déduit
    ... le vecteur déplacement élémentaire puis
    ... le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur l'hyperbole de à l'aide de sa définition [14], soit et, en utilisant la relation fondamentale liant et [10] c'est-à-dire ,
    d'où
    ... l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur l'hyperbole de , valant soit enfin
    ... l'aire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre est (C.Q.F.V.) [15].

......Remarque : Il y a également un lien entre l'angle et l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par mais, contrairement au cas du cercle [12],  ;
......Remarque : en effet, dans le cas de la branche d'hyperbole, les coordonnées polaires du point sont telles que , ce qui donne, par report dans l'équation cartésienne de cette branche, ou c'est-à-dire son équation polaire on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à soit
......Remarque : en effet le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur la branche d'hyperbole de étant , se réécrit en polaire dont on tire l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur effectivement  ;
......Remarque : en effet on obtient alors en intégrant la relation précédente entre 0 et soit qui s'intègre en posant soit et soit d'où ou, avec [16] donnant soit finalement .

Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

......Relation fondamentale [17] : Si on calcule et
............Relation fondamentale : Si on calcule , on vérifie aisément

.

......Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique faisant intervenir l'une ou l'autre exponentielle de la variable ou de son opposée et se démontrant par simple utilisation de la définition des fonctions hyperboliques, ce sont

[18].

Relations d'addition et de duplication[modifier | modifier le wikicode]

......Relations d'addition : celles-ci se vérifiant sans difficulté en utilisant la définition de la fonction hyperbolique utilisée, les propriétés des exponentielles et en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées :

......Relations d'addition : [19] et [20],

......Relations d'addition : [21] et [22].

......Relations de duplication : celles-ci se vérifiant à partir des relations d'addition précédentes et éventuelle utilisation de la relation fondamentale liant le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique :

......Relations de duplication : [23] on en déduit les relations de linéarisation suivantes «» [24] et «» [25],

......Relations de duplication : [26].

Fonctions hyperboliques inverses[modifier | modifier le wikicode]

Seule la fonction « cosinus hyperbolique » n'est pas bijective et nécessite une « restriction de définition » pour devenir inversable …

Fonction argument sinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

......La fonction est inversable sur son domaine de définition car elle y est « bijective » ; son inverse notée [27] définit la fonction « argument sinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de argsinh(x) sur l'intervalle de définition restreint à , avec pour intervalle de valeurs

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant et le domaine des valeurs également, on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs également ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique de celui de par rapport à la 1ère diagonale] ;

......on observe que la fonction est , impaire , continue et dérivable sur , sa dérivée valant

 ;
......justification : on démontre ce résultat en inversant la fonction , puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne dont on tire sans restriction car , on termine en éliminant au profit de avec soit dont on déduit  ;

......on déduit de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est .

......Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique :  ;

......Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet c'est-à-dire est la solution de même signe que de l'équation ou, en multipliant les deux membres par et en ordonnant en puissance de , cette dernière est solution [28] de l'équation , équation du 2nd degré en de discriminant réduit d'où [29] soit finalement, en inversant, .

Fonction argument cosinus hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que la fonction soit inversable il faut restreindre son domaine de définition pour qu'elle y soit « bijective », on le restreint à  ; son inverse notée [30] définit alors la fonction « argument cosinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de argcosh(x) sur l'intervalle de définition restreint à , avec pour intervalle de valeurs

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant restreint à et le domaine des valeurs correspondantes à , on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs  ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique, par rapport à la 1ère diagonale, de celui de restreint à  ;

......on observe que la fonction est , continue sur et dérivable sur , sa dérivée valant

 ;
......justification : on démontre ce résultat en inversant la fonction , puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne dont on tire [d'où la fonction étudiée non dérivable pour , la division par nécessitant , on termine en éliminant au profit de avec [31] ou encore soit dont on déduit  ;

......on déduit de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est .

......Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique :  ;

......Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet c'est-à-dire est solution de l'équation ou, en multipliant les deux membres par et en ordonnant en puissance de , cette dernière est solution de l'équation , équation du 2nd degré en de discriminant réduit d'où [32] soit finalement, en inversant, .

Fonction argument tangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

......La fonction est inversable sur son domaine de définition car elle y est « bijective » ; son inverse notée [33] définit la fonction « argument tangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de argtanh(x) sur l'intervalle de définition , avec pour intervalle de valeurs restreint à

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant et le domaine des valeurs , on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs  ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique de celui de par rapport à la 1ère diagonale] ;

......on observe que la fonction est , impaire ,

......on observe que la fonction est continue et dérivable sur , sa dérivée valant

 ;
......justification : on démontre ce résultat en inversant la fonction , puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne dont on tire sans restriction car , on termine en éliminant au profit de soit dont on déduit  ;

......on peut déduire de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est [34], [35].

......Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique :  ;

......Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet c'est-à-dire est la solution de même signe que de l'équation ou soit encore ou dont on tire et finalement, en inversant, .

