Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

Équilibre d'une barre AB sans masse reposant en deux points A et O sans frottement

Équilibre d'une barre $\;AB\;$ sans masse reposant sans frottement en $\;A\;$ sur un mur vertical et en $\;O\;$ à une distance fixée du mur, quand on exerce, sur l'extrémité libre $\;B\;$ de la barre, une force verticale descendante $\;{\vec {F}}$

     On considère une barre $\;AB$, de masse négligeable, de longueur $\;2\;{\mathit {l}}$, reposant sans frottements en $\;A\;$ sur le mur vertical et en $\;O\;$ à une distance $\;d\;$ du mur sur une barre horizontale fixe ;

     on exerce, en l'autre extrémité $\;B\;$ de la barre, une force verticale descendante $\;{\vec {F}}$ $\;{\big (}$voir schéma descriptif en vue de profil ci-contre${\big )}$ ;

     bien que l'expérience se fasse dans un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}\;$ supposé galiléen, le fait que la masse de la barre soit supposée négligeable entraîne que le champ de pesanteur terrestre ne joue aucun rôle.

     On choisira comme repère cartésien lié à $\;{\mathcal {R}}$, une origine en $\;O\;$ et une base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ avec
     On choisira $\;{\vec {u}}_{x}\;\perp \;$ au mur et orienté de gauche à droite sur le schéma,
     On choisira $\;{\vec {u}}_{y}\;\parallel \;$ au mur $\;{\big (}$dans le plan de la vue de profil du schéma${\big )}\;$ orienté de bas en haut et
     On choisira $\;{\vec {u}}_{z}\;\perp \;$ au plan de la vue de profil du schéma et orienté en pointant vers le lecteur, ce vecteur définissant le sens $\;+\;$ de mesure des angles orientés du plan de la vue de profil.

     Déterminer la condition nécessaire d’équilibre de la barre $\;{\bigg [}$on pourra évaluer l'angle orienté $\;\theta _{\text{éq}}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {AB}}_{\text{éq}}\right)}}{\bigg ]}\;$ et

     étudier la stabilité ou l'instabilité de cet équilibre.

Solution

Schéma descriptif d'une barre $\;AB\;$ sans masse reposant sans frottement en $\;A\;$ sur un mur vertical et en $\;O\;$ à une distance fixée du mur, quand on exerce, sur l'extrémité libre $\;B\;$ de la barre, une force verticale descendante $\;{\vec {F}}\;$ avec représentation des forces extérieures appliquées à la barre $\;AB$

     Les forces extérieures s'exerçant sur la barre $\;AB\;$ sont $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$,

• outre la force verticale $\;{\vec {F}}\;$ descendante,
• la réaction du mur $\;{\vec {R}}_{A}$ $\;\perp \;$ au mur en absence de frottement et
• la réaction en $\;O\;$ de la barre horizontale fixe $\;{\vec {R}}_{O}$ $\;\perp \;$ à la barre $\;AB\;$ en absence de frottement ;

