Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables

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Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables
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Chapitre no 13
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Suites arithmétique et géométrique
Chap. suiv. :Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
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Sommaire

Notion d'espace[modifier | modifier le wikicode]

......Dans ce chapitre on entendra par « espace », que l'on notera , l'« ensemble des positions que peut occuper un solide de petite dimension assimilable à un point » ; cet espace est :

  • « affine », c'est-à-dire tel qu'on peut y définir le parallélisme et la notion de barycentre et
  • « euclidien », c'est-à-dire que la « direction de l'espace affine » [1] est un espace [2] dans lequel on définit un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine (égale à la norme du vecteur associé au bipoint) et l'angle entre deux bipoints (se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints).

Champ (ou fonction) scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]


Définition d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une base fixe de l'« espace physique » [4] notée et appelée « cartésienne » ;

......tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, étant un point fixe de choisi comme origine du repérage, .


......Un champ (ou une fonction) scalaire de l'espace s'identifie à une fonction scalaire des trois coordonnées du point de l'espace.

Exemples de champ (ou fonction) scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

  • Pression atmosphérique ou température en tout point de l'espace ;
  • énergies diverses : potentielle de pesanteur, cinétique, mécanique …

Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

......Pour caractériser la variation du champ (ou fonction) scalaire de l'espace physique , on peut utiliser le repérage du point générique dans en définissant une base cartésienne de l'espace vectoriel associé à  » [6], ayant alors pour coordonnées et le champ (ou fonction) scalaire s'identifiant avec la fonction scalaire des trois coordonnées de , , ces coordonnées étant indépendantes dans la mesure où est libre dans soit  ;

......la variation de peut être déterminée :

  • à l'aide des signes des dérivées partielles de par rapport aux coordonnées de [voir « dérivées partielles » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] ou
  • à l'aide du signe de la différentielle de relativement aux signes des éléments différentiels des coordonnées de [voir « différentielle d'une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].

......Nous traiterons cette caractérisation sur un exemple : comment varie la température dans l'espace  ?

Caractérisation par signe des dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

......Supposons connu le champ scalaire c'est-à-dire égal à la fonction des coordonnées cartésiennes de , nous nous proposons de connaître la variation de relativement à sans faire varier et [7], nous aurons alors les variations suivantes :

  • quand à et constants si ,
  • quand à et constants si et
  • reste stationnaire quand varie à et constants si .

......L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une coordonnée à la fois.

Caractérisation par signe de la différentielle[modifier | modifier le wikicode]

......Supposons connu le champ scalaire c'est-à-dire égal à la fonction des coordonnées cartésiennes de , nous nous proposons de connaître la variation de le long de la droite [8] ;
......pour cela nous évaluons dans le contexte de la variation de à savoir à partir du point soit ou, en remplaçant par pour satisfaire à la courbe suivie, d'où :

  • quand le long de si ou si ,
  • quand le long de si ou si et
  • reste stationnaire quand varie le long de si ou si .

Commentaire final[modifier | modifier le wikicode]

......La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ scalaire de l'espace est donc de procéder par évaluation de sa différentielle mais
......la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles ;
......nous introduirons la notion de « gradient de champ scalaire » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui donnera une version plus compacte de ces deux méthodes dans le paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire ».

Champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une base fixe de l'« espace physique » [4] notée et appelée « cartésienne » ;

......tout point est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées tel que, étant un point fixe de choisi comme origine du repérage, .

......Un champ (ou une fonction) vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace correspondant aux trois composantes du champ (ou fonction) vectoriel(le) [10].

Exemples de champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

  • Champ de pesanteur en tout point de l'espace ou autres champs, électrique, magnétique …
  • vecteur position du point de l'espace , vecteur vitesse, vecteur accélération …

Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

......Pour caractériser la variation du champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace physique on peut utiliser le repérage du point générique dans en définissant une base cartésienne de l'espace vectoriel associé à [6], ayant alors pour coordonnées et le champ (ou fonction) vectoriel(le) s'identifiant aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace correspondant aux trois composantes du champ (ou fonction) vectoriel(le),  ;

......ainsi pour étudier la variation du champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace physique , peut-on se contenter d'étudier séparément les variations des trois champs (ou fonctions) scalaires s'identifiant aux trois composantes cartésiennes de à savoir :

......étude des variations de par la méthode des dérivées partielles ou de la différentielle …

Écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Les quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire vue au chap. dans le paragraphe « règles de calcul de différentielle » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » restent applicables pour le calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle.

......Comme avec base cartésienne de l'espace vectoriel associé à [6], sa différenciation compte-tenu du fait que les vecteurs de base sont constants conduit à

ou encore
.

Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

......Une base cartésienne étant choisie, la variation de la fonction vectorielle à partir d'un point de l'espace revient à l'étude de la variation de chaque composante cartésienne de , à savoir , et en fonction de chacune des coordonnées de , à savoir , et , c'est-à-dire l'étude du signe des neuf dérivées partielles des composantes cartésiennes de  ;

......par exemple l'étude de la variation de à partir de relativement à est la suivante [11] :

  • quand à et restant figés si est ,
  • quand à et restant figés si est ,
  • reste stationnaire quand varie à et restant figés si est .

Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude de la différentielle de ses composantes cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

......Une base cartésienne étant choisie, la variation de la fonction vectorielle à partir d'un point de l'espace peut être faite par l'étude de la variation de la différentielle de chaque composante cartésienne de , à savoir les différentielles , et explicitées en fonction des coordonnées de , c'est-à-dire l'étude du signe des trois différentielles des composantes cartésiennes de  ;

......par exemple l'étude de la variation de à partir de le long de la droite [8], [12] utilisant l'expression de la différentielle de à savoir est la suivante [13] :

......pour cela nous évaluons dans le contexte de la variation de à savoir à partir du point soit ou, en remplaçant par pour satisfaire à la courbe suivie, d'où :

  • quand le long de si ou si ,
  • quand le long de si ou si et
  • reste stationnaire quand varie le long de si ou si .

Commentaire final[modifier | modifier le wikicode]

......La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ vectoriel de l'espace est donc de procéder par évaluation de la différentielle de ses composantes cartésiennes mais
......la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes ;
......existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte comme l'est celle de « gradient » pour un champ scalaire [14] ?
......Pour cela, cette grandeur devrait avoir neuf composantes traduisant les variations des trois composantes suivant les trois dimensions et devrait posséder un « caractère de dérivation », au niveau de ce chapitre la réponse est donc « non » [15].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Représentant l'espace vectoriel auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'espace affine.
  2. Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisants, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un espace vectoriel.
  3. 3,0 et 3,1 Ou à un sous-ensemble de , le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
  4. 4,0 et 4,1 Plus exactement de l'espace vectoriel associé à l'espace affine (encore appelé « direction de l'espace affine »).
  5. 5,0 5,1 et 5,2 Ou à un sous-ensemble de , le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
  6. 6,0 6,1 et 6,2 Espace vectoriel encore appelé « direction de l'espace affine euclidien » .
  7. La démarche serait la même pour déterminer la variation de relativement à sans faire varier et ou pour déterminer la variation de relativement à sans faire varier et .
  8. 8,0 et 8,1 Nous verrons ultérieurement dans le paragraphe « repérage d'une courbe dans l'espace » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'une équation cartésienne caractérisant une surface, la caractérisation d'une courbe nécessite deux équations cartésiennes, dans l'exemple cité est l'équation du plan horizontal de cote 2 et celle du plan vertical passant par le point , la courbe étant donc la droite horizontale intersection des deux plans.
  9. De dimension maximale trois.
  10. Usuellement on n'introduit pas les coordonnées du point en définissant les composantes mais on écrit .
  11. La démarche serait la même pour l'étude de la variation de à partir de relativement à ou relativement à ou pour l'étude de la variation de ou de relativement à chacune des coordonnées de .
  12. La démarche serait la même le long de n'importe quelle courbe passant par .
  13. La démarche serait la même pour l'étude de la variation de ou de utilisant l'expression des différentielles respectives ou .
  14. On rappelle que cette notion sera introduite dans le paragraphe « gradient de champ scalaire » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. À un niveau plus élevé que on peut introduire la dérivée d'une grandeur vectorielle par rapport à un autre grandeur vectorielle et celle-ci possède effectivement neuf composantes ; elle est représentable par une matrice carrée par exemple :
    ...en représentation cartésienne [introduite au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »], avec et on définit l'ajout de parenthèses à la grandeur précisant qu'on adopte sa représentation matricielle] ;
    ...le produit de avec la matrice colonne (ou matrice [représentation matricielle du vecteur déplacement élémentaire défini dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et de composantes cartésiennes évaluées dans le même chapitre] donnant soit encore  ;
    ...les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point , le produit est aussi la représentation matricielle de la différentielle de la fonction vectorielle c'est-à-dire  ;
    ...ainsi l'étude de la variation de la fonction vectorielle revient à l'étude du signe des composantes de , ce qui est une façon plus compacte de résumer le problème (mais qui nécessite néanmoins, dans la pratique, l'étude de neuf fonctions).