Leçons de niveau 13

Mathématiques en terminale S/Devoir/Équations fonctionnelles, dérivation et suites

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Équations fonctionnelles, dérivation et suites
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Devoir no4
Cours : Mathématiques en terminale S

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Logarithmes, intégrales et suites
Dev suiv. :Logarithme et fonction définie par une intégrale
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Mathématiques en terminale S/Devoir/Équations fonctionnelles, dérivation et suites
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— Ⅰ —

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions satisfaisant aux conditions suivantes :

  •  ;
  • pour tout réel .

 Vérifiez que les fonctions constantes satisfont bien aux conditions .

 Nous allons montrer que seules les fonctions constantes vérifient les conditions .

On suppose que satisfait aux conditions .
a)  Montrez que pour tout réel , tout naturel .
b)  En supposant fixé, justifiez que la suite définie par :
a pour limite .
c)  Déduisez-en que est constante.


— Ⅱ —

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions satisfaisant aux conditions suivantes :

  • est dérivable en zéro ;
  • pour tout réel .

 Trouvez des fonctions simples qui satisfont aux conditions .

 On suppose que satisfait aux conditions .

a)  Montrez que .
b)  Nous allons ramener le problème à celui posé lors de la première partie.
On note la fonction définie par lorsque , et .
Montrez que .
c)  Montrez que pour tout réel .
d)  Déduisez-en, en utilisant la première partie, que pour tout réel (donc est une fonction linéaire).
e)  Déterminez l'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont aux conditions .