     Recherche de l'équilibre de la barre : la C.N. d'équilibre en rotation de $\;AB\;$ autour de $\;Az\;$ s'écrit «$\;{\mathcal {M}}_{Az}\!\left({\vec {R}}_{A}\right)+{\mathcal {M}}_{Az}\!\left({\vec {R}}_{O}\right)+{\mathcal {M}}_{Az}\!\left({\vec {F}}\right)=0\;$»      Recherche de l'équilibre de la barre : dans laquelle chaque terme du 2^ème membre est le moment scalaire d'une des forces extérieures appliquées à $\;AB\;$ évalué relativement à l'axe $\;Az$ $\;{\big [}$lequel peut être mobile en translation en suivant l'éventuel mouvement de $\;A\;$${\big ]}\;$ avec
     Recherche de l'équilibre de la barre : $\succ \;$«$\;{\mathcal {M}}_{Az}\!\left({\vec {R}}_{A}\right)=0\;$» $\;{\big (}$le bras de levier de $\;{\vec {R}}_{A}\;$ étant nul${\big )}$,
     Recherche de l'équilibre de la barre : $\succ \;$«$\;{\mathcal {M}}_{Az}\!\left({\vec {R}}_{O}\right)=+\Vert {\vec {R}}_{O}\Vert \;{\dfrac {d}{\cos(\theta _{\text{éq}})}}\;$» $\;{\bigg [}{\vec {R}}_{O}\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;+\;$ et son bras de levier étant $\;AO\;$ tel que $\;{\dfrac {d}{AO}}=\cos(\theta _{\text{éq}})\;$ $\Rightarrow$ $\;AO={\dfrac {d}{\cos(\theta _{\text{éq}})}}{\bigg ]}\;$ et
     Recherche de l'équilibre de la barre : $\succ \;$«$\;{\mathcal {M}}_{Az}\!\left({\vec {F}}\right)=-\Vert {\vec {F}}\Vert \;2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\;$» $\;{\Big [}{\vec {F}}\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;-\;$ et son bras de levier étant $\;AH\;$ avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;A\;$ sur la direction verticale de $\;{\vec {F}}\;$ soit $\;AH=AB\;\cos(\theta _{\text{éq}})=2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta _{\text{éq}}){\Big ]}$ d'où
     Recherche de l'équilibre de la barre : la réécriture de la C.N. d'équilibre en rotation de $\;AB\;$ autour de $\;Az\;$ «$\;\Vert {\vec {R}}_{O}\Vert \;{\dfrac {d}{\cos(\theta _{\text{éq}})}}-2\;\Vert {\vec {F}}\Vert \;{\mathit {l}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Vert {\vec {R}}_{O}\Vert =\Vert {\vec {F}}\Vert \;{\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{d}}\;\cos ^{2}(\theta _{\text{éq}})\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ;      Recherche de l'équilibre de la barre : la C.N. d'équilibre en translation de $\;AB\;$ projetée orthogonalement sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ pour éliminer la contribution de $\;{\vec {R}}_{A}\;$ s'écrit «$\;{\vec {R}}_{A}+{\vec {R}}_{O}+{\vec {F}}={\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\vec {R}}_{O}\Vert \;\cos(\theta _{\text{éq}})-\Vert {\vec {F}}\Vert =0\;$» $\;{\big (}{\vec {R}}_{O}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;AB{\big )}$
soit encore «$\;\Vert {\vec {R}}_{O}\Vert ={\dfrac {\Vert {\vec {F}}\Vert }{\cos(\theta _{\text{éq}})}}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ;      Recherche de l'équilibre de la barre : l'élimination de $\;\Vert {\vec {R}}_{O}\Vert \;$ entre $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ donnant «$\;\Vert {\vec {F}}\Vert \;{\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{d}}\;\cos ^{2}(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {\Vert {\vec {F}}\Vert }{\cos(\theta _{\text{éq}})}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\cos ^{3}(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {d}{2\;{\mathit {l}}}}\;\;\forall \;\Vert {\vec {F}}\Vert \;$» soit finalement la C.N. d'équilibre de la barre $\;AB\;$ «$\;\cos(\theta _{\text{éq}})={\sqrt[{3}]{\dfrac {d}{2\;{\mathit {l}}}}}\;\;\forall \;\Vert {\vec {F}}\Vert \;$».      Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : soit $\;\theta _{\text{éq}}\;$ l'angle repérant la position d’équilibre de la barre $^{;}AB\;$ précédemment définie par «$\;\cos(\theta _{\text{éq}})={\sqrt[{3}]{\dfrac {d}{2\;{\mathit {l}}}}}\;\;\forall \;\Vert {\vec {F}}\Vert \;$» ;
     Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : envisageons un petit écart $\;\varepsilon \;$ positif $\;{\big (}$ou négatif${\big )}\;$ par rapport à la position d'équilibre $\Rightarrow$ «$\;\theta =\theta _{\text{éq}}+\varepsilon \;$» légèrement $\;>$ $\;{\big (}$ou $\;<{\big )}\;$ à $\;\theta _{\text{éq}}$ ;
     Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : le moment dynamique scalaire appliqué à la barre dans cette nouvelle position, moment évalué relativement à l'axe $\;Oz$ $\;{\big (}$fixe dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen${\big )}\;$ s'écrit «$\;{\mathcal {M}}_{Oz,\,{\text{ext}}}\!\left(\theta \right)={\cancel {{\mathcal {M}}_{Oz}\!\left({\vec {R}}_{O}\right)+\;}}\;{\mathcal {M}}_{Oz}\!\left({\vec {R}}_{A}\right)+{\mathcal {M}}_{Oz}\!\left({\vec {F}}\right)=\Vert {\vec {R}}_{A}\!\left(\theta \right)\Vert \;d\;\tan(\theta )-\Vert {\vec {F}}\Vert \,\left[2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )-d\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$»
     Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : ${\Big [}$le bras de levier de $\;{\vec {R}}_{O}\;$ étant nul, $\;{\vec {R}}_{A}\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;+\;$ et son bras de levier étant $\;d\;\tan(\theta )\;$ et $\;{\vec {F}}\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;-\;$ et son bras de levier étant $\;OH'\;$ avec $\;H'\;$ projeté orthogonal de $\;O\;$ sur la direction verticale de $\;{\vec {F}}\;$ $\Rightarrow$ $\;OH'=AH-d$, $\;{\big (}H\;$ étant le projeté orthogonal de $\;A\;$ sur la direction verticale de $\;{\vec {F}}{\big )}\;$ soit $\;OH'=2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )-d{\Big ]}$, moment dynamique scalaire «$\;{\mathcal {M}}_{Oz,\,{\text{ext}}}\!\left(\theta \right)=\Vert {\vec {R}}_{A}\!\left(\theta \right)\Vert \;d\;\tan(\theta )-\Vert {\vec {F}}\Vert \,\left[2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )-d\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» dans lequel il reste à évaluer comment $\;\Vert {\vec {R}}_{A}\Vert \;$ varie en fonction de $\;\theta$ ;
     Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : la barre $\;AB\;$ étant de masse négligeable, la résultante dynamique appliquée à la barre dans cette nouvelle position est nulle soit «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(\theta )={\vec {0}}\;$ avec $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(\theta )={\vec {R}}_{A}(\theta )+{\vec {R}}_{O}(\theta )+{\vec {F}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[\Vert {\vec {R}}_{A}(\theta )\Vert -\Vert {\vec {R}}_{O}(\theta )\Vert \;\sin(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{x}+\left[\Vert {\vec {R}}_{O}(\theta )\Vert \;\cos(\theta )-\Vert {\vec {F}}\Vert \right]\,{\vec {u}}_{y}={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}\Vert {\vec {R}}_{A}(\theta )\Vert \!\!&=&\!\!\Vert {\vec {R}}_{O}(\theta )\Vert \;\sin(\theta )\\\Vert {\vec {F}}\Vert \!\!&=&\!\!\Vert {\vec {R}}_{O}(\theta )\Vert \;\cos(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\Vert {\vec {R}}_{A}(\theta )\Vert }{\Vert {\vec {F}}\Vert }}=\tan(\theta )\;$ d'où l'évaluation cherchée de $\;\Vert {\vec {R}}_{A}\Vert \;$ en fonction de $\;\theta \;$ «$\;\Vert {\vec {R}}_{A}(\theta )\Vert =\Vert {\vec {F}}\Vert \;\tan(\theta )\;\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$» ;
     Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : par report de $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ dans $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)$, le moment dynamique scalaire appliqué à la barre $\;AB\;$ relativement à l'axe fixe $\;Oz\;$ dans une position légèrement écartée de la position d'équilibre se réécrit «$\;{\mathcal {M}}_{Oz,\,{\text{ext}}}\!\left(\theta \right)=\Vert {\vec {F}}\Vert \;\tan(\theta )\;d\;\tan(\theta )-\Vert {\vec {F}}\Vert \,\left[2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )-d\right]=\Vert {\vec {F}}\Vert \,\left\lbrace d\,\left[1+\tan ^{2}(\theta )\right]-2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )\right\rbrace =\Vert {\vec {F}}\Vert \,\left[{\dfrac {d}{\cos ^{2}(\theta )}}-2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )\right]\;$» ;
     Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : quand $\;\theta \,\nearrow \;$ à partir de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ où $\;{\mathcal {M}}_{Oz,\,{\text{ext}}}\!\left(\theta _{\text{éq}}\right)=0$, $\;\cos(\theta )\,\searrow \;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{Oz,\,{\text{ext}}}\!\left(\theta \right)=\Vert {\vec {F}}\Vert \,\left[{\dfrac {d}{\cos ^{2}(\theta )}}-2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )\right]\,\nearrow \;$» en devenant $\;>0\;$ $\Rightarrow$ la barre, écarté de sa position d'équilibre d'un petit écart $\;\varepsilon >0\;$ et lâché sans vitesse, continue spontanément son mouvement dans le sens $\;+\;$ et
     Étude de la stabilité ou instabilité de l'équilibre de la barre : quand $\;\theta \,\searrow \;$ à partir de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ où $\;{\mathcal {M}}_{Oz,\,{\text{ext}}}\!\left(\theta _{\text{éq}}\right)=0$, $\;\cos(\theta )\,\nearrow \;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{Oz,\,{\text{ext}}}\!\left(\theta \right)=\Vert {\vec {F}}\Vert \,\left[{\dfrac {d}{\cos ^{2}(\theta )}}-2\;{\mathit {l}}\;\cos(\theta )\right]\,\searrow \;$» en devenant $\;<0\;$ $\Rightarrow$ la barre, écarté de sa position d'équilibre d'un petit écart $\;\varepsilon <0\;$ et lâché sans vitesse, continue spontanément son mouvement dans le sens $\;-$ ; en conclusion l'équilibre de la barre $\;AB\;$ repéré par «$\;\theta _{\text{éq}}=\arccos \!\left[{\sqrt[{3}]{\dfrac {d}{2\;{\mathit {l}}}}}\;\right]\;$» est « instable ».

