Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels

Moment cinétique vectoriel d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels

Ensemble de trois tiges sans masse $\;\left(AB\,,\,CD\,,\,EF\right)\;$ coplanaires et de quatre points matériels $\;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)$, la tige centrale $\;AB\;$ étant mobile autour de son milieu $\;O$, les tiges extérieures $\;\left(CD\,,\,EF\right)\;$ tournant autour de leur milieu respectif $\;\left(A\,,\,B\right)\;$ avec les points matériels $\;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)\;$ fixés aux extrémités des tiges extérieures $\;\left(CD\,,\,EF\right)$

     Une tige $\;AB$, de masse négligeable, de longueur $\;4\;a$, est suspendue en son milieu $\;O\;$ fixe dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ ;

     en $\;A\;$ et $\;B\;$ sont articulées deux tiges identiques $\;CD\;$ et $\;EF$, de masses négligeables, de longueur $\;2\;a$, $\;{\big (}A\;$ milieu de $\;CD$, $\;B\;$ milieu de $\;EF{\big )}\;$ et les articulations sont telles que les trois tiges $\;AB$, $\;CD\;$ et $\;EF\;$ restent dans un même plan dans lequel sont choisis les deux 1^ers vecteurs de la base cartésienne orthonormée directe $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)$, le 3^ème vecteur de cette base $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ étant $\;\perp \;$ au plan contenant les trois tiges en pointant vers le lecteur, son sens définissant le sens $\;+\;$ des angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire ;

     aux extrémités $\;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)\;$ sont fixés quatre points matériels identiques de masse $\;m$ ;

     la position angulaire des tiges dans le plan $\;xOy\;$ est définie relativement à l'axe passant par le milieu des tiges et orienté par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ selon :

• l'angle algébrisé $\;\varphi (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OA}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;AB$,
• l'angle algébrisé $\;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ax}}\,,\,{\overrightarrow {AC}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;CD\;$ et
• l'angle algébrisé $\;\beta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Bx}}\,,\,{\overrightarrow {BE}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;EF$.

     En admettant le théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel $\;{\big (}$ou 1^er théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système de deux points matériels à savoir

          En admettant le théorème de Kœnig le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme

• du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
• du moment cinétique vectoriel du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)$ $={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$»,

     évaluer, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et à l'instant $\;t$, le moment cinétique vectoriel du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué des trois tiges et des quatre points matériels relativement au point $\;O\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» en fonction des données et des dérivées temporelles $\;\left\lbrace {\dot {\varphi }}(t)\,,\,{\dot {\alpha }}(t)\,,\,{\dot {\beta }}(t)\right\rbrace$.

Solution

     Dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et à l'instant $\;t$, le moment cinétique vectoriel du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ relativement au point $\;O\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» est la somme des moments cinétiques vectoriels au même instant $\;t\;$ et relativement à la même origine $\;O\;$ des trois tiges chargées de leurs points matériels «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)$, $\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$ et $\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$» soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)={\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$» avec

• «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)=J_{Oz}(AB)\;{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\;$» avec «$\;{\vec {\Omega }}_{AB}(t)={\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur rotation instantanée de la tige $\;AB\;$» et «$\;J_{Oz}(AB)\;$ son moment d'inertie relativement à la médiatrice $\;Oz\;$ lequel est nul pour une tige sans masse » d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$»,
• «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{A}(t)\;$» par application du 1^er théorème de Kœnig à l'ensemble de la tige $\;CD\;$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $\;m$, «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$ étant le moment cinétique barycentrique vectoriel de la tige $\;CD\;$ alourdie » et «$\;A\;$ le C.D.I. de cette tige alourdie de masse $\;2\;m\;$» $\;{\big (}$la tige étant sans masse${\big )}\;$ avec
                                      «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}(t)={\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $\;CD\;$» et «$\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;$ le moment d'inertie de la tige $\;CD\;$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $\;Az\;$ encore égal à $\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}$ $\;{\big (}$la tige $\;CD\;$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel${\big )}\;$» d'où «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
                                      «$\;{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{A}(t)=2\;a\;{\vec {u}}_{r}(A,\,t)\wedge 2\;m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]=8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(A,\,t)\wedge \left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]\right\rbrace =8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}+8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}=2\;m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}(t)+{\dot {\alpha }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
• «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\overrightarrow {OB}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{B}(t)\;$» par application du 1^er théorème de Kœnig à l'ensemble de la tige $\;EF\;$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $\;m$, «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$ étant le moment cinétique barycentrique vectoriel de la tige $\;EF\;$ alourdie » et «$\;B\;$ le C.D.I. de cette tige alourdie de masse $\;2\;m\;$» $\;{\big (}$la tige étant sans masse${\big )}\;$ avec
                                      «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}(t)={\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $\;EF\;$» et «$\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;$ le moment d'inertie de la tige $\;EF\;$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $\;Bz\;$ encore égal à $\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}$ $\;{\big (}$la tige $\;EF\;$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel${\big )}\;$» d'où «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
                                      «$\;{\overrightarrow {OB}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{B}(t)=2\;a\;{\vec {u}}_{r}(B,\,t)\wedge 2\;m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]=8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(B,\,t)\wedge \left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]\right\rbrace =8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}+8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}=2\;m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}(t)+{\dot {\beta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     ajoutant les trois composantes du moment cinétique vectoriel du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ relativement au point $\;O\;$ selon «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)={\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$» nous obtenons «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\,\left[8\;{\dot {\varphi }}(t)+{\dot {\alpha }}(t)+{\dot {\beta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$».

     Additif, démonstration du 1^er théorème de Kœnig $\;{\big (}$non demandé${\big )}$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel - ou 1^er théorème de Kœnig - appliqué à un système de deux points matériels) » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\;\ldots$