Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Coniques

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Coniques
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Sommaire

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Le nom «~coniques~» vient du fait que ces courbes sont les intersections d'un cône de révolution avec un «~plan ne passant pas par le sommet du cône~»[1] voir les trois tracés ci-dessous [2] :


Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes
Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône
Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et parallèle à une génératrice du cône

Définition géométrique des coniques[modifier | modifier le wikicode]

Définition bifocale d'une hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

......On considère deux points distincts et (définissant les deux «~foyers~» de l'hyperbole) séparés de la distance , le milieu du segment et une longueur  :


Principales propriétés d'une hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une hyperbole utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

Il existe :

  • deux asymptotes et passant par (centre de l'hyperbole) et deux branches d'hyperbole ;
  • deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers et est appelé «~axe focal~» [3], l'autre lui étant en (centre de l'hyperbole) est appelé «~axe non focal~» [4] ;

nommant et les points de l'hyperbole sur l'axe focal étant le plus proche de ,

  • la longueur [5] est appelée «~demi axe focal~»,
  • on peut introduire le demi axe non focal comme la longueur commune , et étant les points de l'axe non focal, projetés orthogonaux des points d'intersections des perpendiculaires à l'axe focal en et avec les asymptotes [6] (les points d'intersections sont notés ou , ou et pour des questions de lisibilité seul est représenté) ;

nommant et les projetés orthogonaux de sur les asymptotes et les projetés orthogonaux de ,

  • la longueur [7] ;
  • on établit que la longueur car, dans les triangles et , avec d'où [8], est donc aussi la distance orthogonale entre les foyers et les asymptotes [9] ;
  • le triangle rectangle en a pour longueur de côtés  ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle entre les asymptotes et l'axe focal vaut [10] ;
  • on définit le paramètre par [11] et on peut établir son lien avec et en éliminant par puis par d'où et par suite .


Définition bifocale d'une ellipse[modifier | modifier le wikicode]

......On considère deux points distincts et (définissant les deux «~foyers~» de l'ellipse) séparés de la distance , le milieu du segment et une longueur  :


Principales propriétés d'une ellipse[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une ellipse utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

Il existe :

  • deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers et est appelé «~axe focal~» ou «~grand axe~», l'autre lui étant en (centre de l'ellipse) est appelé «~axe non focal~» ou «~petit axe~» ;

nommant et les points de l'ellipse sur l'axe focal étant le plus proche de ,

  • la longueur [15] est appelée «~demi grand axe~» ;

nommant et les points de l'ellipse sur le petit axe,

  • la longueur est appelée «~demi petit axe~» ;
  • le triangle rectangle en a pour longueur de côtés [16]  ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle a pour sinus  ;
  • on définit le paramètre par [17] et on peut établir son lien avec et en éliminant par puis par d'où et par suite .


Définition monofocale d'une parabole[modifier | modifier le wikicode]

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Principales propriétés d'une parabole[modifier | modifier le wikicode]

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Définition monofocale d'une conique[modifier | modifier le wikicode]

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Application à une hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

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Établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale[modifier | modifier le wikicode]

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Application à une ellipse[modifier | modifier le wikicode]

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Établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale[modifier | modifier le wikicode]

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Retour sur la parabole[modifier | modifier le wikicode]

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Mise en équation des coniques[modifier | modifier le wikicode]

Équations cartésiennes des coniques[modifier | modifier le wikicode]

Parabole de sommet O et d'axe Oy[modifier | modifier le wikicode]

Équation cartésienne[modifier | modifier le wikicode]

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Propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque[modifier | modifier le wikicode]
Propriété d'intersection de la tangente à la parabole en un point quelconque M et de sa tangente au sommet S

......Énoncé : Considérant une parabole de sommet , la tangente en un point quelconque (de projeté sur la tangente au sommet) recoupe la tangente au sommet au milieu de .

......Démonstration : Considérons la parabole d’équation cartésienne , de sommet et un point quelconque , la tangente en à la parabole a pour équation avec soit encore ou soit enfin  ;

......Démonstration : on en déduit que cette tangente recoupe l’axe des [c'est-à-dire la tangente au sommet] en d’abscisse c'est-à-dire la moitié de l’abscisse de  ;

......Démonstration : en conclusion de on en déduit que est le milieu du segment .

Ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

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Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

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Équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

Équations paramétriques d'un cercle de centre O[modifier | modifier le wikicode]

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Affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k[modifier | modifier le wikicode]

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Conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

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Courbe de Lissajous correspondant à la visualisation à l'oscilloscope en fonctionnement (x, y) d'une tension sinusoïdale en fonction d'une autre tension sinusoïdale de même fréquence[modifier | modifier le wikicode]

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Mouvement circulaire uniforme d'un point et mouvement rectiligne sinusoïdal de son projeté sur un diamètre[modifier | modifier le wikicode]

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Équations polaires des coniques[modifier | modifier le wikicode]

Généralités sur le repérage polaire d'un point d'un plan fixe[modifier | modifier le wikicode]

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Exemple de courbe définie par son équation polaire[modifier | modifier le wikicode]

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Choix communs de repérage polaire des coniques dont O est le (ou un des) foyer(s)[modifier | modifier le wikicode]

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Équation polaire d'une ellipse de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

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Établissement à partir de la définition monofocale de l'ellipse[modifier | modifier le wikicode]

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Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire[modifier | modifier le wikicode]

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Équation polaire d'une parabole de foyer O et de paramètre p[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

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Établissement à partir de la définition (monofocale) de la parabole[modifier | modifier le wikicode]

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Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire[modifier | modifier le wikicode]

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Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche contournant O[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

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Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

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Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire[modifier | modifier le wikicode]

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Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche différente de celle contournant O[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

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Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

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Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire[modifier | modifier le wikicode]

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Remarque utilisant l'association des deux branches[modifier | modifier le wikicode]

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Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Si le plan passe par le sommet du cône, on obtient des coniques dégénérées respectivement un point (dégénérescence d'une ellipse), une demi-droite (dégénérescence d'une parabole) et deux droites sécantes (dégénérescence d'une hyperbole).
  2. Tracés légèrement modifiés à partir de ceux d'origine tirés du paragraphe «~Sections d'un cône de révolution par un plan~» de l'article de «~wikipédia~» intitulé «~Cône (géométrie)~».
  3. Ou «~transverse~» ou encore «~transversal~», c'est le seul axe de symétrie d'une branche.
  4. Ou «~non transverse~» ou encore «~conjugué~», ce n'est pas un axe de symétrie d'une branche mais un axe de symétrie de l'hyperbole complète, cet axe «~conjuguant~» une branche à l'autre.
  5. S'établit simplement par d'où .
  6. Cette définition est donnée pour justifier le qualificatif «~demi axe non focal~» donné à mais elle n'est que rarement utilisée en mathématiques et ne l'est jamais en physique.
  7. En effet cela résulte de la définition de la branche d'hyperbole en faisant tendre vers l'infini et deviennent à l'asymptote d'où et par suite .
  8. On rappelle que l'on a établi précédemment .
  9. Cette propriété de , découlant de la définition, est souvent considérée comme une deuxième définition équivalente, c'est en tout cas la seule utilisée en physique et c'est donc celle que vous devez retenir.
  10. On peut également dire que l'excentricité est telle que .
  11. Le paramètre a une signification indirecte dans la définition monofocale de l'hyperbole, on peut lui en trouver une aussi dans la définition bifocale : appelant l'intersection avec l'asymptote de la perpendiculaire à l'axe focal en non représenté sur le schéma pour éviter la surcharge), l'angle commun comme angles à côtés respectivement perpendiculaires valant , on a ou soit , mais cela n'a que très peu d'intérêt en physique.
  12. 12,0 et 12,1 Pythagore de Samos (environs de 580 av JC - vers 495 av JC) est à la fois réformateur religieux, mathématicien, astronome et philosophe grec ; il acquiert ses connaissances scientifiques au cours de ses voyages (citons comme exemple le théorème de Pythagore qui, sur des cas particuliers, était déjà connu des chinois et des babyloniens 1 000 ans avant lui), fait progresser l'arithmétique et pose les bases mathématiques de la musique mais il ne laisse aucun écrit et il est difficile de savoir si tel résultat est de lui ou d'un de ses disciples.
  13. La relation est aussi fréquemment utilisée mais elle se retrouve facilement comme cela a été vu.
  14. Pour un cercle d'excentricité nulle, correspondant à et confondus avec , on a soit .
  15. S'établit simplement par d'où .
  16. La dernière relation résulte de la définition de l'ellipse avec d'où .
  17. Le paramètre a une signification indirecte dans la définition monofocale de l'ellipse, on peut lui en trouver une aussi dans la définition bifocale : appelant le projeté orthogonal de sur on a , dans le triangle et dans le triangle d'où mais cette matérialisation n'a que très peu d'intérêt en physique.
  18. La relation est aussi fréquemment utilisée mais elle se retrouve facilement comme cela a été vu.