Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne

Autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité

     On étudie le mouvement d'une particule $\;M\;$ de masse $\;m\;$ dans un champ newtonien de centre de champ $\;O$, celle-ci subit donc une force «$\;{\vec {F}}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ centrale » $\;{\bigg (}$avec $\;r=OM\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}{\bigg )}\;$ dont une des conséquences, en absence de toute autre force, est la nature plane $\;{\big (}$ou rectiligne${\big )}\;$ de son mouvement dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen.

     On repère le point $\;M\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires «$\;\left(r\,,\,\theta \,,\,z=0\right)\;$» dans la base cylindro-polaire locale «$\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$» $\;{\Big [}$le plan de la position et du vecteur vitesse initiales $\;\left(M_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant choisi pour plan $\;z=0{\Big ]}$.

Établissement d'une intégrale 1^re vectorielle du mouvement de la particule dans un champ newtonien introduisant la notion de « vecteur excentricité » de la trajectoire de cette dernière

     «$\;{\vec {V}}(t)\;$» désignant le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ soumis au champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et
     «$\;C\;$ la constante des aires » du mouvement de $\;M$,
     établir, en appliquant la r.f.d.n. à la particule dans $\;{\mathcal {R}}$,
     établir l'intégrale 1^re du mouvement de la particule $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ exprimant que le vecteur «$\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)\;$» est constant pour des C.I. fixées,
      établir l'intégrale 1^re du mouvement de la particule ( a ) exprimant que le vecteur initial «$\;{\vec {u}}_{\theta }(0)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(0)\;$» étant noté «$\;{\vec {e}}\;$» et appelé « vecteur excentricité » de la trajectoire de la particule.

Solution

     On cherche à intégrer, relativement au temps $\;t$, la r.f.d.n. appliquée au point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen soit «$\;{\dfrac {k}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{r}(t)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)\;$», le 2^nd membre étant déjà une dérivée temporelle, il reste à écrire aussi le 1^er membre sous forme d'une dérivée temporelle, et pour cela on utilise «$\;{\vec {u}}_{r}=-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}=-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\;{\dfrac {dt}{d\theta }}\;$» d'une part $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{r}(t)=-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\;{\dfrac {1}{r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}}\;$» soit finalement, en utilisant la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C\;$ la constante des aires », «$\;{\dfrac {1}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{r}(t)=-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\;{\dfrac {1}{C}}\;$» ;

     la r.f.d.n. est donc équivalente à «$\;-{\dfrac {k}{C}}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)\;$» ou, en transposant le 2^nd membre dans le 1^er et en multipliant par $\;-1$, «$\;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[m\;{\vec {V}}+{\dfrac {k}{C}}\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\!(t)={\vec {0}}\;$» ou encore, en multipliant par «$\;{\dfrac {C}{k}}\;$», «$\;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}+{\vec {u}}_{\theta }\right]\!(t)={\vec {0}}\;$» soit finalement
     une nouvelle intégrale 1^re du mouvement du point matériel $\;M\;$ dans le champ de force newtonien correspondant à la conservation de la grandeur vectorielle «$\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)\;$» soit «$\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)={\vec {u}}_{\theta }(0)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(0),\;\;\forall \;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$»,
«$\;{\vec {u}}_{\theta }(0)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(0)\;$» étant noté «$\;{\vec {e}}\;$» et définissant le « vecteur excentricité » de la trajectoire de $\;M$,
soit encore, avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par $\;M_{0}\;$ et orienté vers ce dernier,
«$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$» $\;{\big [}$avec $\;{\vec {V}}(0)={\vec {V}}_{0}{\big ]}$,
l'équation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ se réécrivant «$\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)={\vec {e}},\;\;\forall \;t\;$».

 

Déduction, à partir de l'intégrale 1^re vectorielle précédente du mouvement de la particule dans un champ newtonien, de l'équation polaire de la trajectoire de cette dernière ainsi que de sa nature

     En multipliant scalairement chaque membre de $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ par «$\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$», en déduire l'équation polaire de la trajectoire de la particule et

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « uθ(t) », en déduire l'appartenance de cette dernière à la famille des coniques $\;{\Big [}$c'est-à-dire que celle-ci est une conique $\;{\big (}$ou, dans le cas d'une hyperbole, une branche d'hyperbole${\big )}\;$ dont $\;O\;$ est le (ou un des) foyer(s), on distinguera le cas d'un champ de force attractif de celui d'un champ de force répulsif et on précisera le paramètre de la conique ainsi que la position de son axe focal relativement au vecteur «$\;{\vec {e}}\;$»${\Big ]}$ ;

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « uθ(t) », justifier l'appellation « vecteur excentricité » donnée à «$\;{\vec {e}}\;$».

Solution

     Projetant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }(t)$, on obtient «$\;\left[{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)={\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» avec «$\;\left[{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)={\vec {u}}_{\theta }^{2}(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ou «$\;\left[{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)=1+{\dfrac {m\;C}{k}}\;V_{\theta }(t)=1+{\dfrac {m\;C}{k}}\;r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» que l'on peut réécrire en utilisant la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Leftrightarrow$ $\;r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=$ ${\dfrac {C}{r(t)}}\;$» selon «$\;\left[{\vec {u}}_{\theta }(t)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)=1+{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;{\dfrac {1}{r(t)}}\;$» d'où la réécriture de la projection de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ «$\;1+{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;{\dfrac {1}{r(t)}}={\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{r(t)}}={\dfrac {{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)-1}{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}}\;$» soit finalement, dans la mesure où « la dépendance en $\;\theta \;$ apparaît dans $\;{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }\;$» $\;{\Big \{}$en effet $\;{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$ en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ou «$\;{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }=-e_{x}\;\sin(\theta )+e_{y}\;\cos(\theta )\;$», $\;e_{x}={\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{x}\;$ et $\;e_{y}={\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$ étant des constantes car $\;{\vec {e}}\;$ est un vecteur constant${\Big \}}$, l'équation polaire de la trajectoire de $\;M\;$ «$\;r={\dfrac {\dfrac {m\;C^{2}}{k}}{{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }-1}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

     $\;\succ \;$Cas attractif${\underline {\;k<0}}$ : on pose «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$» et l'équation polaire se réécrit «$\;r={\dfrac {-p}{{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }-1}}\;$» ou «$\;r={\dfrac {p}{1-{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{1}\right)\;$» ;
              Cas attractif k < 0 : pour retrouver l'équation polaire attendue «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» il faut que «$\;-{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }\;$» s'identifie à «$\;e\;\cos(\theta -\varphi )=e\,\left[\cos(\theta )\;\cos(\varphi )+\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\;$» et comme «$\;{\vec {u}}_{\theta }=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$» les composantes cartésiennes de «$\;{\vec {e}}\,\left(e_{x}\,,\,e_{y}\right)\;$» doivent satisfaire «$\;e_{x}\;\sin(\theta )-e_{y}\;\cos(\theta )=e\;\sin(\varphi )\;\sin(\theta )+e\;\cos(\varphi )\;\cos(\theta )\;\;\forall \;\theta \;$» ce qui est réalisé si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{x}=e\;\sin(\varphi )\\e_{y}=-e\;\cos(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e\;\sin(\varphi )=e_{x}\\e\;\cos(\varphi )=-e_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit «$\;e={\sqrt {e^{2}\;\sin ^{2}(\varphi )+e^{2}\;\cos ^{2}(\varphi )}}={\sqrt {e_{x}^{2}+(-e_{y})^{2}}}=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$» et «$\;\varphi \;\in \left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right]\!\!&\!\!{\text{pour }}e_{x}\geqslant 0{\text{ et }}e_{y}\geqslant 0\\\left[-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}e_{x}\leqslant 0{\text{ et }}e_{y}\geqslant 0\\\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}e_{x}\geqslant 0{\text{ et }}e_{y}\leqslant 0\\\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}e_{x}\leqslant 0{\text{ et }}e_{y}\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» tel que «$\;\tan(\varphi )=-{\dfrac {e_{x}}{e_{y}}}\;$ si $\;e_{y}\neq 0\;$» ou, « si $\;e_{y}=0$, $\;\varphi =\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{pour}}\;e_{x}>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{pour}}\;e_{x}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» et enfin « si $\;\left(e_{y}=0\,,\,e_{x}=0\right)$, $\;\varphi \;$ peut être quelconque car $\;e=0\;$» ;
              Cas attractif k < 0 : comme «$\;r={\dfrac {p}{1-{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{1}\right)\;$» s'écrit encore «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec «$\;e=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$», la trajectoire suivie par la particule $\;M\;$ dans le champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est une conique ayant le centre de force $\;O\;$ pour le (ou un des) foyer(s), de paramètre «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$» et d'excentricité «$\;e=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$», «$\;\varphi \;$ étant l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ;
              Cas attractif k < 0 : de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{x}=e\;\sin(\varphi )\\e_{y}=-e\;\cos(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;e=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$» on tire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}e_{x}=\Vert {\vec {e}}\Vert \;\sin(\varphi )=\Vert {\vec {e}}\Vert \;\cos \!\left(\varphi -{\dfrac {\pi }{2}}\right)\\e_{y}=-\Vert {\vec {e}}\Vert \;\cos(\varphi )=\Vert {\vec {e}}\Vert \;\sin \!\left(\varphi -{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» dont nous déduisons que «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {e}}\right)}}=\varphi -{\dfrac {\pi }{2}}\;$» ;

Positionnement relatif du vecteur excentricité $\;{\vec {e}}\;$ et de l'axe focal d'une conique décrite par $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif de centre de force $\;O$

              Cas attractif k < 0 : ci-contre le positionnement de l'axe focal de la conique relativement au « vecteur excentricité $\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$» lequel a été construit dans un encadré grossi ci-contre avec «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$» dont on déduit la « constante des aires $\;C$ $=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})<0\;$» $\;{\big (}r_{0}\;$ étant égal à $\;OM_{0}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{k}}\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\right]\;$» soit, en regroupant les composantes, «$\;{\vec {e}}={\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2\;k}}\;{\vec {u}}_{x}+\left[{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$» correspondant, sur le « schéma ci-contre, à $\;e_{x}>0$ $\;{\big [}k\;$ étant $\;<0\;$ avec $\;\sin(2\;\alpha _{0})<0{\big ]}\;$ et à $\;e_{y}>0\;$ dans la mesure où $\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}\;$ est $\;<\;$ à $\;1\;$ d'où $\;\varphi \,\in \,\left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$» ;

              Cas attractif k < 0 : de «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\varphi \;$» et «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {e}}\right)}}=\varphi -{\dfrac {\pi }{2}}\;$» nous déduisons «$\;{\widehat {\left({\vec {e}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$» c'est-à-dire que l'« axe focal orienté par $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ est directement $\;\perp \;$ au vecteur excentricité $\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$», $\;{\bigg [}$ci-contre «$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\varphi \;$ $\Rightarrow$ $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\varphi -{\dfrac {\pi }{2}}$ $={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {e}}\right)}}\;$ d'où $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {e}}\right)}}={\widehat {\left({\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}\;$»${\bigg ]}$ ;

              Cas attractif k < 0 : «$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$» est appelé « vecteur excentricité » car sa norme $\;\Vert {\vec {e}}\Vert \;$ est égale à l'excentricité $\;e\;$ de la conique.

     $\;\succ \;$Cas répulsif${\underline {\;k>0}}$ : on pose «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;$» et l'équation polaire se réécrit «$\;r={\dfrac {p}{{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }-1}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{2}\right)\;$» ;
              Cas attractif k > 0 : pour retrouver l'équation polaire attendue «$\;r={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» il faut que «$\;{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }\;$» s'identifie à «$\;e\;\cos(\theta -\varphi )=e\,\left[\cos(\theta )\;\cos(\varphi )+\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\;$» et comme «$\;{\vec {u}}_{\theta }=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$» les composantes cartésiennes de «$\;{\vec {e}}\,\left(e_{x}\,,\,e_{y}\right)\;$» doivent satisfaire «$\;-e_{x}\;\sin(\theta )+e_{y}\;\cos(\theta )=e\;\sin(\varphi )\;\sin(\theta )+e\;\cos(\varphi )\;\cos(\theta )\;\;\forall \;\theta \;$» ce qui est réalisé si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{x}=-e\;\sin(\varphi )\\e_{y}=e\;\cos(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e\;\sin(\varphi )=-e_{x}\\e\;\cos(\varphi )=e_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit «$\;e={\sqrt {e^{2}\;\sin ^{2}(\varphi )+e^{2}\;\cos ^{2}(\varphi )}}={\sqrt {(-e_{x})^{2}+e_{y}^{2}}}=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$» et «$\;\varphi \;\in \left\lbrace {\begin{array}{c l}\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}e_{x}\geqslant 0\\\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\!\!&\!\!{\text{pour }}e_{x}\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \{}$«$\;e_{y}={\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\;$» établi dans le cas attractif restant applicable dans le cas répulsif $\;{\big (}$justification plus bas dans ce paragraphe${\big )}$, nous en déduisons «$\;e_{y}>0\;$»${\bigg \}}\;$ tel que «$\;\tan(\varphi )=-{\dfrac {e_{x}}{e_{y}}}\;$ inversable en $\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {e_{x}}{e_{y}}}\right)\;$» ;
              Cas répulsif k > 0 : comme «$\;r={\dfrac {p}{{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }-1}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{2}\right)\;$» s'écrit encore «$\;r={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» avec «$\;e=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$», la trajectoire suivie par la particule $\;M\;$ dans le champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est une branche d'hyperbole ayant le centre de force $\;O\;$ pour foyer non contourné par la branche, de paramètre «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;$» et d'excentricité «$\;e=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$», «$\;\varphi \;$ étant l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ;
              Cas répulsif k > 0 : de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{x}=-e\;\sin(\varphi )\\e_{y}=e\;\cos(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;e=\Vert {\vec {e}}\Vert \;$» on tire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}e_{x}=-\Vert {\vec {e}}\Vert \;\sin(\varphi )=\Vert {\vec {e}}\Vert \;\cos \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\\e_{y}=\Vert {\vec {e}}\Vert \;\cos(\varphi )=\Vert {\vec {e}}\Vert \;\sin \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» dont nous déduisons que «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {e}}\right)}}=\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\;$» ;

Positionnement relatif du vecteur excentricité $\;{\vec {e}}\;$ et de l'axe focal d'une branche d'hyperbole décrite par $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien répulsif de centre de force $\;O$

              Cas répulsif k > 0 : ci-contre le positionnement de l'axe focal de la branche d'hyperbole ne contournant pas $\;O\;$ relativement au « vecteur excentricité $\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$» lequel a été construit dans un encadré grossi ci-contre avec «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$» dont on déduit la « constante des aires $\;C$ $=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})>0\;$» $\;{\big (}$où $\;r_{0}=OM_{0}{\big )}\;$ et, en reportant les expressions de $\;C\;$ et de $\;{\vec {V}}_{0}$, le vecteur excentricité «$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{k}}\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\right]\;$» ou encore «$\;{\vec {e}}={\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2\;k}}\;{\vec {u}}_{x}+\left[{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$» correspondant, sur le « schéma ci-contre, à $\;e_{x}<0$ $\;{\big [}k\;$ étant $\;>0\;$ avec $\;\sin(2\;\alpha _{0})<0{\big ]}\;$ et à $\;e_{y}>0\;$ $\;{\bigg [}{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}\;$ étant $\;>0$, $\;e_{y}\;$ est $\;>\;$ à $\;1\;$ donc $\;>0{\bigg ]}\;$ d'où $\;\varphi \,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» ;

              Cas répulsif k > 0 : de «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\varphi \;$» et «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {e}}\right)}}=\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\;$» nous déduisons «$\;{\widehat {\left({\vec {e}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» c'est-à-dire que l'« axe focal orienté par $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ est indirectement $\;\perp \;$ au vecteur excentricité $\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$», $\;{\bigg [}$ci-contre «$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {e}}\right)}}=\beta \;$ $\Rightarrow$ $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {e}}\right)}}=\beta +{\dfrac {\pi }{2}}=\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\;$ d'où $\;\beta =\varphi \;$ $\Rightarrow$ $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {e}}\right)}}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}\;$»${\bigg ]}$ ;

              Cas répulsif k > 0 : «$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$» est appelé « vecteur excentricité » car sa norme $\;\Vert {\vec {e}}\Vert \;$ est égale à l'excentricité $\;e\;$ de l'hyperbole.

 

Discussion de la nature de la trajectoire de la particule dans un champ newtonien à partir de l'évaluation de la norme du vecteur excentricité de la conique (ou branche de conique) décrite par la particule

     Calculer «$\;\Vert {\vec {e}}\Vert ^{2}-1\;$» en fonction de «$\;m$, $\;C$, $\;k\;$ et de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$» puis

     discuter la nature de la trajectoire selon le signe de «$\;E_{m,\,0}\;$».

Solution

     Ayant établi, avec l'expression du vecteur vitesse initiale et de la constante des aires dans le cas attractif ou répulsif, que «$\;{\vec {e}}={\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2\;k}}\;{\vec {u}}_{x}+\left[{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$», nous en déduisons «$\;{\vec {e}}^{2}=$ ${\dfrac {m^{2}\;V_{0}^{\,4}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}{4\;k^{2}}}+\left[{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\right]^{2}={\dfrac {m^{2}\;V_{0}^{\,4}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}+{\dfrac {m^{2}\;V_{0}^{\,4}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{4}(\alpha _{0})}{k^{2}}}+2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\;$» soit, en regroupant les deux 1^ers termes du membre de droite et à l'aide de «$\;\sin ^{2}(\alpha _{0})+\cos ^{2}(\alpha _{0})=1\;$», «$\;{\vec {e}}^{2}={\dfrac {m^{2}\;V_{0}^{\,4}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}+2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {e}}^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\right]\;$» ;

     le mouvement de la particule $\;M\left(m\right)\;$ étant « à force centrale conservative », son énergie mécanique «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U_{\text{gravit}}(M_{t})={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}^{2}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}\;$» ${\big (}$la référence de l'énergie potentielle étant choisie à l'infini${\big )}\;$ est conservée soit l'intégrale 1^re énergétique «$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$» ;      nous en déduisons «$\;{\vec {e}}^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\;E_{m,\,0}\;$» soit, avec «$\;\Vert {\vec {e}}\Vert =e\;$ c'est-à-dire l'excentricité de la conique », «$\;e^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\;E_{m,\,0}\;$» ou encore, en réintroduisant la constante des aires «$\;C=$ $V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$», «$\;e^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;C^{2}}{k^{2}}}\;E_{m,\,0}\;$».

     $\;\succ \;$Cas attractif${\underline {\;k<0}}$ : «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ étant $\;\geqslant \;$ à $\;{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ lequel est $\;<0\;$» peut donc être $\;<0$, $\;=0\;$ ou $\;>0$, nous en déduisons

              Cas attractif k < 0 : $\;\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<0\;$» $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire pour $\;V_{0}<{\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}{\Bigg \}}$, l'excentricité de la conique «$\;e\;$ étant $\;<\;$ à $\;1\;$» la conique est une « ellipse »,

              Cas attractif k < 0 : $\;\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;=0\;$» $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire pour $\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}{\Bigg \}}$, l'excentricité de la conique «$\;e\;$ étant $\;=\;$ à $\;1\;$» la conique est une « parabole » et

              Cas attractif k < 0 : $\;\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>0\;$» $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire pour $\;V_{0}>{\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}{\Bigg \}}$, l'excentricité de la conique «$\;e\;$ étant $\;>\;$ à $\;1\;$» la conique est une « branche d'hyperbole », celle contournant le centre de force $\;O$ ;

     $\;\succ \;$Cas répulsif${\underline {\;k>0}}$ : «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ étant $\;\geqslant \;$ à $\;{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ lequel est $\;>0\;$» est donc $\;>0$, nous en déduisons, $\;\forall \;V_{0}$, que l'excentricité de la conique «$\;e\;$ est $\;>\;$ à $\;1\;$», ceci justifiant que la conique est effectivement une « branche d'hyperbole », celle ne contournant pas le centre de force $\;O$.

 

Autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace)

     On étudie le mouvement d'une particule $\;M\;$ de masse $\;m\;$ dans un champ newtonien de centre de champ $\;O$, celle-ci subit donc une force «$\;{\vec {F}}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ centrale » $\;{\bigg (}$avec $\;r=OM\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}{\bigg )}\;$ dont une des conséquences, en absence de toute autre force, est la nature plane $\;{\big (}$ou rectiligne${\big )}\;$ de son mouvement dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen.

