Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

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Changement de référentiels
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Chapitre no 25
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Barycentre d'un système de points
Chap. suiv. :Théorème d'Emmy Nœther
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Sommaire

......Les changements de référentiels apparaissent dans le domaine physique lors de l'étude du mouvement de points mais aussi lors de l'utilisation de champ vectoriel dépendant implicitement du temps ainsi que dans d'autres domaines dont la S.I. [1], ceci étant la raison partielle pour laquelle ce chapitre est classé dans le leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'autre raison partielle étant l'aspect fortement mathématique des démonstrations.

Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un 1er référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et un 2ème référentiel d'espace [2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles dépendant du temps selon .

......Préliminaire : le temps étant absolu (c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace), la dérivée temporelle d'une grandeur scalaire , non spécifique d'un référentiel [3], [4] et dépendant du temps selon , reste invariante par changement de référentiel car la définition n'en dépend pas, en effet, que ce soit dans ou , la dérivée temporelle se définit selon avec les valeurs ainsi que indépendantes des référentiels [3], [4] de même que

......Préliminaire le temps t étant absolu c'est-à-dire indépendant du référentiel d'esp,par contre la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle et dépendant du temps selon , dépend a priori du référentiel dans laquelle elle est effectuée comme sur l'exemple décrit ci-après : soit la grandeur « champ de pesanteur terrestre » [5] noté plus simplement  ; considérons tout d'abord comme 1er référentiel la Terre et le repère cartésien lui étant lié tel que le 3ème vecteur de base soit vertical ascendant, dans ce référentiel la dérivée temporelle de est nulle c'est-à-dire  ; considérons maintenant comme 2ème référentiel un référentiel tournant relativement à à vitesse angulaire constante autour d'un axe horizontal et le repère cartésien lié à tel que le 3ème vecteur de base soit initialement vertical ascendant, dans ce référentiel la dérivée temporelle de n'est plus nulle c'est-à-dire , la composante suivant le 3ème vecteur de base cartésienne variant sinusoïdalement avec une fréquence égale à la fréquence de rotation du référentiel et une amplitude égale à [6].

......Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace sur la dérivée temporelle de grandeur vectorielle connaissant le mouvement d'entraînement du référentiel d'entraînement relativement au référentiel absolu en restreignant volontairement cette étude aux entraînements de translation et à ceux de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels,

......et pour commencer, nous étudierons l'influence sur les vecteurs vitesses d'un point ainsi que les vecteurs accélérations du même point.

Cas d'un entraînement de translation[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et un autre référentiel d'espace [2] en mouvement de translation relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement » ;

......dans le cas d'un entraînement de translation on a les propriétés suivantes :

  • « les vecteurs de base cartésienne du repère lié à peuvent être identifiés aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à  » car le 1er étant en translation par rapport au 2nd, toute direction de garde la même direction dans et
  • « dériver par rapport au temps une grandeur vectorielle dans est équivalent à dériver par rapport au temps cette même grandeur vectorielle dans  » la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :
............notant la base cartésienne commune des repères liés à et , le champ vectoriel a les mêmes composantes cartésiennes dans les deux repères associés aux deux référentiels soit et « sa dérivation par rapport à revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes », les vecteurs de base cartésienne étant constants dans les deux repères …

......D'après ce qui précède il est donc inutile de préciser dans quel référentiel la dérivée temporelle est effectuée puisque celle-ci est invariante par changement de référentiel soit

la valeur commune étant simplement notée .

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

......Notant l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on obtient, par loi de Chasles [7], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile ,

et,

......la dérivation temporelle, indépendante du repère dans lequel elle est effectuée, conduisant à

,

......on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans de et de ainsi que celle du vecteur vitesse dans de , à savoir :

  • vecteur vitesse absolue de encore noté ,
  • vecteur vitesse absolue de encore noté et
  • vecteur vitesse relative de encore noté ,

......on en déduit, la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de translation ou, noté plus simplement

[8], [9], [10].

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

......Dérivant par rapport à la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de translation on obtient, dans la mesure où la dérivation temporelle est indépendante du référentiel dans lequel on effectue la dérivation lorsque les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre,

,

......on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans de et de ainsi que celle du vecteur accélération dans de , à savoir :

  • vecteur accélération absolue de encore noté ,
  • vecteur accélération absolue de encore noté et
  • vecteur accélération relative de encore noté ,

......on en déduit, la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entrainement de translation ou, noté plus simplement

[11], [9], [12].

Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

......Si le référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel , les vecteurs de base cartésienne du repère lié à ne peuvent plus être identifiés aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à car, dans , les 1ers tournent relativement aux 2nds lesquels y sont fixes, ceci entraînant que « la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle dans est différente de celle de cette même grandeur vectorielle dans  » [13], la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :

............notant la base cartésienne du repère lié à et décomposant le champ vectoriel dans cette base liée à soit ,
............« la dérivation par rapport à dans revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes », les vecteurs de base cartésienne constants dans le repère lié à soit alors que
............« la dérivation par rapport à dans nécessite aussi de dériver temporellement les vecteurs de base du repère lié à  » non constants dans soit ce qui établit nettement que

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel[modifier | modifier le wikicode]

Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation d'un référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe Δ fixe du référentiel absolu avec le vecteur rotation instantanée , le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement étant choisi sur Δ identique au 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu

......Le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu , la rotation de relativement à se faisant avec le vecteur rotation instantanée [le plus souvent constant (c'est-à-dire correspondant à un entraînement de rotation uniforme) mais qui peut, sur certains exemples, dépendre de  ;

......pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu porté par l'axe ainsi que le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement égal au précédent à savoir [14] ;

......notant l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on obtient, par loi de Chasles [7], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile ,

et,

......effectuant la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu pour définir dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point on obtient ,
......le 1er vecteur du membre de droite étant le vecteur vitesse absolue de l'origine du repère lié au référentiel d'entraînement soit encore noté , il reste à analyser le 2ème vecteur [15] et pour cela nous décomposons le vecteur position du point défini dans le référentiel d'entraînement sur la base cartésienne de ce dernier soit puis nous effectuons la dérivation temporelle dans le référentiel absolu et nous obtenons

 ; on reconnaît
  • dans les trois 1ers termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point dans la mesure où les vecteurs de base du repère lié au référentiel d'entraînement y sont supposé constants, c'est-à-dire encore noté et,
  • dans les trois derniers termes du 2ème membre la dérivée temporelle du vecteur effectuée dans le référentiel absolu avec le point coïncident [9] de à l'instant dans la mesure où les composantes de dans la base cartésienne du repère lié à y sont supposées constantes soit encore noté  ;

......finalement la relation se réécrit soit, après simplification

......finalement la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation ou noté plus simplement

[16],[17] ;

......dans le cas de en rotation autour de l'axe fixe dans , le mouvement absolu de étant un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée , on en déduit le vecteur vitesse absolue de par son expression intrinsèque [18]

, avec point fixe quelconque de l'axe ,

......d'où le vecteur vitesse d'entraînement du point [17] s'écrivant

[19] ;

......la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

avec .

Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

......On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation pour déterminer la dérivée temporelle de chaque vecteur de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement dans le référentiel absolu respectivement ou et pour cela on définit un point fixe de par que l'on dérive par rapport à dans le référentiel absolu d'où par utilisation de la relation de Chasles [7] simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle, soit encore par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses aux deux points fixes et de et finalement avec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement puis la factorisation vectorielle par [20] par nouvelle utilisation de la relation de Chasles [7] soit enfin, par définition du point , la relation [21] respectivement ou [22].

......Remarque : il est aussi possible de déterminer respectivement ou sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation [23] cet établissement étant facilité avec le choix de [24] portés par l'axe de rotation (voir figure ci-dessus), lequel place les deux 1ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à dans un même plan à que les deux 1ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à , permettant de définir l'angle qui est tel que  ; on peut alors en déduire dans lequel on peut affirmer [25] d'où soit enfin, comme , la réécriture de la dérivée cherchée selon (C.Q.F.D.) [26] ; on peut aussi écrire dans lequel on peut affirmer [25] d'où soit enfin, comme , la réécriture de la dérivée cherchée selon (C.Q.F.D.) [26].

Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu , des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement comme cela a été exposé dans la remarque du paragraphe précédent (c'est-à-dire sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation) à savoir , et [27] ;

......avec l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on a obtenu, par loi de Chasles [7], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile , à savoir et, après avoir effectué la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu pour définir dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point cela a donné

 ;

......décomposant le vecteur position du point défini dans le référentiel d'entraînement sur la base cartésienne de ce dernier soit puis effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu , nous obtenons

 ;
  • on reconnaît dans les trois 1ers termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point , c'est-à-dire
  • et on reporte dans les trois derniers termes du 2ème membre les expressions des dérivées temporelles des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement, dérivation effectuée dans le référentiel absolu, c'est-à-dire par factorisation vectorielle par [20] soit encore  ;

......finalement, en ajoutant les trois contributions, on obtient dans lequel le vecteur vitesse absolue du point correspondant à un mouvement circulaire d'axe , de vecteur rotation instantanée est donné par son expression intrinsèque , soit encore par factorisation vectorielle par [20] et, au final, par utilisation de la relation de Chasles [7]

dans lequel est le vecteur vitesse d'entraînement du point ,
cette loi constituant la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation.

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel[modifier | modifier le wikicode]

Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel[modifier | modifier le wikicode]

......La méthode la plus rapide pour établir la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, la loi de composition des vecteurs vitesses lors du même entraînement dans laquelle , étant un point fixe quelconque de l'axe de rotation [28] ; dérivant temporellement dans on obtient

dans laquelle
le 1er membre est le vecteur accélération absolue du point à savoir  ;

......aucun terme du 2ème membre ne pouvant être défini sans transformation au préalable, on les étudie séparément :

