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Exercice : Applications des formes différentielles et des différentielles de fonction
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On considère sur la -forme telle que pour tout , on a . On note et . Calculer et .
Solution
- donc .
- donc .
Calculer les intégrales curvilignes dans les situations suivantes :
- et est l'arc de parabole d'équation pour allant de à ;
- et est le segment de droite allant de à ;
- et est le cercle unité centré en et parcouru dans le sens trigonométrique ;
- et est la courbe (orientée dans sens trigonométrique) d'équation :
- (avec ),
- (avec ) ;
- et est le contour (parcouru une fois dans le sens direct) de ;
- sur le chemin où .
- sur le quart de cercle de centre joignant à .
- le long du chemin donné par .
Solution
- Paramétrons par . Alors, , donc et .
- Paramétrons par . Alors, , donc et .
- Paramétrons par . Alors, , donc . Or et , donc .
-
- Paramétrons ce cercle par . Alors, , donc . Or , et . Donc .
- Paramétrons cette ellipse par . Alors, , donc . Or , , et . Donc .
- est la réunion de deux arcs de cercle paramétrés respectivement par et .
et donc .
- pour donc l'intégrale ne dépend que des extrémités du chemin et vaut .
- n'est pas fermée donc pas exacte. Paramétrons ce quart de cercle par et avec .
(on a posé )
.
- n'est pas fermée donc pas exacte. Son intégrale le long de cette hélice vaut
On considère sur la forme différentielle .
- Calculer l'intégrale de le long des deux courbes suivantes :
- le segment de droite allant de à ;
- l'arc de parabole d'équation pour allant de à .
- La 1-forme est-elle exacte ?
Calculer l'intégrale curviligne où est l'arc de parabole d'équation reliant les points et .
Solution
On paramétrise par . Ainsi,
et
- .
Représenter graphiquement l'arc de parabole
puis calculer les intégrales curvilignes
, et .
Solution
est symétrique par rapport à et joint, en restant au-dessus de , les points et .
et
donc , ce qui était prévisible puisque
.
- Montrer que est un champ de gradient, autrement dit, que la forme différentielle est exacte.
- Calculer un potentiel dont dérive ce champ, autrement dit, tel que .
- Quelle est la circulation de ce champ, de à ?
- Mêmes questions pour la forme différentielle .
- Montrer que est un champ de gradient, en déterminant le potentiel dont il dérive et qui est nul à l'origine. Quelle est la circulation de ce champ de à ?
Calculer l'intégrale curviligne où est le demi-cercle d'équation .
Soient , et . Calculer .
Solution
On paramètre le segment orienté par avec .
.
Remarque : le calcul donne donc l'aire du parallélogramme engendré par et ; on pouvait le prévoir par Green-Riemann.
Trouver toutes les fonctions telles que :
- et ;
- et ;
- et ;
- et ;
- et ;
- et ;
- et ;
- et .
Solution
Remarquons d'abord qu'une telle fonction est nécessairement de classe C∞ puisque ses dérivées partielles le sont.
- et donc les solutions sont ().
- et donc les solutions sont ().
- Pas de solution d'après le théorème de Schwarz, puisque et ;
- De même, pas de solution puisque et .
- et donc les solutions sont ().
- Pas de solution, puisque et ;
- et donc les solutions sont ().
- et donc les solutions sont ().
On considère la forme différentielle définie sur par
- .
- Montrer que est exacte.
- On note la courbe de paramétrée par . Calculer .
On considère la forme différentielle définie sur le demi-plan par
- .
- Montrer que est exacte et déterminer ses primitives.
- Soit une courbe dans , C1 par morceaux, allant de à . Calculer .
Solution
donc .
On considère la forme différentielle définie sur par
- .
- Montrer que est exacte.
- Calculer son intégrale sur :
- le demi-cercle supérieur de diamètre , allant de vers ;
- la courbe paramétrée .
Soit une fonction de classe C2 sur telle que
(une telle fonction est dite harmonique). On définit sur la forme différentielle
- .
- Pour , on note le cercle de rayon centré en l'origine, parcouru dans le sens trigonométrique. Calculer .
- Pour tout réel , on note
.
Montrer que est de classe C1 sur et que pour tout , . En déduire une expression simple de .
- Soit . On note le disque de rayon centré en l'origine. Calculer la moyenne de sur ce disque, c'est-à-dire .
Solution
- est fermée d'après l'hypothèse sur , et est étoilé, donc est exacte, si bien que .
- D'après les théorèmes sur les intégrales dépendant d'un paramètre et puisque est C1, l'est aussi et . Or . Donc et par conséquent, d'après la question 1, , si bien que .
- .
On considère sur la forme différentielle . On considère les points , et , et le triangle orienté dans le sens trigonométrique.
- Calculer l'intégrale :
- directement, puis
- en utilisant la formule de Green-Riemann.
- est-elle exacte ?
Solution
-
- (car sur ).
.
.
.
- . Soit le triangle de bord . .
- Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
Mêmes questions pour la forme et :
- le triangle joignant les points , et ;
- le contour du domaine .
Solution
-
-
- (car sur ).
.
.
.
et .
- .
- Soit le triangle de bord . car est invariant par la symétrie , qui change en son opposée.
- .
- Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
Mêmes questions pour le contour du domaine et pour la forme
- ;
- .
Solution
-
- est constitué de deux segments et et d'un quart de cercle .
- , , ..
- , .
-
- . (aire du quart de disque unité).
- . .
- Non puisqu'elle n'est même pas fermée.
Soit et , où est C1. On pose .
- Déterminer pour que soit exacte sur et nulle en .
- Calculer alors les primitives de , puis
- l'intégrale , où est la courbe donnée par la paramétrisation .
Solution
- Sur (étoilé), exacte équivaut à fermée. , et alors, .
- , et . Les primitives de sont donc les fonctions de la forme .
- , et donc .
Mêmes questions pour , et l'ellipse d'équation , orientée dans le sens direct.
On considère la couronne . Retrouver l'aire de en utilisant la formule de Green-Riemann.
Soit . Utiliser le théorème de Green-Riemann pour calculer l'aire du domaine délimité par l'astroïde .
Utiliser le théorème de Green-Riemann pour calculer dans les cas suivants ( est parcourue dans le sens trigonométrique).
- est le cercle de centre et de rayon et ;
- est le même cercle et ;
- est le contour du triangle de sommets , et , et .