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Exercice : Applications des intégrales sur un intervalle, du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et des intégrales curvilignes
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On considère les champs de vecteurs , et .
- Calculer les intégrales curvilignes de , et
sur un arc de cycloïde : .
- Calculer l'intégrale, le long du même arc, de la fonction .
Solution
1. .
.
.
Mais l'énoncé est ambigu : peut-être ne signifie-t-il pas circulation, mais intégrale curviligne composante par composante, auquel cas on trouve (cf. Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs#Exercice 2-4 pour l'élément de longueur) :
- ;
- (ou directement : ).
- .
2. .
Calculer le travail du champ vectoriel le long de la courbe .
Solution
.
On considère la courbe paramétrée par (voir à ce propos : Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 1 et Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs#Exercice 2-4).
- Soit . Calculer .
- On considère le champ de vecteurs . Calculer .
Solution
- donc .
- .