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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, intégrales et suites

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Le programme français relatif à cette page a fait l'objet d'une réforme importante en 2019. Sa structure ne répond plus aux attendus de l'Éducation nationale française (source).
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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, intégrales et suites
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est la fonction définie par :


— Ⅰ —

 a)  Prouvez que est définie sur l'intervalle .

b)  Étudiez la limite de en 0.
c)  Étudiez la limite de en .

 Étudiez le sens de variation de , puis tracez sa courbe dans un repère orthonormal (unité graphique : 3 cm).

  est un réel strictement positif.

Calculez , puis .


— Ⅱ —

Dans cette partie, est un réel strictement positif.

 Montrez que :

 Montrez que :

,
et déduisez-en que :
.


— Ⅲ —

 Montrez qu'il existe deux réels et tels que pour tout réel  :

.

 Pour tout naturel , on pose :

.
a)  En utilisant la question , simplifiez l'expression de .
b)  Montrez que la suite est convergente et précisez sa limite.

 a)  Montrer que :

b)  Trouvez la limite de la suite définie par :

  est la suite définie par :

.
a)  Vérifier que :
b)  Déduisez-en que est convergente et précisez sa limite.