Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Logarithme et fonction définie par une intégrale

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Logarithme et fonction définie par une intégrale
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Devoir no5
Cours : Mathématiques en terminale S

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Équations fonctionnelles, dérivation et suites
Dev suiv. :Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Logarithme et fonction définie par une intégrale
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— Ⅰ —

est la fonction définie par : .

 Montrez que est définie sur l'intervalle et que .

 Étudiez la fonction , tracez la courbe représentant dans un repère orthonormal. Précisez la tangente à la courbe au point O, origine du repère.


— Ⅱ —

Le but de cette partie est d'étudier la primitive de sur qui s'annule en 1. On note cette primitive.

 Écrivez sous forme d'une intégrale.

 Déterminez le signe de selon les valeurs de .

 Étudiez le sens de variation de .

 Étudiez la limite de en zéro.

a)  Justifiez que
b)  Justifiez le résultat suivant : pour tout de .
c)  Déduisez-en un encadrement de sur .
d)  Montrez alors que est compris entre et .

 Étude de la limite de en .

Montrez que pour tout , et déduisez-en la limite de en .

 Le bur de cette question est d'encadrer la fonction par deux fonctions usuelles sur

a)  Calculez lorsque .
Montrez que pour tout .
Déduisez-en que pour tout .
b)  Calculez lorsque .
Montrez que pour tout .
c)  On note l'amplitude de cet encadrement de .
Étudiez les variations de et commentez.