Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

Leçons de niveau 14
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Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
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Exercices no6
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chapitre du cours : Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
Exo suiv. :Loi du moment cinétique : Pendule de torsion
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Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
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Équilibre d'une barre AB sans masse reposant en deux points A et O sans frottement[modifier | modifier le wikicode]

Équilibre d'une barre sans masse reposant sans frottement en sur un mur vertical et en à une distance fixée du mur, quand on exerce, sur l'extrémité libre de la barre, une force verticale descendante

     On considère une barre , de masse négligeable, de longueur , reposant sans frottements en sur le mur vertical et en à une distance du mur sur une barre horizontale fixe ;

     on exerce, en l'autre extrémité de la barre, une force verticale descendante voir schéma descriptif en vue de profil ci-contre ;

     bien que l'expérience se fasse dans un référentiel terrestre supposé galiléen, le fait que la masse de la barre soit supposée négligeable entraîne que le champ de pesanteur terrestre ne joue aucun rôle.

     On choisira comme repère cartésien lié à , une origine en et une base cartésienne orthonormée directe avec
     On choisira au mur et orienté de gauche à droite sur le schéma,
     On choisira au mur dans le plan de la vue de profil du schéma orienté de bas en haut et
     On choisira au plan de la vue de profil du schéma et orienté en pointant vers le lecteur, ce vecteur définissant le sens de mesure des angles orientés du plan de la vue de profil.

     Déterminer la condition nécessaire d’équilibre de la barre on pourra évaluer l'angle orienté et

     étudier la stabilité ou l'instabilité de cet équilibre.

Poulie et ressort sur plan incliné[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'une poulie dont l'axe est retenu par un ressort de direction parallèle à la ligne de plus grande pente d'un plan incliné sur lequel peut rouler sans glisser[4]

     Soit une poulie homogène de masse , de rayon , de C.D.I[5]. , d'axe et de moment d'inertie par rapport à cet axe ,
           Soit une poulie pouvant rouler sans glisser[4] sur un plan incliné d'un angle par rapport au plan horizontal local et
           Soit une poulie dont l'axe est relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal[6] à spires non jointives[7] de raideur et de longueur à vide dont l'extrémité supérieure est fixée à un mur perpendiculaire au plan incliné, l'axe du ressort étant à la ligne de plus grande pente du plan incliné ;

     le plan incliné étant solidaire d'un référentiel terrestre supposé galiléen et le champ de pesanteur du lieu étant uniforme d'intensité notée ,

  • nous nous proposons, dans un 1er temps, d'étudier le mouvement de la poulie composé d'une translation à la ligne de plus grande pente du plan incliné et d'une rotation autour de son axe et
  • nous nous proposons, dans un 2ème temps, de déterminer la condition pour que le roulement sans glissement[4] de la poulie sur le plan incliné soit possible connaissant le cœfficient de frottement solide [8].

Étude du mouvement de la poulie[modifier | modifier le wikicode]

     En appliquant successivement à la poulie, dans le référentiel terrestre galiléen le repère associé à ce référentiel étant de base cartésienne orthonormée directe avec le long de la ligne de plus grande pente orienté en descendant, au plan incliné orienté en sortant de ce dernier et à sortant du plan de la figure ci-contre,

  • les théorèmes du mouvement du C.D.I[5]. et du moment cinétique scalaire dans la version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans le référentiel galiléen[9] ainsi que
  • la condition de roulement sans glissement[4] de la poulie sur le plan incliné,

     déterminer l'équation différentielle en loi horaire de position du C.D.I[5]. de la poulie le long de la ligne de plus grande pente ainsi que

   déterminer l'équa différentiellecelle en loi horaire de position angulaire de la poulie par rapport à une position de référence à préciser puis

     déterminer les lois horaires de positions linéaire et angulaire « et ».

     On exprimera les équations différentielles et les lois horaires entre autres à l'aide des grandeurs «» et «».

Condition de roulement sans glissement de la poulie sur le plan incliné[modifier | modifier le wikicode]

      étant le cœfficient de frottement de glissement de la poulie sur le plan incliné[8], à quelle condition ce roulement sans glissement est-il possible ? on cherchera une condition sur l'amplitude d'oscillations.

Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un demi-disque roulant sans glisser sur un plan horizontal[4]

     Soit un demi-disque homogène, de masse surfacique , de centre [15], de centre de masse ou C.D.I[5]. , de rayon et de masse voir schéma ci-contre ;

     ce demi-disque disposé verticalement sur un plan horizontal est en contact avec ce dernier par l'intermédiaire de sa tranche circulaire un dispositif non représenté forçant le demi-disque à rester dans le plan vertical initial sans faire intervenir un quelconque frottement solide, peut ainsi rouler sans glisser sur ce plan horizontal[4] ;

     le référentiel terrestre dans lequel est étudié le mouvement de est supposé galiléen pour son étude dynamique, il lui est associé un repère cartésien orthonormé direct, orientant la direction verticale dans le sens ascendant, la direction horizontale le long de laquelle le demi-disque roule sans glisser[4] et la direction horizontale au plan vertical contenant orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens trigonométrique direct ;

     le champ de pesanteur terrestre est uniforme égal à avec intensité de la pesanteur ;

     désignant par le point de contact entre le sol et à l'instant , on repère la position du demi-disque par l'ordonnée «» de son centre [15] et par l'angle algébrisé «».

     À l'instant initial, on lâche le demi-disque sans vitesse initiale dans la position repérée par , l'ordonnée du point de contact correspondant valant .

     Nous supposerons connus la distance séparant le centre [15] du demi-disque de son C.D.I. [5] « notée » ainsi que
     Nous supposerons connus le moment d'inertie de par rapport à un axe passant par et au plan contenant «».

Étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Établir le lien traduisant le roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[4] entre
     Établir le lien la composante horizontale du vecteur vitesse du centre [15] du demi-disque dans le référentiel d'étude «» et
     Établir le lien sa vitesse angulaire «» de rotation autour de l'axe horizontal dans le référentiel lié à en translation relativement à .

     En déduire les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse ou C.D.I[5]. dans le référentiel d'étude en fonction de «», de «» et de « ses dérivées temporelles d'ordre un et deux ».

Étude dynamique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquer le théorème du mouvement du C.D.I[5]. au demi-disque roulant sans glisser[4] sur le plan horizontal dans le référentiel d'étude galiléen et
     Appliquer le théorème en déduire les expressions des composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque.

     Appliquer le théorème du moment cinétique scalaire au demi-disque relativement à l'axe horizontal en translation dans le référentiel d'étude galiléen[9] pour déterminer le moment d'inertie de relativement à , on utilisera le théorème de Huygens[24],[25] liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes dont l'un passe par le C.D.I[5]. du solide « avec la distance séparant les deux axes » et
     Appliquer le théorème en déduire une relation liant liant les composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque puis
     Appliquer le théorème en déduire une nouvelle expression de la composante tangentielle de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque en reportant, dans la relation précédemment trouvée, l'expression de la composante normale tirée de l'application du théorème du mouvement du C.D.I[5]. à dans galiléen.

     En identifiant les deux expressions de la composante tangentielle de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque , établir l'équation différentielle en du mouvement de rotation de dans le référentiel d'étude .

Étude des petites oscillations rotatives du demi-disque dans son mouvement de roulement sans glissement sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant petit, montrer que l'équation différentielle en du mouvement de rotation de dans le référentiel d'étude peut être linéarisée et

          Considérant α0 petit, exprimer le résultat de cette linéarisation ;

          Considérant α0 petit, en déduire la loi horaire des petites élongations angulaires[31] de dans son mouvement de rotation autour de ainsi que

          Considérant α0 petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires[31] en fonction de , et puis

                  Considérant α0 petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires T en fonction de et .

Yoyo (bobine de fil) sur plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un yoyo (bobine de fil) roulant sans ou avec glissement sur un plan horizontal sous l'action d'une force horizontale exercée sur l'extrémité du fil