     On repère le point $\;M\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires «$\;\left(r\,,\,\theta \,,\,z=0\right)\;$» dans la base cylindro-polaire locale «$\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$» $\;{\Big [}$le plan de la position et du vecteur vitesse initiales $\;\left(M_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant choisi pour plan $\;z=0{\Big ]}$.

Établissement d'une intégrale 1^re vectorielle du mouvement de la particule dans un champ newtonien introduisant la notion de « vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace) » du mouvement de la particule

     «$\;{\vec {V}}(t)\;$» désignant le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ soumis au champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et
     «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\;$ le moment cinétique vectoriel relativement au centre de force $\;O\;$» du point $\;M$ $\;{\big (}$à n'importe quel instant${\big )}$,
     établir, en appliquant la r.f.d.n. à la particule dans $\;{\mathcal {R}}$,
     établir l'intégrale 1^re du mouvement de la particule $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ exprimant que le vecteur «$\;{\vec {V}}(t)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}+k\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» est constant pour des C.I. fixées,
      établir l'intégrale 1^re du mouvement de la particule ( a ) exprimant que le vecteur initial «$\;{\vec {V}}(0)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}+k\;{\vec {u}}_{r}(0)\;$» étant noté «$\;{\vec {A}}\;$» et appelé « vecteur de Runge/Lenz » $\;{\big (}$ou encore « vecteur de Laplace »${\big )}\;$ du mouvement de la particule.

Solution

     On transforme d'abord la r.f.d.n. appliquée à la particule $\;M\left(m\right)\;$ soumise à un « mouvement à force centrale newtonienne » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, à savoir «$\;{\dfrac {k}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{r}(t)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)\;$» $\;{\bigg (}$avec $\;r=OM\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}{\bigg )}$, de façon à avoir un vecteur colinéaire à $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le 1^er membre et pour cela on multiplie vectoriellement à droite par «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(t)}{m}}={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}=C\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big (}C\;$ étant la constante des aires du mouvement${\big )}$, dans le but d'utiliser, dans le 1^er membre, «$\;{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{z}=-{\vec {u}}_{\theta }\;$» soit «$\;{\dfrac {k}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{r}(t)\wedge \left(C\;{\vec {u}}_{z}\right)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}}{dt}}(t)\wedge {\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(t)}{m}}\;$» ou encore «$\;-{\dfrac {k\;C}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{\theta }(t)={\dfrac {d\left({\vec {V}}\wedge {\vec {\sigma }}_{O}\right)}{dt}}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» ;

     le 2^nd membre de la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ étant déjà une dérivée temporelle, il reste à écrire le 1^er membre de cette relation sous forme d'une dérivée temporelle, et pour cela on utilise «$\;{\vec {u}}_{\theta }={\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{d\theta }}={\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\;{\dfrac {dt}{d\theta }}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{\theta }(t)$ $={\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}(t)\;{\dfrac {1}{r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}}\;$» soit finalement, en utilisant la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$», «$\;{\dfrac {1}{r^{2}(t)}}\;{\vec {u}}_{\theta }(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}(t)\;{\dfrac {1}{C}}\;$» ;

     la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ est donc équivalente à «$\;-k\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left({\vec {V}}\wedge {\vec {\sigma }}_{O}\right)}{dt}}(t)\;$» ou, en transposant dans un même membre, «$\;{\dfrac {d\left[{\vec {V}}\wedge {\vec {\sigma }}_{O}+k\;{\vec {u}}_{r}\right]}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$» soit finalement,

     une nouvelle intégrale 1^re du mouvement du point matériel $\;M\;$ dans le champ de force newtonien correspondant à la conservation de la grandeur vectorielle «$\;{\vec {V}}(t)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(t)+k\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» soit «$\;{\vec {V}}(t)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(t)+k\;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {V}}(0)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(0)+k\;{\vec {u}}_{r}(0),\;\;\forall \;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$»,
«$\;{\vec {V}}(0)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(0)+k\;{\vec {u}}_{r}(0)\;$» étant noté «$\;{\vec {A}}\;$» et définissant
le « vecteur de Runge/Lenz » $\;{\big (}$ou encore « vecteur de Laplace »${\big )}\;$ de la trajectoire de $\;M$,
soit encore, avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par $\;M_{0}\;$ et orienté vers ce dernier,
«$\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{0}\wedge \left(m\;C\;{\vec {u}}_{z}\right)+k\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big [}$avec $\;{\vec {V}}(0)={\vec {V}}_{0}{\big ]}$,
l'équation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ se réécrivant «$\;{\vec {V}}(t)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(t)+k\;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {A}},\;\;\forall \;t\;$».

 

Déduction, de l'intégrale 1^re vectorielle précédente du mouvement de la particule dans un champ newtonien, l'équation polaire de la trajectoire de cette dernière ainsi que sa nature

     En multipliant scalairement chaque membre de $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ par «$\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$», en déduire l'équation polaire de la trajectoire de la particule et

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « ur(t) », en déduire l'appartenance de cette dernière à la famille des coniques $\;{\Big [}$c'est-à-dire que celle-ci est une conique $\;{\big (}$ou, dans le cas d'une hyperbole, une branche d'hyperbole${\big )}\;$ dont $\;O\;$ est le (ou un des) foyer(s), on distinguera le cas d'un champ de force attractif de celui d'un champ de force répulsif et on précisera le paramètre de la conique ainsi que la position de l'axe focal relativement au vecteur «$\;{\vec {A}}\;$» $\;{\Big \{}$plus précisément expliciter le « vecteur de Runge/Lenz » $\;{\big (}$ou « vecteur de Laplace »${\big )}$ $\;{\vec {A}}\;$ en fonction du « vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ orientant l'axe focal de la conique $\;{\big (}$ou, dans le cas d'une hyperbole, de la branche de cette dernière${\big )}\;$», de l'« excentricité $\;e\;$ de la trajectoire » et du facteur «$\;k\;$ caractérisant la nature du champ de force newtonien »${\Big \}}{\Big ]}$.

Solution

     Projetant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}(t)$, on obtient «$\;\left[{\vec {V}}(t)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(t)+k\;{\vec {u}}_{r}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{r}(t)={\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}(t)\;$» avec «$\;\left[{\vec {V}}(t)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(t)+k\;{\vec {u}}_{r}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{r}(t)=\left[{\vec {u}}_{r}(t)\wedge {\vec {V}}(t)\right]\cdot {\vec {\sigma }}_{O}(t)+k\;$» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle et l'invariance d'un produit mixte de trois vecteurs par permutation circulaire ou encore «$\;\left[V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot {\vec {\sigma }}_{O}(0)+k\;$» ${\Big [}$en effet « la composante radiale de $\;{\vec {V}}(t)\;$ donne $\;{\vec {u}}_{r}\wedge V_{r}(t)\;{\vec {u}}_{r}={\vec {0}}\;$» et « la composante orthoradiale de $\;{\vec {V}}(t)$, $\;{\vec {u}}_{r}\wedge V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }=V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$»${\Big ]}\;$ que l'on peut réécrire en utilisant la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Leftrightarrow$ $\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r(t)}}\;$» d'une part et d'autre part «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)=m\;C\;{\vec {u}}_{z}\;$», «$\;\left[{\vec {V}}(t)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(t)+k\;{\vec {u}}_{r}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{r}(t)={\dfrac {m\;C^{2}}{r(t)}}+k\;$» d'où la réécriture de la projection de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$ «$\;k+{\dfrac {m\;C^{2}}{r(t)}}={\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{r(t)}}={\dfrac {{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}(t)-k}{m\;C^{2}}}\;$ ou $\;{\dfrac {1}{r(t)}}={\dfrac {{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}(t)-1}{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}}\;$» soit finalement, dans la mesure où « la dépendance en $\;\theta \;$ apparaît dans $\;{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\Big \{}$en effet $\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$ en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ou «$\;{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}=A_{x}\;\cos(\theta )+A_{y}\;\sin(\theta )\;$», $\;A_{x}={\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{x}\;$ et $\;A_{y}={\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$ étant des constantes car $\;{\vec {A}}\;$ est un vecteur constant${\Big \}}$, l'équation polaire de la trajectoire de $\;M\;$ «$\;r={\dfrac {\dfrac {m\;C^{2}}{k}}{{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}-1}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

     $\;\succ \;$Cas attractif${\underline {\;k<0}}$ : on pose «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$» et l'équation polaire se réécrit «$\;r={\dfrac {-p}{{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}-1}}\;$» ou «$\;r={\dfrac {p}{1-{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{1}\right)\;$» ;
              Cas attractif k < 0 : pour retrouver l'équation polaire attendue «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» il faut que «$\;-{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}\;$» s'identifie à «$\;e\;\cos(\theta -\varphi )=e\,\left[\cos(\theta )\;\cos(\varphi )+\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\;$» et comme «$\;{\vec {u}}_{r}=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$» les composantes cartésiennes de «$\;{\vec {A}}\,\left(A_{x}\,,\,A_{y}\right)\;$» doivent satisfaire «$\;-{\dfrac {A_{x}}{k}}\;\cos(\theta )-{\dfrac {A_{y}}{k}}\;\sin(\theta )=e\;\cos(\varphi )\;\cos(\theta )+e\;\sin(\varphi )\;\sin(\theta )\;\;\forall \;\theta \;$», réalisé si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {A_{x}}{k}}=-e\;\cos(\varphi )\\{\dfrac {A_{y}}{k}}=-e\;\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {A_{x}}{k}}={\dfrac {A_{x}}{\vert k\vert }}\\e\;\sin(\varphi )=-{\dfrac {A_{y}}{k}}={\dfrac {A_{y}}{\vert k\vert }}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit «$\;e={\sqrt {e^{2}\;\cos ^{2}(\varphi )+e^{2}\;\sin ^{2}(\varphi )}}={\sqrt {\left(-{\dfrac {A_{x}}{k}}\right)^{2}+\left(-{\dfrac {A_{y}}{k}}\right)^{2}}}={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{\vert k\vert }}\;$» et «$\;\varphi \;\in \left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}A_{x}\geqslant 0{\text{ et }}A_{y}\geqslant 0\\\left[+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right]\!\!&\!\!{\text{pour }}A_{x}\leqslant 0{\text{ et }}A_{y}\geqslant 0\\\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}A_{x}\geqslant 0{\text{ et }}A_{y}\leqslant 0\\\left[-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}A_{x}\leqslant 0{\text{ et }}A_{y}\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» tel que «$\;\tan(\varphi )={\dfrac {A_{y}}{A_{x}}}\;$ si $\;A_{x}\neq 0\;$» ou, « si $\;A_{x}=0$, $\;\varphi =\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{pour}}\;A_{y}>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{pour}}\;A_{y}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» et enfin « si $\;\left(A_{x}=0\,,\,A_{y}=0\right)$, $\;\varphi \;$ peut être quelconque car $\;e=0\;$» ;
              Cas attractif k < 0 : comme «$\;r={\dfrac {p}{1-{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{1}\right)\;$» s'écrit encore «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec «$\;e={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{\vert k\vert }}={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{-k}}\;$», la trajectoire suivie par la particule $\;M\;$ dans le champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est une conique ayant le centre de force $\;O\;$ pour le (ou un des) foyer(s), de paramètre «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$» et d'excentricité «$\;e={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{-k}}\;$», «$\;\varphi \;$ étant l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ;

Positionnement relatif du « vecteur de Runge/Lenz » $\;{\big (}$ou « vecteur de Laplace »${\big )}$ $\;{\vec {A}}\;$ et de l'axe focal d'une conique décrite par $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif de centre de force $\;O\;$ et rappel du vecteur excentricité $\;{\vec {e}}$

              Cas attractif k < 0 : de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{x}=\vert k\vert \;e\;\cos(\varphi )\\A_{y}=\vert k\vert \;e\;\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;e={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{\vert k\vert }}\;$» on tire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}=\Vert {\vec {A}}\Vert \;\cos(\varphi )\\A_{y}=\Vert {\vec {A}}\Vert \;\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$» dont nous déduisons que «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {A}}\right)}}=\varphi \;$» ;

              Cas attractif k < 0 : ci-contre le positionnement de l'axe focal de la conique relativement au « vecteur de Runge/Lenz $\;{\big (}$ou vecteur de Laplace${\big )}$ $\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(0)+k\;{\vec {u}}_{x}\;$» lequel a été construit dans un encadré grossi ci-contre avec «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$» dont on déduit la « constante des aires $\;C$ $=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})<0\;$» $\;{\big (}r_{0}\;$ étant égal à $\;OM_{0}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)=m\;V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'où «$\;{\vec {A}}=k\;{\vec {u}}_{x}+m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\left[-\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}+\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}\right]=\left[m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})+k\right]\,{\vec {u}}_{x}-{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» correspondant, sur le « schéma ci-contre, à $\;A_{y}>0$ $\;{\big [}\sin(2\;\alpha _{0})\;$ étant $\;<0{\big ]}\;$ et à $\;A_{x}<0\;$ pour $\;m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})<\vert k\vert \;$ d'où $\;\varphi \,\in \,\left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$» ;

              Cas attractif k < 0 : de «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\varphi \;$» et «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {A}}\right)}}=\varphi \;$» nous déduisons «$\;{\widehat {\left({\vec {A}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=0\;$» c'est-à-dire que l'« axe focal orienté par $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ est colinéaire au vecteur de Runge/Lenz $\;{\big (}$ou vecteur de Laplace${\big )}$ et de même sens $\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{0}\wedge \left(m\;C\;{\vec {u}}_{z}\right)+k\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;

              Cas attractif k < 0 : avec «$\;{\vec {A}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ colinéaires et de même sens » et l'« excentricité de la conique $\;e={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{\vert k\vert }}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {A}}=\vert k\vert \;e\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$».

              Cas attractif k < 0 : Formant «$\;e^{2}=\left({\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{\vert k\vert }}\right)^{\!\!2}={\dfrac {\left[m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})+k\right]^{2}+\left[-{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2}}\right]^{2}}{k^{2}}}={\dfrac {m^{2}\;V_{0}^{\,4}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{4}(\alpha _{0})}{k^{2}}}+2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1+{\dfrac {m^{2}\;V_{0}^{\,4}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\;$» soit, en regroupant le 1^er et le dernier termes du membre de droite et à l'aide de «$\;\sin ^{2}(\alpha _{0})+\cos ^{2}(\alpha _{0})=1\;$», «$\;e^{2}={\dfrac {m^{2}\;V_{0}^{\,4}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}+2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\;$» dont nous déduisons «$\;e^{2}-1=$ $2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\right]\;$» ;

              Cas attractif k < 0 : le mouvement de la particule $\;M\left(m\right)\;$ étant « à force centrale conservative », son énergie mécanique «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U_{\text{gravit}}(M_{t})={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}^{2}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}\;$» ${\big (}$la référence de l'énergie potentielle étant choisie à l'infini${\big )}\;$ est conservée soit l'intégrale 1^re énergétique «$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$» ;               Cas attractif k < 0 : nous en déduisons «$\;e^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\;E_{m,\,0}\;$» ou encore, en réintroduisant la constante des aires «$\;C=$ $V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$», «$\;e^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;C^{2}}{k^{2}}}\;E_{m,\,0}\;$».

              Cas attractif k < 0 : «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ étant $\;\geqslant \;$ à $\;{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ lequel est $\;<0\;$» peut donc être $\;<0$, $\;=0\;$ ou $\;>0$, nous en déduisons

              Cas attractif k < 0 : $\;\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<0\;$» $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire pour $\;V_{0}<{\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}{\Bigg \}}$, l'excentricité de la conique «$\;e\;$ étant $\;<\;$ à $\;1\;$» la conique est une « ellipse »,

              Cas attractif k < 0 : $\;\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;=0\;$» $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire pour $\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}{\Bigg \}}$, l'excentricité de la conique «$\;e\;$ étant $\;=\;$ à $\;1\;$» la conique est une « parabole » et

              Cas attractif k < 0 : $\;\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>0\;$» $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire pour $\;V_{0}>{\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}{\Bigg \}}$, l'excentricité de la conique «$\;e\;$ étant $\;>\;$ à $\;1\;$» la conique est une « branche d'hyperbole », celle contournant le centre de force $\;O$.

     $\;\succ \;$Cas répulsif${\underline {\;k>0}}$ : on pose «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;$» et l'équation polaire se réécrit «$\;r={\dfrac {p}{{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}-1}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{2}\right)\;$» ;
              Cas attractif k > 0 : pour retrouver l'équation polaire attendue «$\;r={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» il faut que «$\;{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}\;$» s'identifie à «$\;e\;\cos(\theta -\varphi )=e\,\left[\cos(\theta )\;\cos(\varphi )+\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\;$» et comme «$\;{\vec {u}}_{r}=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$» les composantes cartésiennes de «$\;{\vec {A}}\,\left(A_{x}\,,\,A_{y}\right)\;$» doivent satisfaire «$\;{\dfrac {A_{x}}{k}}\;\cos(\theta )+{\dfrac {A_{y}}{k}}\;\sin(\theta )=e\;\cos(\varphi )\;\cos(\theta )+e\;\sin(\varphi )\;\sin(\theta )\;\;\forall \;\theta \;$», réalisé si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {A_{x}}{k}}=e\;\cos(\varphi )\\{\dfrac {A_{y}}{k}}=e\;\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e\;\cos(\varphi )={\dfrac {A_{x}}{k}}\\e\;\sin(\varphi )={\dfrac {A_{y}}{k}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit «$\;e={\sqrt {e^{2}\;\cos ^{2}(\varphi )+e^{2}\;\sin ^{2}(\varphi )}}={\sqrt {\left({\dfrac {A_{x}}{k}}\right)^{2}+\left({\dfrac {A_{y}}{k}}\right)^{2}}}={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{k}}\;$» et «$\;\varphi \;\in \left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\!\!&\!\!{\text{pour }}A_{y}\geqslant 0\\\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right]\!\!&\!\!{\text{pour }}A_{y}\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \{}$«$\;A_{x}=m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})+k\;$» établi dans le cas attractif restant applicable dans le cas répulsif $\;{\big (}$justification plus bas dans ce paragraphe${\big )}$, nous en déduisons «$\;A_{x}>0\;$»${\bigg \}}\;$ tel que «$\;\tan(\varphi )={\dfrac {A_{y}}{A_{x}}}\;$ inversable en $\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {A_{y}}{A_{x}}}\right)\;$» ;

Positionnement relatif du « vecteur de Runge/Lenz » $\;{\big (}$ou « vecteur de Laplace »${\big )}$ $\;{\vec {A}}\;$ et de l'axe focal d'une branche d'hyperbole décrite par $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien répulsif de centre de force $\;O\;$ et rappel du vecteur excentricité $\;{\vec {e}}$

              Cas répulsif k > 0 : comme «$\;r={\dfrac {p}{{\dfrac {\vec {A}}{k}}\cdot {\vec {u}}_{r}-1}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}_{2}\right)\;$» s'écrit encore «$\;r={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» avec «$\;e={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{k}}\;$», la trajectoire suivie par la particule $\;M\;$ dans le champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est une branche d'hyperbole ayant le centre de force $\;O\;$ pour foyer non contourné par la branche, de paramètre «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;$» et d'excentricité «$\;e={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{k}}\;$», «$\;\varphi \;$ étant l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ;

              Cas répulsif k > 0 : ci-contre le positionnement de l'axe focal de la branche d'hyperbole ne contournant pas $\;O\;$ relativement au « vecteur de Runge/Lenz $\;{\big (}$ou vecteur de Laplace${\big )}$ $\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {\sigma }}_{O}(0)+k\;{\vec {u}}_{x}\;$» lequel a été construit dans un encadré grossi ci-contre avec «$\;{\vec {V}}_{0}$ $=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$» dont on déduit la « constante des aires $\;C$ $=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})<0\;$» $\;{\big (}$où $\;r_{0}=$ $OM_{0}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)=m\;V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'où «$\;{\vec {A}}=m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\left[-\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}+\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}\right]+k\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\Big \{}$en tenant compte de $\;\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}\right]\wedge \sigma _{O}(0)\;{\vec {u}}_{z}=-V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;\sigma _{O}(0)\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge \sigma _{O}(0)\;{\vec {u}}_{z}=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;\sigma _{O}(0)\;{\vec {u}}_{x}{\Big \}}\;$ soit, en regroupant, «$\;{\vec {A}}=$ $\left[m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})+k\right]\,{\vec {u}}_{x}-{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» correspondant, sur le « schéma ci-contre, à $\;A_{y}>0$ $\;{\Big [}\sin(2\;\alpha _{0})\;$ étant $\;<0{\Big ]}\;$ et à $\;A_{x}>0$ $\;{\Big [}m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$ et $\;k\;$ étant $\;>0{\Big ]}\;$» ;

              Cas répulsif k > 0 : de «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\varphi \;$» et «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {A}}\right)}}=\varphi \;$» nous déduisons «$\;{\widehat {\left({\vec {A}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=0\;$» c'est-à-dire que l'« axe focal orienté par $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ est colinéaire au vecteur de Runge/Lenz $\;{\big (}$ou vecteur de Laplace${\big )}\;$ et de même sens que ce dernier de la branche d'hyperbole $\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{0}\wedge \left(m\;C\;{\vec {u}}_{z}\right)+k\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;

              Cas répulsif k > 0 : avec «$\;{\vec {A}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ colinéaires et de même sens » et l'« excentricité de l'hyperbole égale à $\;e={\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{\vert k\vert }}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {A}}=\vert k\vert \;e\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$».

