Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace

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Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace

Vecteur position d'un point

......Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on peut positionner tout point, on y choisit « un point fixe » $\;O\;$ et
......on repère « un point quelconque » $\;M\;$ de l'espace dans $\;{\mathcal {R}}\;$ de façon intrinsèque par

le vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ appelé « vecteur position du point » $\;M$.

Repérage cartésien d'un point dans l'espace

Choix d'un repère cartésien

......Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}$, on lui associe un « repère cartésien » c'est-à-dire qu'on y choisit une « origine » $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et une « base orthonormée » (usuellement directe) $\;\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ également fixe dans $\;{\mathcal {R}}$,
............chaque vecteur de base orientant un axe passant par $\;O\;$ à savoir :

• $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ (axe des abscisses),
• $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{y}\;$ (axe des ordonnées) et
• $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ (axe des cotes).

Coordonnées cartésiennes d'un point

......Le vecteur position de $\;M\;$ se décomposant dans la base cartésienne selon $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}$,

$\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$ définissent les coordonnées cartésiennes du point $\;M\;$ ${\big (}x\;$ abscisse, $\;y\;$ ordonnée et $\;z\;$ cote).

Propriété

......Les coordonnées cartésiennes de $\;M\;$ sont aussi les mesures algébriques $-$ comptées sur l'axe considéré $-$ de la distance entre l'origine $\;O\;$ et le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur cet axe, ainsi :
............appelant $\;M_{x}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Ox}}$, l'abscisse est égale à $\;x={\overline {OM_{x}}}$,
............appelant $\;M_{y}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Oy}}$, l'ordonnée est égale à $\;y={\overline {OM_{y}}}\;$ et
............appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Oz}}$, la cote est égale à $\;z={\overline {OM_{z}}}$ ;
......de plus notant $\;M_{xy}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;xOy$, on a $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}$,
......de plus notant $\;M_{yz}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;yOz$, on a $\;{\overrightarrow {OM_{yz}}}=y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ et
......de plus notant $\;M_{zx}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;zOx$, on a $\;{\overrightarrow {OM_{zx}}}=x\,{\vec {u}}_{x}+z\,{\vec {u}}_{z}$.

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace

Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point

Vue en perspective du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M

......Appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;M_{xy}\;$ celui de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy$, on conserve
............la localisation de $\;M_{z}\;$ par sa cote $\;z\;$ mais
............on modifie celle de $\;M_{xy}\;$ relativement au repérage cartésien en repérant $\;M_{xy}\;$ par la distance $\;\rho \;$ le séparant de l'origine $\;O\;$ et par l'angle orienté $\;\theta \;$ que fait $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {Ox}}$,
......on obtient ainsi le repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$.
......Voir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point

Vues projetées du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de $\;M\;$ sont $\;(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ avec

• $\;\rho =\left\Vert {\overrightarrow {OM_{xy}}}\right\Vert \geqslant 0\;$ sa « coordonnée radiale » ,
• $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « coordonnée angulaire »  et
• $\;z={\overline {OM_{z}}}\;$ sa cote ;

......il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien $\;\theta =cste\;$ et l'autre en vue de dessus $\;z=0\;$ voir ci-contre.

......On définit la base « cylindro-polaire » (ou cylindrique) liée à $\;M\;$ $\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z})\;$ orthonormée directe avec

• le premier vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {\overrightarrow {OM_{xy}}}{\rho }}$,
• le second vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le plan $\;xOy\;$ « directement perpendiculaire au précédent »  (on peut encore le définir par $\;{\vec {u}}_{\theta }=$ ${\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }{\big )}\;$ et
• le troisième vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{z}\;$ identique au troisième vecteur de la base cartésienne ;

......cette base est liée à $\;M\;$ car les deux premiers vecteurs de la base dépendent de $\;\theta$ :

• le premier $\;{\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$ est appelé « vecteur radial »,
• le second $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }(\theta )\;$ « vecteur orthoradial » et
• le troisième constant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ « vecteur axial » .

Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point

......Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ selon

$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$,

......on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position sont respectivement $\;{\overline {OM_{\rho }}}=\rho \;$ et $\;{\overline {OM_{z}}}=z\;$ identiques aux coordonnées radiale et axiale du point,
......on en dalors que la composante orthoradiale du vecteur position $\;{\overline {OM_{\theta }}}=0\;$ diffère de la coordonnée angulaire $\;\theta \;$ du point .

Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien

......Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base cartésienne : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\quad \;\;\;\cos(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{x}+\quad \;\;\;\sin(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{y}\end{array}}\right.$, le troisième vecteur étant le même ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\;\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right.\;$ .

......Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées cartésiennes : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\cos(\theta )={\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin(\theta )={\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{array}}\right.\;$ ${\big [}\theta \;$ étant défini à $\;2\,\pi$ près, il faut simultanément les expressions de $\;\cos(\theta )\;$ et $\;\sin(\theta )\;$ pour déterminer la valeur de $\;\theta {\big ]}$, la troisième cordonnée étant la même.

Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire

......Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{x}=\quad \;\;\;\cos(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\rho }+\quad \;\;\;\sin(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{y}=\cos \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\rho }+\sin \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.$, le troisième vecteur étant le même ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{x}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.\;$.

......Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=\rho \,\cos(\theta )\\y=\rho \,\sin(\theta )\end{array}}\right.$, la troisième cordonnée étant la même.

......Remarque : Le repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) se suffit à lui-même, il ne faut jamais $-$ sauf dans de très rares cas $-$ transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ; si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !

Repérage sphérique d'un point dans l'espace

Principe du repérage sphérique d'un point

Vue en perspective du repérage sphérique d'un point M

......Appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;M_{xy}\;$ celui de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy$, on définit le demi-plan méridien contenant $\;(Oz)\;$ et $\;M_{xy}\;$ et
............on repère ce demi-plan méridien par
$\;\succ \;$ l'angle orienté $\;\varphi \;$ qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence $\;xOz\;$ (analogue géographique de la longitude), puis
............on repère $\;M\;$ dans ce demi-plan méridien par

• la distance $\;r\;$ séparant $\;M\;$ de $\;O\;$ (analogue géographique de l'altitude augmentée du rayon de la Terre) et
• l'angle orienté $\;\theta \;$ que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ (le vecteur position de $\;M{\big )}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ (analogue géographique de la colatitude) ;

......on obtient ainsi le repérage sphérique (de pôle $\;O\;$ et) d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.

......Voir schéma en perspective ci-dessus à droite.

Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées sphériques de $\;M\;$ sont $\;(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ avec

• $\;r=\left\Vert {\overrightarrow {OM}}\right\Vert \geqslant 0\;$ son « rayon (polaire) » ,
• $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « colatitude »  et
• $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « longitude »  ;

......il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien $\;\varphi =cste\;$ et en vue de dessus $\;z=0\;$, voir ci-contre (la base cylindro-polaire y est rappelée en marron).
......On définit la base « sphérique » liée à $\;M\;$ $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ orthonormée directe avec

• le premier vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}$,
• le second vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le demi-plan méridien « directement perpendiculaire au précédent »  (soit encore, avec $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ deuxième vecteur de base cylindro-polaire directement perpendiculaire au premier vecteur de base cylindro-polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }$, une définition équivalente du deuxième vecteur de la base sphérique $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\vec {u}}_{r}{\big )}\;$ et
• le troisième vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ perpendiculaire au demi-plan méridien et orientant ce dernier soit encore $\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\;$ ;

......cette base est liée à $\;M\;$ car les deux premiers vecteurs de la base dépendent de $\;\theta \;$ et $\;\varphi$, le troisième dépendant uniquement de $\;\varphi$ :

• le premier $\;{\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;$ est appelé « vecteur radial »,
• le second $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;$ est appelé « vecteur orthoradial » et
• le troisième $\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;$ ~est appelé « vecteur azimutal » .

