Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Suites récurrentes d'ordre 2

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Suites récurrentes d'ordre 2
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Devoir no11
Cours : Mathématiques en terminale S

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Logarithmes, exponentielles et suites définies par récurrence
Dev suiv. :Suites, barycentre et produit scalaire
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Suites récurrentes d'ordre 2
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L'abeille femelle a un père et une mère tandis que l'abeille mâle a une mère mais pas de père. On souhaite connaître le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle , présents à la nième génération la précédant.

Le schéma ci-dessous montre le calcul de .

Fibo.png

 Vérifier les résultats obtenus ci-dessus.

 Notons le nombre d'ancêtres femelles et le nombre d’ancêtres mâle à la nième génération qui nous intéresse.

Vérifier que pour tout naturel n :

 Déduisez-en que pour tout naturel n :

La suite est donc déterminée par :

 On note (E) l'ensemble des suites définies par la donnée de , de , et de la relation pour tout naturel n.

a)  On cherche s'il existe des suites géométriques appartement à (E).
Vérifier que les propositions (P1) et (P2) sont équivalentes :
  • (P1) : appartient à (E).
  • (P2) : est une solution de l'équation .
b)  Déduisez-en qu'il existe deux suites géométriques, et deux seulement, qui appartiennent à (E).
On notera et ces deux suites. Précisez la valeur de et celle de .
c)  La suite qui nous intéresse, appartient à (E). On cherche à écrire, pour tout naturel n,
,
et étant deux nombres fixes indépendants de n.
Montrez qu'il existe deux nombres et , et seulement deux, tels que :
.
Déduisez-en que pour tout naturel n :
d)  Montrez que pour tout naturel n :
e)  Montrez que pour tout naturel n :
,
L'entier prenant toutes les valeurs impaires comprises entre et ( impair, ).

 Calculez et .