              Cas répulsif k > 0 : Formant «$\;e^{2}=\left({\dfrac {\Vert {\vec {A}}\Vert }{\vert k\vert }}\right)^{\!\!2}\;$» avec la même expression de $\;{\vec {A}}\;$ que dans le cas attractif nous obtenons «$\;e^{2}-1=$ $2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\right]\;$» ;

              Cas répulsif k > 0 : le mouvement de la particule $\;M\left(m\right)\;$ étant toujours « à force centrale conservative », son énergie mécanique «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U_{\text{gravit}}(M_{t})={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}^{2}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}\;$» ${\big (}$la référence de l'énergie potentielle étant choisie à l'infini${\big )}\;$ est encore conservée d'où l'intégrale 1^re énergétique «$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$» ;               Cas répulsif k > 0 : nous en déduisons «$\;e^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k^{2}}}\;E_{m,\,0}\;$» ou encore, en réintroduisant la constante des aires «$\;C=$ $V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$», «$\;e^{2}-1=2\;{\dfrac {m\;C^{2}}{k^{2}}}\;E_{m,\,0}\;$».

              Cas répulsif k > 0 : «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ étant $\;\geqslant \;$ à $\;{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$ lequel est $\;>0\;$» est donc $\;>0$, nous en déduisons, $\;\forall \;V_{0}$, que l'excentricité de la conique «$\;e\;$ est $\;>\;$ à $\;1\;$», ceci justifiant que la conique est effectivement une « branche d'hyperbole », celle ne contournant pas le centre de force $\;O$.

 

Lien entre le « vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace) » du mouvement de la particule dans le champ de force newtonien et le « vecteur excentricité » du même mouvement

     Dans l'exercice précédent « autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité » nous avons introduit la notion de « vecteur excentricité $\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{\theta }(0)+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}(0)\;$» ou, en conservant le choix des axes cartésiens adoptés dans l'exercice actuel «$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$» $\;{\Big \{}$tout comme le « vecteur de Runge/Lenz » $\;{\big (}$ou « vecteur de Laplace »${\big )}\;$ «$\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{M}(0)\wedge {\vec {\sigma }}_{O}+k\;{\vec {u}}_{r}(0)={\vec {V}}_{0}\wedge m\;C\;{\vec {u}}_{z}+k\;{\vec {u}}_{x}\;$», le « vecteur excentricité $\;{\vec {e}}\;$» est une grandeur conservée au cours du mouvement et son utilisation permet de retrouver l'équation polaire de la trajectoire de la particule ainsi que sa nature${\Big \}}$, nous nous proposons, dans cette question, de trouver un lien entre le « vecteur de Runge/Lenz » $\;{\big (}$ou « vecteur de Laplace »${\big )}\;$ «$\;{\vec {A}}\;$» et le « vecteur excentricité $\;{\vec {e}}\;$ de la trajectoire ».

Solution

     Ayant observé dans les deux « schémas de la solution de la question précédente » que le « vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace) $\;{\vec {A}}\;$» du mouvement de la particule dans le champ de force newtonien et le « vecteur excentricité $\;{\vec {e}}\;$» du même mouvement sont orthogonaux d'une part ainsi que leur « norme est liée à l'excentricité de la conique $\;e\;$» par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Vert {\vec {A}}\Vert =\vert k\vert \;e\\\Vert {\vec {e}}\Vert =e\end{array}}\right\rbrace \;$» d'autre part, nous multiplions vectoriellement $\;{\vec {e}}\;$ à droite par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour trouver une grandeur $\;\propto \;$ à $\;{\vec {A}}\;$ soit :

     «$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\vec {e}}\wedge {\vec {u}}_{z}=\left[{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\right]\wedge {\vec {u}}_{z}\;$ ou, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, «$\;{\vec {e}}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}+{\dfrac {m\;C}{k}}\;{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {u}}_{z}\;$» soit encore, avec «$\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$», «$\;{\vec {e}}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}+{\dfrac {m\;V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{k}}\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}+{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{k}}\left[-\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}+\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}\right]\;$» soit finalement «$\;{\vec {e}}\wedge {\vec {u}}_{z}=\left[{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{k}}+1\right]{\vec {u}}_{x}-{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2\;k}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» ;      ayant établi dans la « solution de la question précédente de cet exercice » «$\;{\vec {A}}=\left[m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})+k\right]\,{\vec {u}}_{x}-{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» que le champ de force newtonien soit attractif ou répulsif, nous en déduisons la relation cherchée «$\;{\vec {A}}=k\,\left[{\vec {e}}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]=-k\,\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {e}}\right]\;$» prouvant que «$\;{\vec {A}}\;$ est directement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {e}}\;$ dans le cas attractif $\;{\big (}k<0{\big )}\;$» et
«            indirectement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {e}}\;$ dans le cas répulsif $\;{\big (}k>0{\big )}\;$» ;      de même si on forme «$\;{\vec {A}}\wedge {\vec {u}}_{z}\;$» pour trouver une grandeur $\;\propto \;$ à $\;{\vec {e}}$, on obtient «$\;{\vec {A}}\wedge {\vec {u}}_{z}=k\,\left[{\vec {e}}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]\wedge {\vec {u}}_{z}=k\,\left\lbrace -{\vec {u}}_{z}^{2}\;{\vec {e}}+\left[{\vec {e}}\cdot {\vec {u}}_{z}\right]{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» en utilisant une des deux formules du double produit vectoriel ou encore, $\;{\vec {e}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;{\vec {A}}\wedge {\vec {u}}_{z}=-k\;{\vec {e}}\;$» ou «$\;{\vec {e}}={\vec {u}}_{z}\wedge {\dfrac {\vec {A}}{k}}\;$» prouvant que «$\;{\vec {e}}\;$ est directement $\;\perp \;$ à $\;{\dfrac {\vec {A}}{k}}\;$» c'est-à-dire que
«$\;{\vec {e}}\;$ est indirectement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {A}}\;$ dans le cas attractif $\;{\big (}k<0{\big )}\;$» et
«           directement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {A}}\;$ dans le cas répulsif $\;{\big (}k>0{\big )}\;$».        

 

Vitesses d'un satellite à son apogée et à son périgée

     Un satellite terrestre, assimilé à un point matériel $\;M\left(m\right)$, décrit autour de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ de centre $\;O$, une courbe fermée.

     La distance entre $\;M\;$ et $\;O\;$ est notée $\;r\;$ et on connaît les valeurs $\;r_{A}\;$ et $\;r_{P}\;$ de $\;r\;$ correspondant au satellite à l’apogée $\;A\;$ et au périgée $\;P\;$ de sa trajectoire.

     Sont également connues la constante de gravitation universelle $\;{\mathcal {G}}\;$ et la masse de la Terre $\;m_{\text{♁}}$.

     Seule l’interaction newtonienne entre la Terre $\;{\text{♁}}\;$ et le satellite $\;M\left(m\right)$ est prise en compte.

     Déterminer les vitesses du satellite $\;V_{A}=\Vert {\vec {V}}_{A}\Vert \;$ et $\;V_{P}=\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert \;$ à l’apogée $\;A\;$ et au périgée $\;P\;$ de sa trajectoire en fonction de $\;{\mathcal {G}}$, $\;m_{\text{♁}}$, $\;r_{A}\;$ et $\;r_{P}$.

Solution

     L'apogée $\;A\;$ et le périgée $\;P\;$ du satellite terrestre étant les seules positions occupées par ce dernier de vitesse orthoradiale, nous pouvons leur appliquer la loi des aires sous la forme «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}v_{A}\;r_{A}=C\\v_{P}\;r_{P}=C\end{array}}\right\rbrace \;$» en notant $\;C\;$ la constante des aires ainsi que $\;v_{A}\;$ et $\;v_{P}\;$ les vitesses instantanées du satellite sur sa trajectoire en $\;A\;$ et $\;P$ $\;{\big (}$vitesses instantanées de même signe que $\;C{\big )}\;$ ou, en choisissant le sens $\;+\;$ des mesures d'angles algébrisés du plan dans le sens du mouvement $\Rightarrow$ $\;C>0\;$ et par suite $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}v_{A}>0\\v_{P}>0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}v_{A}=\Vert {\vec {V}}_{A}\Vert =V_{A}\\v_{P}=\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert =V_{P}\end{array}}\right\rbrace$, soit finalement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{A}\;r_{A}=C\\V_{P}\;r_{P}=C\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;V_{A}=V_{P}\;{\dfrac {r_{P}}{r_{A}}}\;$».

     Il reste à déterminer directement $\;V_{P}\;$ par conservation de l'énergie mécanique, le mouvement du satellite terrestre $\;M\left(m\right)\;$ étant « à force centrale conservative » plus précisément newtonien ;

        Il reste à déterminer directement VP la trajectoire de $\;M\;$ étant une ellipse dont un des foyers est le centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}$, l’énergie mécanique «$\;E_{m}\;$ est $\;<0$, égale à $\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;a}}\;$» avec $\;a\;$ le demi-grand axe de l’ellipse, la référence de l'énergie potentielle de gravitation terrestre du satellite étant prise à l'infini, nous en déduisons, avec «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{\,2}(t)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r(t)}}\;$», «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{P}^{\,2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r_{P}}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;a}}\;$» ;

        Il reste à déterminer directement VP or «$\;2\;a=r_{P}+r_{A}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{P}^{\,2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r_{P}}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r_{P}+r_{A}}}\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{P}^{\,2}={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\left({\dfrac {1}{r_{P}}}-{\dfrac {1}{r_{P}+r_{A}}}\right)={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\;r_{A}}{r_{P}\left(r_{P}+r_{A}\right)}}\;$» d'où «$\;V_{P}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;r_{A}}{r_{P}\left(r_{P}+r_{A}\right)}}}\;$».      Le report de l'expression de $\;V_{P}\;$ déterminée ci-dessus dans celle de $\;V_{A}\;$ en fonction de $\;V_{P}$, $\;r_{P}\;$ et $\;r_{A}\;$ à savoir «$\;V_{A}=V_{P}\;{\dfrac {r_{P}}{r_{A}}}\;$» donne «$\;V_{A}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;r_{A}}{r_{P}\left(r_{P}+r_{A}\right)}}}\;{\dfrac {r_{P}}{r_{A}}}\;$» soit finalement «$\;V_{A}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;r_{P}}{r_{A}\left(r_{P}+r_{A}\right)}}}<V_{P}\;$».

 

Lancement d'un engin balistique

     Un engin balistique assimilé à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ doit joindre deux points du globe terrestre vus du centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ sous l'angle $\;\alpha$, le globe terrestre étant supposé sphérique de rayon $\;R_{\text{♁}}$.

     L'angle de tir $\;{\Big \{}$angle du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de l'engin balistique dans le référentiel géocentrique $\;{\big (}$supposé galiléen${\big )}\;$ avec l'horizontale au point de lancement${\Big \}}\;$ est noté «$\;\beta _{0}\;$» $\;{\bigg (}$le sens d'algébrisation de cet angle de tir étant choisi pour que «$\;\beta _{0}\;\in \;\left[0{\text{ , }}+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$»${\bigg )}$.

Détermination de l'excentricité de la portion de conique suivie par l'engin balistique

     Rappeler, sans démonstration, l'équation polaire de la trajectoire de l'engin balistique, le « pôle du repérage de ce dernier étant le centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}\;$» et l'« axe polaire de ce repérage la verticale ascendante du lieu au point $\;A\;$ de lancement, verticale orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\bigg \{}$les angles algébrisés du plan de la trajectoire noté $\;zOx\;$ étant orienté par $\;{\vec {u}}_{y}\,\perp \;$ à ce plan et tel que «$\;\beta _{0}\;\in \;\left[0{\text{ , }}+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» avec la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ orthonormée directe $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}$, les coordonnées polaires de l'engin balistique $\;M\;$ étant $\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$ et la base polaire liée à $\;M$ $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ telle que $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$ soit orthonormée directe${\bigg \}}$,

     déterminer l'axe focal de la conique suivie par l'engin balistique terrestre en exprimant l'« angle $\;\varphi \;$ que fait l'axe focal avec l'axe polaire » en fonction de $\;\alpha \;$ puis

     déterminer l'excentricité «$\;e\;$» de la conique en fonction de $\;\alpha \;$ et $\;\beta _{0}\;$ ainsi que

     déterminer la nature elliptique de cette dernière compte-tenu du fait que la trajectoire de l'engin balistique terrestre doit atteindre le point d'arrivée $\;B\;$ sur le globe terrestre postérieurement après son point de lancement $\;A$ $\;{\big [}$la trajectoire entre $\;A\;$ et $\;B\;$ ne pouvant évidemment pas être à l'intérieur de la Terre $\;{\text{♁}}{\big ]}$.

     Faire l'A.N. avec «$\;\alpha =30\;{\text{°}}\;$ et $\;\beta _{0}=30\;{\text{°}}\;$».

Solution

Lancement d'un engin balistique d'une position $\;A\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ avec un vecteur vitesse initiale incliné vers le haut sur l'horizontale d'un angle $\;\beta _{0}\;$ fixé, dans le but d'atteindre une position $\;B\;$ du globe telle que $\;A\;$ et $\;B\;$ sont vues du centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ sous un angle $\;\alpha \;$ imposé

     La trajectoire de l'engin balistique $\;M\left(m\right)\;$ est une conique dont le $\;{\big (}$ou un des${\big )}\;$ foyer${\big (}$s${\big )}\;$ est le centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}$ $\;{\big (}$centre de force de gravitation terrestre newtonienne${\big )}$, située dans le plan contenant $\;O\;$ ainsi que les positions initiale et finale $\;A\;$ et $\;B$, le sens $\;+\;$ des angles de ce plan étant le sens du mouvement de $\;M\;$ sur la trajectoire de cellui-ci, dont l'équation polaire, avec pour « pôle de repérage le centre $\;O\;$» et pour « axe polaire, la verticale ascendante du lieu au point $\;A\;$ de lancement », est «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$», $\;p\;$ étant le paramètre de la conique, $\;e\;$ son excentricité et $\;\varphi \;$ l'angle orienté que fait l'axe focal avec l'axe polaire ;

     la conique devant passer par $\;A\;$ et $\;B\;$ avec pour abscisse angulaire respective «$\;\theta _{A}=0\;$» et «$\;\theta _{B}=\alpha \;$», nous en déduisons, en notant $\;R_{\text{♁}}\;$ le rayon du globe terrestre supposé sphérique, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}R_{\text{♁}}={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\varphi )}}\!\!&\!\!{\text{ d'une part}}\\R_{\text{♁}}={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\alpha -\varphi )}}\!\!&\!\!{\text{ d'autre part}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;cos(\varphi )=cos(\alpha -\varphi )\;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}\varphi \equiv -(\alpha -\varphi )\!\!&\!\!{\pmod {2\;\pi }}\\\varphi \equiv \alpha -\varphi \!\!&\!\!{\pmod {2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$», la « 1^re condition équivalente à $\;\alpha \equiv 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ étant évidemment non réalisable », seule la « 2^nde l'est aboutissant à $\;\varphi \equiv {\dfrac {\alpha }{2}}\!\!{\pmod {\pi }}\;$» et finalement, en se limitant aux valeurs de $\;\varphi \;$ comprises entre $\;-\pi \;$ et $\;+\pi$, «$\;\varphi ={\dfrac {\alpha }{2}}\;$» ou «$\;\varphi ={\dfrac {\alpha }{2}}-\pi \;$» ;

     «$\;\beta _{0}\;$» étant l'inclinaison vers le haut $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ du vecteur vitesse initiale en $\;A\;$ avec l'horizontale orientée par $\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, nous en déduisons «$\;\tan(\beta _{0})=$ ${\dfrac {V_{r,\,0}}{V_{\theta ,\,0}}}\;$» avec «$\;V_{r,\,0}\;$ et $\;V_{\theta ,\,0}\;$ les composantes respectivement radiale et orthoradiale du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ en $\;A\;$» ou, en utilisant les « expressions de Binet » des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse «$\;\tan(\beta _{0})={\dfrac {-C\;u'(\theta =0)}{C\;u(\theta =0)}}\;$», $\;C\;$ étant la constante des aires du mouvement de l'engin balistique terrestre et $\;\left\lbrace u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}\,,\,u'(\theta )={\dfrac {du}{d\theta }}\right\rbrace \;$ la 1^re et 2^ème variables de Binet fonction de $\;\theta$, soit finalement «$\;\tan(\beta _{0})=-{\dfrac {u'(\theta =0)}{u(\theta =0)}}\;$» ;

                 or «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}={\dfrac {1+e\;\cos(\theta -\varphi )}{p}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;u'(\theta )={\dfrac {-e\;\sin(\theta -\varphi )}{p}}\;$» d'où «$\;\tan(\beta _{0})=-{\dfrac {u'(\theta =0)}{u(\theta =0)}}=-{\dfrac {e\;\sin(\varphi )}{1+e\;\cos(\varphi )}}\;$» ;

                 $\;\succ \;$l'hypothèse «$\;\varphi ={\dfrac {\alpha }{2}}\;$» conduisant à «$\;\tan(\beta _{0})=-{\dfrac {e\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}{1+e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}\;$» avec «$\;\beta _{0}\,\in \,\left[0{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\beta _{0})>0\;$» alors que «$\;\alpha \,\in \,\left]0{\text{ ; }}\pi \right[\;$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)>0\\\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)>0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;-{\dfrac {e\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}{1+e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}<0\;$» d'où hypothèse rejetée ;

                 $\;\succ \;$l'hypothèse «$\;\varphi ={\dfrac {\alpha }{2}}-\pi \;$» conduit à «$\;\tan(\beta _{0})={\dfrac {e\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}{1-e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}\;$» ; il reste à vérifier que l'expression obtenue pour $\;\tan(\beta _{0})\;$ est en accord avec «$\;\beta _{0}\,\in \,\left[0{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\beta _{0})>0\;$» et avec «$\;\alpha \,\in \,\left]0{\text{ ; }}\pi \right[\;$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)>0\\\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)>0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {e\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}{1-e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}>0\;$» $\;{\Bigg \{}$ceci étant réalisé à condition que «$\;1-e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\;$ soit $\;>0\;$» ce qui nécessite «$\;e<{\dfrac {1}{\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}\;$ »${\Bigg \}}$ ;

                 en conclusion l'angle algébrisé «$\;\varphi \;$» entre l'axe polaire et l'axe focal de la conique suivie par l'engin balistique terrestre pour joindre les points $\;A\;$ et $\;B\;$ sous l'angle $\;\alpha \;$ vaut «$\;\varphi ={\dfrac {\alpha }{2}}-\pi <0\;$» et
                 en conclusion le lien entre «$\;\beta _{0}$, $\;\alpha \;$ et l'excentricité $\;e<{\dfrac {1}{\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}\;$ de la conique » est «$\;\tan(\beta _{0})={\dfrac {e\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}{1-e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;e\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)=\tan(\beta _{0})\left[1-e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\right]\;$» dont on peut tirer l'excentricité $\;e\;$ par «$\;e\left[\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)+\tan(\beta _{0})\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\right]=\tan(\beta _{0})\;$» soit, en multipliant de part et d'autre par «$\;\cos(\beta _{0})\;$», «$\;e\left[\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\;\cos(\beta _{0})+\sin(\beta _{0})\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\right]=\sin(\beta _{0})\;$» ou, en reconnaissant le « développement de $\;\sin(a+b)\;$» dans le membre de gauche, l'expression de l'excentricité de la conique suivie par l'engin balistique terrestre pour joindre les points $\;A\;$ et $\;B\;$ sous l'angle $\;\alpha \;$ «$\;e={\dfrac {\sin(\beta _{0})}{\sin \!\left(\beta _{0}+{\dfrac {\alpha }{2}}\right)}}\;$».

