Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe

Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (1^re suite)

Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R

     1^re suite de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan » de la série d'exer.$5$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     On considère le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement perpendiculaires, avec $\;C\;$ centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;

     appelant $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose $\;{\Big \{}$en utilisant éventuellement les résultats de l’exercice précité en préambule à savoir la position du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ ainsi que le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de $\;G\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ $\;{\big [}{\vec {u}}_{(CA)}\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation${\big ]}{\Big \}}\;$ de déterminer le vecteur moment cinétique en $\;C\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement au référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$.

Détermination du moment cinétique vectoriel en C du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire

     Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons respectivement perpendiculaires autour de l'axe $\;(CA)\;$ avec $\;C\;$ centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante $\;\omega _{0}\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$,

• exprimer, sous forme d'une intégrale surfacique, le vecteur moment cinétique $\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;C\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ en posant $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{(CA)}\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
• évaluer cette intégrale et vérifier que le vecteur moment cinétique $\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;C\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ a une composante portée par l'axe de rotation et une autre composante $\;\perp \;$ à ce dernier tournant dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ à la même vitesse angulaire que $\;{\mathcal {D}}$.

Solution

Schéma de situation d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R, le quart de disque étant en rotation uniforme autour de l'axe CA à la vitesse angulaire ω₀

     Le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement $\;\perp$ $\;{\big (}C\;$ étant le centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier${\big )}$, est en rotation uniforme autour de l'axe $\;CA\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\Big [}$on choisit de repérer le point générique $\;M\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;CA\;$ appelé $\;{\overrightarrow {Cz}}\;$ par la suite, la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ étant notée «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }(M)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» et les coordonnées cylindro-polaires de $\;M\;$ «$\;\left\lbrace \rho _{M}\,,\,\theta _{M}=\omega _{0}\;t+\theta _{(M,\,0)}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;$» $\;{\big (}$voir ci-contre le repérage cylindro-polaire du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}$, celui du point générique $\;M\;$ s'imaginant aisément${\big )}{\Big ]}$ ;

     le vecteur moment cinétique $\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;C\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ étant défini selon «$\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},,\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \sigma _{0}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS_{M}\;$» avec
$\;dS_{M}\;$ l'aire de la surface élémentaire entourant le point générique $\;M\in {\mathcal {D}}$,

     se réécrit, dans le cas de $\;{\mathcal {D}}\;$ en rotation autour de l'axe $\;Cz\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$» d'où «$\;{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)=$ ${\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$», selon l'intégrale surfacique «$\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},,\,t)=\sigma _{0}\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\,dS_{M}\;$» ou, par utilisation de l'une des deux formules du double produit vectoriel, selon «$\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},,\,t)=\sigma _{0}\;\left\lbrace \displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\;dS_{M}\right\rbrace \,{\vec {\Omega }}-\sigma _{0}\;\left\lbrace \displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}\right\rbrace \;$» ;

     avec le repérage cylindro-polaire précédemment introduit les deux intégrales surfaciques se réécrivent selon

