Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels

**Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels**
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)

Page d'exercices n^o 2
Chapitre du cours :	Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel
Exo suiv. :	Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Moment cinétique vectoriel d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels

Ensemble de trois tiges sans masse $(A B, C D, E F)$ coplanaires et de quatre points matériels $(C, D, E, F)$ , la tige centrale $A B$ étant mobile autour de son milieu $O$ , les tiges extérieures $(C D, E F)$ tournant autour de leur milieu respectif $(A, B)$ avec les points matériels $(C, D, E, F)$ fixés aux extrémités des tiges extérieures $(C D, E F)$

Une tige $A B$ , de masse négligeable, de longueur $4 a$ , est suspendue en son milieu $O$ fixe dans le référentiel terrestre $ℛ_{terr}$ ;

en $A$ et $B$ sont articulées deux tiges identiques $C D$ et $E F$ , de masses négligeables, de longueur $2 a$ , $(A$ milieu de $C D$ , $B$ milieu de $E F)$ et les articulations sont telles que les trois tiges $A B$ , $C D$ et $E F$ restent dans un même plan dans lequel sont choisis les deux 1^ers vecteurs de la base cartésienne orthonormée directe $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y})$ , le 3^ème vecteur de cette base ${\vec{u}}_{z} = {\vec{u}}_{x} \land {\vec{u}}_{y}$ étant $⊥$ au plan contenant les trois tiges en pointant vers le lecteur, son sens définissant le sens $+$ des angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire ;

aux extrémités $(C, D, E, F)$ sont fixés quatre points matériels identiques de masse $m$ ;

la position angulaire des tiges dans le plan $x O y$ est définie relativement à l'axe passant par le milieu des tiges et orienté par ${\vec{u}}_{x}$ selon :

l'angle algébrisé $φ (t) = \hat{{\vec{O x}, \vec{O A} (t)}}$ pour repérer la tige $A B$ ,
l'angle algébrisé $α (t) = \hat{{\vec{A x}, \vec{A C} (t)}}$ pour repérer la tige $C D$ et
l'angle algébrisé $β (t) = \hat{{\vec{B x}, \vec{B E} (t)}}$ pour repérer la tige $E F$ .

En admettant le théorème de Kœnig^[1] relatif au moment cinétique vectoriel $($ ou 1^er théorème de Kœnig^[1] $)$ appliqué à un système de deux points matériels^[2] à savoir

En admettant le théorème de Kœnig le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels « ${M_{i} (m_{i})}_{i \in [[1, 2]]}$ » évalué à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ relativement à un point $O$ quelconque « ${\vec{σ}}_{O} (syst, t)$ » est la somme

du moment cinétique barycentrique^[3] vectoriel du système « ${\vec{σ}}^{*} (syst, t)$ »^[4] évalué à l'instant $t$ et
du moment cinétique vectoriel du C.D.I^[5]. $G$ du système évalué au même instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ par rapport au même point $O$ $[$ en attribuant au point fictif $G$ la masse $m_{syst}]$ « ${\vec{σ}}_{O} (G, t)$ $= \vec{O G} (t) \land m_{syst} {\vec{V}}_{G} (t)$ »

En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement « ${\vec{σ}}_{O} (syst, t) = {\vec{σ}}^{*} (syst, t) + {\vec{σ}}_{O} (G, t) = {\vec{σ}}^{*} (syst, t) + \vec{O G} (t) \land m_{syst} {\vec{V}}_{G} (t)$ »,

évaluer, dans le référentiel terrestre $ℛ_{terr}$ et à l'instant $t$ , le moment cinétique vectoriel du système $(𝒮)$ constitué des trois tiges et des quatre points matériels relativement au point $O$ « ${\vec{σ}}_{O} (𝒮, t)$ » en fonction des données et des dérivées temporelles ${\dot{φ} (t), \dot{α} (t), \dot{β} (t)}$ .

Solution

Dans le référentiel terrestre

ℛ_{terr}

et à l'instant

t

, le moment cinétique vectoriel du système

(𝒮)

relativement au point

O

«

{\vec{σ}}_{O} (𝒮, t)

» est la somme des moments cinétiques vectoriels au même instant

t

et relativement à la même origine

O

des trois tiges chargées de leurs points matériels «

{\vec{σ}}_{O} (A B, t)

,

{\vec{σ}}_{O} (C D_{alourdie}, t)

et

{\vec{σ}}_{O} (E F_{alourdie}, t)

» soit «

{\vec{σ}}_{O} (𝒮, t) = {\vec{σ}}_{O} (A B, t) + {\vec{σ}}_{O} (C D_{alourdie}, t) + {\vec{σ}}_{O} (E F_{alourdie}, t)