     Pour des « valeurs de $\;\beta _{0}\;$ et de $\;\alpha \;$» fixées, l'« excentricité $\;e\;$ de la conique » peut être «$\;<$, $\;=\;$ ou $\;>\;$ à $\;1\;$», c'est-à-dire que la trajectoire de l'engin balistique terrestre passant par $\;A\;$ et $\;B\;$ avec la tangente en $\;A\;$ y étant inclinée d'un angle $\;\beta _{0}\;$ sur l'horizontale, peut être

• une « ellipse »,
• une « parabole » ou
• une « branche d'hyperbole » mais $\;\ldots$

     dans ces deux derniers cas, compte-tenu de l'orientation de l'axe focal, l'engin balistique s'éloignerait à l'infini à partir de $\;A$, son passage par $\;B$ $\;{\big (}$symétrique de $\;A\;$ par rapport à l'axe focal${\big )}\;$ précédant nécessairement son passage par $\;A\;$ dans la mesure où les points ne sont atteints qu'une seule fois $\Rightarrow$ partant de $\;A$, l'engin balistique n'atteindrait pas $\;B$ ;

     ainsi, pour des raisons de préséance $\;{\big (}$mais aussi du fait que la trajectoire de l'engin ne peut pénétrer le globe terrestre${\big )}$, les trajectoires parabolique et hyperbolique de l'engin balistique terrestre devant joindre les points $\;A\;$ et $\;B\;$ sous l'angle $\;\alpha \;$ avec un angle de tir $\;\beta _{0}\;$ vers le haut sur l'horizontale en $\;A$, sont irréalisables $\;{\big (}$en effet de telles trajectoires impliquant que l'engin balistique terrestre passe par $\;B\;$ avant de passer par $\;A$, ceci n'aurait été possible qu'avec une pénétration de l'engin à l'intérieur du globe terrestre entre $\;B\;$ et $\;A{\big )}\;$ et par conséquent, pour que les points $\;A\;$ et $\;B\;$ du globe terrestre séparés d'un angle $\;\alpha \;$ soient joints par l'engin balistique lancé de $\;A\;$ avec un angle de tir $\;\beta _{0}\;$ vers le haut sur l'horizontale, il est indispensable que les « valeurs de $\;\beta _{0}\;$ et de $\;\alpha \;$» soient fixées telles que «$\;e\;$ soit $\;<\;$ à $\;1\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\sin(\beta _{0})<\sin \!\left(\beta _{0}+{\dfrac {\alpha }{2}}\right)\;$» ou encore «$\;\sin \!\left(\beta _{0}+{\dfrac {\alpha }{2}}\right)-\sin(\beta _{0})>0\;$» ce qui est réalisé pour «$\;\tan(\beta _{0})<\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {\alpha }{4}}\right)\;$», la trajectoire de l'engin balistique terrestre étant alors une portion d'ellipse.

     A.N. : $\;\beta _{0}=30\,{\text{°}}\;$ et $\;\alpha =30\,{\text{°}}\;$ satisfaisant $\;\beta <90\,{\text{°}}-{\dfrac {\alpha }{4}}\;$ car $\;30\,{\text{°}}<82,5\,{\text{°}}\;$ sont des valeurs permettant un tir balistique pour joindre les points $\;A\;$ et $\;B$, l'excentricité de l'ellipse suivie par l'engin balistique valant «$\;e={\dfrac {\sin(30\,{\text{°}})}{\sin \!\left(30\,{\text{°}}+{\dfrac {30\,{\text{°}}}{2}}\right)}}={\dfrac {\sin(30\,{\text{°}})}{\sin \!\left(45\,{\text{°}}\right)}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$».

 

Détermination du demi-grand axe de la trajectoire de l'engin balistique

     Exprimer, en fonction de «$\;e$, $\;\alpha \;$ et du rayon terrestre $\;R_{\text{♁}}\;$», le demi grand axe «$\;a\;$» de la trajectoire puis

     faire l'A.N. avec «$\;R_{\text{♁}}\simeq 6400\;km\;$».

Solution

     La trajectoire de l'engin balistique terrestre étant une portion d'ellipse d'équation polaire «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$», $\;p\;$ étant le paramètre de la conique, $\;e\;$ son excentricité et $\;\varphi ={\dfrac {\alpha }{2}}-\pi <0\;$ l'angle orienté que fait l'axe focal avec l'axe polaire, avec «$\;r_{A}={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta _{A}-\varphi )}}\;$» se réécrivant, avec $\;\left(r_{A}=R_{\text{♁}}\,,\,\theta _{A}=0\right)$, «$\;R_{\text{♁}}={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\varphi )}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;p=R_{\text{♁}}\left[1+e\;\cos(\varphi )\right]=R_{\text{♁}}\left[1+e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}-\pi \right)\right]\;$» ou «$\;p=$ $R_{\text{♁}}\left[1-e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\right]\;$», son demi-grand axe $\;a\;$ est lié à son paramètre $\;p\;$ et à son excentricité $\;e\;$ par «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$» $\;{\bigg [}$en effet $\;2\;a=r_{\text{périgée}}+r_{\text{apogée}}={\dfrac {p}{1+e}}+{\dfrac {p}{1-e}}={\dfrac {2\;p}{1-e^{2}}}{\bigg ]}\;$ d'où, en y reportant l'« expression de $\;p\;$ en fonction de $\;e$, $\;\alpha \;$ et $\;R_{\text{♁}}\;$» «$\;a=R_{\text{♁}}\;{\dfrac {1-e\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)}{1-e^{2}}}\;$».

     A.N. : $\;R_{\text{♁}}=6400\;km\;$ $\Rightarrow$ «$\;a\simeq 6400\times {\dfrac {1-0,707\times \cos \!\left({\dfrac {30\,{\text{°}}}{2}}\right)}{1-\left(0,707\right)^{2}}}\;$ en $\;km\;$» soit «$\;a\simeq 4057\;km\;$».

 

Détermination de la vitesse initiale de lancement de l'engin balistique

     Rappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie mécanique de l'engin balistique dans le champ de gravitation terrestre en fonction du demi grand axe «$\;a\;$» de sa trajectoire ainsi que de la constante de gravitation universelle $\;{\mathcal {G}}$, de la masse de la Terre $\;m_{\text{♁}}\;$ et de la masse $\;m\;$ de l'engin balistique puis

     en déduire la vitesse initiale «$\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$» à communiquer à l'engin dans le référentiel géocentrique en fonction de «$\;a$, $\;{\mathcal {G}}\;$ et $\;m_{\text{♁}}\;$» et

     faire l'A.N. avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ et $\;m_{\text{♁}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$».

Solution

     L'énergie mécanique de l'engin balistique terrestre $\;M\left(m\right)\;$ décrivant une portion d'ellipse de demi-grand axe $\;a\;$ étant conservée à la valeur «$\;E_{m}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;a}}\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de gravitation terrestre étant choisie à l'infini${\big )}\;$ et
     son énergie mécanique de lancement s'écrivant «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\,m_{\text{♁}}\,m}{R_{\text{♁}}}}\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de gravitation terrestre étant toujours choisie à l'infini${\big )}$,
     nous en déduisons «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\,m_{\text{♁}}\,m}{R_{\text{♁}}}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;a}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\left({\dfrac {1}{R_{\text{♁}}}}-{\dfrac {1}{2\;a}}\right)={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\;{\dfrac {2\;a-R_{\text{♁}}}{2\;a\;R_{\text{♁}}}}\;$» soit, après simplification évidente «$\;V_{0}={\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;{\dfrac {2\;a-R_{\text{♁}}}{a\;R_{\text{♁}}}}}}\;$».

     A.N. : $\;{\mathcal {G}}=6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ et $\;m_{\text{♁}}=6,0\;10^{24}\;kg\;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{0}={\sqrt {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}\times {\dfrac {2\times 4,057\;10^{6}-6,4\;10^{6}}{4,057\;10^{6}\times 6,4\;10^{6}}}}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;V_{0}\simeq 5,14\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» ou «$\;V_{0}\simeq 5,14\;km\cdot s^{-1}\;$».

 

Détermination de l'altitude maximale atteinte par l'engin balistique

     Déterminer l'altitude maximale «$\;h_{\text{max}}\;$» atteinte par l'engin balistique en fonction de «$\;a$, $\;e\;$ et $\;R_{\text{♁}}\;$» et

     faire l'A.N.

Solution

     L'altitude maximale atteinte par l'engin balistique terrestre $\;M\;$ correspond à celle de son apogée soit «$\;h_{\text{max}}=r_{\text{apogée}}-R_{\text{♁}}={\dfrac {p}{1-e}}-R_{\text{♁}}\;$» ou, en explicitant le paramètre $\;p\;$ de la trajectoire elliptique de $\;M\;$ en fonction du demi-grand axe $\;a\;$ et de l'excentricité $\;e\;$ de cette dernière «$\;p=a\;(1-e^{2})\;$», «$\;h_{\text{max}}=a\;(1+e)-R_{\text{♁}}\;$».

     A.N. : «$\;h_{\text{max}}\simeq 4057\times (1+0,707)-6400\;$ en $\;km\;$» soit «$\;h_{\text{max}}\simeq 526\;km\;$».

 

Transfert d'orbite pour un satellite, ellipse de Hohmann

Représentation de l'ellipse de transfert de Hohmann faisant passer le satellite terrestre d'une orbite circulaire de rayon $\;R_{1}\;$ à une orbite circulaire de rayon $\;R_{2}>R_{1}\;$

     On veut faire passer un satellite de la Terre $\;{\text{♁}}$, d'une orbite circulaire de rayon $\;R_{1}\;$ sur une orbite circulaire de rayon $\;R_{2}>R_{1}\;$ en lui faisant décrire une ellipse de grand axe $\;M_{1}M_{2}$ $\;{\big (}M_{1}\;$ étant sur le 1^er cercle et $\;M_{2}\;$ sur le 2^nd, voir schéma ci-contre${\big )}$.

     Pour cela, lors du passage du satellite en la position $\;M_{1}\;$ on provoque la variation de vitesse permettant de réaliser ce transfert, puis

     Pour cela, lorsque le satellite sur l'ellipse de transfert arrive en la position $\;M_{2}\;$ on provoque une nouvelle variation de vitesse pour que le satellite passe sur l'orbite circulaire de rayon $\;R_{2}\;$.

     L'étude étant faite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, on se propose de calculer :

• les vitesses «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{1})=\Vert {\vec {V}}_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{1})\Vert \;$» et «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{2})=\Vert {\vec {V}}_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{2})\Vert \;$» du satellite sur l'orbite de transfert aux positions $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$,
• les variations d'énergie cinétique «$\;\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})\;$» et «$\;\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})\;$» du satellite de masse $\;m\;$ lors du transfert en $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$,
• l'apport total d'énergie mécanique «$\;\Delta E_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M)\;$» nécessaire pour réaliser le transfert souhaité.

     A.N. : «$\;m=1000\;kg\;$», «$\;m_{\text{♁}}=6,0\;10^{24}\;kg$ $\;{\big (}$masse de la Terre${\big )}\;$», «$\;R_{1}=6500\;km\;$», «$\;R_{2}=6700\;km\;$» et «$\;{\mathcal {G}}=6,67\;10^{-11}\;U.S.I.$ $\;{\big (}$constante de gravitation universelle${\big )}\;$».

Solution

     $\;\succ \;$Le demi-grand axe de l'ellipse de Hohmann étant tel que «$\;R_{1}+R_{2}=2\;a\;$» $\;{\big (}$voir schéma ci-dessus${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;a={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}\;$», on en déduit l'énergie mécanique du satellite $\;M\left(m\right)\;$ sur cette orbite elliptique «$\;E_{m,\,{\text{ell. de Hohm.}}}=$ ${\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m\;m_{\text{♁}}}{2\;a}}\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de gravitation terrestre du satellite étant choisie à l'infini${\big )}\;$ soit, en y reportant l'expression de «$\;a\;$», «$\;E_{m,\,{\text{ell. de Hohm.}}}={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m\;m_{\text{♁}}}{R_{1}+R_{2}}}\;$» ;

           cette énergie mécanique étant conservée sur toute l'ellipse, elle s'exprime en $\;M_{1}\;$ selon «$\;E_{m,\,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{1})={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\text{ell. de Hohm.}}^{\,2}(M_{1})-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m\;m_{\text{♁}}}{R_{1}}}\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de gravitation terrestre du satellite étant toujours choisie à l'infini${\big )}\;$ laquelle, s'identifiant à «$\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m\;m_{\text{♁}}}{R_{1}+R_{2}}}\;$», $\Rightarrow$ «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}^{\,2}(M_{1})=2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\left({\dfrac {1}{R_{1}}}-{\dfrac {1}{R_{1}+R_{2}}}\right)={\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;R_{2}}{R_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}\;$» soit finalement l'expression de la vitesse du satellite sur l'ellipse de Hohmann en la position d'entrée $\;M_{1}\;$ «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{1})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;R_{2}}{R_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}}\;$» ;

           on détermine la vitesse sur l'ellipse de Hohmann en la position de sortie $\;M_{2}\;$ en « permutant les indices $\;_{1}\;$ et $\;_{2}\;$» soit «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{2})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;R_{1}}{R_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}}\;$».

     $\;\succ \;$Pour que le satellite passe du cercle de rayon $\;R_{1}\;$ à son orbite de transfert, il faut lui fournir en $\;M_{1}\;$ «$\;\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\text{ell. de Hohm.}}^{\,2}(M_{1})-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\text{circ}}^{\,2}(R_{1})\;$» où «$\;V_{\text{circ}}(R_{1})\;$» est sa vitesse sur son orbite circulaire de rayon $\;R_{1}$ $\;{\big (}$encore appelée « vitesse circulaire » de rayon $\;R_{1}{\big )}$ ; il reste à déterminer cette dernière $\;{\bigg \{}$par exemple en appliquant la r.f.d.n. et projetant sur «$\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec utilisation de l'accélération radiale pour un mouvement circulaire de rayon $\;R_{1}\;$ «$\;a_{r}$ $=-R_{1}\;{\dot {\theta }}_{\text{circ}}^{\,2}(R_{1})=-{\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(R_{1})}{R_{1}}}\;$» soit $\;{\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{1}^{\,2}}}=-m\;{\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(R_{1})}{R_{1}}}\;\ldots {\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{\text{circ}}(R_{1})={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{1}}}}\;$» d'où le gain nécessaire d'énergie cinétique en $\;M_{1}\;$ «$\;\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;R_{2}}{R_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{1}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{1}}}\left({\dfrac {2\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}-1\right)\;$» soit finalement «$\;\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{1}}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}\;$» ;            pour que le satellite passe de son orbite de transfert au cercle de rayon $\;R_{2}$, il faut lui fournir en $\;M_{2}\;$ «$\;\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\text{circ}}^{\,2}(R_{2})-{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\text{ell. de Hohm.}}^{\,2}(M_{2})\;$» où «$\;V_{\text{circ}}(R_{2})\;$» est sa vitesse sur son orbite circulaire de rayon $\;R_{2}$ $\;{\big (}$c'est-à-dire la « vitesse circulaire » de rayon $\;R_{2}{\big )}\;$ égale à «$\;V_{\text{circ}}(R_{2})={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{2}}}}\;$» d'où le gain nécessaire d'énergie cinétique en $\;M_{2}\;$ pour le transfert sur l'orbite circulaire de rayon $\;R_{2}\;$ «$\;\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{2}}}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;R_{1}}{R_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{2}}}\left(1-{\dfrac {2\;R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\right)\;$» soit finalement «$\;\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{2}}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}\;$».      $\;\succ \;$L'apport total d'énergie mécanique nécessaire pour réaliser le transfert étant la somme des gains d'énergie cinétique à chaque changement de trajectoire se calcule par «$\;\Delta E_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M)=$ $\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})+\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{1}}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}+{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{2}}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}\left({\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}\right)={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}\;{\dfrac {R_{2}+R_{1}}{R_{1}\;R_{2}}}\;$» soit «$\;\Delta E_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M)={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2\;R_{1}\;R_{2}}}\;$».

     A.N. : Avec «$\;m=1000\;kg\;$», «$\;m_{\text{♁}}=6,0\;10^{24}\;kg\;$», «$\;R_{1}=6500\;km\;$» $\;{\big (}\simeq 100\;km\;$ d'altitude${\big )}$, «$\;R_{2}=6700\;km\;$» $\;{\big (}\simeq 300\;km\;$ d'altitude${\big )}\;$ et «$\;{\mathcal {G}}=6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$», nous déduisons

• «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{1})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;R_{2}}{R_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times 6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}\times 6,7\;10^{6}}{6,5\;10^{6}\times (6,5\;10^{6}+6,7\;10^{6})}}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit finalement «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{1})\simeq 7,906\;km\cdot s^{-1}\;$» ; il peut être intéressant de comparer cette vitesse à la vitesse circulaire au même point «$\;V_{\text{circ}}(R_{1})={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{1}}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{6,5\;10^{6}}}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit encore «$\;V_{\text{circ}}(R_{1})\simeq 7,846\;km\cdot s^{-1}\;$» d'où une augmentation nécessaire de vitesse au point $\;M_{1}\;$ de «$\;60\;m\cdot s^{-1}\;$» ;
• «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{2})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;R_{1}}{R_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times 6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}\times 6,5\;10^{6}}{6,7\;10^{6}\times (6,5\;10^{6}+6,7\;10^{6})}}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit finalement «$\;V_{\text{ell. de Hohm.}}(M_{2})\simeq 7,670\;km\cdot s^{-1}\;$» ; il peut être intéressant de comparer cette vitesse à la vitesse circulaire au même point «$\;V_{\text{circ}}(R_{2})={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{2}}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{6,7\;10^{6}}}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit encore «$\;V_{\text{circ}}(R_{2})\simeq 7,729\;km\cdot s^{-1}\;$» d'où une augmentation nécessaire de vitesse au point $\;M_{2}\;$ de «$\;59\;m\cdot s^{-1}\;$» ;
• l'apport d'énergie en $\;M_{1}\;$ est «$\;\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{1}}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}\times 1000}{2\times 6,5\;10^{6}}}\times {\dfrac {6,7\;10^{6}-6,5\;10^{6}}{6,7\;10^{6}+6,5\;10^{6}}}\;$ en $\;J\;$» soit «$\;\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})$ $\simeq 466,4\;MJ\;$» ;
• l'apport d'énergie en $\;M_{2}\;$ est «$\;\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;R_{2}}}\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{2}+R_{1}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}\times 1000}{2\times 6,7\;10^{6}}}\times {\dfrac {6,7\;10^{6}-6,5\;10^{6}}{6,7\;10^{6}+6,5\;10^{6}}}\;$ en $\;J\;$» soit «$\;\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})$ $\simeq 452,5\;MJ\;$» ;
• au total l'apport d'énergie fournie au satellite vaut «$\;\Delta E_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M)=\Delta K_{{\text{ell. de Hohm.}}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M_{1})+\Delta K_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{ell. de Hohm.}}}(M_{2})\simeq 466,4+452,5\;$ en $\;MJ\;$» soit «$\;\Delta E_{{\text{cercle de rayon}}\,R_{2}\,\leftarrow \,{\text{cercle de rayon}}\,R_{1}}(M)\simeq 918,9\;MJ\simeq 919\;MJ\;$», ce qui correspond à un gain d'énergie potentielle $\;{\Bigg \{}$valant «$\;\Delta U_{\text{gravit. terr.}}={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{2}}}-{\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{1}}}={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\;{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{R_{1}\;R_{2}}}\;$» soit «$\;\Delta U_{\text{gravit. terr.}}$ $=\simeq 6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}\times 1000\times {\dfrac {6,7\;10^{6}-6,5\;10^{6}}{6,5\;10^{6}\times 6,7\;10^{6}}}\;$ en $\;J\;$» c'est-à-dire «$\;\Delta U_{\text{gravit. terr.}}\simeq 1838\;MJ\;$»${\Bigg \}}\;$ et à une « perte d'énergie cinétique de $\;\simeq 1838\;MJ-919\;MJ\simeq 919\;MJ\;$», le satellite « perdant $\;\simeq 7846\;m\cdot s^{-1}-7729\;m\cdot s^{-1}\simeq 117\;m\cdot s^{-1}\;$ en vitesse ».

