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Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre on entendra par « espace », que l'on notera
, l'« ensemble des positions que peut occuper un solide de petite dimension assimilable à un point » ; cet espace est :
- « affine », c.-à-d. tel qu'on peut y définir le parallélisme et la notion de barycentre et
- « euclidien », c.-à-d. que la « direction de l'espace affine » [1] est un espace
[2] dans lequel on définit un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine
égale à la norme du vecteur associé au bipoint
et l'angle entre deux bipoints
se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints
.
Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]
Définition
Soit un point

de l'espace

, on définit un champ

ou une fonction

scalaire

de

selon :
«
» [3].
Définition d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points[modifier | modifier le wikicode]
Soit une base fixe de l'« espace physique » [4] notée
et appelée « cartésienne » ;
tout point
est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées
tel que,
étant un point fixe de
choisi comme origine du repérage,
.
Définition
Soit un point

de l'espace

de coordonnées

, on définit un champ

ou une fonction

scalaire

de

selon :
«
» [5].
Un champ
ou une fonction
scalaire de l'espace s'identifie à une fonction scalaire des trois coordonnées du point de l'espace.
Exemples de champ (ou fonction) scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]
- Pression atmosphérique ou température en tout point de l'espace ;
- énergies diverses : potentielle de pesanteur, cinétique, mécanique

Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]
Pour caractériser la variation du champ
ou d'une fonction
scalaire
de l'espace physique
, on peut introduire
Pour caractériser la variation du champ
ou d'une fonction
scalaire
le repérage du point générique
dans
en utilisant une base cartésienne
de l'espace vectoriel associé à
[6],
ayant alors pour coordonnées
, on en déduit que
Pour caractériser la variation le champ
ou la fonction
scalaire
s'identifie à la fonction scalaire des trois coordonnées de
,
, ces coordonnées étant indépendantes dans la mesure où
est libre dans
soit «
» ;
Pour caractériser la variation de
peut être déterminée :
Nous traiterons cette caractérisation sur un exemple : comment varie la température
dans l'espace
?
Supposons connu le champ scalaire
c.-à-d. égal à la fonction des coordonnées cartésiennes de
, nous nous proposons de connaître la variation de
relativement à
sans faire varier
et
[7], nous aurons alors les variations suivantes :
- «
quand
à
et
constants » si «
»,
- «
quand
à
et
constants » si «
» et
- «
reste stationnaire quand
varie à
et
constants » si «
».
L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une coordonnée à la fois.
Supposons connu le champ scalaire
c.-à-d. égal à la fonction des coordonnées cartésiennes de
, nous nous proposons de connaître la variation de
par exemple le long de la droite d'équations «
» [8] ;
pour cela nous évaluons
dans le contexte de la variation de
à savoir «
» à partir du point «
» soit
«
» ou, « en remplaçant
par
» pour satisfaire à la courbe suivie,
«
» expression permettant de déduire les variations de
le long de la droite d'équations «
» [8] à partir du point «
» :
- «
quand
le long de
» si «
» ou si «
»,
- «
quand
le long de
» si «
» ou si «
» et
- «
reste stationnaire quand
varie le long de
» si «
» ou si «
».
La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ scalaire de l'espace est donc de procéder par évaluation de sa différentielle mais
la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles ;
nous introduirons la notion de « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » dans le chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qui donnera une version plus compacte de ces deux méthodes dans le paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient ».
Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace[modifier | modifier le wikicode]
Définition
Soit un point

de l'espace

, on définit un champ

ou une fonction

vectoriel(le)

de

selon :
«
» [3], où «
est un espace
» [9].
Définition d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points[modifier | modifier le wikicode]
Soit une base fixe de l'« espace physique » [4] notée
et appelée « cartésienne » ;
tout point
est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées
tel que,
étant un point fixe de
choisi comme origine du repérage,
.
Définition
Soit un point

de l'espace

de coordonnées

, on définit un champ

ou une fonction

vectoriel(le)

de

selon
«
» [5],
étant l'« espace vectoriel image » ; usuellement

permet de définir les composantes de

dans la même base cartésienne selon
«
», la définition du champ

ou fonction

vectoriel(le) de l'espace étant alors équivalente à la définition des trois champs

ou fonctions

scalaires de l'espace correspondant à ses composantes
«
» [5].
Un champ
ou une fonction
vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace correspondant aux trois composantes du champ
ou fonction
vectoriel(le) [10].
Exemples de champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace[modifier | modifier le wikicode]
- Champ de pesanteur en tout point de l'espace ou autres champs, électrique, magnétique

