Leçons de niveau 14

Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes

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Lois de composition internes, monoïdes
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Exercices no1
Leçon : Monoïde
Chapitre du cours : Définition d’un monoïde

Exercices de niveau 14.

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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit une loi de composition interne dans un ensemble E. On appelle neutre à gauche pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E, On appelle neutre à droite pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E,

a) Prouver que si la loi admet un neutre à gauche et un neutre à droite, elle admet un élément neutre et que cet élément neutre est l'unique neutre à gauche et l'unique neutre à droite.

b) Donner un exemple de loi de composition interne associative qui admet plusieurs neutres à gauche et n'admet aucun neutre à droite.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient M un monoïde, noté multiplicativement, et x un élément de M. On dit qu'un élément x' de M est un symétrique à gauche de x si x' x = 1. (Définition analogue pour un symétrique à droite.) Prouver que si tout élément de M admet un symétrique à gauche, tout élément de M admet un symétrique (ce qui fait de M un groupe). Indication : pour un élément donné x de M, considérer un symétrique à gauche d'un symétrique à gauche de x.

Problème 3 (généralisation du problème 2)[modifier | modifier le wikicode]

Soit un magma associatif dont la loi est notée multiplicativement. On suppose que admet un élément neutre à gauche (resp. à droite) tel que :

(resp. ).

Montrer que est élément neutre de et que tout élément de admet un symétrique.

Remarque : ceci implique que le magma est un groupe.