Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace
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Sommaire

Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]


Repérage cartésien d'un point dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Choix d'un repère cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d. qu'on y choisit une « origine » fixe dans et une « base orthonormée » (usuellement directe) [2] également fixe dans ,
............chaque vecteur de base orientant un axe passant par à savoir :

  • orienté par (axe des abscisses),
  • orienté par (axe des ordonnées) et
  • orienté par (axe des cotes).

Coordonnées cartésiennes d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position de se décomposant dans la base cartésienne selon ,

définissent les coordonnées cartésiennes du point [3] abscisse, ordonnée et cote.


Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Vue en perspective du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M

......Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et celui de sur le plan , on conserve
............la localisation de par sa cote mais
............on modifie celle de relativement au repérage cartésien en repérant par la distance le séparant de l'origine et par l'angle orienté [4] que fait avec ,
......on obtient ainsi le repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe .
......Voir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Vues projetées du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de sont avec

  • sa « coordonnée radiale » [5],
  • sa « coordonnée angulaire » [6] et
  • sa cote ;

......il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien et l'autre en vue de dessus voir ci-contre.

......On définit la base « cylindro-polaire » (ou cylindrique) liée à orthonormée directe avec

  • le premier vecteur de la base ,
  • le second vecteur de la base dans le plan « directement perpendiculaire au précédent » [7] on peut encore le définir par et
  • le troisième vecteur de la base identique au troisième vecteur de la base cartésienne ;


......cette base est liée à car les deux premiers vecteurs de la base dépendent de  :

  • le premier est appelé « vecteur radial »,
  • le second « vecteur orthoradial » et
  • le troisième constant « vecteur axial » [8].

Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position du point s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à selon

[9],

......on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position sont respectivement et identiques aux coordonnées radiale et axiale du point,
......on en dalors que la composante orthoradiale du vecteur position diffère de la coordonnée angulaire du point [10].

Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base cartésienne : , le troisième vecteur étant le même ou encore [11].

......Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées cartésiennes : étant défini à près, il faut simultanément les expressions de et pour déterminer la valeur de , la troisième cordonnée étant la même.

Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

......Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) : , le troisième vecteur étant le même ou encore [11].

......Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) : , la troisième cordonnée étant la même.

......Remarque : Le repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) se suffit à lui-même, il ne faut jamais sauf dans de très rares cas transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ; si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !

Repérage sphérique d'un point dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Principe du repérage sphérique d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Vue en perspective du repérage sphérique d'un point M

......Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et celui de sur le plan , on définit le demi-plan méridien contenant et [12] et
............on repère ce demi-plan méridien par
l'angle orienté [13] qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence (analogue géographique de la longitude), puis
............on repère dans ce demi-plan méridien par

  • la distance séparant de (analogue géographique de l'altitude augmentée du rayon de la Terre) et
  • l'angle orienté [14] que fait (le vecteur position de avec l'axe (analogue géographique de la colatitude) ;

......on obtient ainsi le repérage sphérique (de pôle et) d'axe , ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.

......Voir schéma en perspective ci-dessus à droite.

Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées sphériques de sont avec

  • son « rayon (polaire) » [15],
  • sa « colatitude » [16] et
  • sa « longitude » [17] ;

......il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien et en vue de dessus [18], voir ci-contre (la base cylindro-polaire y est rappelée en marron).
......On définit la base « sphérique » liée à orthonormée directe avec

  • le premier vecteur de la base ,
  • le second vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement perpendiculaire au précédent » [19] soit encore, avec deuxième vecteur de base cylindro-polaire [20] directement perpendiculaire au premier vecteur de base cylindro-polaire , une définition équivalente du deuxième vecteur de la base sphérique et
  • le troisième vecteur de la base perpendiculaire au demi-plan méridien et orientant ce dernier [21] soit encore [22] ;


......cette base est liée à car les deux premiers vecteurs de la base dépendent de et , le troisième dépendant uniquement de  :

  • le premier est appelé « vecteur radial »,
  • le second est appelé « vecteur orthoradial » [23],[24] et
  • le troisième ~est appelé « vecteur azimutal » [25].

Composantes sphériques du vecteur position d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position du point s'écrivant dans la base sphérique liée à selon

[26],

......on en déduit que la composante radiale du vecteur position est , identique à la coordonnée radiale du point,
......on en d alors que les composantes orthoradiale et azimutale du vecteur position et diffèrent des coordonnées angulaires et du point [27].

Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud pôle Nord » de la Terre,

  • est l'altitude augmentée du rayon de la Terre, le vecteur unitaire vertical ascendant,
  • la colatitude [28], le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud,
  • la longitude et le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est.

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

......Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) : , le troisième vecteur étant le même que le second de la base cylindro-polaire ou encore [11].

......Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) : est donc suffisante pour déterminer sa valeur, la troisième cordonnée étant la même que la seconde coordonnée cylindro-polaire.

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

......Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base sphérique : , le deuxième vecteur étant le même que le troisième vecteur de base sphérique ou encore [11].

......Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées sphériques : , la deuxième cordonnée étant la même que la troisième coordonnée sphérique.

......Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien [29] ; si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire, comme dans l'exemple d'un déplacement relativement à une sphère !

Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne : [30].

......Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes : [31], , est donc suffisante pour déterminer sa valeur mais par contre les expressions de et sont toutes deux nécessaires pour déterminer la valeur de .

Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

......Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose d'abord les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire puis
les vecteurs de base cylindro-polaire dans la base sphérique .

......Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : [32].

......Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose mais il ne sera jamais intéressant de substituer le repérage cartésien au repérage sphérique.

Vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque[modifier | modifier le wikicode]

......La notion de vecteur déplacement à partir d'un point quelconque nécessite de préciser la position finale du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant  ;
......dans la mesure où la position finale est proche de , on la notera et le vecteur déplacement pourra être qualifié de « petit » ;
......si on rapproche suffisamment de pour que sa norme devienne infiniment petite, le point infiniment proche de (suivant la direction d'approche) sera noté et le vecteur déplacement qualifié d'élémentaire.

......Nous avons défini le vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point quelconque en considérant un petit vecteur déplacement à partir de ce point et en faisant tendre la position finale vers la position initiale suivant une certaine direction ou, plus généralement, en suivant une courbe passant par [33] ; en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point s'identifie à celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue au chap. dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

......On y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit encore ou simplement [34] ;
......le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe est tangent à la courbe en , dans la mesure où [35].

Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit , les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.


Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,

......le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit , ses composantes cartésiennes étant donc .

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe[modifier | modifier le wikicode]

......Considérons la parabole d'équations cartésiennes [36] et différencions ces équations : on obtient alors et le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel selon

[37] ;

......d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
......d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est toujours dans le sens de et
........d'autre part, pour ~dx > 0~, la composante vectorielle sur est de sens contraire à pour , s'annulant pour et dans le sens de pour , de norme d'autant plus grande que l'est [38]

Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Calcul préliminaire[modifier | modifier le wikicode]

......Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit

[39].

Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

......Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle dont ils dépendent soit [40] ;
......on utilise alors dans lesquelles les dérivées par rapport à des deux premiers vecteurs de base sont égales à [41] soit finalement :


......Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à .

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

......On reporte l'expression de dans celle de obtenue en calcul préliminaire et on trouve .


Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

  • suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
  • suivant , on se déplace selon le cercle passant par et d'axe c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [42] d'où ,
  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,

......le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit , ses composantes cylindro-polaires étant donc .

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires[modifier | modifier le wikicode]

Tracé d'une hélice circulaire droite d'axe z'z
Tracé de la surface d'équation cylindro-polaire "cote proportionnelle à l'abscisse angulaire"
Tracé d'une hélice circulaire droite d'axe z'z Tracé de la surface d'équation cylindro-polaire "cote proportionnelle à l'abscisse angulaire"

......Considérons l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires [43] et différencions ces équations : on obtient alors et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel selon

[44] ;


......d'une part il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
......d'autre part, pour , la composante vectorielle sur , est toujours dans le sens de et
......d'autre part, pour ~dΘ > 0 celle sur , est de sens contraire à pour [45], et dans le sens de pour [46],
......la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de [47]


......Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec  à  ;
............si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante » [48] ;
............elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre  et est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ;
............elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre  et est négatif, elle « monte » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde (ou encore dans le sens horaire), un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ;
............on définit le pas de l'hélice par la variation de cote correspondant à un tour complet soit un pas de pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon .

Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Calcul préliminaire[modifier | modifier le wikicode]

......Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit

[49].

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

  • suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par et à [50] c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
  • suivant , on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par [51] c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [52] d'où ,
  • suivant , on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par [53] c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [54] d'où ,

......le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit , ses composantes sphériques étant donc .

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]


Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]

......Nous utiliserons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace exprimée en utilisant la notion de dérivées partielles introduite dans le paragraphe « différentielle d'une fonction vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [56] d'où .

Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Pour cela on utilise la décomposition de dans la base cylindro-polaire [57] soit :
...... [58] d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement perpendiculaire à c.-à-d. ,

en conclusion on a  ;

...... [59] ou, étant un vecteur unitaire du plan équatorial et dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec la direction fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan se déduisant de par rotation de soit ,

en conclusion on a .
Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]

......Pour cela on utilise la décomposition de dans la base cylindro-polaire soit :
...... d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement perpendiculaire à c.-à-d. ,

en conclusion on a  ;

......[11] [60],

en conclusion on a .
Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]

...... étant un vecteur unitaire du plan équatorial et dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec la direction fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan se déduisant de par rotation de soit  ;
......il reste alors à décomposer dans la base sphérique [61], ce qui donne d'où

.
Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]
.

Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du premier vecteur de base sphérique[modifier | modifier le wikicode]

......Reprenant le résultat du calcul préliminaire et y reportant on trouve effectivement

[62].

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques[modifier | modifier le wikicode]

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente 30° par rapport aux parallèles (en rouge) ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la spirale de Poinsot" [63] (en vert)

......Considérons la loxodromie de sphère de pente par rapport aux parallèles (tracé en rouge sur le schéma ci-contre) d'équations sphériques [64] et différencions ces équations : on obtient alors [65] ou ou encore [66] et
......le vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel , ne pas oublier [67] soit finalement, après une transformation élémentaire,

[68] ;

......d'une part il n'existe aucun point de la loxodromie sphérique où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
......d'autre part, pour , la composante vectorielle sur , , est toujours dans le sens contraire de c.-à-d. vers le Nord et
......d'autre part, pour ~dΘ < 0 celle sur , , est dans le sens de c.-à-d. vers l'Est,
......d'autre part, pour , la composante vectorielle sur , , est toujours dans le sens de c.-à-d. vers le Sud et
......d'autre part, pour ~dΘ > 0 celle sur , , est en sens contraire de c.-à-d. vers l'Ouest ;
......la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de [69]

......Remarque : Pour mieux faire apparaître la loxodromie de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « spirale de Poinsot bornée » [63].

Repérages d'une courbe dans l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe[modifier | modifier le wikicode]

......Dans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut deux équations pour caractériser une courbe, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés :

  • la parabole d'équations repérée en cartésien, la première équation caractérisant un cylindre parabolique de génératrices parallèles à et la seconde le plan  ;
  • l'hélice circulaire d'équations repérée en cylindro-polaire, la première équation caractérisant un tuyau cylindrique de révolution d'axe et de rayon , la seconde une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites parallèles au plan issues d'un point de l'axe de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire (la cote étant fonction de cette dernière) ;
  • la loxodromie sphérique de pente par rapport aux parallèles, d'équations repérée en sphérique, la première équation caractérisant une sphère de centre dont le rayon est , la seconde une surface sans nom mathématique constituée de demi-droites issues de plus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude (la longitude étant fonction de cette dernière).
Parabole en cartésien caractérisée comme intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan
Loxodromie sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une surface constituée d'un ensemble de demi-droites issues de O plus ou moins inclinées suivant la colatitude (la longitude dépendant de cette dernière)
Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon" - ensemble de demi-droites parallèles à xOy issues d'un point de l'axe z'z de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire (la cote étant fonction de cette dernière)
Parabole en cartésien comme intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan [70] Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon"[70] Loxodromie sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une autre surface (ensemble de demi-droites issues de O)[70]

Repérage paramétrique d'une courbe[modifier | modifier le wikicode]

......En repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut trois équations paramétriques pour caractériser une courbe [71] ; ci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien [72] :

Tracé des deux surfaces (un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan) dont la parabole est l'intersection

......Considérons les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe , on se propose d'établir d'une part que la courbe est plane et d'autre part sa nature ;

............pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre en éliminant le paramètre soit donnant les deux équations cartésiennes dont la deuxième est celle du plan parallèle à passant par le point [73] ;

............la nature de la courbe s'obtient en déterminant celle de la deuxième surface d'équation cartésienne , laquelle s'identifie à un « cylindre parabolique » de génératrices parallèles à  ; étant l'intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan non parallèle aux génératrices est donc une « parabole » [74].

Choix du système de coordonnées adapté au problème[modifier | modifier le wikicode]

......Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice (et a priori vous ne devez en aucun cas en changer), mais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir :

  • le système de coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'axe pour un problème ayant l'« invariance par symétrie de révolution d'axe Oz » (c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de l'axe , ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire , par exemple l'écoulement de l'eau dans un tuyau cylindrique d'axe ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale de ce tuyau) ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon polaire [75] ne varie pas (par exemple la montée d'une fourmi sur une hélice circulaire, courbe tracée sur un tuyau cylindrique),
  • le système de coordonnées sphériques de pôle pour un problème possédant l'« invariance par symétrie sphérique de centre O » (c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par , ne dépendant donc pas de la colatitude et de la longitude relativement à un axe quelconque choisi comme axe , par exemple en restant dans le cadre de la « mécanique classique » [76] le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau » [77] ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de handball) ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon (polaire) ne varie pas (par exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c.-à-d. que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles [78]),
  • le système de coordonnées cartésiennes pour un problème ne possédant aucune des invariances précédentes et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes (par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale).