     Un yoyo ou bobine de fil, de « masse », de « C.D.I[5]. », de « moment d’inertie relativement à son axe », est posé sur un plan horizontal, l'expérience étant réalisée dans un référentiel terrestre galiléen dans lequel le champ de pesanteur terrestre est uniforme d'intensité  ;

     choisissant pour repère cartésien associé à « orthonormé direct » avec

  • le point de contact initial du yoyo sur le plan,
  • le vecteur unitaire vertical ascendant,
  • le vecteur unitaire horizontal orientant l'axe de rotation du yoyo définissant ainsi le sens de mesure des angles orientés de toute section droite de la bobine et
  • le vecteur unitaire horizontal tel que ,

     un fil, inextensible, de masse négligeable, étant enroulé sur la bobine dans le sens à partir du point de celle-ci, nous exerçons, à partir d’un instant où le système « bobine - fil » est au repos, instant choisi comme origine des temps, une force horizontale à l’autre extrémité du fil, le sens de étant ainsi dans le sens de  ;

     nous repérons le déroulement du fil sur la bobine dans le référentiel barycentrique de cette dernière[12] par l’angle , étant le point d’attache du fil sur la bobine à l’instant avec la position barycentrique de ce dernier à l'instant initial nous supposerons négligeable l'épaisseur d'enroulement du fil sur la bobine et
     nous repérons la position du C.D.I[5]. de la bobine par son ordonnée le point de contact, à l’instant , de la bobine avec le plan horizontal étant noté et le point où le contact du fil sur la bobine cesse noté  ;

     le rayon du cylindre sur lequel s’enroule le fil étant et celui des deux disques terminaux sur lesquels la bobine repose , cette dernière roulera sur le plan horizontal sans ou avec glissement suivant la valeur de et compte-tenu de celle du « cœfficient de frottement de glissement dynamique et statique notée »[8].

Expression du vecteur vitesse du point de contact du yoyo à l'instant t avec le plan horizontal en tant que point lié à la bobine[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer, dans le référentiel terrestre , le vecteur vitesse, à l'instant , du point de contact du yoyo avec le plan horizontal en tant que point lié à la bobine noté , en fonction, entre autres, de la vitesse horizontale de son C.D.I[5]. notée et de la vitesse angulaire de rotation dans son référentiel barycentrique[12].

Étude du roulement sans glissement du yoyo sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Après avoir exprimé la relation traduisant le roulement sans glissement du yoyo sur le plan horizontal[4], appliquez

  • le théorème du moment cinétique scalaire au système « bobine - fil » relativement à l'axe horizontal en translation dans le référentiel d'étude galiléen[9] puis
  • le théorème du mouvement du C.D.I[5]. au même système dans le même référentiel d'étude galiléen,

     pour en déduire : l'accélération horizontale du C.D.I[5]. du yoyo ainsi que

     pour en déduire : la condition sur la norme de la force pour qu'un tel mouvement ait lieu.

Étude du roulement avec glissement du yoyo sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas d’un roulement avec glissement, montrer en raisonnant par l'absurde que le glissement se fait nécessairement dans le même sens que c'est-à-dire que le vecteur vitesse de glissement de la bobine sur le plan horizontal[39] est dans le sens de  ;

     en reprenant l'application du théorème du moment cinétique scalaire au système « bobine - fil » relativement à l'axe horizontal en translation dans le référentiel d'étude galiléen[9] puis

      en reprenant l'appli celle du théorème du mouvement du C.D.I[5]. au même système dans le même référentiel d'étude galiléen,

     déterminer l'accélération horizontale du C.D.I[5]. du yoyo ainsi que

     déterminer l'accélération angulaire du mouvement de rotation du yoyo autour de son axe  ;

     vérifier que la condition sur la norme de la force pour qu'il y ait roulement avec glissement du yoyo sur le plan horizontal est la contraire de celle pour que le roulement se fasse sans glissement, puis

     en déduire le signe de ainsi que

     en déduire les valeurs de pour lesquelles il y a déroulement ou enroulement du fil sur la bobine.

Frottement solide entre deux disques en rotation[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif de deux disques en rotation dans un même plan autour d'axes parallèles avant la mise en contact avec frottement solide des disques entre eux

     Deux disques homogènes et situés dans un même plan , tournent d’un mouvement uniforme autour de leur axe respectif et à , avec un vecteur rotation instantanée et dans le référentiel d'étude , la rotation s'effectuant dans le sens de mesure des angles algébrisés du plan en accord avec l'orientation de , la liaison de chacun des disques sur l'axe autour duquel il tourne étant supposée parfaite ;

     appelant et les centres des disques et centres non indiqués sur le schéma ci-contre, on choisit l'axe à et orienté de vers , l'axe étant aux deux autres axes tel que soit direct ;

     les caractéristiques respectives des disques sont leur « masse et », leur « rayon et », leur « moment d'inertie par rapport à leur axe et », « la distance séparant les deux axes étant supérieure à ».