Composantes sphériques du vecteur position d'un point

......Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrivant dans la base sphérique liée à $\;M\;$ selon

$\;{\overrightarrow {OM}}=r\,{\vec {u}}_{r}\;$,

......on en déduit que la composante radiale du vecteur position est $\;{\overline {OM_{r}}}=r$, identique à la coordonnée radiale du point,
......on en d alors que les composantes orthoradiale et azimutale du vecteur position $\;{\overline {OM_{\theta }}}=0\;$ et $\;{\overline {OM_{\varphi }}}=0\;$ diffèrent des coordonnées angulaires $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ du point .

Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point

......Pour un repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud $-$ pôle Nord » de la Terre,

• $\;r\;$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant,
• $\;\theta \;$ la colatitude , $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud,
• $\;\varphi \;$ la longitude et $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est.

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire

......Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}=\quad \;\;\;\cos(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{z}+\quad \;\;\;\sin(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.$, le troisième vecteur étant le même que le second de la base cylindro-polaire ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}=\;\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.\;$.

......Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r={\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}\\\cos(\theta )={\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\end{array}}\right.\;$ ${\big \{}$$\theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]\;$ $\;\cos(\theta )\;$ est donc suffisante pour déterminer sa valeur${\big \}}$, la troisième cordonnée étant la même que la seconde coordonnée cylindro-polaire.

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique

......Vecteurs de base cylindro-polaire (ou cylindrique) en fonction des vecteurs de base sphérique : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}=\quad \;\;\;\cos(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{r}+\quad \;\;\;\sin(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{\rho }=\cos \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{r}+\sin \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.$, le deuxième vecteur étant le même que le troisième vecteur de base sphérique ou encore $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.\;$.

......Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) en fonction des coordonnées sphériques : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}z=r\,\cos(\theta )\\\rho =r\,\sin(\theta )\end{array}}\right.$, la deuxième cordonnée étant la même que la troisième coordonnée sphérique.

......Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien  ; si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire, comme dans l'exemple d'un déplacement relativement à une sphère !

Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point

Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien

......Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}=\;\;\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\varphi }=\qquad \qquad \qquad \quad -\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}\;\;\;\;+\qquad \cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$.

......Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r={\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}={\sqrt {z^{2}+x^{2}+y^{2}}}\\\cos(\theta )={\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}={\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+x^{2}+y^{2}}}}\\\cos(\varphi )={\dfrac {x}{\rho }}={\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin(\varphi )={\dfrac {y}{\rho }}={\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{array}}\right.\;$, $\;\theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]$, $\;\cos(\theta )$ est donc suffisante pour déterminer sa valeur mais par contre $\;\varphi \in \left]-\pi \,{,}\,+\pi \right]\;$ les expressions de $\;\cos(\varphi )\;$ et $\;\sin(\varphi )\;$ sont toutes deux nécessaires pour déterminer la valeur de $\;\varphi$.

Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique

......Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose d'abord les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z}\\{\vec {u}}_{x}=\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\rho }-\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\rho }+\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right.\;$ puis
les vecteurs de base cylindro-polaire dans la base sphérique $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}=\qquad \cos(\theta )\quad {\vec {u}}_{r}\;-\quad \sin(\theta )\quad {\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{x}=\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\theta }-\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\theta }+\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right.$.

......Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}z=r\,\cos(\theta )\\x=\rho \,\cos(\varphi )=r\,\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\\y=\rho \,\sin(\varphi )=r\,\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\end{array}}\right.\;$.

......Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose mais il ne sera jamais intéressant de substituer le repérage cartésien au repérage sphérique.

Vecteur déplacement élémentaire d'un point

Définition intrinsèque

......La notion de vecteur déplacement à partir d'un point quelconque $\;M\;$ nécessite de préciser la position finale $\;M_{f}\;$ du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant $\;{\overrightarrow {MM_{f}}}$ ;
......dans la mesure où la position finale $\;M_{f}\;$ est proche de $\;M$, on la notera $\;M''\;$ et le vecteur déplacement $\;{\overrightarrow {MM''}}\;$ pourra être qualifié de « petit » ;
......si on rapproche suffisamment $\;M''\;$ de $\;M\;$ pour que sa norme devienne infiniment petite, le point infiniment proche de $\;M\;$ (suivant la direction d'approche) sera noté $\;M'\;$ et le vecteur déplacement $\;{\overrightarrow {MM'}}\;$ qualifié d'élémentaire.

