Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Trigonométrie et dérivation

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Trigonométrie et dérivation
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Devoir no1
Cours : Mathématiques en terminale S

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Sommaire
Dev suiv. :Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Trigonométrie et dérivation
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— Ⅰ —

est la fonction définie sur par :

.

est sa courbe représentative dans un repère

 Vérifier que est paire.

 Montrez que .

 Montrez que est dérivable sur mais que n'est pas dérivable en 0.

 Trouvez les points de situés sur les droites d'équations et . Déterminez les tangentes à en ces points.

 Trouvez graphiquement les solutions de l'équation . Déduisez-en les points en lesquels admet un extremum local.

 Donnez l'allure de .


— Ⅱ —

est la fonction définie sur par :

.

est sa courbe représentative dans un repère

 Vérifier que est impaire.

 Montrez que est dérivable en tout point , calculez alors , puis montrez que est dérivable en 0.

 Trouvez les points de situés sur les paraboles d'équations et , et déterminez les tangentes à en ces points.


— Ⅲ —

Le but de cette question est d'exhiber une fonction dérivable dont le nombre dérivée en zéro est strictement positif, et telle qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel elle est croissante.

  est la fonction définie sur par :

.
Calculer lorsque , et montrez que est dérivable en zéro; calculez .

 Calculez pour tout naturel .

Déduisez-en qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel est croissante.