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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Divers repérages d'un point dans l'espace
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous supposerons, dans tout ce chapitre, l'espace « orienté à droite » [1].
Vecteur position d'un point
Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace »
[2] par rapport auquel on peut positionner tout point, on y choisit « un point fixe »

et
on repère « un point quelconque »

de l'espace dans

de façon intrinsèque par
le vecteur
appelé « vecteur position du point »
.
Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace »
, on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d. qu'on y choisit une « origine »
fixe dans
et une « base orthonormée »
usuellement directe [3]
[4] également fixe dans
,
chaque vecteur de base orientant un axe passant par
à savoir :
orienté par
axe des abscisses
,
orienté par
axe des ordonnées
et
orienté par
axe des cotes
.
Le vecteur position de
se décomposant dans la base cartésienne selon
,
définissent les coordonnées cartésiennes du point
[5]
abscisse,
ordonnée et
cote
.
Propriété
Les coordonnées cartésiennes de
sont aussi les mesures algébriques
comptées sur l'axe considéré
de la distance entre l'origine
et le projeté orthogonal de
sur cet axe, ainsi :
appelant
le projeté orthogonal de
sur
, l'abscisse est égale à
,
appelant
le projeté orthogonal de
sur
, l'ordonnée est égale à
et
appelant
le projeté orthogonal de
sur
, la cote est égale à
;
de plus notant
le projeté orthogonal de
sur le plan
, on a
,
de plus notant
le projeté orthogonal de
sur le plan
, on a
et
de plus notant
le projeté orthogonal de
sur le plan
, on a
.
Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]
Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Vue en perspective du repérage cylindro-polaire

ou cylindrique

d'un point

Appelant
le projeté orthogonal de
sur l'axe
et
celui de
sur le plan
, on conserve
la localisation de
par sa cote
mais
on modifie celle de
relativement au repérage cartésien en repérant
par la distance
le séparant de l'origine
et par l'angle orienté
[6] que fait
avec
,
on obtient ainsi le repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe
.
Voir schéma en perspective ci-contre.
Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Vues projetées du repérage cylindro-polaire

ou cylindrique

d'un point

: demi-plan méridien et vue de dessus
Les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de
sont
avec
sa « coordonnée radiale » [7],
sa « coordonnée angulaire » [8] et
sa cote ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien
et l'autre en vue de dessus
voir ci-contre.
On définit la base « cylindro-polaire » (ou cylindrique) liée à
orthonormée directe [3] avec
- le 1er vecteur de la base
,
- le 2nd vecteur de la base
dans le plan
« directement
au précédent » [9]
on peut encore le définir par
et
- le 3ème vecteur de la base
identique au 3ème vecteur de la base cartésienne ;
cette base est liée à
car les deux premiers vecteurs de la base dépendent de
:
- le 1er
est appelé « vecteur radial »,
- le 2nd
« vecteur orthoradial » et
- le 3ème constant
« vecteur axial » [10].
Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Le vecteur position du point
s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à
selon
[11], on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position sont respectivement
et
identiques aux coordonnées radiale et axiale du point,
on en alors que la composante orthoradiale du vecteur position
diffère de la coordonnée angulaire
du point [12].
Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]
Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base cartésienne :
, le 3ème vecteur étant le même ou encore
[13].
Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées cartésiennes :
étant défini à
près, il faut simultanément les expressions de
et
pour déterminer la valeur de
, la 3ème cordonnée étant la même.
Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]
Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) :
, le 3ème vecteur étant le même ou encore
[13].
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) :
, la 3ème cordonnée étant la même.
Remarque : Le repérage cylindro-polaire
ou cylindrique
se suffit à lui-même, il ne faut jamais
sauf dans de très rares cas
transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ; si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !
Vue en perspective du repérage sphérique d'un point

Appelant
le projeté orthogonal de
sur l'axe
et
celui de
sur le plan
, on définit le demi-plan méridien contenant
et
[14] et
on repère ce demi-plan méridien par
l'angle orienté
[15] qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence
analogue géographique de la longitude
, puis
on repère
dans ce demi-plan méridien par
- la distance
séparant
de
analogue géographique de l'altitude augmentée du rayon de la Terre
et
- l'angle orienté
[16] que fait
le vecteur position de
avec l'axe
analogue géographique de la colatitude
;
on obtient ainsi le repérage sphérique
de pôle
et
d'axe
, ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.
Voir schéma en perspective ci-contre.
Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Vues projetées du repérage sphérique d'un point

