Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler

**Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler**
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)

Exercices n^o14
Chapitre du cours :	Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion
Exo suiv. :	Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler
Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comète de Halley

Connaissant la période de la comète de Halley^[1] étant « $\;T_{H}=76,0\;a\;$ ^[2] » ainsi que
Connaissant la distance entre le périhélie de sa trajectoire autour du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ et ce dernier « $\;r_{P,\,H}=0,59\;ua\;$ ^[2] »,

calculer, en vous servant des « connaissances élémentaires que vous possédez sur la trajectoire de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ » $\;{\big \{}$ en particulier supposer nulle l'excentricité de l'orbite terrestre ${\big \}}$ , les grandeurs suivantes caractérisant la comète de Halley^[1] :

son demi grand axe « $\;a_{H}\;$ en $\;ua\;$ ^[2] »,
son excentricité « $\;e_{H}\;$ » ainsi que
ses vitesses maximale et minimale en $\;km\cdot s^{-1}\;$ dans le référentiel de Copernic^[3]^,^[4].

Solution

$\;\succ \;$ Détermination du demi grand axe ${\underline {\;a_{H}\;}}$ de la comète de Halley^[1] : nous utilisons la 3^ème loi de Kepler^[5] pour obtenir « $\;a_{H}\;$ » connaissant la période « $\;T_{H}\;$ » de la comète soit « $\;{\dfrac {a_{H}^{\,3}}{T_{H}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ » avec « $\;{\mathcal {G}}\;$ la constante de gravitation universelle et $\;m_{\text{☉}}\;$ la masse de la source du champ de gravitation c'est-à-dire du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ » ;

Détermination du demi grand axe aH de la comète de Halley : il reste à déterminer la constante « $\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$ » à l'aide des données sur la Terre $\;{\text{♁}}$ , à savoir la période de révolution de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ autour du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ « $\;T_{\text{♁}}=1\;a\;$ ^[2] » et le rayon de l'orbite terrestre quasi-circulaire « $\;r_{\text{♁}}=1\;ua\;$ ^[2] » soit « $\;{\dfrac {r_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$ » $\Rightarrow$ la constante recherchée vaut « $\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}={\dfrac {r_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$ » d'où

Détermination du demi grand axe aH de la comète de Halley : le report de la constante dans la relation traduisant la 3^ème loi de Kepler^[5] appliquée à la comète de Halley^[1] «

\;{\dfrac {a_{H}^{\,3}}{T_{H}^{\,2}}}={\dfrac {r_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}}}\;

» dont nous déduisons «

\;a_{H}=r_{\text{♁}}\left({\dfrac {T_{H}}{T_{\text{♁}}}}\right)^{\!\!{\frac {2}{3}}}\simeq 1\times \left({\dfrac {76}{1}}\right)^{\!\!{\frac {2}{3}}}\;

» soit «

\;a_{H}\simeq 17,94\;ua\simeq 18\;ua\;

^[2] ».

\;\succ \;

Détermination de l'excentricité

{\underline {\;e_{H}\;}}

de la comète de Halley^[1] : la distance séparant le périhélie de la comète de Halley^[1] au centre

\;S\;

du Soleil

\;{\text{☉}}\;

«

\;r_{P,\,H}\;

» étant connu et sachant que l'équation polaire de la comète supposée ponctuelle

\;M\;

est «

\;r={\dfrac {p_{H}}{1+e_{H}\;\cos(\theta -\varphi )}}\;

» avec «

\;r=SM

,

\;p_{H}\;

le paramètre de l'ellipse décrite par la comète,

\;\varphi \;

l'angle orienté que fait l'axe focal^[6] avec l'axe polaire dans le plan de la trajectoire et

\;\theta \;

l'angle orienté que fait le rayon vecteur

\;{\overrightarrow {SM}}\;

de la comète avec le même axe polaire

\;{\big (}

le sens

\;+\;

de mesure des angles orientés étant choisi dans le sens du mouvement de la comète sur sa trajectoire

{\big )}\;

» nous en déduisons «

\;r_{P,\,H}={\dfrac {p_{H}}{1+e_{H}}}\;

» ou, avec «

\;p_{H}=a_{H}\;(1-e_{H}^{2})\;

\Rightarrow

\;r_{P,\,H}=a_{H}\;(1-e_{H})\;

» soit finalement «

\;e_{H}=1-{\dfrac {r_{P,\,H}}{a_{H}}}\simeq 1-{\dfrac {0,59}{18}}\;

» soit «

\;e_{H}\simeq 0,967\simeq 0,97\;

»
soit effectivement une ellipse très allongée.