......Nous avons défini le vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point quelconque $\;M\;$ en considérant un petit vecteur déplacement à partir de ce point et en faisant tendre la position finale vers la position initiale suivant une certaine direction ou, plus généralement, en suivant une courbe passant par $\;M\;$ ; en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point $\;M\;$ s'identifie à celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue au chap.$15$ dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

......On y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit encore $\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$ ou simplement $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$ ;
......le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ est tangent à la courbe en $\;M$, dans la mesure où $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$.

Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien

......Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$, les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.

À retenir $\rightsquigarrow$ vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien :

$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$.

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

......Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

• suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{x}\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;y=cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dx\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{x}}}=dx\;{\vec {u}}_{x}$,
• suivant $\;{\vec {u}}_{y}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{y}\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;x=cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dy\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{y}}}=dy\;{\vec {u}}_{y}$,
• suivant $\;{\vec {u}}_{z}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;x=cste\;$ et $\;y=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dz\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}=dz\;{\vec {u}}_{z}$,

......le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{x}}}+{\overrightarrow {dM_{y}}}+{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$, ses composantes cartésiennes étant donc $\;(dx,\,dy,\,dz)$.

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

......Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=a\,x^{2}\\z=0\end{array}}\right.\;$ et différencions ces équations : on obtient alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dy=2\,a\,x\,dx\\dz=0\end{array}}\right.\;$ et le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $\;dx\;$ selon

$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$ ;

......d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
......d'autre part, pour $\;dx>0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\;{\overrightarrow {dM_{x}}}\;$ est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et
........d'autre part, pour ~dx > 0~, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ $\;{\overrightarrow {dM_{y}}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{y}\;$ pour $\;x<0$, s'annulant pour $\;x=0\;$ et dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ pour $\;x>0$, de norme d'autant plus grande que $\;|x|\;$ l'est …

Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

......Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit

$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$.

Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire

......Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle $\;\theta \;$ dont ils dépendent soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\quad \cos(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{x}\;\;\;+\quad \sin(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z}\end{array}}\right.\;$ ;
......on utilise alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right.\;$ dans lesquelles les dérivées par rapport à $\;\theta \;$ des deux premiers vecteurs de base sont égales à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=\;\cos \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{x}\;+\;\sin \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{y}=-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right.\;$ soit finalement :

À retenir $\rightsquigarrow$ dérivées des vecteurs de base $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à $\;\theta$ :

$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$............et............$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }$ ;

......quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement perpendiculaire au vecteur initial, ainsi
......dérivant $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rapport à l'angle qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{x}$, on obtient $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$,
......dérivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à l'angle qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{y}$, on obtient $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$ ;
...... on peut encore écrire $\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$............et............$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }$.

......Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=-{\vec {u}}_{\rho }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right.$.

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire

......On reporte l'expression de $\;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\;$ dans celle de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ obtenue en calcul préliminaire et on trouve $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;{\vec {u}}_{\theta }d\theta +dz\;{\vec {u}}_{z}$.

À retenir $\rightsquigarrow$ vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire :

$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}$.

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

......Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

• suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, on se déplace selon la demi-droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{\rho }\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;\theta =cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;d\rho \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\rho }}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }$,
• suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, on se déplace selon le cercle passant par $\;M\;$ et d'axe $\;Oz\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;\rho =cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;\rho \,d\theta \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }$,
• suivant $\;{\vec {u}}_{z}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;\rho =cste\;$ et $\;\theta =cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dz\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}=dz\;{\vec {u}}_{z}$,

......le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{\rho }}}+{\overrightarrow {dM_{\theta }}}+{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}$, ses composantes cylindro-polaires étant donc $\;(d\rho ,\,\rho \,d\theta ,\,dz)$.