 

Poulie et ressort sur plan incliné

Schéma descriptif d'une poulie $\;{\mathcal {P}}\;$ dont l'axe est retenu par un ressort de direction parallèle à la ligne de plus grande pente d'un plan incliné sur lequel $\;{\mathcal {P}}\;$ peut rouler sans glisser

     Soit une poulie $\;{\mathcal {P}}\;$ homogène de masse $\;m$, de rayon $\;r$, de C.D.I. $\;C$, d'axe $\;\Delta _{C}\;$ et de moment d'inertie par rapport à cet axe $\;I$,
           Soit une poulie pouvant rouler sans glisser sur un plan incliné d'un angle $\;\alpha \;$ par rapport au plan horizontal local et
           Soit une poulie dont l'axe $\;\Delta _{C}\;$ est relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal à spires non jointives de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;{\mathit {l}}_{0}\;$ dont l'extrémité supérieure est fixée à un mur perpendiculaire au plan incliné, l'axe du ressort étant $\;\parallel \;$ à la ligne de plus grande pente du plan incliné ;

     le plan incliné étant solidaire d'un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen et le champ de pesanteur du lieu $\;{\vec {g}}\;$ étant uniforme d'intensité notée $\;g$,

• nous nous proposons, dans un 1^er temps, d'étudier le mouvement de la poulie composé d'une translation $\;\parallel \;$ à la ligne de plus grande pente du plan incliné et d'une rotation autour de son axe $\;\Delta _{C}\;$ et
• nous nous proposons, dans un 2^ème temps, de déterminer la condition pour que le roulement sans glissement de la poulie sur le plan incliné soit possible connaissant le cœfficient de frottement solide $\;f\;$.

Étude du mouvement de la poulie

     En appliquant successivement à la poulie, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen $\;{\Big [}$le repère associé à ce référentiel étant de base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ avec $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le long de la ligne de plus grande pente orienté en descendant, $\;{\vec {u}}_{y}$ $\;\perp \;$ au plan incliné orienté en sortant de ce dernier et $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;\parallel \;$ à $\;\Delta _{C}\;$ sortant du plan de la figure ci-contre${\Big ]}$,

• les théorèmes du mouvement du C.D.I. et du moment cinétique scalaire dans la version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans le référentiel galiléen ainsi que
• la condition de roulement sans glissement de la poulie sur le plan incliné,

     déterminer l'équation différentielle en $\;x_{C}(t)$ $\;{\big [}$loi horaire de position du C.D.I. $\;C\;$ de la poulie le long de la ligne de plus grande pente${\big ]}\;$ ainsi que

   déterminer l'équa différentiellecelle en $\;\theta (t)$ $\;{\big [}$loi horaire de position angulaire de la poulie par rapport à une position de référence $\;{\big (}$à préciser${\big )}{\big ]}\;$ puis

     déterminer les lois horaires de positions linéaire et angulaire «$\;x_{C}(t)\;$ et $\;\theta (t)\;$».

     On exprimera les équations différentielles et les lois horaires entre autres à l'aide des grandeurs «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» et «$\;a={\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\;$».

Solution

Schéma descriptif avec bilan des forces extérieures appliquées à une poulie $\;{\mathcal {P}}\;$ dont l'axe est retenu par un ressort de direction parallèle à la ligne de plus grande pente d'un plan incliné sur lequel $\;{\mathcal {P}}\;$ peut rouler sans glisser

     Soit $\;J\;$ le point de contact de la poulie $\;{\mathcal {P}}\;$ avec le plan incliné $\;{\big (}{\mathcal {P}}\;$ est supposée sans épaisseur $\Rightarrow$ un contact ponctuel avec le plan incliné${\big )}$,
     Soit $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur unitaire le long de la ligne de plus grande pente $\;{\big (}$orienté dans le sens descendant${\big )}$,
     Soit $\;{\vec {u}}_{y}\;$ le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan incliné $\;{\big (}$orienté vers le haut${\big )}$,
     Soit $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le 3^ème vecteur unitaire tel que la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ soit directe $\;{\big (}$ce 3^ème vecteur précisant le sens $\;+\;$ de rotation dans le plan de la figure ci-contre c'est-à-dire le sens trigonométrique direct${\big )}$,
     Soit $\;x_{J}(t)\;$ l'abscisse de $\;J\;\in \;$ au plan incliné à l'instant $\;t\;$ repérée relativement à sa position quand le ressort est au repos $\;{\big (}$cette dernière étant donc choisie comme origine $\;O\;$ du repérage sur l'axe $\;x'x{\big )}\;$ et
     Soit $\;x_{C}(t)\;$        celle de $\;C\;$ au même instant $\;t\;$ laquelle vérifie évidemment «$\;x_{C}(t)=x_{J}(t)\;\;\forall \;t\;$ pour $\;J\;\in \;$ au plan incliné ».

     Bilan des forces extérieures appliquées à la poulie${\underline {\;{\mathcal {P}}\;}}$liée au ressort dans l'hypothèse du roulement sans glissement sur le plan incliné :

• le poids de la poulie $\;{\mathcal {P}}\;$ appliqué au C.D.I. $\;C\;$ de celle-ci «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
• la force exercée par le ressort suivant la loi de Hooke pour un allongement restant dans le domaine d'élasticité «$\;{\vec {F}}=-k\;x_{C}\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big (}$en effet $\;x_{C}=0\;$ quand la longueur du ressort est sa longueur à vide${\big )}\;$ et
• la réaction du plan incliné $\;{\vec {R}}\;$ se décomposant en «$\;{\vec {N}}+{\vec {T}}\;$»,
  la réaction «$\;{\vec {N}}=N\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant la composante normale au plan s'opposant à la pénétration de $\;{\mathcal {P}}\;$ dans le plan donc telle que $\;N\;$ est $\;>0\;$» et
  la réaction «$\;{\vec {T}}=T_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant la composante tangentielle s'opposant au glissement possible de $\;{\mathcal {P}}\;$ sur le plan donc telle que $\;T_{x}\;$ est $\;>0\;$ si le glissement possible est dans le sens montant correspondant à un allongement du ressort suffisamment important $\;{\big (}$cas de figure ci-contre${\big )}\;$ et $\;<0\;$ si le glissement possible est dans le sens descendant correspondant à une compression ou un faible allongement du ressort ».

     Application du théorème du mouvement du C.D.I. à la poulie${\underline {\;{\mathcal {P}}}}$ : dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {F}}+{\vec {R}}=m\;{\vec {a}}_{C}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c c l}{\text{sur }}{\vec {u}}_{x}\!\!&{\text{:}}&\!\!m\;g\;\sin(\alpha )-k\;x_{C}(t)+T_{x}(t)\!\!&=&\!\!m\;{\ddot {x}}_{C}(t)\!\!&\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\!\!&{\text{:}}&\!\!-m\;g\;\cos(\alpha )\qquad \qquad \;+N\quad \;\!\!&=&\!\!0\!\!&\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Application du théorème du moment cinétique scalaire à la poulie${\underline {\;{\mathcal {P}}}}\;$relativement à l'axe en translation${\underline {\;\Delta _{C}}}$ : dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {F}}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{C}}\!\left({\mathcal {P}}\right)}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$» avec «$\;\sigma _{\Delta _{C}}\!\left({\mathcal {P}},\,t\right)\;$ le moment cinétique scalaire de la poulie dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ relativement à l'axe $\;\Delta _{C}\;$» soit, en repérant la poulie dans son référentiel « barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$» par l'angle orienté «$\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {CJ}}\,,\,{\overrightarrow {CA}}(t)\right\rbrace }}\;$ dans lequel $\;A\;$ est le point lié à la poulie coïncidant avec le point de contact $\;J\;$ de la poulie sur le plan incliné quand $\;J\;$ est en $\;O\;$», «$\;\sigma _{\Delta _{C}}\!\left({\mathcal {P}},\,t\right)=I\;{\dot {\theta }}(t)\;$ où $\;I\;$ est le moment d'inertie de la poulie relativement à $\;\Delta _{C}\;$» d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ avec «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=0\;$ ainsi que $\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {F}}(t)\right]=0\;$» $\;{\big \{}$leur bras de levier étant nul${\big \}}\;$ et «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\cancel {{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left({\vec {N}}\right)\;+}}\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{C}}\!\left[{\vec {T}}(t)\right]=T_{x}(t)\;r\;$» $\;{\big \{}$le bras de levier de $\;{\vec {N}}\;$ étant nul et celui de $\;{\vec {T}}(t)\;$ égal au rayon $\;r\;$ de la poulie, le moment scalaire de cette composante étant $\;>0\;$ si $\;T_{x}(t)\;$ l'est $\;{\big (}$cas de la figure${\big )}{\big \}}\;$ selon «$\;T_{x}(t)\;r=I\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$».