\;\succ \;

Détermination des vitesses extrémales

{\underline {\;V_{{\text{max}},\,H}\;}}

et

{\underline {\;V_{{\text{min}},\,H}\;}}

de la comète de Halley^[1] : les vitesses maximale et minimale de la comète de Halley^[1] dans le référentiel de Copernic^[3] correspondant respectivement au passage au périhélie

\;P\;

et à l'aphélie

\;A\;

c'est-à-dire «

\;V_{{\text{max}},\,H}=V_{P,\,H}\;

» et «

\;V_{{\text{min}},\,H}=V_{A,\,H}\;

» simultanément au caractère orthoradial du vecteur vitesse associé,
Détermination des vitesses extrémales V_{max, H} et V_{min, H} de la comète de Halley : il suffit donc, pour évaluer ces vitesses, connaissant la distance séparant le centre

\;S\;

du Soleil

\;{\text{☉}}\;

du périhélie

\;P\;

«

\;r_{P,\,H}\simeq

0,59\;ua\;

^[2] » ou de l'aphélie

\;A\;

«

\;r_{A,\,H}=2\;a_{H}-r_{P,\,H}\simeq 2\times 17,94-0,59\simeq 35,29\;ua\simeq 35\;ua\;

^[2] »
Détermination des vitesses extrémales V_{max, H} et V_{min, H} de la comète de Halley : il suffit d'utiliser la loi des aires sous la forme «

\;V_{P,\,H}\;r_{P,\,H}=\vert C\vert \;

» ainsi que «

\;V_{A,\,H}\;r_{A,\,H}=\vert C\vert \;

» et
Détermination des vitesses extrémales V_{max, H} et V_{min, H} de la comète de Halley : il suffit de calculer la constante des aires

\;C

;
Détermination des vitesses extrémales V_{max, H} et V_{min, H} de la comète de Halley : «

\;C\;

» peut s'évaluer à partir de la détermination du paramètre «

\;p_{H}={\dfrac {m_{H}\;C^{2}}{-k}}\;

avec

\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{H}\;

\Rightarrow

\;p_{H}={\dfrac {C^{2}}{{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}}}\;

» d'où «

\;\vert C\vert ={\sqrt {{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}\;p_{H}}}\;

» dans lequel «

\;{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}\;

se détermine à l'aide de la relation

\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;

\Rightarrow

\;{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}=4\;\pi ^{2}\;{\dfrac {a_{H}^{\,3}}{T_{H}^{\,2}}}\;

» soit, en reportant dans l'expression de

\;\vert C\vert

, «

\;\vert C\vert ={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}}{T_{H}}}\;{\sqrt {a_{H}\;p_{H}}}\;

» ou encore, « en remplaçant

\;p_{H}\;

par

\;a_{H}\;(1-e_{H}^{\,2})\;

», «

\;\vert C\vert ={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}^{\,2}}{T_{H}}}\;{\sqrt {1-e_{H}^{\,2}}}\;

»

\;{\big \{}

le signe de

\;C

\;{\big (}

inutile ici

{\big )}\;

dépendant du sens

\;+\;

choisi sur la trajectoire de la comète de Halley^[1]

{\big \}}

;
Détermination des vitesses extrémales V_{max, H} et V_{min, H} de la comète de Halley : la vitesse maximale de la comète de Halley^[1] dans le référentiel de Copernic^[3] vaut «

\;V_{{\text{max}},\,H}=V_{P,\,H}={\dfrac {\vert C\vert }{r_{P,\,H}}}\;

» soit encore «

\;V_{{\text{max}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}^{\,2}}{T_{H}}}\;{\dfrac {\sqrt {1-e_{H}^{\,2}}}{r_{P,\,H}}}\;

» ou, avec «

\;r_{P,\,H}=a_{H}\;(1-e_{H})\;

» et après simplification, «

\;V_{{\text{max}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}}{T_{H}}}\;{\sqrt {\dfrac {1+e_{H}}{1-e_{H}}}}\;

» soit numériquement
«

\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq {\dfrac {2\;\pi \times 17,94}{76}}\;{\sqrt {\dfrac {1+0,967}{1-0,967}}}\simeq 11,45\;

en

\;ua\cdot a^{-1}\;