 

Comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973)

Positionnement de l'orbite de la grande comète de $1973$ $\;{\big (}$assimilée à une parabole${\big )}\;$ par rapport à l'orbite de la Terre $\;{\text{♁}}$ $\;{\big (}$assimilée à un cercle${\big )}$

     La grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» est passée le $\;28\;{\text{décembre}}\;1973\;$ à la position $\;P\;$ la plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}$, sa distance au centre $\;S\;$ du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ était alors «$\;SP=d\simeq 21\;10^{6}\;km=0,14\;ua\;$».

     Pour simplifier, nous assimilerons l'orbite terrestre à un cercle de rayon «$\;a\simeq 150\;10^{6}\;km=1\;ua\;$» parcourue à la vitesse «$\;u=30\;km\cdot s^{-1}\;$» et l'orbite de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» à une parabole située dans le plan de l'orbite terrestre, la constante de gravitation universelle étant notée «$\;{\mathcal {G}}\;$» et la masse du Soleil «$\;m_{\text{☉}}\;$» $\;{\big [}$mais leurs valeurs numériques n'étant pas fournies ne doivent donc pas être utilisées $\;{\big (}$il faut se limiter aux données numériques du texte${\big )}{\big ]}$.

Calcul de la vitesse de la comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973) au passage au plus proche du Soleil

     En assimilant le mouvement de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» à un mouvement parabolique, calculer la vitesse de la comète en la position $\;P\;$ la plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}\;$, «$\;V_{({\mathcal {K}})}(P)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {K}})}(P)\Vert \;$».

Solution

     La trajectoire de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» étant assimilée à une parabole, l'énergie mécanique de cette comète est nulle, ce qui donne, en explicitant l'énergie mécanique de la comète en la position $\;P\;$ la plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}$, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{\mathcal {K}}\;V_{\mathcal {K}}^{\,2}(P)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{\mathcal {K}}}{d}}=0\;$» d'où l'expression approchée de la vitesse de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» en cette position $\;P\;$ la plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ «$\;V_{\mathcal {K}}(P)={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{d}}}\;$» ;      on utilise alors la « définition de $\;u\;$» $\;{\big [}$vitesse circulaire sur l'orbite terrestre de rayon $\;a\;$ usuellement notée $\;V_{\text{circ}}(a){\big ]}\;$ soit «$\;u={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{a}}}\;$» $\;{\Bigg \{}$à retrouver par exemple en appliquant la théorème du mouvement du C.D.I. à la Terre $\;{\text{♁}}\;$ et projetant sur «$\;{\vec {u}}_{r}\;$ lié au C.D.I. $\;G\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}\;$» avec utilisation de l'accélération radiale pour un mouvement circulaire de rayon $\;a\;$ «$\;a_{r}(G)=-a\;{\dot {\theta }}_{\text{circ}}^{\,2}(a)=-{\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(a)}{a}}\;$» ce qui donne $\;{\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{a^{\,2}}}$ $=-m_{\text{♁}}\;{\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(a)}{a}}\;$ dont on déduit $\;V_{\text{circ}}(a)={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{a}}}{\Bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}}=u\;{\sqrt {a}}\;$» que l'on reporte dans l'expression précédente d'où «$\;V_{\mathcal {K}}(P)\simeq u\;{\sqrt {\dfrac {2\;a}{d}}}\;$» ;

     numériquement «$\;V_{\mathcal {K}}(P)\simeq 30\;{\sqrt {\dfrac {2\times 1}{0,14}}}\;$ en $\;km\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;V_{\mathcal {K}}(P)\simeq 113,4\;km\cdot s^{-1}\simeq 113\;km\cdot s^{-1}\;$».

 

Calcul des abscisses angulaires correspondant au croisement de la comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973) avec l'orbite terrestre

     En considérant la trajectoire « parabolique » de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» et l'orbite terrestre coplanaires, calculer les valeurs de l'angle «$\;\theta ={\widehat {({\overrightarrow {SP}}{\text{ ; }}{\overrightarrow {SI}})}}\;$» aux dates où l'orbite de $\;({\mathcal {K}})\;$ rencontre l'orbite terrestre.

Solution

     L'équation polaire de la trajectoire « quasi parabolique » de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» s'écrivant «$\;r={\dfrac {p}{1+\cos(\theta )}}\;$» en choisissant l'axe focal de la « quasi parabole » comme axe polaire de repérage de $\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$ dans le plan de sa trajectoire $\;{\big (}$l'angle algébrisé que fait l'axe focal avec l'axe polaire usuellement noté «$\;\varphi \;$» est donc nul${\big )}$, de «$\;\theta _{P}=0\;$» on déduit «$\;d={\dfrac {p}{2}}\;$» c'est-à-dire la valeur du paramètre de la parabole «$\;p=$ $2\;d\;$» permettant de réécrire l'équation polaire de la trajectoire « quasi parabolique » de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» sous la forme «$\;r={\dfrac {2\;d}{1+\cos(\theta )}}\;$» ;

     les intersections «$\;I\;$» de la comète avec l'orbite terrestre sont définies par «$\;r_{I}=a\;$» $\Rightarrow$ «$\;1+\cos(\theta _{I})={\dfrac {2\;d}{a}}\;$» soit finalement «$\;\theta _{I}=\pm \arccos \!\left({\dfrac {2\;d}{a}}-1\right)\;$» et

     numériquement «$\;\theta _{I}\simeq \pm \arccos \!\left({\dfrac {2\times 0,14}{1}}-1\right)\simeq \pm \arccos(-0,72)\;$» donnant au final «$\;\theta _{I}\simeq \pm 136\;{\text{°}}\;$».

 

Détermination des dates de croisement de la comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973) avec l'orbite terrestre

     À partir des valeurs de «$\;\theta _{I}\;$» précédemment déterminées ainsi que la date de passage au plus près du Soleil $\;{\text{☉}}$, préciser

• la date d'entrée de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» dans l'orbite terrestre et
• sa date de sortie.

Solution

     La loi horaire «$\;t=t(\theta )\;$» se détermine par

• intégration de «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}}}=C\,\left\lbrace {\dfrac {1+\cos \!\left[\theta (t)\right]}{2\;d}}\right\rbrace ^{2}\;$» se déduisant de la loi des aires appliquée à la comète, $\;C\;$ étant la constante des aires du mouvement,
• séparation des variables $\;{\big [}$l'équation différentielle du 1^er ordre en $\;\theta (t)\;$ étant non linéaire${\big ]}\;$ «$\;dt={\dfrac {4\;d^{2}}{C}}\;{\dfrac {d\theta }{\left[1+\cos(\theta )\right]^{2}}}\;$»,
• passage à l'angle moitié utilisant «$\;1+\cos(\theta )=2\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;dt={\dfrac {d^{2}}{C}}\;{\dfrac {d\theta }{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$»,
• changement de variable «$\;T=\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;dT={\dfrac {d\theta }{2\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d\theta }{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}=2\;dT\;$» soit, en réécrivant «$\;dt={\dfrac {d^{2}}{C}}\;{\dfrac {d\theta }{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$» selon «$\;dt={\dfrac {d^{2}}{C}}\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;{\dfrac {d\theta }{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$» puis en utilisant «$\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}$ $=1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)=1+T^{2}\;$», l'expression à intégrer «$\;dt={\dfrac {d^{2}}{C}}\;\left[1+T^{2}\right]2\;dT\;$» ou «$\;dt={\dfrac {2\;d^{2}}{C}}\,\left(1+T^{2}\right)\,dT\;$» ;

     la forme à intégrer ci-dessus peut être réécrite en évaluant la constante des aires «$\;C\;$», le sens $\;+\;$ du plan de la trajectoire étant dans le sens du mouvement, à l'aide de la position $\;P\;$ où la vitesse y est orthoradiale soit «$\;C=V_{\mathcal {K}}(P)\;d\;$», d'où «$\;dt={\dfrac {2\;d}{V_{\mathcal {K}}(P)}}\,\left(1+T^{2}\right)\,dT={\dfrac {2\;d}{V_{\mathcal {K}}(P)}}\;d\!\left(T+{\dfrac {T^{3}}{3}}\right)\;$» ;

     en intégrant de part et d'autre entre «$\;t=0\;$ et $\;t\;$» d'une part et «$\;T=0\;$ et $\;T\;$» d'autre part, on obtient «$\;t={\dfrac {2\;d}{V_{\mathcal {K}}(P)}}\,\left(T+{\dfrac {T^{3}}{3}}\right)={\dfrac {2\;d}{V_{\mathcal {K}}(P)}}\;T\,\left(1+{\dfrac {T^{2}}{3}}\right)\;$ soit encore, en revenant à la variable «$\;\theta \;$», «$\;t={\dfrac {2\;d}{V_{\mathcal {K}}(P)}}\;\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\left[1+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;$» définissant la loi horaire cherchée ;      on en déduit «$\;t_{I}\;$» pour «$\;\theta _{I}\simeq \pm 136\;{\text{°}}\;$», «$\;t_{I}={\dfrac {2\times 0,14\times 150\,10^{6}}{113,4}}\;\tan \!\left({\dfrac {\pm 136\;{\text{°}}}{2}}\right)\left[1+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pm 136\;{\text{°}}}{2}}\right)\right]\;$» soit finalement «$\;t_{I}\simeq \pm 2,795\;10^{6}\;s\;$» ou «$\;t_{I}\simeq \pm 32\;j\;\,8\;h\;$» et approximativement «$\;t_{I}\simeq \pm 32\;j\;$».

     L'entrée de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» dans l'orbite terrestre s'est donc faite «$\;32\;$ jours » avant le «$\;28\;$ décembre », soit, sachant que le mois de novembre a $\;30\;$ jours, « le $\;26\;$ novembre $\;1973\;$» ;

     la sortie de la grande comète Kohoutek «$\;\left({\mathcal {K}}\right)\;$» de l'orbite terrestre s'est faite «$\;32\;$ jours » après le «$\;28\;$ décembre », soit, sachant que le mois de décembre a $\;31\;$ jours, « le $\;29\;$ janvier $\;1974\;$».

 

Écart à la satellisation sur une orbite circulaire

     On se propose de mettre en orbite circulaire de rayon «$\;r_{0}\;$» autour de la Terre $\;{\text{♁}}$, un engin spatial «$\;M\;$» de masse «$\;m\;$» ;

     dans la 1^re question on cherche les caractéristiques que doit avoir ce satellite pour satisfaire au cahier des charges et

     dans la 2^ème question, constatant qu'une erreur « concernant la direction de lancement » s'est produite, on se propose de déterminer les caractéristiques obtenues pour la trajectoire du satellite compte-tenu de cette erreur $\;{\big (}$à l'exclusion de toutes autres${\big )}$.

Détermination des caractéristiques de l'orbite circulaire souhaitée pour l'engin spatial

     Notant «$\;m_{\text{♁}}\;$» la masse de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ et «$\;{\mathcal {G}}\;$» la constante universelle de gravitation, exprimer, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, les grandeurs suivantes :

• la vitesse de lancement du satellite pour qu'il ait un mouvement circulaire de rayon «$\;r_{0}\;$» à savoir «$\;V_{\text{circ.}}(r_{0})=\Vert {\vec {V}}_{\text{circ.}}(r_{0})\Vert \;$»,
• sa période de révolution autour de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ «$\;T_{\text{circ.}}(r_{0})\;$» et
• son énergie mécanique dans le champ de gravitation terrestre «$\;E_{m,\,{\text{circ.}}}(r_{0})\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de gravitation terrestre étant choisie à l'infini${\big )}$.

Solution

     $\;\succ \;$L'orbite du satellite $\;M\left(m\right)\;$ étant circulaire, on trouve sa vitesse dans le référentiel géocentrique $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ supposé galiléen en projetant « la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ sur le vecteur unitaire normal principal $\;{\vec {n}}\;$ de la base locale de Frenet », l'accélération normale $\;a_{n}\;$ s'exprimant en fonction du rayon $\;r_{0}\;$ de l'orbite et de la vitesse circulaire «$\;V_{\text{circ.}}(r_{0})=\Vert {\vec {V}}_{\text{circ.}}(r_{0})\Vert \;$» sur cette orbite selon «$\;a_{n}={\dfrac {V_{\text{circ.}}^{\,2}(r_{0})}{r_{0}}}\;$» $\;{\big (}$il faut bien sûr ajouter un schéma de situation${\big )}\;$ soit «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r_{0}^{\,2}}}=m\;a_{n}=m\;{\dfrac {V_{\text{circ.}}^{\,2}(r_{0})}{r_{0}}}\;$» d'où la vitesse de lancement du satellite pour qu'il ait un mouvement circulaire de rayon «$\;r_{0}\;$» «$\;V_{\text{circ.}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{r_{0}}}}\;$» ;

     $\;\succ \;$la période de révolution «$\;T_{\text{circ.}}(r_{0})\;$» du satellite autour de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ s'évalue selon «$\;T_{\text{circ.}}(r_{0})={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}}{V_{\text{circ.}}(r_{0})}}\;$» soit, après report de l'expression de la vitesse circulaire et élévation au carré «$\;T_{\text{circ.}}^{\,2}(r_{0})$ $={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;r_{0}^{\,2}}{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{r_{0}}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;r_{0}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}}\;$» et finalement, en prenant la racine carrée de chaque membre, «$\;T_{\text{circ.}}(r_{0})={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}^{\,{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}}}\;$» ;

     $\;\succ \;$l'énergie mécanique du satellite «$\;E_{m,\,{\text{circ.}}}(r_{0})\;$» soumis au champ de gravitation terrestre de $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}$ $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de gravitation terrestre étant choisie à l'infini${\big )}\;$ est égale à «$\;E_{m,\,{\text{circ.}}}(r_{0})$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\text{circ.}}^{\,2}(r_{0})-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r_{0}}}\;$» soit, en reportant l'expression de la vitesse circulaire et après simplification évidente, «$\;E_{m,\,{\text{circ.}}}(r_{0})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;r_{0}}}\;$».

 

Détermination des caractéristiques réelle de l'orbite de l'engin spatial compte-tenu de l'erreur de direction de lancement

     Le satellite ayant été effectivement lancé d'une position située à une distance «$\;r_{0}\;$» du centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ avec la vitesse souhaitée «$\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{\text{circ.}}(r_{0})\;$» $\;{\big \{}$il a donc aussi l'énergie mécanique souhaitée «$\;E_{m,\,0}=E_{m,\,{\text{circ.}}}(r_{0})\;$»${\big \}}$, une erreur de direction de lancement s'est produite, le vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{0}\;$» de lancement en la position initiale $\;M_{0}\;$ faisant en réalité un angle «$\;\alpha \neq 0\;$» avec le « plan horizontal au point de lancement $\;M_{0}\;$» et nous nous proposons de déterminer les caractéristiques de la trajectoire obtenue dans le référentiel géocentrique supposé galiléen à savoir :

• la nature elliptique de la trajectoire,
• le demi-grand axe «$\;a\;$» de l'orbite elliptique du satellite,
• la période de révolution «$\;T\;$» de ce dernier autour de la Terre $\;{\text{♁}}$,
• le paramètre «$\;p\;$» de l'ellipse décrite par le satellite,
• l'excentricité «$\;e\;$» de cette dernière et
• l'angle polaire «$\;\varphi \;$» que fait l'axe focal avec l'axe polaire qui est choisi passant par $\;M_{0}\;$» et dirigé vers lui.

Solution

     $\;\succ \;$Dans le cas où la vitesse initiale du satellite «$\;{\vec {V}}_{0}\;$» dans le référentiel géocentrique $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ galiléen a la norme requise «$\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{\text{circ.}}(r_{0})\;$», mais pas la direction voulue, l'énergie mécanique initiale a la valeur requise «$\;E_{m,\,0}=E_{m,\,{\text{circ.}}}(r_{0})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;r_{0}}}\;$», « valeur négative » impliquant la « nature elliptique de la trajectoire » ;

     $\;\succ \;$l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ d'un satellite en mouvement elliptique dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ galiléen étant conservée et liée au demi-grand axe $\;a\;$ de sa trajectoire par «$\;E_{m}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;a}}\;$», l'identification de cette expression avec la valeur précédemment explicitée «$\;E_{m,\,0}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{2\;r_{0}}}\;$» nous conduit au demi-grand axe de l'ellipse décrite par le satellite «$\;a=r_{0}\;$» ;

     $\;\succ \;$la trajectoire du satellite étant elliptique, le mouvement de ce dernier dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ galiléen est périodique et sa période de révolution «$\;T\;$» autour de la Terre $\;{\text{♁}}$ se détermine en lui appliquant la 3^ème loi de Kepler à savoir «$\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{satellite}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» soit ici «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;a^{\,{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}}}\;$» ; or «$\;a=r_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}^{\,{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}}}=T_{\text{circ.}}(r_{0})\;$», la période du satellite décrivant une trajectoire elliptique suite à une erreur de direction de lancement est la même que celle que ce dernier aurait si la trajectoire avait été circulaire ;

     $\;\succ \;$le paramètre «$\;p\;$» de la trajectoire elliptique du satellite terrestre est égal à «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$» $\;{\big \{}k\;$ étant ici égale à $\;-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m{\big \}}\;$ avec «$\;C\;$ la constante des aires du mouvement du satellite » $\;{\big (}$le sens $\;+\;$ étant choisi dans le sens du mouvement${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}}$ $={\dfrac {C^{2}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}}\;$» ou, avec «$\;C=V_{0}\;r_{0}\;\cos(\alpha )\;$ », le paramètre de l'ellipse se réécrit «$\;p={\dfrac {V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}\;\cos ^{2}(\alpha )}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}}\;$» ou, y reportant «$\;V_{0}^{\,2}=V_{\text{circ.}}^{\,2}(r_{0})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{r_{0}}}\;$» et après simplification évidente, «$\;p=r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )\;$» ;

     $\;\succ \;$l'excentricité $\;e\;$ d'une ellipse étant liée à son paramètre $\;p\;$ et à son demi-grand axe $\;a\;$ par «$\;p=a\;(1-e^{2})\;$» $\;{\bigg [}$en effet $\;r_{\text{périgée}}+r_{\text{apogée}}=2\;a\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{1+e}}+{\dfrac {p}{1-e}}=2\;a\;$ ou $\;{\dfrac {2\;p}{1-e^{2}}}=2\;a{\bigg ]}$, des expressions de «$\;p=r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )\;$» et de «$\;a=r_{0}\;$» reportées dans le lien «$\;p=a\;(1-e^{2})\;$» précédent nous déduisons «$\;r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )=r_{0}\;(1-e^{2})\;$» $\Rightarrow$ «$\;e={\sqrt {1-\cos ^{2}(\alpha )}}\;$» soit finalement «$\;e=\vert \sin(\alpha )\vert \;$» ;

