Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Fonction de plusieurs variables indépendantes
Icône de la faculté
Chapitre no 6
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Fourier
Chap. suiv. :Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Fonction de plusieurs variables indépendantes
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

......Pour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément »[1].

Sommaire

Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières[modifier | modifier le wikicode]

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......Le plus facile à concevoir (mais non le plus pratique) consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions , les axes permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes et l'axe la valeur de correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation [3] ;

......exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction mais aussi la composition surfacique en lombrics par (dont l'importance est capitale pour les écosystèmes) ou d'autres grandeurs encore …

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......Dans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux par exemple la courbe de niveau est la courbe joignant les points dont l'image par est on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux [4], si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;

......on peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c'est-à-dire les courbes joignant les points dont l'image par est de valeur constante [5].

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

......Pour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes  ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;

............il est impossible de généraliser la 1ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;

............par contre la généralisation de la 2e représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de constante, est possible même si cela reste peu pratique on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux » par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme [6] ;

............les surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes, par un plan à ou par un plan à ou encore par un plan à , l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

......Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables

dont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.

Définition des dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

......Si on fige une des variables (par exemple , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction d'une seule variable (sur l'exemple, fonction de notée et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable (sur l'exemple, de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera [7], appelée « dérivée partielle de f par rapport à x à y figé, calculée au point (x, y) » [8] ;

......si on fige l'autre variable (donc la variable , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction de la seule variable notée et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera [9], appelée « dérivée partielle de f par rapport à y à x figé, calculée au point (x, y) » [10].

Exemple de calcul de dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

......Calculer les dérivées partielles premières de la fonction définie par  :

  • dérivée partielle de par rapport à figé : [11],
  • dérivée partielle de par rapport à figé : [12] dérivée partielle qui finalement se réécrit selon .

Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple[modifier | modifier le wikicode]

......Le théorème de Schwarz [13] énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle seconde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c'est-à-dire

.

......Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  :

  • dérivée partielle de par rapport à figé :
    [14],
    soit finalement ,
  • dérivée partielle de par rapport à figé :
    [15],
    soit finalement bien identique à la dérivée seconde précédente.

............Du fait du théorème de Schwartz les dérivées secondes croisées seront notées indifféremment ou .

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

......Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables

dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable, à la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles …

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension[modifier | modifier le wikicode]

......On définit la petite variation de la fonction sur le pavé par

 ;

......par généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :


avec et .
En physique on note .

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique[modifier | modifier le wikicode]

......Justification : s'identifie à quand et selon l'approximation linéaire,
......Justification : or par définition devient, à la limite où et ,
......Justification : or par définition δ f = , se substituant à et à .

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

......Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable à savoir :

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

......Soit à calculer la différentielle de  ; nous voyons deux méthodes, l'une utilisant les règles de différentiation précédentes ainsi que la différentiation de fonctions composées, l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.

Par calcul direct utilisant les règles de différentiation précédemment introduites[modifier | modifier le wikicode]

...... avec

,
, enfin
et ,

finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, ou

.

Par calcul préalable des dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

......Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats :

  • et
  • d'où :

......[19].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. À l'exception de la représentation graphique en fonction des variables indépendantes.
  2. C'est-à-dire éventuelle continuité, dérivabilité, différentiabilité … en ce qui concerne la dérivabilité et la différentiabilité nous revenons ultérieurement sur ces notions car elles nécessitent des notations particulières.
  3. Si ce graphe est très facile à lire, il n'est pas très pratique à construire ni à transporter car nécessitant un repère à trois dimensions.
  4. définissant le « pas » des courbes de niveaux.
  5. Les valeurs constantes choisies forment usuellement une « progression arithmétique » [notion introduite au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] de raison égale au « pas » des courbes de niveaux.
  6. Le positionnement de la surface isotherme est important car il permet de connaître l'état de l'eau dans l'atmosphère suivant que l'endroit considéré est au-dessus ou au-dessous de cette surface isotherme.
  7. On a utilisé la notation différentielle de la dérivée de la fonction de la variable , mais on aurait pu encore noter .
  8. En pratique même si cela reste correct ne plus utiliser la notation ou pour noter la « dérivée partielle de par rapport à à figé » mais la noter et lire « dé rond f sur dé rond x à y figé » ou la nommer par son nom complet « dérivée partielle de f par rapport à x à y figé ».
  9. On a utilisé la notation différentielle de la dérivée de la fonction de la variable , mais on aurait pu encore noter .
  10. En pratique même si cela reste correct ne plus utiliser la notation ou pour noter la « dérivée partielle de par rapport à à figé » mais la noter et lire « dé rond f sur dé rond y à x figé » ou la nommer par son nom complet « dérivée partielle de f par rapport à y à x figé ».
  11. est constant d'une part et d'autre part on dérive la fonction sinus par rapport à son argument et on multiplie par la dérivée de son argument par rapport à à figé.
  12. Dérivée d'un produit dans lequel varie, d'où l'existence du 1er terme, pour le 2e terme, on dérive la fonction sinus par rapport à son argument et on multiplie par la dérivée de son argument par rapport à à figé.
  13. Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921) mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'analyse réelle et complexe à la géométrie différentielle, en passant par le calcul des variations ; il contribua à propager en Italie et en France les idées du mathématicien Karl Weierstrass dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en  ;
    ...Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques [on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass continue partout et dérivable nulle part].
  14. est constant d'une part et d'autre part on dérive un produit de fonctions, la fonction cosinus devant être dérivée par rapport à son argument et le résultat obtenu multiplié par la dérivée de l'argument par rapport à à figé.
  15. est constant d'une part et d'autre part on dérive la fonction cosinus ou sinus en la dérivant par rapport à son argument et en multipliant le résultat par la dérivée de l'argument relativement à à figé.
  16. Nous sommes donc ramenés, dans les deux cas, à une petite variation d'une fonction d'une variable et pouvons appliquer l'approximation linéaire …
  17. En fait les restes partiels et dépendent des deux variations et mais, pour simplifier l'écriture nous n'avons fait apparaître que la variable tendant vers 0 car, ce qui est essentiel, c'est que le reste partiel tende plus rapidement vers 0 que et ceci quel que soit et que le reste partiel tende plus rapidement vers 0 que et ceci quel que soit .
  18. Finalement le reste dans le résultat à démontrer contenant tous les termes tendant vers 0 plus rapidement que ou que s'écrit : .
  19. On trouve effectivement le même résultat ; cela peut paraître plus court mais n'oubliez pas qu'il faut calculer les dérivées partielles au préalable.