Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent

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Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent
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Chapitre no 19
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Intégrales généralisées (ou impropres)
Chap. suiv. :Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
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L'espace physique considéré dans ce chapitre étant sauf avis contraire « orienté à droite » [1].

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Appelons « les composantes cartésiennes de »,

  • d'une part sa définition «» se réécrit «» et
  • d'autre part la différentielle de s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «»,

     des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «» d'où :

Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Appelons « les composantes cylindro-polaires de »,

  • d'une part sa définition «» se réécrit «» et
  • d'autre part la différentielle de s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «»,

     des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «» d'où :

Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Appelons « les composantes sphériques de »,

  • d'une part sa définition «» se réécrit «» et
  • d'autre part la différentielle de s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «»,

     des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «»   d'où :

Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient[modifier | modifier le wikicode]

     « traduit comment varie la grandeur dans l'espace », par exemple :

  • « si est un champ uniforme à et de même sens », c.-à-d. si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, « s'écrit selon », cela signifiera
    que « ne varie pas avec et » [9] ou « ne varie pas avec et » [9], et
    que « quand », cette croissance étant uniforme ;
  • variation de la températurede l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
    variation de la température il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical ascendant choisi comme axe , nous en déduisons que ne dépend pas de ,
    variation de la température l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, quand et
    variation de la température il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude » [10] ;
    variation de la température nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite, gradient « radial plus précisément “axipète[11] » ;
  • variation de la pressiond'un lac :
    variation de la pression d'une part il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant et , nous en déduisons que ne dépend pas de et de , et
    variation de la pression d'autre part quand la profondeur l'axe vertical étant orienté dans le sens descendant et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac ;
    variation de la pression nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac, gradient « vertical plus précisément descendant ».

Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U[modifier | modifier le wikicode]

     « Une surface iso-U est une surface où » ; elle est caractérisée par lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de à partir d'un point de cette surface en restant sur celle-ci [12] ;
     « Une surface iso-U de «» en choisissant un déplacement élémentaire tel que on en déduit «» ou
     « Une surface iso-U « est à tous les de la surface construits à partir de » soit finalement

« est à la surface passant par » [13] ;

     dans les exemples considérés au paragraphe précédent :

  • « est radial plus précisément “axipète” » et « les isothermes [14] sont des tuyaux cylindriques de révolution » [15] d'où « la perpendicularité » ;
  • « est vertical plus précisément descendant » et « les isobares [16] sont des plans horizontaux » [17] d'où « la perpendicularité ».

Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” noté «» est, en repérage cartésien, construit à partir des vecteurs de base cartésienne et des opérateurs scalaires du 1er ordre “dérivations partielles relativement à chacune des coordonnées cartésiennes” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, sa définition s'écrivant

«».

Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace on obtient l'image « » identifiable à «» ;

     en conclusion on peut écrire l'application suivante

«» [18]
« est une fonction scalaire différentiable de l'espace ».

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace » à savoir

«» et

     y substituant l'expression équivalente «» [18] utilisant l'opérateur “nabla” on obtient

«» ou,

     la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative [19],

«» soit encore,

     en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace » à savoir « et » selon

«» ;

     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut proposer, comme définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” :

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” [21] « opérateur linéaire » tel que «» et,
     en l'appliquant à une fonction scalaire de l'espace, «», puis,
     en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire,

« » [22] ou
         «»,

           ainsi que la différentielle de dans le même repérage cylindro-polaire,

«» ou
«»

     dont on déduit l'opérateur différenciation «» en repérage cylindro-polaire

«» soit,

     en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels , et , on obtient

«» «» d'où

     la définition équivalente suivante de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire

«» [23].

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” [21] « opérateur linéaire » tel que «» et,
     en l'appliquant à une fonction scalaire de l'espace, «», puis,
     en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique,

« » [22] ou
         «»,

           ainsi que la différentielle de dans le même repérage sphérique,

«» ou
«»

     dont on déduit l'opérateur différenciation «» en repérage sphérique

«» soit,

     en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels , et , on obtient

«» «» d'où

     la définition équivalente suivante de l'opérateur “nabla” en sphérique

«» [24].