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires

Tracé d'une hélice circulaire droite d'axe z'z

Tracé de la surface d'équation cylindro-polaire "cote proportionnelle à l'abscisse angulaire"

......Considérons l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\;\theta \end{array}}\right.\;$ et différencions ces équations : on obtient alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\rho =0\\dz=h\;d\theta \end{array}}\right.\;$ et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $\;d\theta \;$ selon

$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }+h\;{\vec {u}}_{z}\right]d\theta \;$ ;

......d'une part il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
......d'autre part, pour $\;d\theta >0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}\;$ est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et
......d'autre part, pour ~dΘ > 0 celle sur $\;{\vec {u}}_{z}$, $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;h<0\;$, et dans le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;h>0\;$,
......la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de $\;\theta \;$ …

......Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec $\;z\;\propto \;$ à $\;\theta$ ;
............si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice se « développe » en une droite c'est-à-dire en une courbe de « pente constante »  ;
............elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre $\;z\;$ et $\;\theta \;$ est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ;
............elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre $\;z\;$ et $\;\theta \;$ est négatif, elle « monte » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde (ou encore dans le sens horaire), un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ;
............on définit le pas de l'hélice par la variation de cote correspondant à un tour complet soit un pas de $\;2\,\pi \,|h|\;$ pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon $\;z=h\;\theta$.

Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Calcul préliminaire

......Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit

$\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;$.

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

......Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

• suivant $\;{\vec {u}}_{r}$, on se déplace selon la demi-droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{r}\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;\theta =cste\;$ et $\;\varphi =cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dr\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{r}}}=dr\;{\vec {u}}_{r}$,
• suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par $\;M\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;r=cste\;$ et $\;\varphi =cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;r\,d\theta \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }$,
• suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par $\;M\;$ (c'est-à-dire d'équations $\;r=cste\;$ et $\;\theta =cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;\left[r\,\sin(\theta )\right]d\varphi \;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}=r\,\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }$,

......le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{r}}}+{\overrightarrow {dM_{\theta }}}+{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }$, ses composantes sphériques étant donc $\;\left[dr,\,r\,d\theta ,\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi \right]$.

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique :

$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$.

Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique

......Nous utiliserons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace exprimée en utilisant la notion de dérivées partielles introduite dans le paragraphe « différentielle d'une fonction vectorielle » du chapitre$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]={\dfrac {d\!\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )\;d\varphi \end{array}}\right.$.

Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Pour cela on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans la base cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ soit :
......$\;{\vec {u}}_{r}=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement perpendiculaire à $\;{\vec {u}}_{r}\;$ c'est-à-dire $\;{\vec {u}}_{\theta }$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }$ ;

......$\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}\;$ ou, $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $\;xOy\;$ et dérivant par rapport à l'angle $\;\varphi \;$ qu'il fait avec la direction $\;Ox\;$ fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan $\;xOy\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ soit $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}={\vec {u}}_{\varphi }$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }$.

Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique

......Pour cela on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans la base cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ soit :
......$\;{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement perpendiculaire à $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c'est-à-dire $\;-{\vec {u}}_{r}$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;$ ;

......$\;{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$,

en conclusion on a $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }$.

Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique

......$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $\;xOy\;$ et dérivant par rapport à l'angle $\;\varphi \;$ qu'il fait avec la direction $\;Oy\;$ fixe de ce plan, sa dérivée est le vecteur unitaire du plan se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ soit $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
......il reste alors à décomposer $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ dans la base sphérique , ce qui donne $\;{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ d'où

$\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }$.

Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique

$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]=\;\;\,\qquad {\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \quad \,+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=\qquad -{\vec {u}}_{r}\;d\theta \quad \,+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;d\varphi -\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;d\varphi \end{array}}\right.$.

Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du premier vecteur de base sphérique

......Reprenant le résultat du calcul préliminaire $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;$ et y reportant $\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta +\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \;$ on trouve effectivement

$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$.