     $\;\succ \;$prenant l'axe polaire du repérage du satellite dans le plan de sa trajectoire elliptique confondu avec $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}$, l'équation polaire de l'ellipse s'écrit «$\;r(\theta )={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}={\dfrac {r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )}{1+\vert \sin(\alpha )\vert \;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» ce qui donne, en utilisant «$\;r(\theta =0)=r_{0}\;$», «$\;1+\vert \sin(\alpha )\vert \;\cos(-\varphi )=\cos ^{2}(\alpha )\;$» ou «$\;\vert \sin(\alpha )\vert \;\cos(\varphi )=\cos ^{2}(\alpha )-1=-\sin ^{2}(\alpha )\;$» soit finalement «$\;\cos(\varphi )=-\vert \sin(\alpha )\vert \;$» ;

           parallèlement, le sens $\;+\;$ étant choisi dans le sens du mouvement, la composante radiale du vecteur vitesse de lancement «$\;V_{0,\,r}\;$ étant égale à $\;-V_{0}\;\sin(\alpha )\;$» $\;{\bigg \{}$en effet « si $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ est $\;>0\;$», «$\;V_{0,\,r}\;$ est $\;<0\;$» et vice-versa${\bigg \}}$, l'utilisation de son « expression de Binet $\;V_{r}=-C\;u'\;$» avec «$\;C\;$ la constante des aires du mouvement » et «$\;u'={\dfrac {du}{d\theta }}\;$ la 2^ème variable de Binet $\;{\big (}$fonction de $\;\theta {\big )}\;$», «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ étant la 1^re variable de Binet $\;{\big (}$également fonction de $\;\theta {\big )}\;$», donne, sachant que «$\;u={\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\theta -\varphi )\;$» $\Rightarrow$ «$\;u'=-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\theta -\varphi )\;$», «$\;V_{0,\,r}=-C\;u'(\theta =0)=-C\,\left[-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(-\varphi )\right]=-C\;{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\varphi )\;$» soit enfin, en injectant les expressions de «$\;C=V_{0}\;r_{0}\;\cos(\alpha )\;$ », de «$\;V_{0,\,r}=-V_{0}\;\sin(\alpha )\;$», de «$\;e=\vert \sin(\alpha )\vert \;$» et de «$\;p=r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )\;$», «$\;-V_{0}\,\sin(\alpha )=-V_{0}\;r_{0}\;\cos(\alpha )\;{\dfrac {\vert \sin(\alpha )\vert }{r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )}}\;\sin(\varphi )\;$» ou encore, après simplification évidente, «$\;\sin(\alpha )={\dfrac {\vert \sin(\alpha )\vert }{\cos(\alpha )}}\;\sin(\varphi )\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sin(\varphi )={\dfrac {\sin(\alpha )}{\vert \sin(\alpha )\vert }}\;\cos(\alpha )\;$» ;

Schéma représentant en bleu l'orbite circulaire souhaitée d'un satellite terrestre et en rouge l'orbite elliptique obtenue suite à une erreur de direction de vecteur vitesse de lancement au-dessous de l'horizontale

           $\;\blacktriangleright \;$supposant «$\;\alpha >0\;$» $\;{\big (}$c'est-à-dire que l'erreur sur la direction du vecteur vitesse de lancement correspond à une inclinaison de cette dernière au-dessous de l'horizontale locale $\Rightarrow$ le satellite commencera à se rapprocher de la Terre $\;{\text{♁}}{\big )}$, l'utilisation des C.A.L. $\;{\big (}$c'est-à-dire correspondant aux position et vitesse pour $\;\theta =0{\big )}\;$ nous conduisant à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi )=-\vert \sin(\alpha )\vert =-\sin(\alpha )=\cos \!\left(\alpha +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\\\sin(\varphi )={\dfrac {\sin(\alpha )}{\vert \sin(\alpha )\vert }}\;\cos(\alpha )=\cos(\alpha )=\sin \!\left(\alpha +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ nous en déduisons «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\alpha +{\dfrac {\pi }{2}}\;$», «$\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}$ $\;{\big (}$le vecteur unitaire orientant l'axe focal${\big )}\;$ est $\;\parallel \;$ au vecteur vitesse de lancement $\;{\vec {V}}_{0}\;$ du satellite en sa position de lancement $\;M_{0}\;$ et de même sens » $\;{\big (}$ceci prouvant que $\;M_{0}\;$ est une extrémité du petit-axe de l'ellipse, la tangente à l'ellipse en chacune des extrémités du petit axe étant $\;\parallel \;$ à l'axe focal${\big )}\;$ ;

                 pour le tracé ci-contre, la position $\;M_{0}\;$ de lancement du satellite est située à la distance $\;r_{0}=10000\;km=10\;Mm\;$ du centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}$ $\;{\big (}$c'est-à-dire à une altitude de $\;3600\;km=3,6\;Mm{\big )}$, la vitesse circulaire nécessaire pour l'obtention d'une satellisation y étant alors de «$\;V_{\text{circ.}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{r_{0}}}}\simeq$ ${\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{10,0\;10^{6}}}}\simeq 6,326\;km\cdot s^{-1}\;$» $\;{\big (}$voir le tracé en bleu ci-contre${\big )}$, le lancement est effectué en cette position avec une inclinaison de «$\;\vert \alpha \vert =$ $20\;{\text{°}}\;$ au-dessous de l'horizontale locale $\Rightarrow$ $\;\alpha =+20\;{\text{°}}\;$» $\;{\big (}$voir le tracé en rouge ci-contre${\big )}$, les caractéristiques de l'ellipse décrite avec la même période que l'aurait été l'orbite circulaire à savoir «$\;T=T_{\text{circ.}}(r_{0})={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}^{\,{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}}}={\dfrac {2\;\pi \times \left(10,0\;10^{6}\right)^{\,{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}}}\simeq 9932\;s\simeq 2\,h\;45\,min\;$» étant

• son « demi-grand axe $\;a=r_{0}=10000\;km=10\;Mm\;$»
• son « paramètre $\;p=r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )\simeq 8830km=8,83\;Mm\;$» $\;{\bigg \{}$le demi-petit axe $\;b$ $\;{\big (}$c'est-à-dire la distance orthogonale séparant $\;M_{0}\;$ de l'axe focal${\big )}\;$ étant $\;b={\sqrt {p\;a}}$ $\;{\bigg (}$en effet le paramètre d'une ellipse est lié à ses demi-axes par $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}{\bigg )}\;$ $\Rightarrow$ $\;b\simeq {\sqrt {8,83\times 10,0}}\;$ en $\;Mm\;$ soit $\;b\simeq 9,40\;Mm{\bigg \}}$,
• son « excentricité $\;e=\vert \sin(\alpha )\vert \simeq 0,342\;$»,
• l'« angle que fait son axe focal avec l'axe polaire $\;\varphi =90\;{\text{°}}+\alpha =110\;{\text{°}}\;$» et
• les positions du « périgée, la distance le séparant de $\;O\;$ étant $\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}\simeq {\dfrac {8,83}{1+0,342}}\;$ en $\;Mm\;$ soit $\;r_{P}\simeq 6,58\;Mm=6580\;km\;$ c'est-à-dire à $\;\simeq 180\;km\;$ d'altitude » et de l'« apogée, la distance le séparant de $\;O\;$ étant $\;r_{A}={\dfrac {p}{1-e}}\simeq {\dfrac {8,83}{1-0,342}}\;$ en $\;Mm\;$ soit $\;r_{A}\simeq 13,42\;Mm=13420\;km\;$ c'est-à-dire à $\;\simeq 7020\;km\;$ d'altitude » ;

Schéma représentant en bleu l'orbite circulaire souhaitée d'un satellite terrestre et en rouge l'orbite elliptique obtenue suite à une erreur de direction de vecteur vitesse de lancement au-dessus de l'horizontale

           $\;\blacktriangleright \;$supposant «$\;\alpha <0\;$» $\;{\big (}$c'est-à-dire que l'erreur sur la direction du vecteur vitesse de lancement correspond à une inclinaison de cette dernière au-dessus de l'horizontale locale $\Rightarrow$ le satellite commencera à s'éloigner de la Terre $\;{\text{♁}}{\big )}$, l'utilisation des C.A.L. $\;{\big (}$c'est-à-dire correspondant aux position et vitesse pour $\;\theta =0{\big )}\;$ nous conduisant à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi )=-\vert \sin(\alpha )\vert =\sin(\alpha )=\cos \!\left(\alpha -{\dfrac {\pi }{2}}\right)\\\sin(\varphi )={\dfrac {\sin(\alpha )}{\vert \sin(\alpha )\vert }}\;\cos(\alpha )=-\cos(\alpha )=\sin \!\left(\alpha -{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ nous en déduisons «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}=\alpha -{\dfrac {\pi }{2}}\;$», «$\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}$ $\;{\big (}$le vecteur unitaire orientant l'axe focal${\big )}\;$ est $\;\parallel \;$ au vecteur vitesse de lancement $\;{\vec {V}}_{0}\;$ du satellite en sa position de lancement $\;M_{0}\;$ et de sens contraire » $\;{\big (}$ceci prouvant encore que $\;M_{0}\;$ est une extrémité du petit-axe de l'ellipse, la tangente à l'ellipse en chacune des extrémités du petit axe étant $\;\parallel \;$ à l'axe focal${\big )}\;$ ;

                 pour le tracé ci-contre, la position $\;M_{0}\;$ de lancement du satellite est située à la même distance $\;r_{0}=10000\;km=10\;Mm\;$ du centre $\;O\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}$ $\;{\big (}$c'est-à-dire à une altitude de $\;3600\;km=3,6\;Mm{\big )}$, la vitesse circulaire nécessaire pour l'obtention d'une satellisation y étant de «$\;V_{\text{circ.}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{r_{0}}}}\simeq$ ${\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{10,0\;10^{6}}}}\simeq 6,326\;km\cdot s^{-1}\;$» $\;{\big (}$voir le tracé en bleu ci-contre${\big )}$, le lancement est effectué en cette position avec une inclinaison de «$\;\vert \alpha \vert =$ $20\;{\text{°}}\;$ au-dessus de l'horizontale locale $\Rightarrow$ $\;\alpha =-20\;{\text{°}}\;$» $\;{\big (}$voir le tracé en rouge ci-contre${\big )}$, les caractéristiques de l'ellipse décrite avec la même période que l'aurait été l'orbite circulaire à savoir «$\;T=T_{\text{circ.}}(r_{0})={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}^{\,{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}}}={\dfrac {2\;\pi \times \left(10,0\;10^{6}\right)^{\,{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}}}\simeq 9932\;s\simeq 2\,h\;45\,min\;$» étant

• son « demi-grand axe $\;a=r_{0}=10000\;km=10\;Mm\;$»
• son « paramètre $\;p=r_{0}\;\cos ^{2}(\alpha )\simeq 8830km=8,83\;Mm\;$» $\;{\bigg \{}$le demi-petit axe $\;b$ $\;{\big (}$c'est-à-dire la distance orthogonale séparant $\;M_{0}\;$ de l'axe focal${\big )}\;$ étant $\;b={\sqrt {p\;a}}$ $\;{\bigg (}$en effet le paramètre d'une ellipse est lié à ses demi-axes par $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}{\bigg )}\;$ $\Rightarrow$ $\;b\simeq {\sqrt {8,83\times 10,0}}\;$ en $\;Mm\;$ soit $\;b\simeq 9,40\;Mm{\bigg \}}$,
• son « excentricité $\;e=\vert \sin(\alpha )\vert \simeq 0,342\;$»,
• l'« angle que fait son axe focal avec l'axe polaire $\;\varphi =-90\;{\text{°}}+\alpha =-110\;{\text{°}}\;$» et
• les positions du « périgée, la distance le séparant de $\;O\;$ étant $\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}\simeq {\dfrac {8,83}{1+0,342}}\;$ en $\;Mm\;$ soit $\;r_{P}\simeq 6,58\;Mm=6580\;km\;$ c'est-à-dire à $\;\simeq 180\;km\;$ d'altitude » et de l'« apogée, la distance le séparant de $\;O\;$ étant $\;r_{A}={\dfrac {p}{1-e}}\simeq {\dfrac {8,83}{1-0,342}}\;$ en $\;Mm\;$ soit $\;r_{A}\simeq 13,42\;Mm=13420\;km\;$ c'est-à-dire à $\;\simeq 7020\;km\;$ d'altitude » ;

           $\;\blacktriangleright \;$remarque : compte-tenu des valeurs opposées de $\;\alpha \;$ choisies pour les tracés ci-dessus, le mouvement du satellite avec $\;\alpha =-20\;{\text{°}}\;$ est l'antisymétrique relativement à l'axe polaire de celui du satellite avec $\;\alpha =+20\;{\text{°}}\;$.

 

Trajectoire de météorites

Schéma d'une météorite $\;P\;$ entrant de l'infini, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de paramètre d'impact $\;b$, dans le champ d'attraction d'une boule de centre $\;F$, de rayon $\;R$, de force d'interaction newtonienne sur la météorite $\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\text{boule}}}={\dfrac {k}{FP^{2}}}\;{\dfrac {\overrightarrow {FP}}{FP}}\;$ avec $\;k<0$

     Une météorite assimilée à un point matériel $\;P\;$ de masse $\;m\;$ est soumis à l'interaction attractive d'une boule matérielle de centre $\;F\;$ et de rayon $\;R$ ;

     cette interaction est caractérisée par une énergie potentielle «$\;U(P)={\dfrac {k}{r}}\;$» avec «$\;k<0\;$ et $\;r=FP\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de la météorite dans le champ de la boule matérielle étant choisie à l'infini${\big )}$ ;

     l'étude suivante est traitée dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la boule, référentiel supposé galiléen ;

     à l'instant initial, la météorite est à l'infini, elle est animée d'un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de paramètre d'impact $\;b$ $\;{\big (}$voir définition sur schéma ci-contre${\big )}$.

     Dans les deux études proposées ci-après introduire le paramètre sans dimension «$\;\eta ={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}\;b}}>0\;$» pour préciser la condition demandée.

Détermination, à partir de l'équation polaire de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude, de la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle

     Justifier la nature plane de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le plan $\;\left(F\,,\,P_{0,\,\infty }\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant choisi comme plan $\;xFy\;$ avec «$\;{\vec {u}}_{x}$ $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et de même sens » ainsi que «$\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big (}$l'espace étant orienté dans le sens direct${\big )}$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant $\;\perp \;$ au plan de la trajectoire pointant vers le lecteur dans le plan de la figure ci-dessus ${\big (}\!\Rightarrow {\vec {u}}_{z}\;$ oriente les angles algébrisés du plan dans le sens anti-horaire${\big )}\;$ puis

     rappeler, sans démonstration, l'équation polaire de la trajectoire de la météorite «$\;r=r(\theta )\;$ avec $\;r=FP\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le pôle du repérage polaire étant $\;F\;$ et l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Fx}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Fx}}\,,\,{\overrightarrow {FP}}\right)}}\;$» et enfin

     déterminer la condition $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ pour que la météorite $\;P\;$ ne heurte pas la boule matérielle.

Solution

Trajectoire d'une météorite $\;P\;$ dans le champ d'attraction d'une boule de centre $\;F$, de rayon $\;R$, initialement la météorite $\;P\;$ venant de l'infini avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de paramètre d'impact $\;b$, l'interaction entre $\;P\;$ et la boule étant newtonienne attractive selon $\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\text{boule}}}={\dfrac {k}{FP^{2}}}\;{\dfrac {\overrightarrow {FP}}{FP}}\;$ avec $\;k<0\;$ et $\;b\;$ suffisamment grand pour qu'il n'y ait pas de collision entre $\;P\;$ et la boule

     La météorite $\;P\left(m\right)\;$ n'étant soumise, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à la boule de centre $\;F\;$ et de rayon $\;R$, qu'à la force d'interaction newtonienne attractive de cette dernière «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\text{boule}}}={\dfrac {k}{FP^{2}}}\;{\dfrac {\overrightarrow {FP}}{FP}}\;$ avec $\;k<0\;$» et par suite ayant un « mouvement à force centrale », il y a conservation du vecteur moment cinétique de la météorite $\;P\;$ évalué, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, relativement au centre de force $\;F\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(t)={\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(0)\;\;\forall \;t\;$» dans lequel «$\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(0)$ $={\overrightarrow {FP_{0,\,\infty }}}\wedge m\;{\vec {V}}_{0}\;$ et $\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(t)={\overrightarrow {FP}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{P}(t)\;$» d'où «$\;{\overrightarrow {FP}}(t)\wedge {\vec {V}}_{P}(t)={\overrightarrow {FP_{0,\,\infty }}}\wedge {\vec {V}}_{0}\;$ vecteur colinéaire à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;P\,\in \;$ au plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et passant par $\;F\;$» c'est-à-dire que
     le mouvement de la météorite $\;P\;$ se fait dans le plan initial d'entrée en interaction $\;\left(F\,,\,P_{0,\,\infty }\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ choisi comme plan $\;xFy\;$ avec «$\;{\vec {u}}_{x}$ $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et de même sens » et «$\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» ;

     la trajectoire suivie par la météorite $\;P\;$ soumise à l'interaction newtonienne attractive de la boule de centre $\;F\;$ étant d'une part une « conique dont le (ou un des) foyer(s) est le centre de force $\;F\;$» et d'autre part « non bornée avec présence d'une asymptote en la position initiale située à l'infini »
        la trajectoire suivie par la météorite P est une « branche d'hyperbole admettant $\;P_{0,\,\infty }x\;$ comme asymptote et contournant le foyer $\;F\;$»,

     son équation polaire est de la forme «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec «$\;r=FP\;$ et $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Fx}}\,,\,{\overrightarrow {FP}}\right)}}\;$», «$\;p\;$ étant le paramètre de l'hyperbole, $\;e\;$ son excentricité et $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Fx}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}\;$ l'angle que fait l'axe focal orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Fx}}\;$» :

