Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales

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Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales
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Devoir no13
Cours : Mathématiques en terminale S

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Suites, barycentre et produit scalaire
Dev suiv. :Intégrales, exponentielles et produit scalaire
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales
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On choisit pour unité de longueur 4 cm, et on munit le plan d'un repère orthonormal direct . Vous représenterez dans ce repère les courbes demandées.

— Ⅰ —

 On note E l'ensemble des complexes tels que et on considère la fonction qui, à chaque élément de E, associe le complexe :

Déterminez l'ensemble E et représentez-le graphiquement.
Par la suite, si un complexe de E est représenté par un point M, on notera M' le point représentant .

 Résolvez dans l'équation .

  est un complexe appartenant à E; Le point M qui le représente a pour coordonnées . Exprimez en fonction de et les coordonnées du point M'.

 Déterminez et représentez graphiquement l'ensemble des complexes tels que soit un imaginaire pur.

  est un complexe de E.

Montrez que le module de est égal à si et seulement si et sont liés par la relation .


— Ⅱ —

Le but de cette partie est de représenter l'ensemble E' des complexes tels que ait pour module . C'est-à-dire aussi, d'après la fin de la première partie, l'ensemble des couples tels que [1].

 Montrez que pour tout réel , il existe deux réels et à déterminer tels que et vérifie la relation [1].

  et sont les fonctions définies sur par :

On notera la courbe représentative de et la courbe représentative de .
a)  Montrez que l'ensemble E' cherché est représenté par la réunion de et .
b)  Montrez que l'origine O est centre de symétrie de E'.

 Étudiez la fonction et tracez sa courbe représentative.

Montrez que la droite d d'équation est asymptote à au voisinage de et précisez la position de par rapport à cette asymptote.

 Tracez la tangente à au point d'interception de avec l'axe des ordonnées.

 Représentez l'ensemble E'.


— Ⅲ —

On se propose de calculer en cm2, l'aire du domaine compris entre la courbe , les droites d'équation , , et l'axe des abscisses.

 Exprimez cette aire sous forme d'une intégrale.

 On note la restriction de à l'intervalle .

a)  Pourquoi est-elle une bijection de sur l'intervalle  ?
b)  Soit la fonction définie sur par
Vérifiez que pour tout de , et que pour tout de .
Comment qualifie-t-on par rapport à , et par rapport à  ?
Qu'en résulte-t-il pour les courbes et  ?

 Tracez la courbe représentative de .

 Calculez l'intégrale et interprétez-la graphiquement.

 Déduisez alors de ce qui précède l'aire cherchée.