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente 30° par rapport aux parallèles (en rouge) ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la spirale de Poinsot" (en vert)

......Considérons la loxodromie de sphère de pente $\;{\dfrac {\pi }{6}}\;$ par rapport aux parallèles (tracé en rouge sur le schéma ci-contre) d'équations sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right.\;$ et différencions ces équations : on obtient alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dr=0\\d\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {d\theta }{2\,\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\end{array}}\right.\;$ ou $\;d\varphi =-{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,d\theta }{2\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ ou encore $\;d\varphi =-{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,d\theta }{\sin(\theta )}}={\dfrac {-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sin(\theta )}}\;d\theta \;$ et
......le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la loxodromie de sphère peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $\;d\theta$, $\;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }-a\;\sin(\theta )\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]d\theta \;$ [ne pas oublier $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=$ $a\;{\vec {u}}_{\theta }\;d\theta {\big ]}\;$ soit finalement, après une transformation élémentaire,

$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\varphi }\right]a\;d\theta \;$ ;

......d'une part il n'existe aucun point de la loxodromie sphérique où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
......d'autre part, pour $\;d\theta <0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}$, est toujours dans le sens contraire de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c'est-à-dire vers le Nord et
......d'autre part, pour ~dΘ < 0 celle sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}$, est dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ c'est-à-dire vers l'Est,
......d'autre part, pour $\;d\theta >0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}$, est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c'est-à-dire vers le Sud et
......d'autre part, pour ~dΘ > 0 celle sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}$, est en sens contraire de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ c'est-à-dire vers l'Ouest ;
......la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de $\;\theta \;$ …

......Remarque : Pour mieux faire apparaître la loxodromie de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « spirale de Poinsot bornée » .

Repérages d'une courbe dans l'espace

Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe

......Dans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut deux équations pour caractériser une courbe, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés :

• la parabole d'équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=a\,x^{2}\\z=0\end{array}}\right.\;$ repérée en cartésien, la première équation $\;y=a\,x^{2}\;$ caractérisant un cylindre parabolique de génératrices parallèles à $\;z'z\;$ et la seconde $\;z=0\;$ le plan $\;xOy$ ;
• l'hélice circulaire d'équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\;\theta \end{array}}\right.\;$ repérée en cylindro-polaire, la première équation $\;\rho =a\;$ caractérisant un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z\;$ et de rayon $\;a$, la seconde $\;z=h\;\theta \;$ une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites parallèles au plan $\;xOy\;$ issues d'un point de l'axe $\;z'z\;$ de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire (la cote étant fonction de cette dernière) ;
• la loxodromie sphérique de pente $\;{\dfrac {\pi }{6}}\;$ par rapport aux parallèles, d'équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right.\;$ repérée en sphérique, la première équation $\;r=a\;$ caractérisant une sphère de centre $\;O\;$ dont le rayon est $\;a$, la seconde $\;\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;$ une surface sans nom mathématique constituée de demi-droites issues de $\;O\;$ plus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude (la longitude étant fonction de cette dernière).

Parabole en cartésien comme intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan

Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon"

Loxodromie sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une autre surface (ensemble de demi-droites issues de O)

Repérage paramétrique d'une courbe

......En repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut trois équations paramétriques pour caractériser une courbe  ; ci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien  :

Tracé des deux surfaces (un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan) dont la parabole est l'intersection

......Considérons les trois équations paramétriques cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right.\;$ de la courbe $\;({\mathcal {T}})$, on se propose d'établir d'une part que la courbe est plane et d'autre part sa nature ;

............pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre $\;x,\,y\;{\text{et}}\;z\;$ en éliminant le paramètre $\;t\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t=2\,x\\y=(2\,x)^{2}-1\\z=2\,(2\,x)+1\end{array}}\right.\;$ donnant les deux équations cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=4\,x^{2}-1\\z=4\,x+1\end{array}}\right.\;$ dont la deuxième est celle du plan parallèle à $\;y'y\;$ passant par le point $\;(2,\;0,\;9)\;$ ;

............la nature de la courbe $\;({\mathcal {T}})\;$ s'obtient en déterminant celle de la deuxième surface d'équation cartésienne $\;y=4\,x^{2}-1$, laquelle s'identifie à un « cylindre parabolique » de génératrices parallèles à $\;z'z$ ; $\;({\mathcal {T}})\;$ étant l'intersection d'un cylindre parabolique et d'un plan non parallèle aux génératrices est donc une « parabole » .