     Expression du roulement sans glissement de la poulie${\underline {\;{\mathcal {P}}}}\;$sur le plan incliné : le point de contact $\;J\;$ de la poulie $\;{\mathcal {P}}\;$ sur le plan incliné à l'instant $\;t\;$ étant un point appartenant simultanément, à cet instant, au plan incliné et à la poulie est, en absence de glissement de l'un par rapport à l'autre, tel que « le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, de $\;J\;\in \;$ au plan incliné $\;{\vec {V}}_{J\,\in \,{\text{plan incl}}}(t)\;$ est égal au vecteur vitesse, au même instant, dans le même référentiel, de $\;J\;\in \;$ à la poulie $\;{\vec {V}}_{J\,\in \,{\mathcal {P}}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{J\,\in \,{\text{plan incl}}}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big \{}J\;\in \;$ au plan incliné étant évidemment immobile dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}{\big \}}\;$ d'une part et d'autre part «$\;{\vec {V}}_{J\,\in \,{\mathcal {P}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {P}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\wedge {\overrightarrow {CJ}}={\dot {x}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge \left(-r\;{\vec {u}}_{y}\right)\;$» ${\big \{}$le mouvement de $\;J\;\in \;{\mathcal {P}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{C}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {P}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$ autour de $\;\Delta _{C}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big \}}\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{J\,\in \,{\mathcal {P}}}(t)=\left[{\dot {x}}_{C}(t)+r\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}\;$» d'où l'expression du roulement sans glissement «$\;{\dot {x}}_{C}(t)+r\;{\dot {\theta }}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$».

     Équation différentielle en${\underline {\;x_{C}(t)}}$ : de la relation $\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$ on tire «$\;{\dot {\theta }}(t)=-{\dfrac {{\dot {x}}_{C}(t)}{r}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {\theta }}(t)=-{\dfrac {{\ddot {x}}_{C}(t)}{r}}\;\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ soit «$\;T_{x}(t)\;r=-{\dfrac {I}{r}}\;{\ddot {x}}_{C}(t)\;$ ou $\;T_{x}(t)=-{\dfrac {I}{r^{\,2}}}\;{\ddot {x}}_{C}(t)\;\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;$» que l'on injecte dans la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ soit «$\;m\;g\;\sin(\alpha )-k\;x_{C}(t)-{\dfrac {I}{r^{\,2}}}\;{\ddot {x}}_{C}(t)=m\;{\ddot {x}}_{C}(t)\;$» ou «$\;\left(m+{\dfrac {I}{r^{2}}}\right)\,{\ddot {x}}_{C}(t)+k\;x_{C}(t)=m\;g\;\sin(\alpha )\;$ $\Leftrightarrow$ $\;m\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)\,{\ddot {x}}_{C}(t)+k\;x_{C}(t)=m\;g\;\sin(\alpha )\;$» soit finalement l'équation différentielle cherchée sous forme normalisée «$\;{\ddot {x}}_{C}(t)+{\dfrac {k}{m\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)}}\;x_{C}(t)={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}}}\;$» ou, en posant «$\;{\dfrac {k}{m}}=\omega _{0}^{\,2}\;$» et «$\;a={\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\;$», «$\;{\ddot {x}}_{C}(t)+{\dfrac {\omega _{0}^{\,2}}{1+a}}\;x_{C}(t)={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{1+a}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».      Équation différentielle en${\underline {\;\theta (t)}}$ : il suffit de reporter la relation «$\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$ sous la forme $\;{\ddot {x}}_{C}(t)=-r\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» ainsi que la primitive de la relation «$\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$ sous la forme $\;x_{C}(t)=-r\;\theta (t)\;$» dans l'équation différentielle en $\;x_{C}(t)\;$ et nous obtenons, après simplification évidente et normalisation, «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {k}{m\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)}}\;\theta (t)=-{\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{r\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)}}\;$» ou, en posant «$\;{\dfrac {k}{m}}=\omega _{0}^{\,2}\;$» et «$\;a={\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\;$», «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {\omega _{0}^{\,2}}{1+a}}\;\theta (t)=-{\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{r\,\left(1+a\right)}}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».      Loi horaire en${\underline {\;x_{C}(t)}}$ : l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;\;{\ddot {x}}_{C}(t)+{\dfrac {\omega _{0}^{\,2}}{1+a}}\;x_{C}(t)={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{1+a}}\;$» étant celle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «$\;{\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {1+a}}}={\sqrt {\dfrac {k}{m\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)}}}\;$» et de position d’équilibre «$\;x_{C,\,{\text{éq}}}={\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{\omega _{0}^{\,2}}}={\dfrac {m\;g\;\sin(\alpha )}{k}}\;$» nous en déduisons la loi horaire recherchée «$\;x_{C}(t)=x_{C,\,{\text{éq}}}+A\;\cos \!\left({\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {1+a}}}\;t+\varphi \right)\;$ avec $\;A>0\;$ et $\;\varphi \;$ dépendant des C.I. » ou
«$\;x_{C}(t)={\dfrac {m\;g\;\sin(\alpha )}{k}}+A\;\cos \!\left[{\sqrt {\dfrac {k}{m\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)}}}\;t+\varphi \right]\;$».      Loi horaire en${\underline {\;\theta (t)}}$ : l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {\omega _{0}^{\,2}}{1+a}}\;\theta (t)=-{\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{r\,\left(1+a\right)}}\;$» étant aussi celle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «$\;{\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {1+a}}}={\sqrt {\dfrac {k}{m\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)}}}\;$» et de position d’équilibre «$\;\theta _{\text{éq}}=-{\dfrac {g\;\sin(\alpha )}{r\;\omega _{0}^{\,2}}}=-{\dfrac {m\;g\;\sin(\alpha )}{k\;r}}\;$» nous en déduisons la loi horaire recherchée $\;{\bigg [}$en accord avec «$\;\theta (t)=-{\dfrac {x_{C}(t)}{r}}\;$ »${\bigg ]}$, «$\;\theta (t)=\theta _{\text{éq}}-{\dfrac {A}{r}}\;\cos \!\left({\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {1+a}}}\;t+\varphi \right)\;$ avec $\;A>0\;$ et $\;\varphi \;$ constantes de la loi horaire en $\;x_{C}(t)\;$» ou
«$\;\theta (t)=-{\dfrac {m\;g\;\sin(\alpha )}{k\;r}}-{\dfrac {A}{r}}\;\cos \!\left[{\sqrt {\dfrac {k}{m\,\left(1+{\dfrac {I}{m\;r^{2}}}\right)}}}\;t+\varphi \right]\;$».

