Mécanique quantique: concepts fondamentaux/Bases des états propres

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Bases des états propres

Définition

En mécanique quantique, un état propre est un état d'un système pour lequel une observable ${\hat {A}}$ prend une valeur précise $a$ lorsqu'on effectue une mesure. Formellement, si $|\psi \rangle$ est un état propre de ${\hat {A}}$ :

${\hat {A}}|\psi \rangle =a|\psi \rangle$

Ici, $a$ est la valeur propre (observable mesurable), et $|\psi \rangle$ est le vecteur propre dans l’espace de Hilbert.

Propriétés des états propres

• Deux états propres correspondant à des valeurs propres différentes sont orthogonaux :

$\langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =0\quad {\text{si }}a_{m}\neq a_{n}$

• Les états propres peuvent former une base complète de l’espace de Hilbert : tout état |φ⟩ peut s’écrire comme combinaison linéaire des états propres :

$|\phi \rangle =\sum _{n}c_{n}|\psi _{n}\rangle ,\quad c_{n}=\langle \psi _{n}|\phi \rangle$

• La norme des états propres est généralement choisie telle que :

$\langle \psi _{n}|\psi _{n}\rangle =1$

Exemple : Hamiltonien de l’atome d’hydrogène

Pour l’hamiltonien ${\hat {H}}$ d’un électron dans un atome d’hydrogène :

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$

Les états propres |n,l,m⟩ satisfont :

${\hat {H}}|n,l,m\rangle =E_{n}|n,l,m\rangle ,\quad E_{n}=-{\frac {13,6\,\mathrm {eV} }{n^{2}}}$

Distribution de probabilité de l’électron dans différents états propres

Base d’un observable

Soit un observable \(\hat{A}\) avec des états propres |a_n⟩. Tout état quantique |ψ⟩ peut s’écrire dans cette base :

$|\psi \rangle =\sum _{n}\langle a_{n}|\psi \rangle \,|a_{n}\rangle$

• Les coefficients $c_{n}=\langle a_{n}|\psi \rangle$ donnent la probabilité de mesurer la valeur $a_{n}$ :

$P(a_{n})=|c_{n}|^{2}=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}$

Changement de base

Si l’on a deux observables commutantes \(\hat{A}\) et \(\hat{B}\), il existe une base commune d’états propres |a_n,b_m⟩. Sinon, les états propres d’une observable peuvent être exprimés comme combinaison linéaire des états propres d’une autre observable.

Applications

• Calcul des probabilités de mesure pour des systèmes quantiques.
• Décomposition d’un état en états d’énergie (diagonalisation de l’hamiltonien).
• Compréhension des transitions électroniques et des spectres atomiques.

Différentes orbitales atomiques comme états propres de l’hamiltonien de l’atome d’hydrogène

Conclusion

La notion de bases d’états propres est fondamentale en mécanique quantique. Elle permet de décrire n’importe quel état quantique comme combinaison linéaire d’états où une observable a une valeur bien définie, facilitant le calcul des probabilités et l’analyse des systèmes physiques.