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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, approximations et intégrales

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Exponentielles, approximations et intégrales
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Devoir no15
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Intégrales, exponentielles et produit scalaire
Dev suiv. :Exponentielles, intégrales et suites
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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, approximations et intégrales
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— Ⅰ —

est une fonction dérivable sur et positive.

est la primitive de sur telle que .

 Montrez que est positive sur .

 En utilisant plusieurs fois la question précédente, et sachant que pour tout réel , montrez -que :

pour tout réel


— Ⅱ —

est la fonction définie sur par :

.

 Étudiez la fonction .

 Déduisez de cette étude que l'équation a une solution et une seule, noté . Donnez une valeur approchée de à 10-2 près.

 L'unité de longueur choisie est cm; tracez la courbe représentative de dans un repère orthonormal.

Précisez, s'il y a lieu, les tangentes horizontales.

  est un réel strictement positif.

On note D le domaine limité par la droite d'équation , la courbe , les droites d'équations , et .
On note l'aire, en cm2, du domaine D.
a)  Montrez que :
.
b)  On veut savoir s'il est possible de choisir de façon à obtenir .
  • Sans calculer l'intégrale, montrez que :
lorsque
lorsque .
  • De ces inégalités, déduisez que cm2 est impossible.


— Ⅲ —

  et désignent respectivement les dérivées première et seconde de .

Vérifiez que pour tout réel  :
.

 On note la primitive sur de qui s'annule pour .

Donnez la valeur explicite de pour tout réel .

 Écrivez sous forme d'intégrale.

Retrouvez le résultat de la question précédente en calculant cette intégrale.