En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe[modifier | modifier le wikicode]

......L'introduction du repérage de Frenet [79] est présentée « en complément » [80], toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération (tangentielle) le long d'une courbe » [81].

Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, premier vecteur de la base locale de Frenet associée[modifier | modifier le wikicode]

......Ces notions ayant déjà été introduites dans le paragraphe « abscisse curviligne » ainsi que celui introduisant le « premier vecteur de base de Frenet » [79] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », seules les grandes lignes sont rappelées :

Abscisse curviligne d'un point le long d'une courbe et premier vecteur de base de Frenet [79] associé (en marron)

......Sur une courbe continue plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens et une « origine » de mesure des abscisses curvilignes ; le « point générique » de est repéré par son « abscisse curviligne » longueur algébrique parcourue dans le sens sur depuis l'origine [82] ;

......on définit, en tout point non anguleux de , un vecteur unitaire tangent à en orienté dans le sens appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant le « premier vecteur de la base locale de Frenet » [79] ;

......mathématiquement la relation caractérise la courbe et représente l'« équation vectorielle paramétrique » de cette dernière ;

......la définition mathématique du premier vecteur de base de Frenet [79] (équivalente à celle qui a été donnée précédemment) est c.-à-d. que le vecteur unitaire tangentiel peut être obtenu en dérivant par rapport l'équation vectorielle paramétrique de la courbe .

Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point[modifier | modifier le wikicode]

......Parmi tous les cercles du plan de la courbe lui étant tangents en , le cercle osculateur à la courbe en est celui qui est « localement le plus proche de la courbe » [83], [84].

............Cas particuliers :

  • si le point est un point d'inflexion de la courbe, le cercle osculateur est la tangente elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini,
  • si la courbe est un cercle, le cercle osculateur en chacun de ses points est le cercle lui-même et
  • si la courbe est une droite, le cercle osculateur en chacun de ses points est la droite elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini.

......Autres définitions :

  • le centre du cercle osculateur à la courbe en définit le centre de courbure de en et
  • son rayon c.-à-d. , définit le rayon de courbure [85] de en .

......Propriété : Il existe une seule courbe plane à rayon de courbure constant c'est le cercle.

......Exemple : La comparaison des rayons de courbure d'une courbe plane en ses différents points se fait visuellement de façon relativement aisée, par exemple, si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan , , de sommet et de direction asymptotique , la concavité étant tournée vers les , on remarque aisément que le rayon de courbure est minimale au sommet et qu'il est d'autant plus grand que le point s'éloigne du sommet (le rayon de courbure tendant vers l'infini pour s'éloignant à l'infini du sommet).

Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point[modifier | modifier le wikicode]

......Parmi tous les plans tangents en à une courbe gauche , le plan osculateur de en est celui qui est « localement le plus proche de la courbe » [86], [87] ; cette détermination est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le plan osculateur d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe.

......Parmi tous les cercles tangents à la courbe gauche en dans le plan osculateur de celle-ci en , le cercle osculateur est celui qui est « localement le plus proche de la courbe » [83] ;
......on définit alors (de même que pour une courbe plane) :

  • le centre de courbure de en comme le centre du cercle osculateur à en et
  • le rayon de courbure de en comme le rayon du cercle osculateur c.-à-d. .

......Propriété : Il existe une seule courbe gauche à rayon de courbure constant c'est l'hélice circulaire.

Deuxième et troisième vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée[modifier | modifier le wikicode]

Deuxième vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal[modifier | modifier le wikicode]

......Le deuxième vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , noté et appelé « vecteur (unitaire) normal principal » (ou simplement « vecteur normal » pour une courbe plane) est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à en c.-à-d. la direction est le centre de courbure [88] et de sens dirigé vers le centre de courbure .

Troisième vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire[modifier | modifier le wikicode]

......Le troisième vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , noté et appelé « vecteur (unitaire) normal secondaire » est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à en c.-à-d. la direction perpendiculaire au plan osculateur à en ou, si cette dernière est plane, perpendiculaire au plan de la courbe [89] et de sens tel que la base est directe [90] ;
......les angles du plan osculateur à en sont donc orientés par le vecteur normal secondaire [91] ;

......une définition équivalente du vecteur normal secondaire est .

Rappel, composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée[modifier | modifier le wikicode]

......Vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue par interprétation géométrique :
............ étant repéré sur la courbe par son abscisse curviligne , nous envisageons un déplacement élémentaire le long du vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet , correspondant à un « arc de courbe » de longueur algébrique soit finalement