: demi-plan méridien et vue de dessus
Les coordonnées sphériques de
sont
avec
son « rayon (polaire) » [17],
sa « colatitude » [18] et
sa « longitude » [19] ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien
et en vue de dessus
[20], voir ci-contre
la base cylindro-polaire y est rappelée en marron
.
On définit la base « sphérique » liée à
orthonormée directe [3] avec
- le 1er vecteur de la base
,
- le 2nd vecteur de la base
dans le demi-plan méridien « directement
au précédent » [21]
soit encore, avec
2ème vecteur de base cylindro-polaire [22] directement
au 1er vecteur de base cylindro-polaire
, une définition équivalente du 2ème vecteur de la base sphérique
et
- le 3ème vecteur de la base
au demi-plan méridien et orientant ce dernier [23] soit encore
[24] ;
cette base est liée à
car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de
et
, le 3ème dépendant uniquement de
:
- le 1er
est appelé « vecteur radial »,
- le 2nd
est appelé « vecteur orthoradial » [25], [26] et
- le 3ème
est appelé « vecteur azimutal » [27].
Composantes sphériques du vecteur position d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Le vecteur position du point
s'écrivant dans la base sphérique liée à
selon
[28],
on en déduit que la composante radiale du vecteur position est
, identique à la coordonnée radiale du point,
on en alors que les composantes orthoradiale et azimutale du vecteur position
et
diffèrent des coordonnées angulaires
et
du point [29].
Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Pour un repérage sphérique de pôle
et d'axe
, l'axe
est identifié à l'axe « pôle Sud
pôle Nord » de la Terre,
est l'altitude augmentée du rayon de la Terre,
le vecteur unitaire vertical ascendant,
la colatitude [30],
le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud,
la longitude et
le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est.
Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]
Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) :
, le 3ème vecteur étant le même que le 2nd de la base cylindro-polaire ou encore
[13].
Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) :

est donc suffisante pour déterminer sa valeur
, la 3ème cordonnée étant la même que la 2nde coordonnée cylindro-polaire.
Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]
Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base sphérique :
, le 2ème vecteur étant le même que le 3ème vecteur de base sphérique ou encore
[13].
Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées sphériques :
, la 2ème cordonnée étant la même que la 3ème coordonnée sphérique.
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien [31] ; si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire, comme dans l'exemple d'un déplacement relativement à une sphère !
Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]
Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne :
[32].
Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes :
[33],
,
est donc suffisante pour déterminer sa valeur mais par contre
les expressions de
et
sont toutes deux nécessaires pour déterminer la valeur de
.
Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]
Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose d'abord les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire
puis
les vecteurs de base cylindro-polaire dans la base sphérique
.
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques :
[34].
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose mais il ne sera jamais intéressant de substituer le repérage cartésien au repérage sphérique.
La notion de vecteur déplacement à partir d'un point quelconque
nécessite de préciser la position finale
du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant
;
dans la mesure où la position finale
est proche de
, on la notera
et le vecteur déplacement
pourra être qualifié de « petit » ;
si on rapproche suffisamment
de
pour que sa norme devienne infiniment petite, le point infiniment proche de
suivant la direction d'approche
sera noté
et le vecteur déplacement
qualifié d'élémentaire.
Nous avons défini le vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point quelconque
en considérant un petit vecteur déplacement à partir de ce point et en faisant tendre la position finale vers la position initiale suivant une certaine direction ou, plus généralement, en suivant une courbe passant par
[35] ; en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point
s'identifie à celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue au chap.
dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
On y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit encore
ou simplement
[36] ;
le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe
est tangent à la courbe en
, dans la mesure où
[37].
Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit
, les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.
À retenir

vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien :
.
Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Pour créer un déplacement élémentaire du point
en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point
étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
- suivant
, on se déplace selon la droite passant par
et
à
c.-à-d. d'équations
et
du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique
d'où
,
- suivant
, on se déplace selon la droite passant par
et
à
c.-à-d. d'équations
et
du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique
d'où
,
- suivant
, on se déplace selon la droite passant par
et
à
c.-à-d. d'équations
et
du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique
d'où
,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement
se réécrit
, ses composantes cartésiennes étant donc
.
Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe[modifier | modifier le wikicode]
Considérons la parabole d'équations cartésiennes
[38] et différencions ces équations : on obtient alors
et le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel
selon
[39] ;
d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
d'autre part, pour
, la composante vectorielle sur
est toujours dans le sens de
et
d'autre part, pour ~dx > 0~, la composante vectorielle sur
est de sens contraire à
pour
, s'annulant pour
et dans le sens de
pour
, de norme d'autant plus grande que
l'est [40]
Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire
ou cylindrique
nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit
[41].
Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]
Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle
dont ils dépendent soit
[42] ;
on utilise alors
dans lesquelles les dérivées par rapport à
des deux 1ers vecteurs de base sont égales à
[43] soit finalement :
À retenir

