Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Examen/Bac S math France 2007

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Baccalauréat série S
Image logo représentative de la faculté
Cours : Mathématiques en terminale S
Date : juin 2007
Lieu : France
Épreuve : Mathématiques
Durée : 4 heures

Examen de niveau 13.

Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Examen : Baccalauréat série S
Mathématiques en terminale S/Examen/Bac S math France 2007
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Sujet[modifier | modifier le wikicode]

Pour télécharger le sujet de cette épreuve, cliquer sur ce lien.

Corrigé des exercices 1, 2 et 5[modifier | modifier le wikicode]

Pour un corrigé de tous les exercices, cliquer sur ce lien.

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Voir Produit scalaire dans l'espace/Exercices/Exercices#Exercice 2.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Question 1[modifier | modifier le wikicode]

Voir Intégration (mathématiques)/Intégrale et primitives#Intégration par parties.

Question 2[modifier | modifier le wikicode]

a[modifier | modifier le wikicode]

On va intégrer par parties de deux façons.

On choisit d'abord de poser sur l'intervalle les fonctions et telles que :

  • , de primitive (par exemple)  ;
  • , de dérivée .

Les fonctions et sont bien dérivables à dérivée continue sur l'intervalle . On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :

De même, en posant :

  • , de primitive (par exemple)  ;
  • , de dérivée ,

on obtient :

b[modifier | modifier le wikicode]

donc et .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C[modifier | modifier le wikicode]

Question 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient définies par

et .

Alors (pour tout )

et donc
Question 2[modifier | modifier le wikicode]
  • est strictement croissante sur  ;
  • est strictement croissante sur  ;
  • La somme de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.

Donc est strictement croissante sur .

.

Par conséquent, est strictement négative sur et strictement positive sur . Puisque est du même signe, on en déduit le tableaux de variations suivant pour  :

Question 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

L'unique point d'intersection de et est donc l'origine du repère : .

Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction f[modifier | modifier le wikicode]

Question 1[modifier | modifier le wikicode]

est croissante sur donc

.
Question 2[modifier | modifier le wikicode]
a[modifier | modifier le wikicode]
Bac S 2007 Métropole Mathématiques Spécialité - Annexe 2.png
b[modifier | modifier le wikicode]

Montrons par récurrence que pour tout , .

  • Initialisation : .
  • Hérédité : soit tel que . Alors, d'après la question B.1, .

Le principe de récurrence permet de conclure.

c[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout , car .

La suite est donc décroissante.

d[modifier | modifier le wikicode]

Puisque est décroissante et minorée (par ), elle converge.

e[modifier | modifier le wikicode]

Puisque la suite est récurrente de la forme avec continue,

sa limite est un réel tel que ,

c'est-à-dire (d'après la question A.3) : .