En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...”[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» est construit à partir

  • de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” et
  • de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »,

     avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle dans le cas d'une représentation locale [25], on se place en repérage « cylindro-polaire » [26] dans lequel
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle «» est composé des trois composantes et des deux 1ers vecteurs de base dépendant des coordonnées de , dépendance qui entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle l'image de par est alors défini comme le scalaire

«» où,
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [27] on trouve, après développement,
neuf termes de l'un des trois types suivants «» [28]
que l'on évalue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire selon
«» [29],
«» [29] ou
«[30]» [31], [32].

     Finalement on trouve, pour l'image de par l'opérateur du 1er ordre «» dans le repérage cylindro-polaire,

«» [33].

Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire...” de cette fonction vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” à la fonction vectorielle de l'espace on obtient l'« image » définissant « le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle » noté «» [34] ;

     en conclusion le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » résulte de l'application suivante

«» où
est une fonction vectorielle différentiable de l'espace.

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     En cartésien «», ce qui donne,
     En cartésien en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles et
     En cartésien en utilisant, d'une part que les vecteurs de base cartésienne sont constants, d'autre part qu'ils forment une base orthonormée :

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     En sphérique «», soit,
     En sphérique en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, puis
     En sphérique en utilisant les expressions des dérivées partielles des vecteurs de base sphérique déterminées au paragraphe « complément : différentielle des vecteurs de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. , , et
     En sphérique en utilisant le caractère orthonormé de la base sphérique,

«» avec :

[36].

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     La divergence du champ vectoriel noté «» est le « champ scalaire défini en » égal « au quotient du flux élémentaire de à travers une surface élémentaire fermée entourant sur le volume élémentaire mesurant l'intérieur de » [38] soit

«»     ou     «» [39]
où « est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée entourant »
                                                                 et orienté vers l'extérieur, l'intérieur de cette surface étant de volume .

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...”[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle par l'opérateur linéaire du 1er ordre » dans tous les « repérages précédemment introduits » [40], [41], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de » [42].

Justification en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     Pour cela « on considère, à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur suivant , suivant et suivant », « la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées du parallélépipède [43], soit «», avec «» [44], «» [45] et «» [46] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[47] soit

     en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «» puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de par définition intrinsèque

«» dans lequel
                                                  «»
                    d'où «» définissant toutes deux «»
                          « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur » C.Q.F.D. [48].
Justification en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de dans ce repérage ;

     « on considère donc à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'un tuyau cylindrique d'axe d'épaisseur suivant , d'ouverture angulaire suivant et de hauteur suivant », « la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;

     on évalue alors le « flux élémentaire à travers du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de [49], soit «», avec «» [50], «» [51] et «» [52] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes, en faisant apparaître l'élément de volume commun «» dans les deux 1ers termes et en le mettant en facteur dans la somme puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de par définition intrinsèque

«» dans lequel
                                                  «»
                    d'où «» définissant toutes deux «»
                          « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur » C.Q.F.D. [48].
Justification en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante mais aussi plus délicate de déterminer l'expression de dans ce repérage, elle est surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux «» ; nous allons donc chercher à retrouver l'expression de pour un champ vectoriel radial [54] en utilisant la définition intrinsèque du champ scalaire divergence ;

     « on considère ici à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une couche sphérique de centre d'épaisseur suivant , d'ouverture de colatitude suivant et d'ouverture de longitude suivant », « la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;

     on évalue alors le « flux élémentaire à travers du champ vectoriel radial , noté », en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de [55] et en constatant que

  • les deux flux à travers les portions de méridiens de longitudes et sont nuls vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement et et champ vectoriel suivant et
    les deux flux à travers les portions tronconiques de colatitudes et le sont aussi vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement et et champ vectoriel ,
  • seuls les flux à travers les portions de sphère de rayons et ne l'étant pas,

     d'où le « flux élémentaire à travers