     À un instant quelconque, on rapproche de jusqu'au contact, l'instant du contact étant choisi comme origine des temps et le contact entre les deux disques se faisant avec un cœfficient de frottement solide de glissement dynamique et statique «».

     Exprimer le vecteur vitesse de glissement de sur à l'instant «»[39] en fonction des rayons et des vitesses angulaires à l'instant de chaque disque dans le référentiel d'étude on notera et les vecteurs rotation instantanée à l'instant des disques et puis

     déduire, de l'utilisation de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement[8], le signe de la composante tangentielle de la réaction de sur en fonction de celui de la composante tangentielle du vecteur vitesse de glissement de sur  ;

     par application du théorème du moment cinétique scalaire à et relativement à leur axe de rotation respectif et dans le référentiel d'étude galiléen, déduire une intégrale 1re liant les vitesses angulaires et puis

     montrer que l'état final de rotation des disques et correspond nécessairement à une absence de glissement de l'un relativement à l'autre et en déduire un lien entre les vitesses angulaires finales et de et enfin

     exprimer ces vitesses angulaires finales et de et en fonction de leur vitesse angulaire initiale et ainsi que de leur rayon et et de leur masse et .

Barre homogène glissant à proximité d'un coin de table horizontale[modifier | modifier le wikicode]

Barre homogène glissant sur un coin de table horizontale, en l'extrémité le glissement se faisant avec frottement solide et au bord ponctuel de la table le glissement se faisant sans frottement

     Considérant une barre supposée linéique, homogène, de masse , de longueur et de C.D.I[5]. , telle que ses seuls points de contact avec la table horizontale sur laquelle elle glisse, sont l'extrémité où il y a glissement avec frottement solide dont le coefficient de frottement de glissement dynamique est [8] et le coin ponctuel de table où le glissement se fait sans frottement voir schéma ci-contre, la barre glissant selon l'axe orienté dans le sens de vers  ;

     l'étude est faite dans le référentiel lié à la table et supposé galiléen, le champ de pesanteur terrestre étant uniforme d'intensité .

     La barre étant lancée d'une position où son extrémité se trouve à une « distance à droite de » avec un «vecteur vitesse initiale à et de sens de vers », nous nous proposons de déterminer dans quelle mesure la barre pourrait basculer[43]

  • tout d'abord dans le cadre de l'étude envisagée c'est-à-dire « en ne considérant le frottement solide qu'en »
  • puis « en envisageant le frottement solide sur toute la partie ».

Condition sur la vitesse initiale de la barre pour que celle-ci ne bascule pas en glissant avec frottement solide en A[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer pour quelles valeurs de il n’y a pas basculement de la barre lors du glissement de cette dernière sur la table horizontale avec frottement solide en [43] et absence de frottement en on posera .

Condition sur la vitesse initiale de la barre pour que celle-ci ne bascule pas en glissant avec frottement solide tout le long du contact de la barre avec la table[modifier | modifier le wikicode]

     Reprendre la question précédente en supposant que la barre est en contact avec la table sur toute la longueur et que le glissement se fait avec frottement solide dont le coefficient de frottement de glissement dynamique est [8] sur tout ce contact ;

     commenter le résultat.

Oscillations horizontales d'un trapèze autour d'un axe vertical passant par son centre d'inertie[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un trapèze barre homogène suspendue à deux fils idéaux[48] oscillant horizontalement autour d'un axe vertical passant par son C.D.I[5].

     Considérant le trapèze c'est-à-dire une barre homogène, de masse , de longueur , suspendue en ses extrémités et par deux fils idéaux[48] de même longueur respectivement attachés à deux points et séparés de d'une même horizontale représenté ci-contre dans sa position d'équilibre , y étant la position de son C.D.I[5]., ainsi que dans une position quelconque correspondant au mouvement souhaité ;

     pour obtenir ce dernier, nous écartons de sa position d'équilibre de façon à ce que le C.D.I[5]. du trapèze reste sur la verticale de , les fils restant tendus, et lâchons la barre sans vitesse initiale, le champ de pesanteur terrestre étant uniforme d'intensité  ;

     le référentiel terrestre liée aux points d'attache et étant galiléen, nous supposons que la barre reste horizontale et que reste sur la verticale de , la position de la barre étant repérée par la cote de son C.D.I[5]. ainsi que par son abscisse angulaire , l'axe vertical passant par étant orienté par vecteur unitaire vertical ascendant, lequel oriente également les angles algébriques de tout plan horizontal dans le sens antihoraire sur le schéma ci-contre est .