Fonction argument cotangente hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

......La fonction est inversable sur son domaine de définition car elle y est « bijective » ; son inverse notée [36] définit la fonction « argument cotangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de argcoth(x) sur l'intervalle de définition restreint à , avec un intervalle de valeurs restreint à

...... fonction inverse de , pour cette dernière le domaine de définition étant et le domaine des valeurs , on en déduit

le domaine de définition de la fonction et
son domaine de valeurs  ;

......tracé du graphe de la fonction  : voir ci-contre [le graphe de est le symétrique de celui de par rapport à la 1ère diagonale] ;

......on observe que la fonction est sur ainsi que sur ,

......on observe que la fonction est impaire ,

......on observe que la fonction est continue et dérivable sur ainsi que sur , sa dérivée valant

[37] ;
......justification : on démontre ce résultat en inversant la fonction , puis en différenciant la fonction inversée, ce qui donne dont on tire sans restriction car , on termine en éliminant au profit de soit dont on déduit  ;

......on peut déduire de cette expression de dérivée de la fonction qu'

une primitive de est [34], [38].

......Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique :  ;

......Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet c'est-à-dire est la solution de même signe que de l'équation ou soit encore ou dont on tire et finalement, en inversant, .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Vincenzo Riccati (1707 - 1775) mathématicien de la province de Vénétie (serait aujourd'hui italien) surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'équation de Riccati et pour la méthode de résolution par tractoire qu'il utilisa.
  2. 2,0 2,1 et 2,2 Voir le paragraphe « Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chapitre 11 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  3. Ce n'est toutefois pas de cette façon que Vincenzo Riccati introduisit les cosinus et sinus hyperboliques (voir le paragraphe « Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati » plus loin dans le chapitre).
  4. On trouve encore la notation initiale .
  5. Voir le paragraphe « Sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre.
  6. Le graphe du cosinus hyperbolique est appelé « chaînette » car c'est la courbe que suit une chaînette (ou tout objet filiforme homogène) tenue par ses deux extrémités dans un champ de pesanteur uniforme (pour que la courbe suivie par la chaînette soit symétrique il faut que les deux extrémités soient au même niveau horizontal).
  7. On trouve encore la notation initiale .
  8. Voir le paragraphe « Cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
  9. On trouve encore la notation initiale .
  10. 10,0 10,1 10,2 et 10,3 On utilise la relation fondamentale liant et établie au paragraphe « Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre soit .
  11. On trouve encore la notation initiale .
  12. 12,0 et 12,1
    Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré Vincenzo Riccati pour introduire les fonctions hyperboliques
    La méthode suivie par Vincenzo Riccati est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation était à la place de l'hyperbole d'équation , voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ;
    ...Une demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément , le paramètre s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses » (en rouge sur le schéma ci-contre) ;
    ...en effet nous avons indiqué dans le corps du paragraphe sur lequel se greffe cette note de bas de page que le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur une courbe donnée de , est défini par , pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale le rayon vecteur s'écrivant (le cercle étant de rayon unité) et le vecteur déplacement élémentaire , on en déduit d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur le cercle de valant , celle quand le point se déplace sur le cercle du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre est bien pour un cercle de rayon l'aire serait correspondant à une aire de pour un tour complet.
  13. Voir aussi l'article « fonction hyperbolique » de wikipédia.
  14. Le vecteur surface devant être perpendiculaire à et est bien colinéaire à d'une part et d'autre part sa norme devant être identifiée à l'aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs et c'est-à-dire (aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base par la hauteur associée soit finalement .
  15. Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  16. Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « Développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chapitre 15 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. Appellation personnelle.
  18. Nettement moins utilisées que la précédente.
  19. Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie .
  20. Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie .
  21. Relation d'addition analogue en trigonométrie .
  22. Relation d'addition analogue en trigonométrie .
  23. Noter la différence avec la relation de duplication analogue en trigonométrie .
  24. Relation de linéarisation analogue en trigonométrie .
  25. Noter la différence avec la relation de linéarisation analogue en trigonométrie .
  26. Relation de duplication analogue en trigonométrie .
  27. On trouve encore la notation initiale .
  28. Si est , nous conserverons la solution telle que soit c'est-à-dire telle que soit ,
    ... si est , nous conserverons la solution telle que soit c'est-à-dire telle que soit .
  29. Le produit des racines valant , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
    ...la recherche de la racine nous conduit à , l'autre étant car est toujours .
  30. On trouve encore la notation initiale .
  31. On rappelle que étant il en est de même de .
  32. Le produit des racines valant et la somme , les deux racines sont positives inverses l'une de l'autre mais, seule la plus grande peut être l'exponentielle d'une variable positive et convenir ;
    ...la recherche de la racine la plus grande nous conduit à , l'autre étant la plus petite identifiable à .
  33. On trouve encore la notation initiale .
  34. 34,0 et 34,1 Toutefois on préférera toujours utiliser la décomposition de la fonction rationnelle en éléments simples comme cela est exposé dans le paragraphe « Développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » conduisant à qui s'intègre en soit finalement .
  35. Dans la mesure où , la primitive se réécrit donc [le 1er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de établie ci-après].
  36. On trouve encore la notation initiale .
  37. Que l'on peut écrire encore c'est-à-dire la même expression que mais sur des domaines de définition différents, plus exactement complémentaires.
  38. Dans la mesure où , la primitive se réécrit finalement selon [le 1er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de établie ci-après].