Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Intégrales et bijections

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Intégrales et bijections
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Devoir no7
Cours : Mathématiques en terminale S

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales
Dev suiv. :Logarithmes, suites et intégrales
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Intégrales et bijections
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est la fonction définie sur par :

Le but du problème est l'étude de la primitive de sur qui s'annule en zéro.

On notera cette primitive.


— Ⅰ —

 Étudier la fonction et représentez-la graphiquement dans un repère orthonormal .

 Écrivez sous forme d'une intégrale.

Quel est le sens de variation de  ? est-elle paire ? impaire ?
Justifier vos réponses.

 a)  Vérifier que pour tout réel de l'intervalle ,

,
et déduisez-en que pour tout réel ,
b)  Montrez que :
et que pour tout réel .
c)  Montrer que pour tout réel .
d)  On admet le théorème suivant : toute fonction croissante et majorée sur un intervalle I, a une limite finie ou infinie aux extrémité de I.
En utilisant ce théorème, vérifiez que a une limite en .
Que pouvez-vous dire de cette limite ?


— Ⅱ —

 a)  Montrez que la fonction tangente restreinte à est une bijection de sur . On note cette restriction et la bijection réciproque.

b)  On pose .
Prouvez que est dérivable sur et calculez .
Déduisez-en qu'il existe un nombre tel que :
Pour tout de .
c)  Calculez et déduisez-en la valeur de .
d)  Déduisez de cette étude que pour tout de ,
puis que pour tout de .
Précisez alors la limite de en .

 Tracez la représentation graphique de et celle de dans le même repère orthonormal.