^[2] » ou,
avec

\;\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;ua\simeq 1,50\;10^{8}\;km\\1\;a\simeq 365,25\times 86400\simeq 3,156\;10^{7}\;s\end{array}}\right\rbrace \;

\Rightarrow

«

\;1\;ua\cdot a^{-1}\simeq 4,753\;km\cdot s^{-1}\;

^[2] »
soit

\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq \simeq 11,45\times 4,753\simeq 54,43\;km\cdot s^{-1}\;

et finalement «

\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq 54\;km\cdot s^{-1}\;

» ; Détermination des vitesses extrémales V_{max, H} et V_{min, H} de la comète de Halley : la vitesse minimale de la comète de Halley^[1] dans le référentiel de Copernic^[3] vaut «

\;V_{{\text{min}},\,H}=V_{A,\,H}={\dfrac {\vert C\vert }{r_{A,\,H}}}\;

» soit encore «

\;V_{{\text{min}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}^{\,2}}{T_{H}}}\;{\dfrac {\sqrt {1-e_{H}^{\,2}}}{r_{A,\,H}}}\;

» ou, avec «

\;r_{A,\,H}=a_{H}\;(1+e_{H})\;

» et après simplification, «

\;V_{{\text{min}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}}{T_{H}}}\;{\sqrt {\dfrac {1-e_{H}}{1+e_{H}}}}\;

» soit numériquement
«

\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq {\dfrac {2\;\pi \times 17,94}{76}}\;{\sqrt {\dfrac {1-0,967}{1+0,967}}}\simeq 0,1921\;

en

\;ua\cdot a^{-1}\;

^[2] » ou,
avec «

\;1\;ua\cdot a^{-1}\simeq 4,753\;km\cdot s^{-1}\;

^[2] »,

\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq \simeq 0,1921\times 4,753\simeq 0,9131\;km\cdot s^{-1}\;

et finalement «

\;V_{{\text{min}},\,H}\simeq 0,91\;km\cdot s^{-1}\;

».

Satellite Luna XII autour de la Lune

     Le satellite de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ « LUNA XII »^[7] décrivait une orbite elliptique en « $\;T=3\,h\;25\,min\;$ » telle que, respectivement, sa plus petite et sa plus grande distance au centre de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ était « $\;r_{m}=$ $1894\;km\;$ ^[8] » et « $\;r_{M}=3476\;km\;$ ^[9] » ;
     nous nous proposons, dans un 1^er temps, de comparer à l'aide de ses résultats expérimentaux la masse de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ à celle de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ puis
     nous nous proposons, dans un 2^nd temps, de déduire toutes les autres grandeurs qui caractérisaient l'orbite lunaire de « LUNA XII »^[7].

Détermination du rapport entre la masse de la Lune et celle de la Terre

Calculer littéralement puis numériquement le rapport « $\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}\;$ » des masses de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ et de la Terre $\;{\text{♁}}$ $\;{\Big [}$ pour cela nous confondrons le champ de pesanteur avec le champ de gravitation tous deux terrestres et nous n'utiliserons aucune autre donnée que celles d'une part fournies pour l'orbite lunaire de « LUNA XII »^[7] et d'autre part rappelées ci-après à savoir le « rayon moyen de la Terre $\;R_{\text{♁}}\simeq 6400\;km\;$ » ainsi que l'« intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol $\;g_{0}\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}\;$ » ${\Big ]}$ .

Solution

Compte-tenu que le satellite de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ « LUNA XII »^[7] décrivait une orbite elliptique dont le centre de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ est un des foyers en « $\;T=3\,h\;25\,min=12300\;s\;$ » telle que son péricentre et son apocentre étaient respectivement à « $\;r_{m}=1894\;km\;$ ^[8] » et « $\;r_{M}=3476\;km\;$ ^[9] » du centre de la Lune $\;{\text{☽}}$ , nous en déduisons le demi-grand axe « $\;a={\dfrac {r_{m}+r_{M}}{2}}={\dfrac {1894+3476}{2}}\simeq 2680\;km\;$ » ;

la 3^ème loi de Kepler^[5] nous fournit un lien entre « $\;a$ , $\;T\;$ et la masse de la Lune $\;m_{\text{☽}}\;$ » selon « $\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☽}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{☽}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;a^{3}}{T^{2}}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ ».