• le paramètre de la conique s'évalue selon «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$» avec «$\;C\;$ la constante des aires du mouvement de la météorite », «$\;m\;$ sa masse » et «$\;k<0\;$ la constante de proportionnalité de la force d'interaction newtonienne exercée par la boule définie par $\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\text{boule}}}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ où $\;{\vec {u}}_{r}\;$ est le vecteur unitaire radial de la base polaire liée à $\;P\;$ dans le repérage polaire de pôle $\;F\;$ de cette dernière », pour terminer l'évaluation de $\;p\;$ il convient de faire celle de «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{P\,/F}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}}{m}}=\left[{\overrightarrow {FP_{0,\,\infty }}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=\left\lbrace \left[{\overline {FH}}\;{\vec {u}}_{y}+{\overline {HP_{0,\,\infty }}}\;{\vec {u}}_{x}\right]\wedge V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur la trajectoire de $\;P\;$ antérieure à l'interaction avec la boule » soit, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire puis vectorielle relativement à l'addition vectorielle, «$\;C=\left[{\overline {FH}}\;{\vec {u}}_{y}\wedge V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\,{\cancel {\,+\left[{\overline {HP_{0,\,\infty }}}\;{\vec {u}}_{x}\wedge V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}}}=-V_{0}\;b\;$» d'où «$\;p={\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;b^{2}}{-k}}={\dfrac {b}{\eta }}\;$» en introduisant le paramètre sans dimension «$\;\eta ={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}\;b}}>0\;$» ;
• l'excentricité $\;e\;$ de la branche d'hyperbole peut se déterminer à l'aide de son lien avec le paramètre $\;p\;$ et le demi-axe focal $\;a\;$ de cette dernière à savoir «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}\;$», pour terminer l'évaluation de $\;e\;$ il convient de faire celle de $\;a\;$ en utilisant l'« expression de l'énergie mécanique dans le cas d'un point matériel en attraction newtonienne suivant un mouvement hyperbolique $\;E_{m}={\dfrac {-k}{2\;a}}>0\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle newtonienne de la météorite dans le champ de la boule étant choisie à l'infini${\big )}$ et la « conservation de l'énergie mécanique égale à sa valeur initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {-k}{2\;a}}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$ soit «$\;a={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}}}=b\;\eta \;$» en introduisant le paramètre sans dimension «$\;\eta ={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}\;b}}>0\;$» d'où «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}={\sqrt {1+{\dfrac {\dfrac {b}{\eta }}{b\;\eta }}}}\;$» et finalement «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {1}{\eta ^{2}}}}}={\dfrac {\sqrt {\eta ^{2}+1}}{\eta }}\;$» avec «$\;\eta ={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}\;b}}>0\;$» ;
• l'angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Fx}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}\;$ que fait l'axe focal orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\text{axe foacl}}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Fx}}\;$ peut se déterminer à l'aide des C.I. $\;\left\lbrace P(0)=P_{0,\,\infty }\,,\,{\vec {V}}(0)={\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ plus précisément, avec «$\;\theta (t=0)$ $=\pi \;$» correspondant
  $\;\succ \;$d'une part à «$\;r(t=0)\;{\text{:}}\;+\infty \;$» $\Rightarrow$ $\;1+e\;\cos(\pi -\varphi )=0\;$ d'où «$\;\cos(\varphi )={\dfrac {1}{e}}>0\;$» et
  $\;\succ \;$d'autre part à «$\;V_{r}(t=0)=-V_{0}\;$» $\;{\Big [}{\vec {u}}_{r}(\theta =\pi )\;$ étant égal à $\;-{\vec {u}}_{x}{\Big ]}\;$ soit, en utilisant l'expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse «$\;V_{r}=-C\;u'\;$» avec «$\;C\;$ la constante des aires du mouvement » et «$\;u'={\dfrac {du}{d\theta }}\;$ la 2^ème variable de Binet $\;{\big (}$fonction de $\;\theta {\big )}\;$», «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ étant la 1^re variable de Binet $\;{\big (}$également fonction de $\;\theta {\big )}\;$» s'écrivant ici «$\;u={\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\theta -\varphi )\;$» $\Rightarrow$ «$\;u'=$ $-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\theta -\varphi )\;$», d'où «$\;V_{r}(t=0)=-C\;u'(\theta =\pi )=-C\,\left[-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\pi -\varphi )\right]=C\;{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\varphi )\;$» soit enfin, en injectant les expressions de «$\;C=-V_{0}\;b\;$» et de «$\;V_{r}(t=0)=-V_{0}\;$», après simplification évidente «$\;\sin(\varphi )={\dfrac {1}{e}}\;{\dfrac {p}{b}}>0\;$»
  $\;\succ \;$d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi )>0\\\sin(\varphi )>0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi \,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et par suite $\;\tan(\varphi )={\dfrac {\sin(\varphi )}{\cos(\varphi )}}={\dfrac {{\dfrac {1}{e}}\;{\dfrac {p}{b}}}{\dfrac {1}{e}}}={\dfrac {p}{b}}\;$ s'inverse en «$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {p}{b}}\right)\;$» soit finalement «$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {1}{\eta }}\right)\;$» avec «$\;\eta ={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}\;b}}>0\;$» ;
• remarques : nous pouvons déterminer d'autres grandeurs $\;{\big (}$ou en retrouver certaines déjà établies${\big )}\;$ caractéristiques de la branche d'hyperbole suivie par la météorite $\;P\;$ comme par exemple
  remarques : $\succ \;$le « demi-axe non focal $\;b_{\,{\text{hyperbole}}}\;$» défini, entre autres, comme la « distance orthogonale séparant le foyer contourné par la branche d'hyperbole de l'une ou l'autre des asymptotes de cette branche » c'est-à-dire comme la distance séparant le centre de force $\;F\;$ de la trajectoire de $\;P\;$ avant interaction avec la boule, distance appelée « paramètre d'impact $\;b\;$» soit finalement «$\;b_{\,{\text{hyperbole}}}=b\;$»,
  remarques :      résultat que l'on pouvait aussi établir en utilisant le lien entre « paramètre $\;p$, demi-axe focal $\;a\;$ et demi-axe non focal $\;b_{\,{\text{hyperbole}}}\;$» d'une hyperbole à savoir «$\;p={\dfrac {b_{\,{\text{hyperbole}}}^{\,2}}{a}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;b_{\,{\text{hyperbole}}}=$ ${\sqrt {p\;a}}={\sqrt {{\dfrac {b}{\eta }}\times b\;\eta }}=b\;$» C.Q.F.V. ;
  remarques : $\succ \;$l'« angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Fx}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}\;$ que fait l'axe focal orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\text{axe foacl}}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Fx}}\;$», angle positif qui s'identifie avec l'« angle non algébrisé $\;\alpha \;$ entre l'une ou l'autre des asymptotes de la branche et l'axe focal de celle-ci dans la mesure où l'axe polaire du repérage de $\;P\;$ est $\;\parallel \;$ à la trajectoire de $\;P\;$ avant interaction avec la boule, laquelle trajectoire est l'une des asymptotes », soit «$\;\varphi =\alpha \;$ avec $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b_{\,{\text{hyperbole}}}}{a}}\right)\;$ » soit «$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {b}{b\;\eta }}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{\eta }}\right)\;$» C.Q.F.V.

     Condition pour que la météorite ne heurte pas la boule : La météorite $\;P\;$ n'entre pas en collision avec la boule si la distance minimale d'approche de $\;P\;$ par rapport à la boule «$\;r_{\text{min}}\;$» est supérieure au rayon «$\;R\;$» de cette dernière ;
     Condition pour que la météorite ne heurte pas la boule : il convient donc de déterminer la distance minimale d'approche «$\;r_{\text{min}}\;$» selon «$\;r_{\text{min}}={\dfrac {p}{1+e}}={\dfrac {\dfrac {b}{\eta }}{1+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{\eta ^{2}}}}}}}\;$» soit finalement «$\;r_{\text{min}}={\dfrac {b}{\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}}}\;$» ;

     Condition pour que la météorite ne heurte pas la boule : en conclusion la météorite $\;P\;$ ne heurtera pas la boule si le rayon «$\;R\;$» de cette dernière satisfait la condition $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;R<{\dfrac {b}{\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}}}\;$».

     Remarque : la condition $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ peut être réécrite en donnant une « condition limite sur le paramètre d'impact $\;b\;$ de la météorite » à « énergie cinétique initiale d'entrée $\;K_{0,\,+\infty }={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$ fixée » relativement au « rayon $\;R\;$ de la boule et la constante d'interaction newtonienne $\;k<0\;$ entre la météorite et la boule » soit, «$\;R<{\dfrac {b}{\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\sqrt {\eta ^{2}+1}}<{\dfrac {b}{R}}-\eta \;$» $\;{\bigg (}$le 1^er membre de l'inégalité étant $\;>0\;$ le 2^nd doit l'être aussi pour qu'une solution soit possible d'où la C.N. «$\;{\dfrac {b}{R}}-\eta >0\;$»${\bigg )}\;$ ou, en élevant au carré, «$\;\eta ^{2}+1<\left({\dfrac {b}{R}}-\eta \right)^{\!\!2}={\dfrac {b^{2}}{R^{2}}}-2\;{\dfrac {b}{R}}\;\eta +\eta ^{2}\;$» soit, après simplification évidente, «$\;{\dfrac {b^{2}}{R^{2}}}-2\;{\dfrac {b}{R}}\;\eta -1>0\;$» ou, en injectant «$\;\eta ={\dfrac {-k}{b\;m\;V_{0}^{\,2}}}={\dfrac {-2\;k}{b\;K_{0,\,+\infty }}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {b}{R}}\;\eta ={\dfrac {-2\;k}{R\;K_{0,\,+\infty }}}\;$», «$\;{\dfrac {b^{2}}{R^{2}}}-{\dfrac {-4\;k}{R\;K_{0,\,+\infty }}}-1>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {b^{2}}{R^{2}}}>1+{\dfrac {-4\;k}{R\;K_{0,\,+\infty }}}\;$» soit finalement «$\;{\dfrac {b}{R}}>{\sqrt {1+{\dfrac {-4\;k}{R\;K_{0,\,+\infty }}}}}\;$» ou «$\;{\dfrac {b}{R}}>{\sqrt {1+{\dfrac {4\;\vert k\vert }{R\;K_{0,\,+\infty }}}}}\;$».

 

Détermination, à partir du diagramme d'énergies mécanique et potentielle effective de la météorite dans le référentiel d'étude, de la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle

     Indépendamment de l'étude précédente, $\;{\big \{}$mis à part la justification de la nature plane de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et le choix du repérage polaire précédemment défini en utilisant les mêmes notations${\big \}}$,

     Indépendamment de l'étude précédente, rappeler l'expression de l'« énergie potentielle effective $\;U_{\text{eff}}(P)\;$ de la météorite » ainsi que
     Indépendamment de l'étude précédente, rappeler l'« intégrale 1^re énergétique de cette dernière utilisant $\;U_{\text{eff}}(P)\;$» puis
     Indépendamment de l'étude précédente, en déduire l'équation algébrique de détermination de la « distance minimale d'approche $\;r_{\text{min}}\;$»,
     Indépendamment de l'étude précédente, la résoudre et
     Indépendamment de l'étude précédente, retrouver la condition $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ pour que la météorite $\;P\;$ ne heurte pas la boule matérielle.

Solution

     Reprenant l'étude précédente ayant établi que le mouvement de la météorite $\;P\left(m\right)\;$ en interaction avec la boule de centre $\;F\;$ et de rayon $\;R\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à la boule $\;{\Bigg \{}$la force d'interaction newtonienne attractive que la boule exerce sur la météorite étant «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\text{boule}}}={\dfrac {k}{FP^{2}}}\;{\dfrac {\overrightarrow {FP}}{FP}}\;$ avec $\;k<0\;$»${\Bigg \}}\;$ se fait dans le plan initial d'entrée en interaction $\;\left(F\,,\,P_{0,\,\infty }\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ choisi comme plan $\;xFy\;$ avec «$\;{\vec {u}}_{x}$ $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et de même sens », «$\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» dans lequel «$\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan initial d'entrée en interaction, de sens définissant le sens $\;+\;$ de $\;xFy\;$» et
     Reprenant l'étude précédente ayant choisi, pour repérer la météorite dans le plan de son mouvement, le repérage polaire de pôle $\;F\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Fx}}\;$ c'est-à-dire «$\;r=FP\;$ pour coordonnée radiale de $\;P\;$», «$\;\theta =$ ${\widehat {\left({\overrightarrow {Fx}}\,,\,{\overrightarrow {FP}}\right)}}\;$ pour abscisse angulaire », «$\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {FP}}{FP}}\;$ pour vecteur unitaire radial » et «$\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}\;$ pour vecteur unitaire orthoradial », la force d'interaction newtonienne attractive que la boule exerce sur la météorite se réécrivant «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\text{boule}}}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» ;

     la météorite $\;P\left(m\right)\;$ lors de son interaction avec la boule est, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à la boule, en « mouvement à force centrale conservative » obéissant à deux intégrales 1^ères

• l'une correspondant à la conservation du vecteur moment cinétique de la météorite évalué relativement au centre de force $\;F\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(t)={\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(0)\;\;\forall \;t\;$» dans lequel «$\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(t)={\overrightarrow {FP}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{P}(t)\;$ et $\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(0)={\overrightarrow {FP_{0,\,\infty }}}\wedge m\;{\vec {V}}_{0}\;$ vecteur colinéaire à $\;{\vec {u}}_{z}\;$» c'est-à-dire, après projection sur $\;{\vec {u}}_{z}$, la « loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ où $\;C\;$ est la constante des aires évaluée à $\;C=-V_{0}\;b\;$ » et
• l'autrecorrespondantà la conservation de l'énergie mécanique de la météorite dans le champ d'interaction de la boule soit «$\;E_{m,\,P}(t)=E_{m,\,P}(0)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle «$\;E_{m,\,P}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{P}^{\,2}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}\;$ et $\;E_{m,\,P}(0)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}\;$» $\;{\big \{}$la référence de l'énergie potentielle d'interaction de la météorite dans le champ de la boule étant choisie à l'infini${\big \}}\;$ soit encore, avec «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{P}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}^{2}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}(t)}}\;$ en utilisant la loi des aires » et en introduisant l'« énergie potentielle effective de $\;P\;$ dans le champ de la boule $\;U_{{\text{eff}},\,P}(r)={\dfrac {k}{r}}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$», la réécriture de la conservation de l'énergie mécanique de la météorite dans le champ d'interaction de la boule selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{{\text{eff}},\,P}\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}\;\;\forall \;t\;$»
  avec «$\;U_{{\text{eff}},\,P}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$ et $\;C=-V_{0}\;b\;$» soit encore,

     l'énergie potentielle effective de $\;P\;$ dans le champ de la boule se réécrivant «$\;U_{{\text{eff}},\,P}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;{\dfrac {b^{2}}{r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» ou, en introduisant la grandeur sans dimension «$\;\eta ={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}\;b}}>0\;$ $\Rightarrow$ $\;m\;V_{0}^{\,2}={\dfrac {-k}{b\;\eta }}\;$», «$\;U_{{\text{eff}},\,P}(r)={\dfrac {-k}{2\;b\;\eta }}\;{\dfrac {b^{2}}{r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}={\dfrac {-k\;b}{r^{2}}}\left[{\dfrac {1}{2\;\eta }}-{\dfrac {r}{b}}\right]\;$» soit finalement,      la réécriture de la conservation de l'énergie mécanique de la météorite dans le champ d'interaction de la boule sous la forme «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{{\text{eff}},\,P}\!\left[r(t)\right]={\dfrac {-k}{2\;b\;\eta }}\;\;\forall \;t\;$ avec «$\;\eta ={\dfrac {-k}{m\;V_{0}^{\,2}\;b}}>0\;$»
$\Updownarrow$                                             
«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+{\dfrac {-k\;b}{r^{2}(t)}}\left[{\dfrac {1}{2\;\eta }}-{\dfrac {r(t)}{b}}\right]={\dfrac {-k}{2\;b\;\eta }}\;\;\forall \;t\;$».                                    Condition pour que la météorite ne heurte pas la boule : La météorite $\;P\;$ n'entre pas en collision avec la boule si la distance minimale d'approche de $\;P\;$ par rapport à la boule «$\;r_{\text{min}}\;$» est supérieure au rayon «$\;R\;$» de cette dernière ;
     Condition pour que la météorite ne heurte pas la boule : il convient donc de déterminer la distance minimale d'approche «$\;r_{\text{min}}\;$» correspondant à la position de la météorite pour laquelle celle-ci a une vitesse radiale nulle c'est-à-dire l'« instant $\;t_{\,r_{\text{min}}}\;$ tel que $\;{\dot {r}}(t_{\,r_{\text{min}}})=0\;$» $\Rightarrow$ $\;r_{\text{min}}\;$ solution $\;>0\;$ de «$\;{\dfrac {-k\;b}{r_{\text{min}}^{\,2}}}\left[{\dfrac {1}{2\;\eta }}-{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}\right]={\dfrac {-k}{2\;b\;\eta }}\;$» ou de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;-k\;b\left[{\dfrac {1}{2\;\eta }}-{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}\right]={\dfrac {-k}{2\;b\;\eta }}\;r_{\text{min}}^{\,2}\;$» ou encore, en ordonnant, de l'équation algébrique normalisée du 2^ème degré «$\;r_{\text{min}}^{\,2}+2\;b\;\eta \;r_{\text{min}}-b^{2}=0\;$» soit finalement $\;{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}\;$ solution $\;>0\;$ de l'équation algébrique normalisée du 2^ème degré «$\;\left({\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}\right)^{\!2}+2\;\eta \;{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}-1=0\;$» ;

     Condition pour que la météorite ne heurte pas la boule : l'équation algébrique du 2^nd degré en $\;{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}\;$ étant de « discriminant réduit $\;\Delta '=\eta ^{2}+1>0\;$» admet « deux solutions réelles distinctes de signe contraire $\;{\big (}$le produit étant égal à $\;-1<0{\big )}\;$» dont nous conservons la racine positive soit «$\;{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}=-\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}\;$» laquelle peut se réécrire, en multipliant et en divisant par sa « valeur conjuguée $\;\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}\;$», selon «$\;{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}=$ ${\dfrac {-\eta ^{2}+\left({\sqrt {\eta ^{2}+1}}\right)^{\!2}}{\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}}}\;$» soit, après simplification évidente, «$\;{\dfrac {r_{\text{min}}}{b}}={\dfrac {1}{\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}}}\;$» ou «$\;r_{\text{min}}={\dfrac {b}{\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}}}\;$» $\;{\big \{}$identique à l'expression obtenue dans la solution de la question précédente${\big \}}$ ;

     Condition pour que la météorite ne heurte pas la boule : en conclusion la météorite $\;P\;$ ne heurtera pas la boule si le rayon «$\;R\;$» de cette dernière satisfait la condition $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;R<{\dfrac {b}{\eta +{\sqrt {\eta ^{2}+1}}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;R<b\left[{\sqrt {\eta ^{2}+1}}-\eta \right]\;$».

 

Perturbation d'une trajectoire rectiligne par une masse localisée

Schéma descriptif de la perturbation de la trajectoire rectiligne d'un point matériel de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ au passage près d'un objet massique à symétrie sphérique de centre $\;O\;$ avec un paramètre d'impact $\;h\;$

     Une « particule $\;P\;$ de masse $\;m\;$», de « vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;\left(V_{0}\,,\,0\,,\,0\right)\;$ dans le repère cartésien associé au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$ devrait parcourir la droite «$\;\left(\Delta \right)\;\parallel \;$ à $\;Ox\;$ à la distance $\;h\;$».

     En fait on constate que sa trajectoire s'incurve, ce qu'on attribue à l'« interaction avec un astéroïde à symétrie sphérique de centre $\;O\;$ et de masse $\;M\;$» $\;{\big \{}$pour simplifier la présentation on suppose connue la position du centre de l'astéroïde, ce qui permet de le choisir comme origine du repère${\big \}}$.

Détermination de la nature de la trajectoire

     Justifier la nature plane de la trajectoire de la particule dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le plan $\;\left(O\,,\,P_{0,\,\infty }\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant choisi comme plan $\;xOy\;$ avec «$\;{\vec {u}}_{x}$ $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et de même sens » ainsi que «$\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big (}$l'espace étant orienté dans le sens direct${\big )}$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant $\;\perp \;$ au plan de la trajectoire pointant vers le lecteur dans le plan de la figure ci-dessus ${\big (}\!\Rightarrow {\vec {u}}_{z}\;$ oriente les angles algébrisés du plan dans le sens anti-horaire${\big )}\;$ puis

     rappeler, sans démonstration, l'équation polaire de la trajectoire de la particule «$\;r=r(\theta )\;$ avec $\;r=OP\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le pôle du repérage polaire étant $\;O\;$ et l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$» et enfin

     montrer que la trajectoire de la particule est une branche hyperbolique.

Solution

Schéma descriptif de la perturbation de la trajectoire rectiligne d'un point matériel de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ au passage près d'un objet massique à symétrie sphérique de centre $\;O\;$ avec un paramètre d'impact $\;h\;$ et représentation de grandeurs caractérisant la nouvelle trajectoire après perturbation

     La « particule $\;P\;$ de masse $\;m\;$» ayant, tant qu'elle reste isolée $\;{\big (}$ou pseudo-isolée${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, un mouvement rectiligne uniforme de « vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$» en suivant la droite «$\;\left(\Delta \right)\;$» $\;{\Big \{}$le 1^er vecteur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de la base cartésienne du repère associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ étant choisi $\;\parallel \;$ à $\;\left(\Delta \right)\;$ et de même sens que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;V_{0}>0\;$»${\Big \}}$ et

     constatant qu'à partir d'un certain endroit, la trajectoire de la particule s'incurve en restant dans un plan contenant un « le centre $\;O\;$ d'un astéroïde à symétrie sphérique de masse $\;M\;$» supposé immobile dans $\;{\mathcal {R}}$, la « distance orthogonale séparant $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;O\;$ étant égale à $\;OH=h$ $\;{\big (}H\;$ étant le projeté orthogonal du centre de l'astéroïde sur la trajectoire de la particule avant courbure${\big )}\;$» $\;{\Big \{}$le 2^nd vecteur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ de la base cartésienne du repère associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ étant choisi dans le plan $\;\left[O\,,\,\left(\Delta \right)\right]$ $\;\perp \;$ à $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OH}}=h\;{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;h>0\;$» et le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de cette même base tel que «$\;{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big (}$l'espace étant orienté par un trièdre direct${\big )}$, ce 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ définissant le sens $\;+\;$ de mesure des angles algébrisés du plan $\;\left[O\,,\,\left(\Delta \right)\right]{\Big \}}$, nous interprétons ce phénomène d'incurvation par une « interaction gravitationnelle avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre $\;O\;$ de masse $\;M\;$», $\;h\;$ devenant, selon l'interprétation, le « paramètre d'impact de la particule en interaction avec l'astéroïde » $\;{\Big \{}$l'origine du repère associé au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant choisie en la position fixe du centre de l'astéroïde $\;O{\Big \}}$ ;

     à partir de l'endroit où la trajectoire de la particule $\;P\left(m\right)\;$ s'incurve, celle-ci n'étant soumise, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à l'astéroïde de masse $\;M$, qu'à la force d'interaction newtonienne attractive de ce dernier «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,O}={\dfrac {-{\mathcal {G}}\;M\;m}{OP^{2}}}\;{\dfrac {\overrightarrow {OP}}{OP}}\;$ où $\;{\mathcal {G}}\;$ est la constante de gravitation universelle » et par suite la particule ayant un « mouvement à force centrale », il y a conservation du vecteur moment cinétique de celle-ci évalué, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, relativement à la position $\;O\;$ du centre de l'astéroïde soit «$\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/O}(t)={\vec {\sigma }}_{P,\,/O}(0)\;\;\forall \;t\;$» dans lequel «$\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/F}(0)$ $={\overrightarrow {OP_{0,\,\infty }}}\wedge m\;{\vec {V}}_{0}\;$ et $\;{\vec {\sigma }}_{P,\,/O}(t)={\overrightarrow {OP}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{P}(t)\;$» d'où «$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\wedge {\vec {V}}_{P}(t)$ $={\overrightarrow {OP_{0,\,\infty }}}\wedge {\vec {V}}_{0}\;$ vecteur colinéaire à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;P\,\in \;$ au plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et passant par $\;O\;$» c'est-à-dire que
       à partir de l'endroit où la trajectoire de la particule P ( m ) s'incurve, le mouvement de la particule $\;P\;$ se fait dans le plan initial d'entrée en interaction $\;\left(O\,,\,P_{0,\,\infty }\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ choisi comme plan $\;xOy$ ;

     la trajectoire suivie par la particule $\;P\;$ soumise à l'interaction newtonienne attractive de l'astéroïde à symétrie sphérique de centre $\;O\;$ étant d'une part une « conique dont le (ou un des) foyer(s) est la position $\;O\;$ du centre de l'astéroïde » et d'autre part « non bornée avec présence d'une asymptote en la position de la particule juste avant début d'incurvation, position située à l'infini »
        la trajectoire suivie par la particule P est une « branche d'hyperbole admettant $\;P_{0,\,\infty }x\;$ comme asymptote et contournant le foyer $\;O\;$»,

     son équation polaire est de la forme «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec «$\;r=OP\;$ et $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$», «$\;p\;$ étant le paramètre de l'hyperbole, $\;e\;$ son excentricité et $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}\;$ l'angle que fait l'axe focal orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$».