 

Condition de roulement sans glissement de la poulie sur le plan incliné

     $\;f\;$ étant le cœfficient de frottement de glissement de la poulie sur le plan incliné, à quelle condition ce roulement sans glissement est-il possible ? $\;{\big [}$on cherchera une condition sur l'amplitude d'oscillations${\big ]}$.

Solution

     Pour que le roulement de la poulie $\;{\mathcal {P}}\;$ se fasse sans glissement sur le plan incliné il faut que la valeur absolue de la composante tangentielle de la réaction du plan sur la poulie soit strictement inférieure au produit du cœfficient de frottement de glissement par la composante normale de cette réaction pour tout $\;t\;$ soit «$\;\vert T_{x}(t)\vert <f\;N\;$» avec «$\;N=m\;g\;\cos(\alpha )\;$ par relation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» et «$\;T_{x}(t)=-{\dfrac {I}{r^{2}}}\;{\ddot {x}}_{C}(t)\;$ par relation $\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;$» soit encore «$\;T_{x}(t)=-m\;a\;{\ddot {x}}_{C}(t)=m\;a\;A\;{\dfrac {\omega _{0}^{\,2}}{1+a}}\;\cos \!\left({\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {1+a}}}\;t+\varphi \right)\;$» en utilisant $\;x_{C}(t)=x_{C,\,{\text{éq}}}+A\;\cos \!\left({\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {1+a}}}\;t+\varphi \right)\;$ d'où la réécriture de la condition de non glissement «$\;{\Bigg \vert }\,m\;a\;A\;{\dfrac {\omega _{0}^{\,2}}{1+a}}\;\cos \!\left({\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {1+a}}}\;t+\varphi \right){\Bigg \vert }<f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;\;\forall \;t\;$»,
$\Updownarrow$
«$\;A<{\dfrac {1+a}{a}}\;f\;{\dfrac {g\;\cos(\alpha )}{\omega _{0}^{\,2}}}=\left(1+{\dfrac {m\;r^{2}}{I}}\right)\,f\;{\dfrac {m\;g\;\cos(\alpha )}{k}}\;$»,
il y a roulement sans glissement tant que l'« amplitude des oscillations reste $\;<\;$ à $\;A_{\text{max}}=\left(1+{\dfrac {m\;r^{2}}{I}}\right)\,f\;{\dfrac {m\;g\;\cos(\alpha )}{k}}\;$».

 

Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique

Schéma descriptif d'un demi-disque roulant sans glisser sur un plan horizontal

     Soit un demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C\;$, de centre de masse $\;{\big (}$ou C.D.I.${\big )}$ $\;G$, de rayon $\;R\;$ et de masse $\;m$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;

     ce demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ disposé verticalement sur un plan horizontal est en contact avec ce dernier par l'intermédiaire de sa tranche circulaire $\;{\big (}$un dispositif non représenté forçant le demi-disque à rester dans le plan vertical initial sans faire intervenir un quelconque frottement solide${\big )}$, $\;{\mathcal {D}}\;$ peut ainsi rouler sans glisser sur ce plan horizontal ;

     le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ dans lequel est étudié le mouvement de $\;{\mathcal {D}}\;$ est supposé galiléen pour son étude dynamique, il lui est associé un repère cartésien $\;\left\lbrace O\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ orthonormé direct, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ orientant la direction verticale dans le sens ascendant, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ la direction horizontale le long de laquelle le demi-disque roule sans glisser et $\;{\vec {u}}_{x}\;$ la direction horizontale $\;\perp \;$ au plan vertical contenant $\;{\mathcal {D}}\;$ orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens trigonométrique direct ;

     le champ de pesanteur terrestre est uniforme égal à $\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;g\;$ intensité de la pesanteur ;

     désignant par $\;I\;$ le point de contact entre le sol et $\;{\mathcal {D}}\;$ à l'instant $\;t$, on repère la position du demi-disque par l'ordonnée «$\;y_{C}(t)\;$» de son centre $\;C\;$ et par l'angle algébrisé «$\;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {CI}}(t)\,,\,{\overrightarrow {CG}}(t)\right\rbrace }}\;$».

     À l'instant initial, on lâche le demi-disque sans vitesse initiale dans la position repérée par $\;\alpha _{0}$, l'ordonnée du point de contact correspondant $\;I_{0}\;$ valant $\;y_{0}$.

     Nous supposerons connus la distance séparant le centre $\;C\;$ du demi-disque de son C.D.I. $\;G\;$ «$\;CG={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}\;$ notée $\;b\;$» ainsi que
     Nous supposerons connus le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ par rapport à un axe passant par $\;C\;$ et $\;\perp \;$ au plan contenant $\;{\mathcal {D}}\;$ «$\;J={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$».

Étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal

     Établir le lien traduisant le roulement sans glissement du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal entre
     Établir le lien la composante horizontale du vecteur vitesse du centre $\;C\;$ du demi-disque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ «$\;{\dot {y}}_{C}(t)\;$» et
     Établir le lien sa vitesse angulaire «$\;{\dot {\alpha }}(t)\;$» de rotation autour de l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{C}\;$ lié à $\;C\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$.

     En déduire les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse $\;{\big (}$ou C.D.I.${\big )}$ $\;G\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ en fonction de «$\;b=CG\;$», de «$\;\alpha (t)\;$» et de « ses dérivées temporelles d'ordre un et deux ».

Solution

     Le roulement sans glissement du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ se traduit selon «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)\;$» avec

• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big \{}I\;\in \;\left(xOy\right)\;$ considéré à l'instant $\;t\;$ étant, par définition, immobile relativement au plan horizontal${\big \}}\;$ et
• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {D}}\,/\,{\mathcal {R}}_{C}}(t)\wedge {\overrightarrow {CI}}={\dot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left(-R\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$» ${\big \{}$le mouvement de $\;I\;\in \;{\mathcal {D}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{C}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {D}}\,/\,{\mathcal {R}}_{C}}(t)\;$ autour de $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{C}$ $\;{\big (}$le référentiel lié à $\;C\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}{\big )}{\big \}}\;$ ou «$\;{\vec {V}}_{J\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)=\left[{\dot {y}}_{C}(t)+R\;{\dot {\alpha }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$»,

     d'où le lien recherché traduisant le roulement sans glissement du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal «$\;{\dot {y}}_{C}(t)+R\;{\dot {\alpha }}(t)=0\;\;\forall \;t\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».

     Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque ${\underline {{\mathcal {D}}\;}}$ : soit le demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C\;$, de rayon $\;R\;$ et de masse $\;m\;$ dans sa position d'équilibre $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}$ $\;{\big [}$l'axe de symétrie de répartition de masse de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}\;$ est donc confondu avec $\;{\overrightarrow {Cz'}}\;$${\big ]}$, la position du C.D.I. $\;G\;$ de $\;{\mathcal {D}}$, repérée par rapport à $\;C$, étant définie par $\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;\sigma _{0}\;dS_{M}}{\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}\sigma _{0}\;dS_{M}}}\;$ ou, $\;{\overrightarrow {Cz'}}\;$ étant un axe de symétrie de répartition de masse de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}\;$ $\Rightarrow$ le C.D.I. de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}$ «$\;G\;\in \;Cz'\;$» et par suite sa détermination s'établit uniquement par l'évaluation de sa cote $\;{z_{G}}\!'={\dfrac {\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{z_{M}}\!'\;dS_{M}}{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}}\;$ $\;{\bigg \{}\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}dS_{M}\;$ étant l'aire du demi-disque valant $\;{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}{\bigg \}}\;$ ou, en repérage polaire de $\;M\;$ de pôle $\;C\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cz'}}\;$, le plan de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}\;$ étant orienté dans le sens trigonométrique direct, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{z_{M}}\!'=\rho \;\cos(\theta )\\dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{z_{M}}\!'\;dS_{M}=$ $\displaystyle \int _{\rho \,=\,0}^{\rho \,=\,R}\rho ^{2}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,-{\frac {\pi }{2}}}^{\theta \,=\,{\frac {\pi }{2}}}\cos(\theta )\;d\theta \right]\,d\rho =\displaystyle \int _{\rho \,=\,0}^{\rho \,=\,R}\rho ^{2}\,\left\lbrace \left[\sin(\theta )\right]_{\theta \,=\,-{\frac {\pi }{2}}}^{\theta \,=\,{\frac {\pi }{2}}}\right\rbrace \,d\rho =2\;{\dfrac {R^{3}}{3}}\;$» d'où «$\;{z_{G}}\!'={\dfrac {2\;{\dfrac {R^{3}}{3}}}{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}}={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}\;$» C.Q.F.V. ;

                    Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque : ce résultat peut aussi être vérifié par utilisation du théorème de Guldin $\;{\big (}$théorème hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ dont l'énoncé est le suivant :

                    Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque : théorème de Guldin relatif à une portion de surface : « La mesure du volume $\;{\mathcal {V}}\;$ de l'expansion tridimensionnelle engendrée par la révolution d'une portion de surface plane $\;{\mathcal {D}}\;$ autour d'un axe $\;(\Delta )\;$ de son plan, et ne coupant pas la portion de surface est égale au produit de l'aire de la portion de surface $\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;$ par la longueur de la circonférence décrite par son centre d'inertie $\;G\;$ soit $\;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$ dans laquelle $\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$ est la distance orthogonale séparant le C.D.I. de la portion de surface plane à l'axe $\;(\Delta )\;$ de révolution et $\;\alpha \;$ l'angle de rotation exprimé en $\;rad\;$ soit $\;{\mathcal {V}}={\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$» ;                             Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque : théorème de Guldin relatif à une portion de surface : application : prenant comme axe de rotation $\;(\Delta )\;$ d'application de ce théorème le diamètre limitant le demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ et effectuant un tour complet de rotation autour de cet axe, l'expansion tridimensionnelle engendrée par la révolution de $\;{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;(\Delta )\;$ étant la boule de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R\;$ dont le volume est $\;{\mathcal {V}}={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}\;$ et l'aire du demi-disque étant$\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}$, l'application du théorème de Guldin relatif à une portion de surface nous conduit à $\;{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$ avec $\;\alpha =2\;\pi \;$ d'où «$\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)=$ ${\dfrac {{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}}{{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\,\left(2\;\pi \right)}}={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}\;$» C.Q.F.V.

     Explicitation des vecteurs vitesse et accélération du C.D.I.${\underline {\;G\;}}$du demi-disque${\underline {\;{\mathcal {D}}\;}}$ : le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ s'évaluant par utilisation de la relation de Chasles selon «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ ${\overrightarrow {OC}}(t)+{\overrightarrow {CG}}(t)=\left\lbrace y_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}+R\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace +\left\lbrace b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» ou «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{l c}y_{C}(t)+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, en dérivant par rapport à $\;t\;$ une 1^re fois puis une 2^ème fois,

• les composantes cartésiennes du vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}{\dot {y}}_{C}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore, en utilisant l'expression traduisant le roulement sans glissement «$\;{\dot {y}}_{C}(t)=-R\;{\dot {\alpha }}(t)\;$», «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit finalement «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{y}+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• les composantes cartésiennes du vecteur accélération du C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ «$\;{\vec {a}}_{G}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}{\ddot {y}}_{C}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore, en utilisant l'expression dérivée temporellement traduisant le roulement sans glissement «$\;{\ddot {y}}_{C}(t)=-R\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$», «$\;{\vec {a}}_{G}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit finalement «$\;{\vec {a}}_{G}(t)={\Big \{}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}\,{\vec {u}}_{y}+{\Big \{}b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}\,{\vec {u}}_{z}\;$».

 

Étude dynamique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal

     Appliquer le théorème du mouvement du C.D.I. au demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ roulant sans glisser sur le plan horizontal dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen et
     Appliquer le théorème en déduire les expressions des composantes tangentielle $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\;$ et normale $\;R_{n}(t)\;$ de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque.

     Appliquer le théorème du moment cinétique scalaire au demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à l'axe horizontal $\;\left({\overrightarrow {Gx}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen $\;{\big \{}$pour déterminer le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;\left(Gx\right)$, on utilisera le théorème de Huygens liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes $\;\parallel \;$ dont l'un passe par le C.D.I. $\;G\;$ du solide «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)=$ $J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+m_{({\mathcal {S}})}\;d^{2}\;$ avec $\;d\;$ la distance séparant les deux axes »${\Big \}}\;$ et
     Appliquer le théorème en déduire une relation liant liant les composantes tangentielle $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\;$ et normale $\;R_{n}(t)\;$ de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque puis
     Appliquer le théorème en déduire une nouvelle expression de la composante tangentielle $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\;$ de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque en reportant, dans la relation précédemment trouvée, l'expression de la composante normale $\;R_{n}(t)\;$ tirée de l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à $\;{\mathcal {D}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen.

     En identifiant les deux expressions de la composante tangentielle $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\;$ de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque $\;{\mathcal {D}}$, établir l'équation différentielle en $\;\alpha (t)\;$ du mouvement de rotation de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$.

Solution

Schéma descriptif d'un demi-disque roulant sans glisser sur un plan horizontal et représentation des forces extérieures s'exerçant sur le demi-disque

     Ci-contre le schéma descriptif du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C\;$, de C.D.I. $\;G$, de rayon $\;R\;$ et de masse $\;m$, roulant sans glisser sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, les forces extérieures s'exerçant sur $\;{\mathcal {D}}\;$ étant

• son poids vertical descendant $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliqué au C.D.I. $\;G\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ et
• la réaction du plan horizontal $\;{\vec {R}}(t)\;$ se décomposant en une composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }(t)={\overline {R_{\tau }}}(t)\;{\vec {u}}_{y}$ $\;{\big [}{\vec {R}}_{\tau }(t)\;$ étant de sens contraire au vecteur vitesse de glissement hypothétique susceptible de se produire selon la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement${\big ]}\;$ et une composante normale $\;{\vec {R}}_{n}(t)=R_{n}(t)\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\big [}$avec $\;{\vec {R}}_{n}(t)\;$ de sens contraire à la pénétration possible de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le plan horizontal $\Rightarrow$ $\;R_{n}(t)>0{\big ]}$ ;