  • tout d'abord va être transformé en utilisant la loi de composition des vecteurs vitesses après avoir posé , ce qui donne par utilisation de la relation de Chasles [7] et de la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle puis, par définition des vecteurs vitesses absolues des points et , ensuite, par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses, [29], enfin, en utilisant les expressions des vecteurs vitesses d'entraînement et par factorisation vectorielle par [20], soit, en revenant à la définition du point , ou, en reconnaissant dans le 1er terme du 2ème membre le vecteur accélération relative du point , l'expression définitive
     ;
  • ensuite que l'on explicite en dérivant temporellement dans ce qui donne, par dérivation d'un produit vectoriel, [30] ; utilisant maintenant la loi de composition des vecteurs vitesses on en déduit ou, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle et en réinjectant l'expression du vecteur vitesse d'entraînement du point on obtient [31] ;
............l'ensemble des deux 1ers termes du 2ème membre ne dépendant que de la position du point et non de son mouvement relatif dans , il est assimilable, en tout ou pour partie, au vecteur accélération d'entraînement du point à l'instant [32] lequel prend pour valeur le vecteur accélération absolue du point coïncident de à l'instant [9] ; or le mouvement absolu du point coïncident étant un mouvement circulaire d'axe et de vecteur rotation instantanée , son vecteur accélération absolue est donné par son expression intrinsèque soit [33] avec le projeté de sur c'est-à-dire encore le centre du cercle décrit par dans et on vérifie aisément que prenant pour valeur s'identifie au vecteur accélération d'entraînement  ;
............finalement [34] ;

......ajoutant les deux transformations de et de pour obtenir on aboutit à , ce dernier vecteur accélération étant appelé vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [35] du point et étant noté , c'est une composante spécifique d'un entraînement de rotation de autour d'un axe fixe de  ;

......la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

avec
[36] le vecteur accélération d'entraînement de
dans lequel est le projeté de sur , étant un point quelconque de et
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [35] du point .

Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

......Si cette méthode non intrinsèque n'est pas la plus rapide, elle est néanmoins intéressante par le fait qu'elle n'est sujette à aucune embûche majeure [37]

......Partant de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation dans lequel par relation de Chasles [7] et par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit encore [38] permettant d'écrire cette loi sous une forme ne faisant intervenir que le vecteur position relative du point et sa dérivée temporelle effectuée dans à l'exception du 1er terme soit

et

......de l'exprimer, avec utilisation des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement , vecteurs que nous noterons ainsi que les composantes du vecteur position relative du point que nous noterons dans le but de simplifier l'exposé, selon

 ;

......effectuant la dérivation temporelle de la relation ci-dessus dans le référentiel absolu , nous obtenons soit, en reportant , le vecteur accélération absolue du point se réécrit selon ou, grâce à la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle et en factorisant ainsi qu'en reconnaissant

  • ,
  • et

......on obtient soit encore, en utilisant une forme de l'expression intrinsèque du vecteur accélération absolue du point en mouvement circulaire autour de l'axe de vecteur rotation instantanée [39] à savoir et en regroupant les termes identiques ou semblables soit finalement, par factorisation vectorielle [20] et utilisation de la relation de Chasles [7] la relation

 ;

......l'ensemble des deux derniers termes de la relation ci-dessus peut être récrite en utilisant une formule du double produit vectoriel selon

[40] avec
le projeté orthogonal de sur l'axe
c'est-à-dire que l'on reconnaît dans cet ensemble de deux termes le vecteur accélération d'entraînement du point  ;

......finalement on obtient la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation soit

avec
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [35] du point égal à et
le vecteur accélération d'entraînement du point égal à dans lequel
est un point fixe de et le projeté orthogonal de sur l'axe .

Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas (très fréquent) où la rotation d'entraînement est uniforme c'est-à-dire telle que le vecteur rotation instantanée est un vecteur constant noté , la loi de composition des accélérations lors d'un entraînement de rotation uniforme se réécrit donc sous la forme

avec
le vecteur accélération d'entraînement de dans lequel est le projeté de sur et
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [35] du point .

Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour[modifier | modifier le wikicode]

Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant un 1er référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et un 2ème référentiel d'espace [2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles dépendant du temps selon , c'est-à-dire de trouver le lien existant entre la dérivée temporelle de effectuée dans et celle effectuée dans connaissant le mouvement d'entraînement de dans , [toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels avec le vecteur rotation instantanée [41]].

Formule de Bour[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé de la formule de Bour[modifier | modifier le wikicode]

......Soient une grandeur vectorielle dépendant du temps et deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, plus précisément un référentiel d'entraînement en mouvement de rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel absolu avec le vecteur rotation instantanée , le lien existant entre la dérivée temporelle de effectuée dans à savoir et celle effectuée dans à savoir est donné par la formule de Bour [42], [43] :

[44].

Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels[modifier | modifier le wikicode]

......On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation pour déterminer la dérivée temporelle de la grandeur vectorielle dans le référentiel absolu et pour cela on définit un point par son vecteur position dans le référentiel d'entraînement que l'on dérive par rapport à dans le référentiel absolu d'où par utilisation de la relation de Chasles [7] simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle, soit encore par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses au point mobile et au point fixe de et finalement avec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement puis, après la factorisation vectorielle par [20], on peut réécrire par nouvelle utilisation de la relation de Chasles [7] soit enfin, par définition du point , la relation