Choix du système de coordonnées adapté au problème

......Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice (et a priori vous ne devez en aucun cas en changer), mais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir :

• le système de coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) d'axe $\;Oz\;$ pour un problème ayant l'« invariance par symétrie de révolution d'axe Oz » (c'est-à-dire un problème invariant par rotation autour de l'axe $\;Oz$, ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire $\;\theta$, par exemple l'écoulement de l'eau dans un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale de ce tuyau) ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon polaire $\;\rho \;$ ne varie pas (par exemple la montée d'une fourmi sur une hélice circulaire, courbe tracée sur un tuyau cylindrique),
• le système de coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ pour un problème possédant l'« invariance par symétrie sphérique de centre O » (c'est-à-dire un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par $\;O$, ne dépendant donc pas de la colatitude $\;\theta \;$ et de la longitude $\;\varphi \;$ relativement à un axe quelconque choisi comme axe $\;Oz$, par exemple $-$ en restant dans le cadre de la « mécanique classique »  $-$ le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau »  ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de handball) ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon (polaire) $\;r\;$ ne varie pas (par exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c'est-à-dire que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles ),
• le système de coordonnées cartésiennes pour un problème ne possédant aucune des invariances précédentes et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes (par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale).

En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe

......L'introduction du repérage de Frenet est présentée « en complément » , toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération (tangentielle) le long d'une courbe » .

Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, premier vecteur de la base locale de Frenet associée

......Ces notions ayant déjà été introduites dans le paragraphe « abscisse curviligne » ainsi que celui introduisant le « premier vecteur de base de Frenet » du chapitre$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », seules les grandes lignes sont rappelées :

Abscisse curviligne d'un point le long d'une courbe et premier vecteur de base de Frenet associé (en marron)

......Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens ${\text{« }}\!+\!{\text{ »}}$ et une « origine » $\;A\;$ de mesure des abscisses curvilignes ; le « point générique » $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ est repéré par son « abscisse curviligne » $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$ [longueur algébrique parcourue dans le sens ${\text{« }}\!+\!{\text{ »}}$ sur $\;(\Gamma )\;$ depuis l'origine $\;A{\big ]}\;$ ;

......on définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux de $\;(\Gamma )$, un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ orienté dans le sens ${\text{« }}\!+\!{\text{ »}}$ appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant le « premier vecteur de la base locale de Frenet »  ;

......mathématiquement la relation $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)\;$ caractérise la courbe $\;(\Gamma )\;$ et représente l'« équation vectorielle paramétrique » de cette dernière ;

......la définition mathématique du premier vecteur de base de Frenet (équivalente à celle qui a été donnée précédemment) est $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}(s)\;$ c'est-à-dire que le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(s)\;$ peut être obtenu en dérivant par rapport $\;s\;$ l'équation vectorielle paramétrique de la courbe $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)$.

Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point

......Parmi tous les cercles du plan de la courbe $\;(\Gamma )\;$ lui étant tangents en $\;M$, le cercle osculateur à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »  .

............Cas particuliers :

• si le point $\;M\;$ est un point d'inflexion de la courbe, le cercle osculateur est la tangente elle-même c'est-à-dire un cercle de rayon infini,
• si la courbe est un cercle, le cercle osculateur en chacun de ses points est le cercle lui-même et
• si la courbe est une droite, le cercle osculateur en chacun de ses points est la droite elle-même c'est-à-dire un cercle de rayon infini.

......Autres définitions :

• le centre $\;C\;$ du cercle osculateur à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ définit le centre de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ et
• son rayon (c'est-à-dire $CM{\big )}$, définit le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$.