     Application du théorème du mouvement du C.D.I. au demi-disque${\underline {\;{\mathcal {D}}\;}}$dans le référentiel d'étude${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;}}$galiléen : «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$» projetée sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nous conduit à «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c c c l}{\overline {R_{\tau }}}(t)\!\!&=&\!\!m\;a_{G,\,y}(t)\!\!&=&\!\!m\,{\Big \{}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}\\-m\;g+R_{n}(t)\!\!&=&\!\!m\;a_{G,\,z}(t)\!\!&=&\!\!m\,{\Big \{}b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l c}{\overline {R_{\tau }}}(t)\!\!&=&\!\!m\,{\Big \{}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}&\left({\mathfrak {1}}\right)\\R_{n}(t)\!\!&=&\!\!m\,{\Big \{}g+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}&\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Application du théorème du moment cinétique scalaire au demi-disque${\underline {\;{\mathcal {D}}\;}}$relativement à l'axe${\underline {\;\left(Gx\right)\;}}$ en translation dans le référentiel d'étude${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;}}$galiléen : $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right),\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\left(Gx\right)}\!\left({\mathcal {D}}\right)}{dt}}(t)\;$» avec

• le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;{\mathcal {D}}\;$ et évalué par rapport à $\;\left(Gx\right)\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right),\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=-R_{n}(t)\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]+{\overline {R_{\tau }}}(t)\,\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \{}$d'une part «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]=0$, le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant nul », d'autre part «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}_{n}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}_{\tau }(t)\right]\;$ avec $\;{\vec {R}}_{n}(t)\;$ tendant à faire tourner $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le sens $\;-\;$ quand $\;\alpha (t)\;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$cas de la figure${\big )}\;$ avec un bras de levier valant $\;b\;\vert \sin \!\left[\alpha (t)\right]\vert \;$ ou $\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$ pour $\;\alpha (t)>0$ $\;{\big [}$résultat indépendant du signe de $\;\alpha (t){\big ]}\;$ alors que $\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}_{\tau }(t)\right]\;$ est de même signe que $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)$ $\;{\big [}<0\;$ sur le cas de figure${\big ]}$ avec un bras de levier égal à $\;z_{G}(t)=R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$»${\bigg \}}\;$ et
• le moment cinétique scalaire de $\;{\mathcal {D}}\;$ évalué à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen par rapport à $\;\left(Gx\right)\;$ «$\;\sigma _{\left(Gx\right)}({\mathcal {D}},\,t)=J_{\left(Gx\right)}\;{\dot {\alpha }}(t)\;$» avec «$\;J_{\left(Gx\right)}\;$ le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à l'axe $\;\left(Gx\right)\;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque en étant $\;\parallel \;$ à $\;\left(Cx\right)\;$» $\;{\Big \{}$les moments d'inertie d'un solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ relativement à un axe $\;\Delta \;$ et relativement à l'axe $\;\Delta _{G}\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant liés par le théorème de Huygens «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+m_{({\mathcal {S}})}\;d^{2}\;$ avec $\;d\;$ la distance séparant les deux axes »${\Big \}}\;$ soit ici $\;J=J_{\left(Gx\right)}+m\;b^{2}\;$ $\Rightarrow$ «$\;J_{\left(Gx\right)}=J-m\;b^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}-m\;b^{2}=m\,\left({\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\right)\;$» dont on déduit «$\;{\dfrac {d\,\sigma _{\left(Gx\right)}\!\left({\mathcal {D}}\right)}{dt}}(t)=J_{\left(Gx\right)}\;{\ddot {\alpha }}(t)=m\,\left({\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\right)\,{\ddot {\alpha }}(t)\;$» d'où