• «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\;dS_{M}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left(z_{M}^{\,2}+\rho _{M}^{\,2}\right)\,dz_{M}\;d\rho _{M}=\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left\lbrace \displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}\left(z_{M}^{\,2}+\rho _{M}^{\,2}\right)\,dz_{M}\right\rbrace d\rho _{M}\;$» soit «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\;dS_{M}=\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left\lbrace \left[{\dfrac {z_{M}^{\,3}}{3}}+\rho _{M}^{\,2}\;z_{M}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}\right\rbrace d\rho _{M}\;$» avec les termes entre accolades «$\;\left[{\dfrac {z_{M}^{\,3}}{3}}+\rho _{M}^{\,2}\;z_{M}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}={\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\right)^{\!3}}{3}}+\rho _{M}^{\,2}\;{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}={\dfrac {\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}{3}}\,\left[R^{2}-\rho _{M}^{\,2}+3\;\rho _{M}^{\,2}\right]={\dfrac {\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}{3}}\,\left[R^{2}+2\;\rho _{M}^{\,2}\right]\;$» d'où la réécriture de «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\;dS_{M}=$ ${\dfrac {R^{2}}{3}}\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\;d\rho _{M}+{\dfrac {2}{3}}\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\;\rho _{M}^{\,2}\;d\rho _{M}\;$», chaque intégrale se calculant en faisant le changement de variable «$\;\rho _{M}=R\;\sin(\chi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}d\rho _{M}\!\!&=&\!\!R\;\cos(\chi )\;d\chi \\{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\!\!&=&\!\!R\;\cos(\chi )\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où
  $\;\succ \;$ «$\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\;d\rho _{M}=\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}R^{2}\;\cos ^{2}(\chi )\;d\chi =R^{2}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1+\cos(2\;\chi )}{2}}\;d\chi =R^{2}\,\left[{\dfrac {\chi }{2}}+{\dfrac {\sin(2\;\chi }{4}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}\;$» et
  $\;\succ \;$ «$\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\;\rho _{M}^{\,2}\;d\rho _{M}=\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}R^{4}\;\cos ^{2}(\chi )\;\sin ^{2}(\chi )\;d\chi =R^{4}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin ^{2}(2\;\chi )}{4}}\;d\chi =R^{4}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\cos(4\;\chi )}{8}}\;d\chi =R^{4}\,\left[{\dfrac {\chi }{8}}+{\dfrac {\sin(4\;\chi }{16}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}={\dfrac {\pi \;R^{4}}{16}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\;dS_{M}={\dfrac {R^{2}}{3}}\;{\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}+{\dfrac {2}{3}}\;{\dfrac {\pi \;R^{4}}{16}}={\dfrac {\pi \;R^{4}}{8}}\;$» puis
• «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\omega _{0}\;z_{M}\,\left(\rho _{M}\;{\vec {u}}_{\rho }+z_{M}\;{\vec {u}}_{z}\right)\,dz_{M}\;d\rho _{M}=\omega _{0}\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\,\left[\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}z_{M}\;dz_{M}\right]d\rho _{M}+{\vec {u}}_{z}\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left[\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}z_{M}^{\,2}\;dz_{M}\right]d\rho _{M}\right\rbrace \;$» soit «$\;{\dfrac {1}{\omega _{0}}}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}$ $={\vec {u}}_{\rho }\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\,\left[{\dfrac {z_{M}^{\,2}}{2}}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}d\rho _{M}+{\vec {u}}_{z}\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left[{\dfrac {z_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}d\rho _{M}={\vec {u}}_{\rho }\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\;{\dfrac {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}{2}}\;d\rho _{M}+{\vec {u}}_{z}\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}\;$»,
  $\;\succ \;$la composante suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ étant égale à «$\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\,\left[{\dfrac {z_{M}^{\,2}}{2}}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}d\rho _{M}={\dfrac {R^{2}}{2}}\,\left[{\dfrac {\rho _{M}^{\,2}}{2}}\right]_{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}-{\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {\rho _{M}^{\,4}}{4}}\right]_{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}={\dfrac {R^{\,4}}{4}}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}={\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;$» et
  $\;\succ \;$la composante suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ «$\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}={\dfrac {1}{3}}\,\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}\;d\rho _{M}\;$» se calcule par changement de variable «$\;\rho _{M}=R\;\sin(\chi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}d\rho _{M}\!\!&=&\!\!R\;\cos(\chi )\;d\chi \\{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\!\!&=&\!\!R\;\cos(\chi )\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}={\dfrac {1}{3}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}R^{\,4}\;\cos ^{4}(\chi )\;d\chi ={\dfrac {R^{\,4}}{3}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\left[1+\cos(2\;\chi )\right]^{2}}{4}}\;d\chi ={\dfrac {R^{\,4}}{12}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[1+2\;\cos(2\;\chi )+\cos ^{2}(2\;\chi )\right]\,d\chi \;$» puis, en utilisant de nouveau la formule inverse de duplication du cosinus, «$\;{\dfrac {12}{R^{\,4}}}\,\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}=\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[1+2\;\cos(2\;\chi )+{\dfrac {1+\cos(4\;\chi )}{2}}\right]\,d\chi ={\dfrac {1}{2}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[3+4\;\cos(2\;\chi )+\cos(4\;\chi )\right]\,d\chi ={\dfrac {1}{2}}\,\left[3\;\chi +2\;\sin(2\;\chi )+{\dfrac {\sin(4\;\chi )}{4}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\;$» soit finalement «$\;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}={\dfrac {R^{\,4}}{24}}\;{\dfrac {3\;\pi }{2}}={\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{16}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}=\omega _{0}\left[{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {\pi \;R^{4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$» d'où

     le vecteur moment cinétique $\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;C\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ s'écrit «$\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}\left\lbrace {\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{z}-\left[{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {\pi \;R^{4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace \;$» soit finalement «$\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }\right]\;$» ou encore,      en introduisant la masse du quart de disque «$\;m_{\mathcal {D}}={\dfrac {\sigma _{0}\;\pi \;R^{\,2}}{4}}\;$» et réintroduisant partiellement le vecteur rotation instantanée «$\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$», «$\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;{\vec {\Omega }}-{\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{2\;\pi }}\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$»,
la 1^re composante portée par l'axe peut être réécrite «$\;J_{Cz}({\mathcal {D}})\;{\vec {\Omega }}\;$» avec
«$\;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\sigma _{0}\;\rho _{M}^{\,2}\;dS_{M}\;$ $={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;$ le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ par rapport à l'axe » et
la 2^ème composante restant dans le plan de $\;{\mathcal {D}}\;$ en étant $\;\perp \;$ à l'axe $\;{\big (}$plus précisément « axipète »${\big )}$
                                                                      tourne à la même vitesse angulaire que le quart de disque.