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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales

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Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales
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Devoir no18
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Logarithmes, calcul d'aire et complexes
Dev suiv. :Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes
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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales
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— Ⅰ —

 Justifiez le résultat suivant :

.

 

a)  Déduisez-en que:
.
b)  Étudiez la limite en de la fonction .


— Ⅱ —

Pour tout naturel , on note la fonction définie sur par .

 a)  Étudiez le sens de variation de .

b)  Prouvez que selon la parité de , l'équation , ou bien a une solution et une seule dans , ou bien n'a pas de solution.

 Montrez que, sauf pour certaines valeurs particulières de , les courbes représentatives des fonctions ont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points.


— Ⅲ —

On note la restriction de à l'intervalle .

Ainsi, pour tout de

On note la courbe représentative de relativement à un repère orthonormal .

 Montrez que, sauf pour une valeur de possède un maximum

 Tracez dans le repère . Donnez l'allure de pour .

Placez par rapport à (position relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs du maximum).

 Calculez successivement :

a)  .
b)  .
c)  .
Pouvait-on prévoir ce dernier résultat à partit d'un encadrement de  ?

 Pour tout de et pour tout naturel , on pose :

et .
a)  Calculez , puis :
b)  Exprimer en fonction de .
Déduisez-en la valeur de la somme :
.
Calculez .
c)  Comparez et .