Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites

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Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites
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Devoir no2
Cours : Mathématiques en terminale S

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Trigonométrie et dérivation
Dev suiv. :Logarithmes, intégrales et suites
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites
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On note la fonction définie sur par , et pour tout réel , on note la fonction définie sur par lorsque et .

On note avec , la courbe représentant dans un repère orthonormal choisi (unité graphique de longueur : 5 cm).

— Ⅰ —

 Étudiez les fonctions et , puis tracez et après avoir précisé la position de par rapport à .

 a)  On suppose et . Montrez que :

et que est dérivable en zéro lorsque .
Dans ce dernier cas, vérifiez que l’axe des ordonnées est tangent à à l'origine du repère.
b)  Étudiez les variations de .

 a)  On suppose . Précisez les positions relatives des courbes et restreintes à .

b)   et sont deux réels tels que .
Précisez les positions relatives des courbes et restreintes à .
Prouvez que toutes les courbes passent par un même point et donnez une équation de la tangente à en ce point.

 Représentez les courbes et .


— Ⅱ —

Dans cette partie, on suppose que est un entier naturel, on pose alors .

On note la fonction définie sur par :

 Quelle est la fonction dérivée de  ?

 Calculez et , puis étudiez la limite en des fonctions et .

 Montrez que :

pour tout , tout .

 a)  Montrez par récurrence que chaque fonction a une limite réelle en . On notera cette limite.

b)  Quelle relation existe-t-il entre et  ? Déduisez-en la valeur de pour tout n.

 a)  Étudiez les variations de lorsque .

b)  Donnez l'allure de la courbe représentative .

 a)  Montrez que pour tout .

b)  Déduisez-en que pour tout n :
.
c)  En utilisant une majoration de sur l'intervalle , montrez que pour tout .
d)  Déduisez de b) et c) la limite de la suite définie par .