Mathématiques en terminale générale/Devoir/Suites, barycentre et produit scalaire

Le programme français relatif à cette page a fait l'objet d'une réforme importante en 2019. Sa structure ne répond plus aux attendus de l'Éducation nationale française (source).

Vous êtes invité(e) à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

— Ⅰ —

$(u_{n})$ est la suite définie par :

${\begin{cases}u_{0}=0\\u_{n}=u_{n-1}+n(-1)^{n+1}\end{cases}}$

pour tout naturel n non nul.

On définit alors les suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ respectivement par :

${\begin{cases}v_{n}=u_{2n}\\w_{n}=u_{2n+1}\end{cases}}$

pour tout naturel n.

1°  Prouvez que $(v_{n})$ et $(w_{n})$ sont des suites arithmétiques et que $(u_{n})$ n'est pas arithmétique.

Exprimez $(v_{n})$ et $(w_{n})$ en fonction de n.

2°  Exprimez $(u_{2n-1})$ en fonction de $(u_{2n})$

3°  On note (E) l'ensemble des points $A_{n}$ dont les coordonnées dans un repère orthonormal choisi sont $(n;\,u_{n}),\,n\in \mathbb {N}$.

a)  Montrez que (E) est inclus dans la réunion de deux droites d et d'.

Donnez les équations de d et d'.

b)  Déterminez l’ensemble ${\mathcal {C}}$ des points $M$ du plan tels que :

$({\vec {MA_{0}}}+{\vec {MA_{1}}}+{\vec {MA_{2}}}).({\vec {MA_{3}}}+{\vec {MA_{4}}}+{\vec {MA_{5}}})=0$.

— Ⅱ —

$f$ est la fonction définie par :

$f(x)={\frac {1}{4}}(1-(2x+1)\cos \pi x)$

et ${\mathcal {C}}'$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormal choisi au 3° de la première partie.

1°  Montrez que l’ensemble (E) est inclus dans ${\mathcal {C}}'$.

Quel est, en tout point $A_{n}$ de (E), la tangente à ${\mathcal {C}}'$ ?

2°  Montrez que pour tout réel $x\geqslant 0,\,-{\frac {1}{2}}x\leqslant f(x)\leqslant {\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}$.

Interprétez graphiquement ce résultat.

Corrigé

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