dérivées des vecteurs de base

et

par rapport à

:
Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à
.
Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]
On reporte l'expression de
dans celle de
obtenue en calcul préliminaire et on trouve
.
À retenir

vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire :
.
Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Pour créer un déplacement élémentaire du point
en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point
étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
- suivant
, on se déplace selon la demi-droite passant par
et
à
c.-à-d. d'équations
et
du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique
d'où
,
- suivant
, on se déplace selon le cercle passant par
et d'axe
c.-à-d. d'équations
et
du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique
[44] d'où
,
- suivant
, on se déplace selon la droite passant par
et
à
c.-à-d. d'équations
et
du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique
d'où
,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement
se réécrit
, ses composantes cylindro-polaires étant donc
.
Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires[modifier | modifier le wikicode]
Ci-contre à gauche le tracé d'une hélice circulaire droite d'axe
;
ci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire "cote proportionnelle à l'abscisse angulaire" qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'hélice circulaire droite d'axe
, l'autre surface étant un tuyau cylindrique de révolution d'axe
.
Vecteur déplacement élémentaire le long d'une hélice circulaire droite d'axe
: Soit l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires
[45] et différencions ces équations : on obtient alors
et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel
selon
[46].
Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe
:
- il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
- pour
, la composante vectorielle sur
,
est toujours dans le sens de
et
pour dΘ > 0, la composante vect celle sur
,
est de sens contraire à
pour
[47], et dans le sens de
pour
[48],
- la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de
[49] 
Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec
à
;
si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante » [50] ;
elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre
et
est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ;
elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre
et
est négatif, elle « monte » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde
ou encore dans le sens horaire
, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ;
on définit le pas de l'hélice par la variation de cote correspondant à un tour complet soit un pas de
pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon
.
Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit
[51].
Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]
Pour créer un déplacement élémentaire du point
en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point
étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
- suivant
, on se déplace selon la demi-droite passant par
et
à
[52]
c.-à-d. d'équations
et
du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique
d'où
,
- suivant
, on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par
[53]
c.-à-d. d'équations
et
du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique
[54] d'où
,
- suivant
, on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par
[55]
c.-à-d. d'équations
et
du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique
[56] d'où
,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement
se réécrit
, ses composantes sphériques étant
.
Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]
À retenir

vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique :
[57].
Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
Nous utiliserons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace exprimée en utilisant la notion de dérivées partielles introduite dans le paragraphe « différentielle d'une fonction vectorielle » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [58] d'où
.
Détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
Vues projetées du repérage sphérique d'un point

: demi-plan méridien et vue de dessus
Pour cela on utilise la décomposition de
dans la base cylindro-polaire
[59] soit :
[60] d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement
à
c.-à-d.
,
en conclusion on a
;
[61] ou,
étant un vecteur unitaire du plan équatorial
et dérivant par rapport à l'angle
qu'il fait avec la direction
fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan
se déduisant de
par rotation de
soit
,
en conclusion on a
.
Détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
Pour cela on utilise la décomposition de
dans la base cylindro-polaire
soit :
d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement
à
c.-à-d.
,
en conclusion on a
;
[13]
[62],
en conclusion on a
.
Détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
étant un vecteur unitaire du plan équatorial
et dérivant par rapport à l'angle
qu'il fait avec la direction
fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan se déduisant de
par rotation de
soit
;
il reste alors à décomposer
dans la base sphérique [63], ce qui donne
d'où
.
Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
.
Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du 1er vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
Reprenant le résultat du calcul préliminaire
et y reportant
nous trouvons effectivement
[64].
Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques[modifier | modifier le wikicode]
Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la
loxodromie de sphère de pente

par rapport aux parallèles

en rouge

ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la
spirale de Poinsot bornée"
[65] 
en vert