» avec

« ${\vec{σ}}_{O} (A B, t) = J_{O z} (A B) {\vec{Ω}}_{A B} (t)$ »^[6] avec « ${\vec{Ω}}_{A B} (t) = \dot{φ} (t) {\vec{u}}_{z}$ le vecteur rotation instantanée de la tige $A B$ » et « $J_{O z} (A B)$ son moment d'inertie relativement à la médiatrice $O z$ lequel est nul pour une tige sans masse » d'où « ${\vec{σ}}_{O} (A B, t) = \vec{0} \forall t$ »,
« ${\vec{σ}}_{O} (C D_{alourdie}, t) = {\vec{σ}}^{*} (C D_{alourdie}, t) + \vec{O A} (t) \land 2 m {\vec{V}}_{A} (t)$ » par application du 1^er théorème de Kœnig^[1] à l'ensemble de la tige $C D$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $m$ , « ${\vec{σ}}^{*} (C D_{alourdie}, t)$ étant le moment cinétique barycentrique^[3] vectoriel de la tige $C D$ alourdie » et « $A$ le C.D.I^[5]. de cette tige alourdie de masse $2 m$ » $($ la tige étant sans masse $)$ avec
« ${\vec{σ}}^{*} (C D_{alourdie}, t) = J_{A z} (C D_{alourdie}) {\vec{Ω}}_{tige C D} (t)$ »^[6] dans lequel « ${\vec{Ω}}_{tige C D} (t) = \dot{α} (t) {\vec{u}}_{z}$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $C D$ » et « $J_{A z} (C D_{alourdie})$ le moment d'inertie de la tige $C D$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $A z$ encore égal à $J_{A z} (C D_{alourdie}) = 2 m a^{2}$ $($ la tige $C D$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel $)$ » d'où « ${\vec{σ}}^{*} (C D_{alourdie}, t) = 2 m a^{2} \dot{α} (t) {\vec{u}}_{z}$ » et
« $\vec{O A} (t) \land 2 m {\vec{V}}_{A} (t) = 2 a {\vec{u}}_{r} (A, t) \land 2 m [{\vec{Ω}}_{A B} (t) \land 2 a {\vec{u}}_{r} (A, t)] = 8 m a^{2} \dot{φ} (t) {{\vec{u}}_{r} (A, t) \land [{\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{r} (A, t)]} = 8 m a^{2} \dot{φ} (t) {\vec{u}}_{z}$ ^[7] » d'où « ${\vec{σ}}_{O} (C D_{alourdie}, t) = 2 m a^{2} \dot{α} (t) {\vec{u}}_{z} + 8 m a^{2} \dot{φ} (t) {\vec{u}}_{z} = 2 m a^{2} [4 \dot{φ} (t) + \dot{α} (t)] {\vec{u}}_{z}$ »,
« ${\vec{σ}}_{O} (E F_{alourdie}, t) = {\vec{σ}}^{*} (E F_{alourdie}, t) + \vec{O B} (t) \land 2 m {\vec{V}}_{B} (t)$ » par application du 1^er théorème de Kœnig^[1] à l'ensemble de la tige $E F$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $m$ , « ${\vec{σ}}^{*} (E F_{alourdie}, t)$ étant le moment cinétique barycentrique^[3] vectoriel de la tige $E F$ alourdie » et « $B$ le C.D.I^[5]. de cette tige alourdie de masse $2 m$ » $($ la tige étant sans masse $)$ avec
« ${\vec{σ}}^{*} (E F_{alourdie}, t) = J_{B z} (E F_{alourdie}) {\vec{Ω}}_{tige E F} (t)$ »^[6] dans lequel « ${\vec{Ω}}_{tige E F} (t) = \dot{β} (t) {\vec{u}}_{z}$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $E F$ » et « $J_{B z} (E F_{alourdie})$ le moment d'inertie de la tige $E F$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $B z$ encore égal à $J_{B z} (E F_{alourdie}) = 2 m a^{2}$ $($ la tige $E F$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel $)$ » d'où « ${\vec{σ}}^{*} (E F_{alourdie}, t) = 2 m a^{2} \dot{β} (t) {\vec{u}}_{z}$ » et
« $\vec{O B} (t) \land 2 m {\vec{V}}_{B} (t) = 2 a {\vec{u}}_{r} (B, t) \land 2 m [{\vec{Ω}}_{A B} (t) \land 2 a {\vec{u}}_{r} (B, t)] = 8 m a^{2} \dot{φ} (t) {{\vec{u}}_{r} (B, t) \land [{\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{r} (B, t)]} = 8 m a^{2} \dot{φ} (t) {\vec{u}}_{z}$ ^[8] » d'où « ${\vec{σ}}_{O} (E F_{alourdie}, t) = 2 m a^{2} \dot{β} (t) {\vec{u}}_{z} + 8 m a^{2} \dot{φ} (t) {\vec{u}}_{z} = 2 m a^{2} [4 \dot{φ} (t) + \dot{β} (t)] {\vec{u}}_{z}$ » ;

ajoutant les trois composantes du moment cinétique vectoriel du système

(𝒮)

relativement au point

O

selon «

{\vec{σ}}_{O} (𝒮, t) = {\vec{σ}}_{O} (A B, t) + {\vec{σ}}_{O} (C D_{alourdie}, t) + {\vec{σ}}_{O} (E F_{alourdie}, t)