......Propriété : Il existe une seule courbe plane à rayon de courbure constant c'est le cercle.

......Exemple : La comparaison des rayons de courbure d'une courbe plane en ses différents points se fait visuellement de façon relativement aisée, par exemple, si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan $\;xOy$, $\;y=a\,x^{2}$, de sommet $\;S\,(0,\,0)\;$ et de direction asymptotique $\;y'y$, la concavité étant tournée vers les $\;y>0$, on remarque aisément que le rayon de courbure est minimale au sommet $\;S\;$ et qu'il est d'autant plus grand que le point $\;M\;$ s'éloigne du sommet (le rayon de courbure tendant vers l'infini pour $\;M\;$ s'éloignant à l'infini du sommet).

Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point

......Parmi tous les plans tangents en $\;M\;$ à une courbe gauche $\;(\Gamma )$, le plan osculateur de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »   ; cette détermination est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le plan osculateur d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe.

......Parmi tous les cercles tangents à la courbe gauche $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ dans le plan osculateur de celle-ci en $\;M$, le cercle osculateur est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »  ;
......on définit alors (de même que pour une courbe plane) :

• le centre de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ comme le centre $\;C\;$ du cercle osculateur à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ et
• le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ comme le rayon du cercle osculateur c'est-à-dire $\;{\mathcal {R}}_{M}=CM\geqslant 0$.

......Propriété : Il existe une seule courbe gauche à rayon de courbure constant c'est l'hélice circulaire.

Deuxième et troisième vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée

Deuxième vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal

......Le deuxième vecteur de base locale de Frenet en un point $\;M\;$ de la courbe $\;(\Gamma )$, noté $\;{\vec {n}}\;$ et appelé « vecteur (unitaire) normal principal » (ou simplement « vecteur normal » pour une courbe plane) est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ [c'est-à-dire la direction $\;(MC)\;$ où $\;C\;$ est le centre de courbure ] et de sens dirigé vers le centre de courbure $\;C$.

Troisième vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire

......Le troisième vecteur de base locale de Frenet en un point $\;M\;$ de la courbe $\;(\Gamma )$, noté $\;{\vec {b}}\;$ et appelé « vecteur (unitaire) normal secondaire » est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ [c'est-à-dire la direction perpendiculaire au plan osculateur à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ ou, si cette dernière est plane, perpendiculaire au plan de la courbe ] et de sens tel que la base $\;\left({\vec {\tau }},\;{\vec {n}},\;{\vec {b}}\right)\;$ est directe  ;
......les angles du plan osculateur à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ sont donc orientés par le vecteur normal secondaire  ;

......une définition équivalente du vecteur normal secondaire est $\;{\vec {b}}={\vec {\tau }}\wedge {\vec {n}}$.

Rappel, composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée

......Vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue par interprétation géométrique :
............$\;M\;$ étant repéré sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ par son abscisse curviligne $\;s$, nous envisageons un déplacement élémentaire le long du vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet $\;{\vec {\tau }}$, correspondant à un « arc de courbe » de longueur algébrique $\;ds\;$ soit finalement

$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}$.

......Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel :
............$\;O\;$ étant le point origine de la définition intrinsèque du vecteur position de $\;M\;$ et $\;M\;$ étant repéré sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ par son abscisse curviligne $\;s$, nous pouvons, a priori, connaître l'équation paramétrique vectorielle de $\;(\Gamma )$, $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)$ ;
............or la différentielle de $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ est le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ d'où, par définition de la différentielle nous en déduisons $\;{\overrightarrow {dM}}=$ ${\dfrac {d\!\left({\vec {r}}\right)}{ds}}(s)\;ds$, ce qui, comparé à $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}$, justifie la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel de la base de Frenet $\;{\vec {\tau }}(s)={\dfrac {d\!\left({\vec {r}}\right)}{ds}}(s)$.

Définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane

Schéma introductif de la définition du rayon de courbure en un point d'une courbe plane

......La direction du vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ de la base locale de Frenet en $\;M$