Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Polynômes, logarithmes, intégrales et suites

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Polynômes, logarithmes, intégrales et suites
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Devoir no20
Cours : Mathématiques en terminale S

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes
Dev suiv. :Sommaire
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 Pour tout naturel , on note la fonction polynôme définie sur par :

.
a)  Montrez que pour tout réel .
b)  Déduisez-en que pour tout réel :
c)  Déduire de la question précédente, par intégration, que pour tout  :
[A]
où l'on a posé

 On note la fonction définie sur par et lorsque .

a)  Montrez que pour tout réel , et déduisez-en que pour tout dans .
b)  Montrez que pour tout naturel non nul,
,
et déduisez-en que
c)  Montrez que
Retrouvez ce résultat en utilisant une primitive de .
(Il est inutile de calculer .)

 a)  Montrez que pour tout dans ,

,
puis déduisez-en que .
b)  En utilisant la relation [A] de la première question, montrez que pour tout dans ,
.
c)  Par intégration, montrez que :
[B],
dans laquelle on a posé :
.
d)  Montrez que pour tout naturel et tout dans ,
Déduisez-en que pour tout , tout dans ,
.
e)  Montrez que , et donc que .
f)  Calculez , puis déduisez-en que que :
.

 a)  En regroupant convenablement les termes de la somme :

,
Montrez que pour tout :
.
b)  Déduisez-en un encadrement de .