» nous obtenons «

{\vec{σ}}_{O} (𝒮, t) = 2 m a^{2} [8 \dot{φ} (t) + \dot{α} (t) + \dot{β} (t)] {\vec{u}}_{z}

».

Additif, démonstration du 1^er théorème de Kœnig^[1] $($ non demandé $)$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel - ou 1^er théorème de Kœnig - appliqué à un système de deux points matériels) » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\dots$

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 et ^1,4 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ;
Christian Huygens (1629 – 1695) $[$ ou Huyghens $]$ est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
↑ Voir le paragraphe « théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel (ou 1^er théorème de Kœnig) (appliqué à un système de deux points matériels) » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
↑ ^3,0 ^3,1 et ^3,2 Une grandeur cinétique barycentrique d'un système est définie dans le référentiel barycentrique du système c'est-à-dire le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
↑ Voir le paragraphe « moment cinétique vectoriel barycentrique (propriété) » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
↑ ^5,0 ^5,1 et ^5,2 Centre D'Inertie.
↑ ^6,0 ^6,1 et ^6,2 Cette relation s'applique quand l'axe autour duquel la tige $($ alourdie ou non $)$ tourne est un « axe principal d'inertie pour le point origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel » ${$ généralisation admise du paragraphe du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à un système continu fermé indéformable $}$ et tout axe de symétrie d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie pour tous les points de cet axe ${$ voir le paragraphe «complément, exemples de détermination d'axes principaux d'inertie de systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels (généralisation à un système continu fermé indéformable admise) » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $}$ .
↑ En effet « ${\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{r} (A, t) = {\vec{u}}_{φ} (A, t)$ » et « ${\vec{u}}_{r} (A, t) \land {\vec{u}}_{φ} (A, t) = {\vec{u}}_{z}$ ».
↑ En effet « ${\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{r} (B, t) = {\vec{u}}_{φ} (B, t)$ » et « ${\vec{u}}_{r} (B, t) \land {\vec{u}}_{φ} (B, t) = {\vec{u}}_{z}$ ».

Mécanique 2 (PCSI)

Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel

Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe

[Kœnig-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 et ^1,4 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ;
Christian Huygens (1629 – 1695) $[$ ou Huyghens $]$ est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.

[1er_théorème_de_Kœnig_appliqué_à_un_système_de_deux_points_matériels-2] Voir le paragraphe « théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel (ou 1^er théorème de Kœnig) (appliqué à un système de deux points matériels) » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».

[référentiel_barycentrique-3] 3,0 ^3,1 et ^3,2 Une grandeur cinétique barycentrique d'un système est définie dans le référentiel barycentrique du système c'est-à-dire le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.

[moment_cinétique_barycentrique_indépendant_du_point_origine-4] Voir le paragraphe « moment cinétique vectoriel barycentrique (propriété) » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».

[C.D.I.-5] 5,0 ^5,1 et ^5,2 Centre D'Inertie.

[axe_principal_d'inertie_de_la_tige-6] 6,0 ^6,1 et ^6,2 Cette relation s'applique quand l'axe autour duquel la tige $($ alourdie ou non $)$ tourne est un « axe principal d'inertie pour le point origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel » ${$ généralisation admise du paragraphe du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à un système continu fermé indéformable $}$ et tout axe de symétrie d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie pour tous les points de cet axe ${$ voir le paragraphe «complément, exemples de détermination d'axes principaux d'inertie de systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels (généralisation à un système continu fermé indéformable admise) » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $}$ .

[7] En effet « ${\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{r} (A, t) = {\vec{u}}_{φ} (A, t)$ » et « ${\vec{u}}_{r} (A, t) \land {\vec{u}}_{φ} (A, t) = {\vec{u}}_{z}$ ».

[8] En effet « ${\vec{u}}_{z} \land {\vec{u}}_{r} (B, t) = {\vec{u}}_{φ} (B, t)$ » et « ${\vec{u}}_{r} (B, t) \land {\vec{u}}_{φ} (B, t) = {\vec{u}}_{z}$ ».

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