Confondant le champ de pesanteur et le champ de gravitation terrestre, nous pouvons écrire, au niveau du sol terrestre, « $\;g_{0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$ » d'où « $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}=g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ ».

Faisant le quotient de la relation

\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;

par la relation

\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;

nous en déduisons «

\;{\dfrac {{\cancel {\mathcal {G}}}\;m_{\text{☽}}}{{\cancel {\mathcal {G}}}\;m_{\text{♁}}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;a^{3}}{T^{2}}}\;{\dfrac {1}{g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;

», soit «

\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}}{g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}\;

»

\;{\Bigg \{}

ou «

\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}={\dfrac {\pi ^{2}}{2\;g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;{\dfrac {\left(r_{m}+r_{M}\right)^{3}}{T^{2}}}\;

» en fonction des données

{\Bigg \}}\;

et
numériquement «

\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}}{9,8\times \left(6,4\;10^{6}\right)^{\!2}}}\;{\dfrac {\left(2,680\;10^{6}\right)^{\!3}}{12300^{2}}}\simeq 0,0125\;

»
soit finalement «

\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}\simeq 1,25\;10^{-2}\simeq {\dfrac {1}{80}}\;

»^[10].

Détermination des grandeurs qui caractérisaient l'orbite elliptique lunaire de Luna XII

Déterminer toutes les autres caractéristiques de l'orbite elliptique lunaire de « LUNA XII »^[7] en particulier « excentricité $\;e\;$ », « paramètre $\;p\;$ » et « demi-petit axe $\;b\;$ ».

Solution

Nous connaissons déjà que le demi grand axe « $\;a=2680\;km\;$ » et la période « $\;T=3\,h\;25\,min=12300\;s\;$ » $\;{\big \{}$ ainsi que la distance minimale d'approche « $\;r_{m}=1894\;km\;$ ^[8] » et la distance maximale d'éloignement « $\;r_{M}=3476\;km\;$ ^[9] » ${\big \}}$ .

À l'aide de ces informations nous pouvons en déduire :

l'excentricité « $\;e\;$ » car $\;r_{m}={\dfrac {p}{1+e}}\;$ d'une part et $\;r_{M}={\dfrac {p}{1-e}}\;$ d'autre part $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {r_{M}}{r_{m}}}={\dfrac {1+e}{1-e}}\;$ ou $\;\left(1-e\right)\,r_{M}=\left(1+e\right)\,r_{m}\;$ $\Rightarrow$ $\;r_{M}-r_{m}=e\,\left(r_{m}+r_{M}\right)\;$ soit finalement « $\;e={\dfrac {r_{M}-r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\simeq {\dfrac {3476-1894}{3476+1894}}\simeq 0,295\;$ »,
le paramètre « $\;p\;$ » car $\;r_{m}={\dfrac {p}{1+e}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p=r_{m}\,\left(1+e\right)=r_{m}\,\left(1+{\dfrac {r_{M}-r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\right)=r_{m}\;{\dfrac {\left(r_{M}+r_{m}\right)+\left(r_{M}-r_{m}\right)}{r_{M}+r_{m}}}\;$ soit finalement « $\;p={\dfrac {2\;r_{M}\;r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\simeq {\dfrac {2\times 3476\times 1894}{3476+1894}}\simeq 2452\;km\;$ » et
le demi-petit axe « $\;b\;$ » car $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ $\Rightarrow$ $\;b={\sqrt {p\;a}}\;$ ou, en y reportant les expressions de $\;p\;$ et de $\;a\;$ en fonction des données $\;b={\sqrt {{\dfrac {2\;r_{M}\;r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\;{\dfrac {r_{m}+r_{M}}{2}}}}\;$ soit finalement « $\;b={\sqrt {r_{M}\;r_{m}}}\simeq {\sqrt {3476\times 1894}}\simeq 2566\;km\;$ ».