 

Détermination de l'angle de déviation de la particule due à l'interaction avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre O

     Évaluer algébriquement puis numériquement l'« angle de déviation $\;D={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}_{\infty }\right)}}\;$» $\;{\big \{}P_{\infty }\;$ définissant la position de la particule quand celle-ci s'éloigne à l'infini après interaction avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre $\;O{\big \}}\;$».

     A.N. : «$\;M=1,0\;10^{15}\;kg\;$», «$\;h=10\;km\;$», «$\;V_{0}=0,10\;km\cdot s^{-1}\;$» et la constante de gravitation universelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$».

Solution

     La distance orthogonale $\;h\;$ entre la trajectoire $\;\left(\Delta \right)\;$ de la particule $\;P\;$ avant courbure et le centre $\;O\;$ de l'astéroïde étant le « paramètre d'impact de $\;P\;$ lors de l'interaction de cette dernière avec l'astéroïde » s'identifie au « demi-axe non focal $\;b\;$» de la branche hyperbolique suivie par $\;P\;$ lors de l'incurvation de cette dernière $\;{\big \{}\left(\Delta \right)\;$ étant une asymptote de cette branche et $\;O\;$ le foyer contourné par celle-ci, $\;h\;$ représente une définition du demi-axe non focal d'une hyperbole${\big \}}\;$ d'où l'expression du demi-axe non focal de la branche hyperbolique «$\;b=h\;$»,      le « demi-axe focal $\;a\;$» de cette branche hyperbolique étant déterminé en utilisant le lien de ce dernier avec l'énergie mécanique de la particule dans le champ d'interaction de l'astéroïde $\;{\big (}$laquelle est conservée, $\;P\;$ ayant un mouvement à force centrale conservative dans le référentiel d'étude $\;R\;$ galiléen lié à l'astéroïde${\big )}\;$ à savoir «$\;E_{m,\,P}(t)={\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{2\;a}}\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle newtonienne de la particule dans le champ de l'astéroïde étant choisie à l'infini${\big )}$ ainsi que la « conservation de l'énergie mécanique égale à sa valeur initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{2\;a}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$ d'où l'expression du demi-axe focal de la branche hyperbolique «$\;a={\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{V_{0}^{\,2}}}\;$» représentant, sur le schéma ci-dessus, la distance $\;HC\;$
séparant le projeté $\;H\;$ du foyer $\;O\;$ sur l'asymptote $\;\left(\Delta \right)\;$ du point d'intersection $\;C\;$ des deux asymptotes ;      l'angle que fait l'axe focal orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ à savoir «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {u}}_{\text{axe focal}}\right)}}\;$» étant $\;>0$ $\;{\big (}$voir schéma ci-dessus${\big )}\;$ s'identifie à l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ entre une asymptote et la direction de l'axe focal s'évaluant selon $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ se réécrivant «$\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)\;$» d'où l'expression de l'angle que fait l'axe focal de la branche hyperbolique avec l'axe polaire «$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)\;$» ;      l'« angle de déviation de la particule $\;P\;$ due à l'interaction avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre $\;O\;$ à savoir $\;D={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}_{\infty }\right)}}\;$» $\;{\big \{}P_{\infty }\;$ définissant la position de la particule quand celle-ci s'éloigne à l'infini après interaction avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre $\;O{\big \}}\;$ étant $\;<0\;$ tel que «$\;-D+2\;\varphi =\pi \;$» $\;{\big (}$voir schéma ci-dessus${\big )}$, nous en déduisons «$\;\varphi ={\dfrac {\pi }{2}}+{\dfrac {D}{2}}\;$» c'est-à-dire «$\;\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)=$ ${\dfrac {\pi }{2}}+{\dfrac {D}{2}}\;$» ou «$\;{\dfrac {D}{2}}=\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\Bigg \{}$avec $\;{\dfrac {D}{2}}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$ car $\;\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)\,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[{\Bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\tan \!\left({\dfrac {D}{2}}\right)=\tan \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)-{\dfrac {\pi }{2}}\right]=-\tan \!\left[{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)\right]=$ $-{\dfrac {1}{\tan \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}\right)\right]}}=-{\dfrac {1}{\dfrac {h\;V_{0}^{\,2}}{{\mathcal {G}}\;M}}}\;$» expression s'inversant, compte-tenu de $\;{\dfrac {D}{2}}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[$, en «$\;{\dfrac {D}{2}}=\arctan \!\left(-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{h\;V_{0}^{\,2}}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{h\;V_{0}^{\,2}}}\right)\;$» soit finalement l'expression de l'« angle de déviation de la particule $\;P\;$ due à l'interaction avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre $\;O\;$
«$\;D=-2\;\arctan \!\left({\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{h\;V_{0}^{\,2}}}\right)\;$».

     A.N. : «$\;M=1,0\;10^{15}\;kg\;$» ${\Bigg (}$l'ordre de grandeur du rayon de cet astéroïde en supposant qu'il est de même composition que la Terre $\;{\text{♁}}\;$ dont la masse est $\;m_{\text{♁}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$ et le rayon $\;R_{\text{♁}}\simeq 6400\;km$, est $\;{\sqrt[{3}]{\dfrac {M}{m_{\text{♁}}}}}\;R_{\text{♁}}\simeq 3,5\;km{\Bigg )}$, «$\;h=10\;km\;$» ${\big (}$la particule $\;P\;$ passerait, en absence d'interaction avec l'astéroïde, à $\;6,5\;km\;$ de la surface de l'astéroïde${\big )}$, «$\;V_{0}=0,10\;km\cdot s^{-1}\;$» ${\big (}$il s'agit de la vitesse relative de la particule $\;P\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à l'astéroïde, ce dernier étant vraisemblablement isolé $\Rightarrow$ le caractère galiléen de $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ et «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$» $\Rightarrow$ «$\;D\simeq -2\times \arctan \!\left({\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 10^{15}}{10^{4}\times \left(100\right)^{2}}}\right)\;$ en $\;rad\;$» soit «$\;D\simeq -1,33\;10^{-3}\;rad\simeq -0,076\;{\text{°}}\simeq -4,5\;'\;$ d'angle » $\;{\big (}$ce qui est très petit mais mesurable${\big )}$.

 

Comète quasi parabolique de 1843

     En $\;1843$, une comète «$\;({\mathcal {C}})\;$» est passée extrêmement près du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ de centre $\;S\;$ à la distance «$\;SP=d=6,1\;10^{-3}\;ua\;$ $\;{\big (}\simeq 50\;$ fois plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ que n'est Mercure $\;{\text{☿}}{\big )}$, $\;P\;$ étant la position de la comète $\;({\mathcal {C}})\;$ au plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}$.

Détermination de la vitesse de la comète quasi-parabolique de 1843 à son passage au plus près du Soleil

     En utilisant que la Terre $\;{\text{♁}}\;$ décrit autour du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ de centre $\;S$, une orbite pratiquement circulaire de rayon «$\;a=1,5\;10^{8}\;km\;$», à la vitesse «$\;u=30\;km\cdot s^{-1}\;$» et

     En utilisant que l'orbite de «$\;({\mathcal {C}})\;$» est assimilée à une parabole,

     calculer la vitesse de la comète lors de son passage en $\;P$.

Solution

     La trajectoire de la comète de $\;1843\;$ «$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» étant assimilée à une parabole, l'énergie mécanique de cette comète est nulle, ce qui donne, en explicitant l'énergie mécanique de la comète en la position $\;P\;$ la plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}$, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{\mathcal {C}}\;V_{\mathcal {C}}^{\,2}(P)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{\mathcal {C}}}{d}}=0\;$» d'où l'expression approchée de la vitesse de la comète de $\;1843\;$ «$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» en cette position $\;P\;$ la plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ «$\;V_{\mathcal {C}}(P)={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{d}}}\;$» ;      on utilise alors la « définition de $\;u\;$» $\;{\big [}$vitesse circulaire sur l'orbite terrestre de rayon $\;a\;$ usuellement notée $\;V_{\text{circ}}(a){\big ]}\;$ soit «$\;u={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{a}}}\;$» $\;{\Bigg \{}$à retrouver par exemple en appliquant la théorème du mouvement du C.D.I. à la Terre $\;{\text{♁}}\;$ et projetant sur «$\;{\vec {u}}_{r}\;$ lié au C.D.I. $\;G\;$ de la Terre $\;{\text{♁}}\;$» avec utilisation de l'accélération radiale pour un mouvement circulaire de rayon $\;a\;$ «$\;a_{r}(G)=-a\;{\dot {\theta }}_{\text{circ}}^{\,2}(a)=-{\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(a)}{a}}\;$» ce qui donne $\;{\dfrac {-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{a^{\,2}}}$ $=-m_{\text{♁}}\;{\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(a)}{a}}\;$ dont on déduit $\;V_{\text{circ}}(a)={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{a}}}{\Bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}}=u\;{\sqrt {a}}\;$» que l'on reporte dans l'expression précédente d'où «$\;V_{\mathcal {C}}(P)\simeq u\;{\sqrt {\dfrac {2\;a}{d}}}\;$» ;

     numériquement «$\;V_{\mathcal {C}}(P)\simeq 30\;{\sqrt {\dfrac {2\times 1}{6,1\;10^{-3}}}}\;$ en $\;km\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;V_{\mathcal {C}}(P)\simeq 543,2\;km\cdot s^{-1}\simeq 543\;km\cdot s^{-1}\;$».

 

Détermination de la distance maximale d'éloignement de la comète quasi-parabolique de 1843 relativement au Soleil ainsi que sa vitesse à cette distance

     Des mesures précises ayant montré que l'orbite de «$\;({\mathcal {C}})\;$» est en fait une ellipse « très allongée » d'excentricité «$\;e=1-x$, avec $\;x\simeq 9,4\;10^{-5}\;$» $\;{\big (}x\;$ est donc $\;\ll 1{\big )}$, établir

• la distance maximale d'éloignement $\;D=SA\;$ de la comète quasi-parabolique de 1843 relativement au Soleil $\;{\text{☉}}$, $\;A\;$ étant la position de la comète $\;({\mathcal {C}})\;$ au plus loin du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ et
• la vitesse de la comète lors de son passage en $\;A$.

Solution

     La trajectoire de la comète de $\;1843\;$ «$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» étant en fait une ellipse dont un des foyers est le centre $\;S\;$ du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ d'excentricité «$\;e=1-x$, avec $\;x\simeq 9,4\;10^{-5}\;$», la « position $\;P\;$ de la comète au plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ représente celle du périhélie de l'ellipse » et la « distance $\;d\;$ séparant ce dernier du centre $\;S\;$ du Soleil $\;{\text{☉}}$, la distance minimale d'approche $\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}\;$ où $\;p\;$ est le paramètre de l'ellipse » ; de cette dernière information nous en déduisons le paramètre $\;p\;$ de l'ellipse selon «$\;d={\dfrac {p}{1+e}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p=d\,\left(1+e\right)=d\,\left(2-x\right)\;$» d'où «$\;p\simeq 2\;d\simeq 1,22\;10^{-2}\;ua\;$».

     Distance maximale d'éloignement : La « position $\;A\;$ de la comète au plus loin du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ représente celle de l'aphélie de l'ellipse » et la « distance $\;D\;$ séparant ce dernier du centre $\;S\;$ du Soleil $\;{\text{☉}}$, la distance maximale d'éloignement $\;r_{A}={\dfrac {p}{1-e}}\;$ avec $\;p\;$ le paramètre de l'ellipse », $\Rightarrow$ la distance maximale d'éloignement recherchée «$\;D={\dfrac {p}{1-e}}\simeq {\dfrac {1,22\;10^{-2}}{1-\left(1-9,4\;10^{-5}\right)}}\;$ en $\;ua\;$» soit «$\;D\simeq 130\;ua\;$» $\;{\big (}\simeq 4,3\;$ fois plus éloigné du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ que n'est Neptune $\;{\text{♆}}{\big )}$.

     Vitesse de la comète à l'aphélie : La vitesse à l'aphélie $\;A\;$ est la vitesse minimale de la comète, comme sa direction y est orthoradiale $\;{\big (}$comme la direction de la vitesse de la comète au périhélie $\;P{\big )}\;$ elle peut être déterminée par utilisation de la constante des aires $\;C\;$ du mouvement de la comète soit, en choisissant le sens $\;+\;$ de rotation dans le sens du mouvement $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{\mathcal {C}}(A)\;D=C\\V_{\mathcal {C}}(P)\;d=C\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{\mathcal {C}}(A)=V_{\mathcal {C}}(P)\;{\dfrac {d}{D}}\;$» soit, en supposant que la vitesse «$\;V_{\mathcal {C}}(P)\simeq 543\;km\cdot s^{-1}\;$» obtenue en considérant la trajectoire de la comète comme parabolique n'est pas besoin d'être rectifiée, «$\;V_{\mathcal {C}}(A)\simeq 543\times {\dfrac {6,1\;10^{-3}}{130}}\;$ en $\;km\cdot s^{-1}\;$» soit, en absence de modification de $\;V_{\mathcal {C}}(P)$, «$\;V_{\mathcal {C}}(A)\simeq 2,85\;10^{-2}km\cdot s^{-1}\;$ ou $\;V_{\mathcal {C}}(A)\simeq 28,5\;m\cdot s^{-1}\;$» ;

     Vitesse de la comète à l'aphélie : remarque : vérifions qu'il est inutile de recalculer la vitesse $\;V_{\mathcal {C}}(P)\;$ en tenant compte du caractère elliptique du mouvement de la comète, en effet le demi-grand axe $\;a\;$ de l'ellipse étant tel que $\;D+d=2\;a\;$ $\Rightarrow$ «$\;a={\dfrac {D+d}{2}}\simeq {\dfrac {130+6,1\;10^{-3}}{2}}\simeq 65\;ua\;$», l'énergie mécanique de la comète n'est pas rigoureusement nulle mais à évaluer selon «$\;E_{m}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{\mathcal {C}}}{2\;a}}\;$» et par suite la vitesse $\;V_{\mathcal {C}}(P)\;$ se détermine en écrivant la conservation de l'énergie mécanique de la comète en la position $\;P\;$ la plus proche du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{\mathcal {C}}\;V_{\mathcal {C}}^{\,2}(P)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{\mathcal {C}}}{d}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{\mathcal {C}}}{2\;a}}\;$» soit encore «$\;V_{\mathcal {C}}(P)=$ ${\sqrt {{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{d}}\left(1-{\dfrac {d}{2\;a}}\right)}}=V_{{\mathcal {C}},\,{\text{parabol}}}(P)\;{\sqrt {1-{\dfrac {d}{2\;a}}}}\;$» avec $\;d={\dfrac {p}{1+e}}\;$ d'une part et $\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$ d'autre part $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d}{2\;a}}={\dfrac {\dfrac {p}{1+e}}{2\;{\dfrac {p}{1-e^{2}}}}}={\dfrac {1-e}{2}}={\dfrac {1-(1-x)}{2}}={\dfrac {x}{2}}\ll 1$ $\;{\big (}$considéré comme infiniment petit d'ordre un${\big )}\;$ dont nous déduisons «$\;V_{\mathcal {C}}(P)=V_{{\mathcal {C}},\,{\text{parabol}}}(P)\,\left(1-{\dfrac {x}{2}}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}\simeq V_{{\mathcal {C}},\,{\text{parabol}}}(P)\,\left(1-{\dfrac {x}{4}}\right)\;$» en utilisant le D.L. de $\;(1+\varepsilon )^{n}\simeq 1+n\;\varepsilon \;$ à l'ordre un en $\;\varepsilon \;$ pour $\;n\,\in \,\mathbb {Q} ^{*}\;$ soit finalement «$\;V_{\mathcal {C}}(P)\simeq$ $V_{{\mathcal {C}},\,{\text{parabol}}}(P)\,\left(1-{\dfrac {9,4\;10^{-5}}{4}}\right)\simeq V_{{\mathcal {C}},\,{\text{parabol}}}(P)\,\left(1-2,3\;10^{-5}\right)\;$» $\Rightarrow$ estimer la vitesse de la comète au périhélie de sa trajectoire par son expression en supposant la trajectoire parabolique induit une erreur relative par excès de $\;0,0023\;\%\;$ soit une erreur absolue de $\;12,5\;m\cdot s^{-1}\;$ largement inférieure aux incertitudes de mesure d'où l'inutilité de rectifier la valeur de $\;V_{\mathcal {C}}(P)\simeq 543\;km\cdot s^{-1}$.

 

Détermination de l'année de retour de la comète quasi-parabolique de 1843 au plus près du Soleil

     Déterminer la période de révolution de «$\;({\mathcal {C}})\;$» autour du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ compte-tenu de la nature elliptique de l'orbite de la comète et0

     préciser en quelle année la comète «$\;({\mathcal {C}})\;$» passera de nouveau en $\;P$.

Solution

     La comète de $\;1843\;$ «$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» décrivant une trajectoire elliptique a un mouvement périodique dont la période se détermine par application de la 3^ème loi de Kepler à savoir «$\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,\left({\mathcal {C}}\right)}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,\left({\mathcal {C}}\right)}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» soit, en utilisant les caractéristiques du mouvement de la Terre «$\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{♁}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$», la 3^ème loi de Kepler appliquée à la comète se réécrit «$\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,\left({\mathcal {C}}\right)}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,\left({\mathcal {C}}\right)}^{\,2}}}={\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{♁}}}^{\,2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;T_{{\text{révol.}}\,\left({\mathcal {C}}\right)}=T_{{\text{révol.}}\,{\text{♁}}}\,\left({\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,\left({\mathcal {C}}\right)}}{a_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\simeq 1\times \left({\dfrac {65}{1}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\;$ en $\;a\;$» soit «$\;T_{{\text{révol.}}\,\left({\mathcal {C}}\right)}\simeq 524\;a\;$» ;

     de la valeur de la période de révolution de la comète de $\;1843\;$ «$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» autour du Soleil $\;{\text{☉}}$, nous pouvons préciser que

• «$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» repassera à son périhélie en $\;2367\;$ et
•              atteindra son aphélie en $\;2105$.