- vecteur position du point
de l'espace
, vecteur vitesse, vecteur accélération 
Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace[modifier | modifier le wikicode]
Pour caractériser la variation du champ
ou fonction
vectoriel(le)
de l'espace physique
on peut introduire
Pour caractériser la variation du champ
ou fonction
vectoriel(le)
le repérage du point générique
dans
en définissant une base cartésienne
de l'espace vectoriel associé à
[6],
ayant alors pour coordonnées
, on en déduit que
Pour caractériser la variation le champ
ou la fonction
vectoriel(le)
s'identifie aux trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point de l'espace correspondant aux trois composantes du champ
ou fonction
vectoriel(le), ces coordonnées
étant indépendantes dans la mesure où
est libre dans
soit «
» ;
Pour caractériser la variation du champ
ou fonction
vectoriel(le)
de l'espace physique
, peut être déterminée en étudiant séparément les variations des trois champs
ou fonctions
scalaires s'identifiant aux trois composantes cartésiennes de
à savoir les variations de
, par la méthode des dérivées partielles ou celle de la différentielle
Écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : Les quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire vue au chap.
dans le paragraphe « règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » restent applicables pour le calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle.
Comme «
» avec «
base cartésienne de l'espace vectoriel associé à
» [6], sa différenciation
compte-tenu du fait que les vecteurs de base sont constants
conduit à
«
» ou encore
Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]
Une base cartésienne
étant choisie, la variation de la fonction vectorielle
à partir d'un point
de l'espace
revient à l'étude de
Une base cartésienne
étant choisie, la variation de chaque composante cartésienne de
, à savoir
,
et
en fonction de chacune des coordonnées de
, à savoir
,
et
,
Une base cartésienne
étant choisie, c.-à-d. l'étude du signe des neuf dérivées partielles des composantes cartésiennes de
;
par exemple l'étude de la variation de
à partir de
relativement à
est la suivante [11] :
- «
quand
à
et
restant figés » si «
est
»,
- «
quand
à
et
restant figés » si «
est
» et
- «
reste stationnaire quand
varie à
et
restant figés » si «
est
».
Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude de la différentielle de ses composantes cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]
Une base cartésienne
étant choisie, la variation de la fonction vectorielle
à partir d'un point
de l'espace
peut être faite par l'étude de
Une base cartésienne
étant choisie, la variation de la différentielle de chaque composante cartésienne de
, à savoir les différentielles
,
et
explicitées en fonction des coordonnées de
,
Une base cartésienne
étant choisie, c.-à-d. par l'étude du signe des trois différentielles des composantes cartésiennes de
;
par exemple l'étude de la variation de
à partir de
le long de la droite d'équations «
» [8], [12] utilisant l'expression de la différentielle de
à savoir
«
» par exemple l'étude de la variation de
à partir de
le long de la droite d'équations «
» est la suivante [13] :
pour cela nous évaluons
dans le contexte de la variation de
à savoir «
» à partir du point «
» soit
«
» ou, « en remplaçant
par
» pour satisfaire à la courbe suivie,
«
» expression permettant de déduire les variations de
le long de la droite d'équations «
» [8] à partir du point «
» :
- «
quand
le long de
» si «
» ou si «
»,
- «
quand
le long de
» si «
» ou si «
» et
- «
reste stationnaire quand
varie le long de
» si «
» ou si «
».
La méthode la plus complète pour déterminer la variation d'un champ vectoriel de l'espace est donc de procéder par évaluation de la différentielle de ses composantes cartésiennes mais
la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes ;
existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte comme l'est celle de « gradient » pour un champ scalaire [14] ?
Pour cela, cette grandeur devrait avoir neuf composantes traduisant les variations des trois composantes suivant les trois dimensions et devrait posséder un « caractère de dérivation », au niveau de ce chapitre la réponse est donc « non » [15].
- ↑ Représentant l'espace vectoriel auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'espace affine.
- ↑ Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisantes, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un espace vectoriel.
- ↑ 3,0 et 3,1 Ou à un sous-ensemble de
, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
- ↑ 4,0 et 4,1 Plus exactement de l'espace vectoriel associé à l'espace affine
encore appelé « direction de l'espace affine »
.
- ↑ 5,0 5,1 et 5,2 Ou à un sous-ensemble de
, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
- ↑ 6,0 6,1 et 6,2 Espace vectoriel encore appelé « direction de l'espace affine euclidien »
.
- ↑ La démarche serait la même pour déterminer la variation de
relativement à
sans faire varier
et
ou pour déterminer la variation de
relativement à
sans faire varier
et
.
- ↑ 8,0 8,1 8,2 et 8,3 Nous verrons ultérieurement dans le paragraphe « repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'une équation cartésienne caractérisant une surface, la caractérisation d'une courbe nécessite deux équations cartésiennes, dans l'exemple cité
est l'équation du plan horizontal de cote
et
celle du plan vertical passant par le point
, la courbe étant donc la droite horizontale intersection des deux plans.
- ↑ De dimension maximale trois.
- ↑ Usuellement on n'introduit pas les coordonnées du point en définissant les composantes mais on écrit «
».
- ↑ La démarche serait la même pour l'étude de la variation de
à partir de
relativement à
ou relativement à
ou pour l'étude de la variation de
ou de
relativement à chacune des coordonnées de
.
- ↑ La démarche serait la même le long de n'importe quelle courbe passant par
.
- ↑ La démarche serait la même pour l'étude de la variation de
ou de
utilisant l'expression des différentielles respectives «
» ou
«
».
- ↑ On rappelle que cette notion sera introduite dans le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ À un niveau plus élevé que
on peut introduire la dérivée d'une grandeur vectorielle par rapport à un autre grandeur vectorielle et celle-ci possède effectivement neuf composantes ; elle est représentable par une matrice carrée
voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
par exemple :
en représentation cartésienne
voir le paragraphe « choix d'un repère cartésien » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
, avec «
» et «
» on définit «
»
l'ajout de crochets à la grandeur
précisant qu'on adopte sa représentation matricielle
;
le produit de
avec la matrice colonne
ou matrice
représentation matricielle déduite des paragraphes « définition intrinsèque (du vecteur déplacement élémentaire) » et « composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour la définition d'un produit matriciel voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »
donnant «
» soit encore «
» ;
les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point
, « le produit
est aussi la représentation matricielle de la différentielle de la fonction vectorielle
» c.-à-d. «
» ;
ainsi « l'étude de la variation de la fonction vectorielle
revient à l'étude du signe des composantes de
», ce qui est une façon plus compacte de résumer le problème
mais qui nécessite néanmoins, dans la pratique, l'étude de neuf fonctions
.