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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales, exponentielles et produit scalaire

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Intégrales, exponentielles et produit scalaire
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Devoir no14
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales
Dev suiv. :Exponentielles, approximations et intégrales
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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales, exponentielles et produit scalaire
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  est la fonction définie sur par .

Montrez que

 Pour tout réel , on considère la fonction , définie sur par :

.
E est l'ensemble des couples de réels tels que :
.
a)  Prouvez que E n'est pas vide.
b)  Démontrez qu'un couple appartient à E si et seulement si
Écrivez cette condition sous la forme :
[1]
et étant des réels que vous calculerez. (On rappelle que .)
c)  Par des considérations sur les aires, montrez que lorsque appartient à E, la fonction ne garde pas un signe constant;
déduisez-en que l’un au moins des deux réels ou appartient à .

 On considère un repère orthonormal et on désigne par le point de coordonnées . Il est conseillé de faire des figures pour traiter cette question.

a)  Démontrez, en utilisant l'égalité [1], qu'il existe deux points du plan, et , tels que : appartient à E si et seulement si .
b)  Vérifier que appartient à E si et seulement si le cercle de diamètre passe par et .
c)  Calculez, à l'aide d'une remarque géométrique simple, le minimum de quand décrit E.
d)  Déduisez du 3°b), par une interprétation géométrique de 2°c), que et appartiennent au disque de diamètre .