Notes et références

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 et ^1,10 Edmond Halley (1656 - 1742) astronome et ingénieur britannique essentiellement connu pour avoir été le 1^er à avoir calculé en $1682$ la périodicité de la comète qui porte son nom.
↑ ^2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 et ^2,11
Les unités de temps et de longueur usuellement utilisées pour un objet du Système solaire gravitant autour du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ $\;{\text{☉}}\;$ sont :
- pour unité de temps « l'année (julienne) de symbole $\;a\;$ » $\;1\;a\simeq 365,25\times 86400\;s$ $\;{\big (}$ il est fréquent de ne pas utiliser le symbole « $\;a\;$ » mais le nom complet de l'unité « $\;an\;$ » ${\big )}\;$ et
- pour unité de longueur « l'unité astronomique de symbole $\;ua\;$ » $\;1\;ua\simeq 1,50\;10^{11}\;m$ $\;{\Big [}$ l’unité astronomique est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le Système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ autour du Soleil $\;{\text{☉}}{\Big ]}$ .
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 et ^3,3 Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » $\;{\big [}$ consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire ${\big ]}$ .
↑ Référentiel lié au centre du Système solaire par rapport auquel trois étoiles éloignées de référence comme l'Étoile polaire sont de direction fixe, ce référentiel étant le meilleur galiléen pour les objets du Système solaire.
↑ ^5,0 ^5,1 et ^5,2 Johannes Kepler (1571 - 1630) est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic $\;{\big [}$ hypothèse que son professeur de mathématiques Michæl Mæstlin lui enseigna $\;{\big (}$ ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants ${\big )}\;$ à l’Université de Tübingen alors que l’enseignement officiel que M. Mæstlin donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de Ptolémée ${\big ]}\;$ affirmant $\;{\big (}$ avec N. Copernic ${\big )}\;$ que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ;
   en $\;1600$ , poursuivi pour ses convictions religieuses $\;{\big (}$ il était ministre du culte luthérien ${\big )}\;$ et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome $\;{\big (}$ danois ${\big )}\;$ Tycho Brahe, ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais $\;{\big (}$ d’après J. Kepler ${\big )}\;$ étant incapable de les exploiter correctement $\;{\big [}$ T. Brahe ne croyait pas à l’héliocentrisme de Copernic, ni d’ailleurs au géocentrisme de Ptolémée, l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil $\;{\big (}$ et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de Ptolémée ${\big )}{\big ]}$ ;
   T. Brahe demande alors à J. Kepler de calculer l’orbite précise de Mars, travail que ce dernier commence en $\;1603\;$ et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1^ères lois, sa 3^ème loi étant découverte près de $\;10\;ans\;$ plus tard.
   Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » $\;{\big [}$ consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire ${\big ]}$ .
    Michæl Mæstlin (1550 - 1631) astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de Johannes Kepler ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du nombre d'or en $\;1597$ .
   Ptolémée (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168) astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'Almageste $\;{\big [}$ une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie ${\big ]}\;$ et un traité de géographie $\;{\big [}$ une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain ${\big ]}$ .
   Tycho Brahe (1546 - 1601) astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la Supernova de 1572 ainsi que la grande comète de 1577 qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques $\;\ldots$
↑ On rappelle que l'axe focal d'une conique est orienté du centre de force vers le point le plus proche de celle-ci $\;{\big (}$ ou, dans le cas d'une hyperbole, vers le point le plus proche de la branche ${\big )}$ .
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 et ^7,4 « LUNA XII » fut le 3^ème orbiteur soviétique lunaire lancé le $\;25\;{\text{octobre}}\;1966\;$ dans le but de faire des clichés de la surface lunaire avec une résolution entre $\;15\;$ et $\;20\;m$ , les 1^ères photos furent retransmises le $\;27\;{\text{octobre}}\;1966\;$ et le contact radio fut perdu le $\;19\;{\text{janvier}}\;1967$ $\;{\big (}$ ce n'était que l'aube de l'exploration lunaire ${\big )}$ .
↑ ^8,0 ^8,1 et ^8,2 Le rayon moyen de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ étant $\;R_{\text{☽}}\simeq 1737\;km$ , le péricentre de l'orbite elliptique de « LUNA XII » était situé à « $\;157\;km\;$ au-dessus de la surface lunaire ».
↑ ^9,0 ^9,1 et ^9,2 Le rayon moyen de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ étant $\;R_{\text{☽}}\simeq 1737\;km$ , l'apocentre de l'orbite elliptique de « LUNA XII » était situé à « $\;1739\;km\;$ au-dessus de la surface lunaire ».
↑ Résultat sur-estimant légèrement la masse de la Lune, le résultat actuellement reconnu étant « $\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}\simeq {\dfrac {1}{81}}\;$ ».