Considérons la loxodromie de sphère de pente
par rapport aux parallèles
tracée en rouge sur le schéma ci-contre
d'équations sphériques
[66] et différencions ces équations : nous obtenons alors
[67] ou
ou encore
[68] et
le vecteur déplacement élémentaire
le long de la loxodromie de sphère peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel
,
ne pas oublier
[69] soit finalement, après une transformation élémentaire,
[70] ;
Commentaires sur le vecteur déplacement le long de la loxodromie de sphère de pente
par rapport aux parallèles :
- il n'existe aucun point de la loxodromie sphérique où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
- pour
, la composante vectorielle sur
,
, est toujours dans le sens contraire de
c.-à-d. vers le Nord et
pour dΘ < 0, la composante vect celle sur
,
, est dans le sens de
c.-à-d. vers l'Est,
pour
, la composante vectorielle sur
,
, est toujours dans le sens de
c.-à-d. vers le Sud et
pour dΘ > 0, la composante vect celle sur
,
, est en sens contraire de
c.-à-d. vers l'Ouest ;
- la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de
[71] 
Remarque : Pour mieux faire apparaître la loxodromie de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « spirale de Poinsot bornée » [65].
Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe[modifier | modifier le wikicode]
Dans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut deux équations pour caractériser une courbe, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés :
Parabole en cartésien caractérisée comme intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan
[72]
Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon"
[72]
loxodromie sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une autre surface

ensemble de demi-droites issues de
[72]
- la parabole d'équations «
» repérée en cartésien
ci-contre à gauche
,
la 1ère équation «
» caractérisant un cylindre parabolique de génératrices
à
et
la 2nde «
» le plan
;
- l'hélice circulaire d'équations «
» repérée en cylindro-polaire
ci-contre à droite
,
la 1ère équation «
» caractérisant un tuyau cylindrique de révolution d'axe
et de rayon
,
la 2nde «
» une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites
au plan
issues d'un point de l'axe
de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire
la cote étant fonction de cette dernière
;
- la loxodromie sphérique de pente
par rapport aux parallèles, d'équations «
» repérée en sphérique
ci-contre à droite
,
la 1ère équation «
» caractérisant une sphère de centre
dont le rayon est
et
la 2nde «
» une surface sans nom mathématique constituée de demi-droites issues de
plus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude
la longitude
étant fonction de cette dernière
.
En repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut trois équations paramétriques pour caractériser une courbe [73] ; ci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien [74] :
Tracé des deux surfaces

un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan

dont la parabole est l'intersection
Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe
«
», nous nous proposons d'établir
d'une part le caractère plan de la courbe et
d'autre part sa nature ;
- pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre
,
et
en éliminant le paramètre
entre les équations paramétriques affines
et
pour cela exprimer
en fonction de
par l'équation
et reporter cette expression dans l'équation
l'équation d'un plan d'où la nature plane de
simultanément reporter l'expression de
en fonction de
dans l'équation
l'équation de la 2ème surface permettant de déterminer la nature de
soit «
» donnant les deux équations cartésiennes «
» dont la 2ème est celle du plan parallèle à
passant par le point
[75] ;
- la nature de la courbe
s'obtient en déterminant celle de la 2ème surface d'équation cartésienne «
», laquelle s'identifie à un « cylindre parabolique » de génératrices parallèles à
;
étant l'intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan non parallèle aux génératrices est donc une « parabole » [76].
Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice
et a priori vous ne devez en aucun cas en changer
, mais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir :
- le système de coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'axe
pour un problème ayant l'« invariance par symétrie de révolution d'axe
»
c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de l'axe
, ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire
, par exemple l'écoulement de l'eau dans un tuyau cylindrique d'axe
ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale de ce tuyau
ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon polaire
[77] ne varie pas
par exemple la montée d'une fourmi sur une hélice circulaire, courbe tracée sur un tuyau cylindrique
,
- le système de coordonnées sphériques de pôle
pour un problème possédant l'« invariance par symétrie sphérique de centre
»
c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par
, ne dépendant donc pas de la colatitude
et de la longitude
relativement à un axe quelconque choisi comme axe
, par exemple
en restant dans le cadre de la « mécanique classique » [78]
le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau » [79] ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de handball
ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon (polaire)
ne varie pas
par exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c.-à-d. que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles [80]
,
- le système de coordonnées cartésiennes pour un problème ne possédant aucune des invariances précédentes et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes
par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale
.
En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe[modifier | modifier le wikicode]
L'introduction du repérage de Frenet [81] est présentée « en complément » [82], toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération
tangentielle
le long d'une courbe » [83].
Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1er vecteur de la base locale de Frenet associée[modifier | modifier le wikicode]
Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes « abscisse curviligne » et « 1er vecteur de base de Frenet » [81] du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », seules les grandes lignes sont rappelées :
Abscisse curviligne d'un point le long d'une courbe et 1
er vecteur de base de Frenet
[81] associé

en marron

Sur une courbe continue
plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens «
» et une « origine