Le programme français relatif à cette page a fait l'objet d'une réforme importante en 2019. Sa structure ne répond plus aux attendus de l'Éducation nationale française (source).
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— Ⅰ —
est la fonction définie sur l'intervalle par :
1° Étudiez la fonction .
2° Déduisez-en que pour tout réel ,
3° est la fonction définie sur par
.
a) Calculez et déduisez-en une primitive de sur .
b) Calculez l'aire du domaine limité par la courbe représentant , l'axe des abscisses, et les droites d'équations .
4° Pour tout naturel , on pose :
.
Montrez que pour tout ,
— Ⅱ —
1° Montrez que pour tout
2° On donne réels strictement positifs .
Montrer que :
.
3° Montrez que l'intégrale est équivalente à :
— Ⅲ —
et sont les suites respectivement définies par :
.
1° Montrez que les suites et sont croissantes, convergentes, et que leurs limites respectives sont 1 et e.
Déduisez-en que pour tout naturel .
2° En utilisant les inégalités et montrez que :
pour tout .
3° Calculez l'intégrale :
.
4° Montrez que pour tout , puis déduisez-en que est convergente et donnez sa limite.
Corrigé
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