     Déterminer, en appliquant successivement à la barre , le théorème du mouvement du C.D.I[5]. et

        Déterminer, en appliquant successivement à la barre AB, le théorème du moment cinétique scalaire relativement à l'axe en admettant que la valeur du moment d'inertie d'une tige homogène de masse , de longueur , par rapport à toute médiatrice de la tige est «»,

     Déterminer, l'équation différentielle en que fait la barre avec sa position d'équilibre puis

     Déterminer, sa loi horaire des petites oscillations ainsi que la période de celles-ci.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 et 1,3 Condition Nécessaire.
  2. Voir la généralisation à un solide du paragraphe « adaptation du théorème du moment cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » «» le 2nd membre étant nul dans le recherche d'un équilibre.
  3. En effet la résultante dynamique appliquée à un solide dans un référentiel galiléen étant égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération du centre d'inertie de ce dernier ne peut être dans le cas d'une masse nulle que si le vecteur accélération de est de norme infinie, ce qui correspondrait une discontinuité de 1re espèce de son vecteur vitesse voir la généralisation à une fonction vectorielle du paragraphe « discontinuité de 1re espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », espèce de discontinuité qui n'apparaît en dynamique qu'en cas de présence d'une force de collision, ce qui n'est pas le cas ici.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 et 4,20 Un objet ne glisse pas sur un objet si leur point de contact est tel que, dans le référentiel d'étude, «».
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 5,16 5,17 5,18 5,19 5,20 5,21 5,22 5,23 5,24 5,25 5,26 5,27 5,28 5,29 5,30 5,31 5,32 5,33 5,34 5,35 5,36 5,37 5,38 5,39 5,40 5,41 5,42 5,43 5,44 5,45 5,46 5,47 5,48 5,49 5,50 5,51 5,52 5,53 5,54 5,55 5,56 5,57 et 5,58 Centre D'Inertie.
  6. C.-à-d. sans masse et parfaitement élastique.
  7. Un ressort à spires non jointives permet à ce dernier d'être indifféremment allongé ou comprimé.
  8. 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 8,09 et 8,10 Voir les paragraphes « lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre et dans le cas effectif de glissement » ainsi que l'« approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  9. 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 et 9,7 Voir la généralisation à un solide du paragraphe « applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe ΔG passant par le C.D.I. G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  10. Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  11. Indépendamment de l'existence d'un roulement ou non.
  12. 12,0 12,1 12,2 et 12,3 Le référentiel « barycentrique » d'un système est le référentiel lié au C.D.I. du système en translation relativement au référentiel d'étude ;
        si, en plus d'un mouvement de translation dans le référentiel d'étude, le système tourne autour de son C.D.I. dans ce même référentiel d'étude avec un vecteur rotation instantanée , il tourne avec le même vecteur rotation instantanée dans son référentiel barycentrique et c'est son seul mouvement si le système est un solide.
  13. 13,0 et 13,1 Le choix des origines étant tel que « quand est en ce qui correspond à ».
  14. 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 et 14,5 Conditions Initiales.
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 15,6 et 15,7 Plus exactement est le centre du disque complet à partir duquel a été créé le demi-disque.
  16. 16,0 16,1 et 16,2 Ceci n'était pas demandé étant donné que le résultat était fourni.
  17. 17,0 17,1 et 17,2 Verticale orientée dans le sens descendant par .
  18. 18,0 18,1 18,2 et 18,3 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. 19,0 et 19,1 étant l'aire de la surface élémentaire centrée en s'écrit, en repérage polaire revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire (plus précisément dans le cas d'une surface plane dans le plan xOy) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  20. 20,0 20,1 20,2 et 20,3 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  21. 21,0 21,1 et 21,2 Paul Guldin (1577 - 1643) mathématicien et astronome suisse, devenu jésuite à l'âge de , poussé par sa congrégation et à cause de ses compétences à commencer des études mathématiques à l'âge de , l'essentiel de ses travaux portent sur les barycentres et de nos jours il reste connu pour les deux théorèmes portant son nom.
