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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales

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Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales
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Devoir no6
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Logarithme et fonction définie par une intégrale
Dev suiv. :Sommaire
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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales
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— Ⅰ —

est la fonction définie sur l'intervalle par :

 Étudiez la fonction .

 Déduisez-en que pour tout réel ,

  est la fonction définie sur par

.
a)  Calculez et déduisez-en une primitive de sur .
b)  Calculez l'aire du domaine limité par la courbe représentant , l'axe des abscisses, et les droites d'équations .

 Pour tout naturel , on pose :

.
Montrez que pour tout ,


— Ⅱ —

 Montrez que pour tout

 On donne réels strictement positifs .

Montrer que :
.

 Montrez que l'intégrale est équivalente à :


— Ⅲ —

et sont les suites respectivement définies par :

.

 Montrez que les suites et sont croissantes, convergentes, et que leurs limites respectives sont 1 et e.

Déduisez-en que pour tout naturel .

 En utilisant les inégalités et montrez que :

pour tout .

 Calculez l'intégrale :

.

 Montrez que pour tout , puis déduisez-en que est convergente et donnez sa limite.