Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances

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Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances
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Devoir no9
Cours : Mathématiques en terminale S

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Logarithmes, suites et intégrales
Dev suiv. :Logarithmes, exponentielles et suites définies par récurrence
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances
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 On note et les fonctions définies sur par :

a)  Démontrez que est paire, que est impaire, puis que :
.
b)  Étudiez chacune de ce fonctions et tracez leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.
De cette étude, déduisez-en que :
- pour tout et ;
- pour tout et ;
- pour tout réel et .
Précisez les tangentes aux points d'abscisse zéro.
c)  On note la fonction définie par :
.
Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Déduisez de cette étude que :
- pour tout réel ;
- pour tout réel et .

 On note la fonction définie par :

a)  Quel est l'ensemble de définition de  ? Démontrer que est impaire.
b)  Démontrer que pour tout ; déduisez-en que pour tout .
c)  On étudie la limite en zéro de la fonction ; observez que pour tout non nul, on peut écrire étant une fonction à préciser.
Expliquez alors pourquoi a une limite en zéro. Quelle est-elle ?

On pose alors . Dans toute la suite, désignera la fonction ainsi prolongée sur tout .

d)   est un réel strictement positif.
Appliquez les inégalités des accroissements finis à la fonction avec les réels et . (La fonction a été définie en c))
Démontrez que pour tout réel .
Déduisez-en que pour tout réel .

 On considère la fonction définie sur par:

a)  Vérifier que pour tout réel
Démontrez que :
- pour tout réel et ;
- pour tout réel .
Calculez et , et démontrez que la fonction n'est ni paire, ni impaire.
b)  Démontrez que :
- pour tout réel ;
- pour tout réel .
c)  Déduisez de ces inégalités que :

et .

 En utilisant la définition d'un nombre dérivé, montrez que est dérivable en zéro et que .

Montrez que pour non nul, .