  22. C.-à-d. avec intérieur strict de c'est-à-dire ensemble de points à l'intérieur de la portion de surface et hors courbes limitant celle-ci, la raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de l'expansion tridimensionnelle lors de la révolution de la portion de surface autour de l'axe de révolution.
  23. Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  24. 24,0 24,1 24,2 et 24,3 Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  25. 25,0 25,1 25,2 et 25,3 Voir le paragraphe « complément : théorème de Huygens » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  26. Donc passant par le C.D.I. de .
  27. Voir la généralisation à un solide du paragraphe « adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  28. 28,0 28,1 et 28,2 Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  29. 29,0 29,1 et 29,2 Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  31. 31,0 31,1 31,2 31,3 31,4 31,5 et 31,6 On devrait dire « élongations angulaires petites en valeur absolue » mais personne ne le fait par abus de langage.
  32. 32,0 et 32,1 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs (ordre un) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. 33,00 33,01 33,02 33,03 33,04 33,05 33,06 33,07 33,08 33,09 et 33,10 Développement Limité.
  34. La grandeur est un infiniment petit d'ordre un si le maximum de sa valeur absolue l'est et, dans le cas présent où s'avérera périodique si son amplitude l'est ; les grandeurs dérivées temporelles et définiront alors des infiniment petits d'ordre un de grandeurs exprimées en et car à l'amplitude de avec un cœfficient de proportionnalité fini.
  35. 35,0 et 35,1 Voir le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  36. 36,0 et 36,1 Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  37. 37,0 et 37,1 Comme il s'agit du D.L. à l'ordre un du 1er membre, le 2ème membre restant tel quel, nous devrions utiliser mais l'usage est d'écrire pour souligner qu'il s'agit d'une équation différentielle même si elle n'est qu'approchée.
  38. Plus exactement la relation dans laquelle a été transposée dans l'autre membre.
  39. 39,0 39,1 39,2 39,3 et 39,4 Un objet glisse sur un objet si leur point de contact est tel que, dans le référentiel d'étude, «» et le vecteur vitesse de glissement de sur est défini par «».
  40. 40,0 40,1 et 40,2 Les conditions d'application du théorème du moment cinétique scalaire au système « bobine - fil » relativement à l'axe horizontal en translation dans le référentiel d'étude galiléen ainsi que du théorème du mouvement du C.D.I. au même système dans le même référentiel d'étude galiléen ne dépendant pas d'un éventuel glissement de la bobine relativement au plan horizontal .
  41. Combinaison Linéaire.
  42. 42,0 et 42,1 Cette intégrale 1re reste applicable même si le roulement des disques l'un sur l'autre se fait sans glissement car, dans ce cas, reste applicable selon le principe des actions réciproques mais avec maintenant a priori dépendante de en suivant étant indépendante de dans la mesure où la poussée normale d'un disque sur l'autre reste inchangée en absence de glissement, les équations et s'écrivant selon , l'équation différentielle obtenue par «» « ou » restant applicable «» reste valide en absence de glissement.
  43. 43,0 et 43,1 Tant que le C.D.I. de la barre continue son mouvement rectiligne sur la table et dans le prolongement de celle-ci, il n'y a pas basculement de la barre.
  44. Une C.N. de non basculement étant «» d'après la relation .
  45. En effet le 2nd membre est de dérivée par rapport à « pour ».
  46. Une C.N. de non basculement étant «» d'après la relation .
  47. En effet le 2nd membre est de dérivée par rapport à « pour ».
  48. 48,0 48,1 48,2 48,3 et 48,4 C.-à-d. sans masse, inextensible et sans torsion.
  49. 49,0 49,1 et 49,2 Les vecteurs étant les vecteurs de la base cylindro-polaire liés à .
  50. 50,0 50,1 50,2 et 50,3 Attention et ne sont pas a priori constantes.
  51. 51,0 et 51,1 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  52. La grandeur est un infiniment petit d'ordre un si le maximum de sa valeur absolue l'est et, dans le cas présent où s'avérera périodique si son amplitude l'est ; les grandeurs dérivées temporelles et définiront alors des infiniment petits d'ordre un de grandeurs exprimées en et car à l'amplitude de avec un cœfficient de proportionnalité fini.