     Application du théorème la réécriture du théorème selon «$\;-R_{n}(t)\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]+{\overline {R_{\tau }}}(t)\,\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace =m\,\left({\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\right)\,{\ddot {\alpha }}(t)\;$» ou, en y reportant l'expression de $\;R_{n}(t)\;$ en fonction de $\;\alpha (t)\;$ et de ses dérivées temporelles établie dans la relation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, «$\;-m\,{\Big \{}g+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}\,b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]+{\overline {R_{\tau }}}(t)\,\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace =m\,\left({\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\right)\,{\ddot {\alpha }}(t)\;$» soit, après développement et simplification évidente, «$\;-m\,{\Big \{}g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]+b^{2}\;\sin ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b^{2}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}+{\overline {R_{\tau }}}(t)\,\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace =m\;{\dfrac {R^{2}}{2}}\;{\ddot {\alpha }}(t)-m\;b^{2}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$» dont on déduit une nouvelle expression de $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\;$ par l'intermédiaire de «$\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\,\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace =$ $m\;g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]+m\;b^{2}\;\sin ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+m\;b^{2}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+m\;{\dfrac {R^{2}}{2}}\;{\ddot {\alpha }}(t)-m\;b^{2}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$ ou encore, après regroupement de termes, $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\,\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace =$ $m\,{\bigg [}\left\lbrace {\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\;\cos ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {b^{2}}{2}}\;\sin \!\left[2\;\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]{\bigg ]}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {R_{\tau }}}(t)={\dfrac {m\,{\bigg [}\left\lbrace {\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\;\cos ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {b^{2}}{2}}\;\sin \!\left[2\;\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]{\bigg ]}}{R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$».      Détermination de l'équation différentielle en${\underline {\;\alpha (t)\;}}$du mouvement de rotation de${\underline {\;{\mathcal {D}}\;}}$dans le référentiel d'étude${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;}}$galiléen : on égale les deux expressions de $\;{\overline {R_{\tau }}}\;$ obtenue par relations $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ et on obtient $\;m\,{\Big \{}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}={\dfrac {m\,{\bigg [}\left\lbrace {\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\;\cos ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {b^{2}}{2}}\;\sin \!\left[2\;\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]{\bigg ]}}{R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]}}\;$ soit, en multipliant les deux membres par «$\;R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$» puis développant le 1^er membre, «$\;\left\lbrace -R^{2}+2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]-b^{2}\;\cos ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+\left\lbrace -b\;R\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]+{\dfrac {b^{2}}{2}}\;\sin \!\left[2\;\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)=\left\lbrace {\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\;\cos ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {b^{2}}{2}}\;\sin \!\left[2\;\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$» soit, en regroupant les termes de même dépendance relativement à $\;\alpha (t)\;$ ou ses dérivées temporelles, $\;\left\lbrace {\dfrac {3}{2}}\;R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;R\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace 3-{\dfrac {4\;b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;b}{R}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R^{2}}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=0\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».      Remarque : on pouvait aussi appliquer le théorème du moment cinétique scalaire au demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à l'axe $\left(Ix\right)$ $\;{\big [}$donc passant par le point de contact $\;I\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ qui n'est pas un point fixe de $\;{\mathcal {D}}{\big ]}$, en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Ix\right),\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\left(Ix\right)}\!\left({\mathcal {D}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {V}}_{\left(Ix\right)}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\mathcal {D}},\,t\right)\;$» avec
     Remarque : $\succ \;$le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;{\mathcal {D}}\;$ et évalué par rapport à $\;\left(Ix\right)\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Ix\right),\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\left(Ix\right)}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Ix\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=-m\;g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$» $\;{\bigg \{}$d'une part «$\;m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le sens $\;-\;$ quand $\;\alpha (t)\;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$cas de la figure${\big )}\;$ avec un bras de levier valant $\;b\;\vert \sin \!\left[\alpha (t)\right]\vert \;$ ou $\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$ pour $\;\alpha (t)>0$ $\;{\big [}$résultat indépendant du signe de $\;\alpha (t){\big ]}\;$», d'autre part « le bras de levier de $\;{\vec {R}}(t)\;$ étant nul, $\;{\mathcal {M}}_{\left(Ix\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=0\;$»${\bigg \}}$,
     Remarque : $\succ \;$le moment cinétique scalaire de $\;{\mathcal {D}}\;$ évalué à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen par rapport à $\;\left(Ix\right)\;$ «$\;\sigma _{\left(Ix\right)}({\mathcal {D}},\,t)=J_{\left(Ix\right)}\;{\dot {\alpha }}(t)\;$» avec «$\;J_{\left(Ix\right)}\;$ le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à l'axe $\;\left(Ix\right)$ pouvant se déduire du moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à l'axe $\;\left(Gx\right)$ $\;\parallel \;$ à $\;\left(Ix\right)\;$ mais passant par le C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque $\;{\Big \{}$en effet les moments d'inertie d'un solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ relativement à un axe $\;\Delta \;$ et relativement à l'axe $\;\Delta _{G}\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sont liés par le théorème de Huygens «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+m_{({\mathcal {S}})}\;d^{2}\;$ avec $\;d\;$ la distance séparant les deux axes »${\Big \}}\;$ soit ici, «$\;J_{\left(Ix\right)}=$ $J_{\left(Gx\right)}+m\;IG^{\,2}\;$» avec $\;J_{\left(Gx\right)}=m\,\left({\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\right)$ $\;{\bigg [}$déterminé précédemment à partir de $\;J={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ et application du théorème de Huygens${\bigg ]}\;$ et la distance $\;d=IG\;$ séparant les deux axes s'évaluant selon «$\;IG={\sqrt {\left[y_{G}(t)-y_{C}(t)\right]^{2}+z_{G}^{\,2}(t)}}={\sqrt {b^{2}\;\sin ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]+\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}={\sqrt {R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]+b^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;J_{\left(Ix\right)}=m\,{\bigg [}{\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}+\left\lbrace R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]+b^{2}\right\rbrace {\bigg ]}\;$ dépendant de $\;t\;$ soit, après simplification évidente, «$\;J_{\left(Ix\right)}(t)=m\,\left\lbrace {\dfrac {3}{2}}\;R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\sigma _{\left(Ix\right)}({\mathcal {D}},\,t)=J_{\left(Ix\right)}(t)\;{\dot {\alpha }}(t)=m\,\left\lbrace {\dfrac {3}{2}}\;R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}(t)\;$» dont on déduit la dérivée temporelle «$\;{\dfrac {d\,\sigma _{\left(Ix\right)}\!\left({\mathcal {D}}\right)}{dt}}(t)=$ $J_{\left(Ix\right)}\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {dJ_{\left(Ix\right)}}{dt}}(t)\;{\dot {\alpha }}(t)=m\,\left\lbrace {\dfrac {3}{2}}\;R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+2\;m\;b\;R\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» et
     Remarque : $\succ \;$le terme cinétique supplémentaire de translation de $\;\left(Ix\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {V}}_{\left(Ix\right)}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\mathcal {D}},\,t\right)=\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\dot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}\right]\cdot m\,{\Big \{}\left\lbrace {\dot {y}}_{C}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}{\Big \}}\;$» soit, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire ou vectorielle relativement à l'addition vectorielle, «$\;\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {V}}_{\left(Ix\right)}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\mathcal {D}},\,t\right)=m\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\dot {y}}_{C}(t)\;$» $\;{\Big \{}$le 1^er produit mixte du développement «$\;m\,\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\dot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}\right]\cdot \left\lbrace {\dot {y}}_{C}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\;$» étant nul par colinéarité de deux des vecteurs du produit mixte${\Big \}}\;$ ou, avec $\;{\dot {y}}_{C}(t)=-R\;{\dot {\alpha }}(t)\;$ déduit de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ traduisant le roulement sans glissement de $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)$, «$\;\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {V}}_{\left(Cx\right)}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\mathcal {D}},\,t\right)=-m\;b\;R\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$», d'où
     Remarque : la réécriture du théorème selon «$\;-m\;g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=m\,\left\lbrace {\dfrac {3}{2}}\;R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+2\;m\;b\;R\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)-m\;b\;R\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» ou, après quelques simplifications évidentes, $\;\left\lbrace {\dfrac {3}{2}}\;R^{2}-2\;b\;R\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;R\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=0\;$ $\Rightarrow$ l'obtention directe de l'équation différentielle recherchée «$\;\left\lbrace 3-{\dfrac {4\;b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;b}{R}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R^{2}}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=0\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

     Additif : détermination du moment d'inertie du demi-disque ${\underline {{\mathcal {D}}\;}}$relativement à l'axe${\underline {\;Cx}}\;$ : soit le demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C\;$, de rayon $\;R$, de masse $\;m\;$ et de moment d'inertie $\;J\;$ par rapport à l'axe $\;\left(Cx\right)$ $\;{\big [}$moment d'inertie à évaluer${\big ]}\;$ ainsi que le symétrique « matériel » de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement au diamètre le limitant, symétrique « matériel » noté $\;{\mathcal {D}}'\;$ de même moment d'inertie $\;J\;$ relativement à l'axe commun $\;\left(Cx\right)$, l'ensemble $\;{\mathcal {D}}\;\cup \;{\mathcal {D}}'\;$ constituant le disque complet $\;{\mathcal {D}}_{\text{tot}}\;$ est, de par l'additivité des grandeurs d'inertie, de moment d'inertie relativement à $\;\left(Cx\right)$ «$\;J\!\left({\mathcal {D}}_{\text{tot}}\right)=2\;J\;$» avec «$\;J\!\left({\mathcal {D}}_{\text{tot}}\right)$ $=\displaystyle \iint _{{\mathcal {D}}_{\text{tot}}}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$» soit encore «$\;J\!\left({\mathcal {D}}_{\text{tot}}\right)=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{\rho \,=\,0}^{\rho \,=\,R}\rho ^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,-\pi }^{\theta \,=\,\pi }d\theta \right]\,d\rho =\sigma _{0}\;2\;\pi \;{\dfrac {R^{4}}{4}}=\sigma _{0}\;\pi \;{\dfrac {R^{4}}{2}}\;$» d'où «$\;J={\dfrac {J\!\left({\mathcal {D}}_{\text{tot}}\right)}{2}}=\sigma _{0}\;\pi \;{\dfrac {R^{4}}{4}}\;$» soit finalement, la masse de $\;{\mathcal {D}}\;$ étant égale à $\;m=$ $\sigma _{0}\;{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}$, «$\;J={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» C.Q.F.V.

 

Étude des petites oscillations rotatives du demi-disque dans son mouvement de roulement sans glissement sur le plan horizontal

     Considérant $\;\vert \alpha _{0}\vert \;$ petit, montrer que l'équation différentielle en $\;\alpha (t)\;$ du mouvement de rotation de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ peut être linéarisée et

          Considérant α₀ petit, exprimer le résultat de cette linéarisation ;

          Considérant α₀ petit, en déduire la loi horaire $\;\alpha (t)\;$ des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans son mouvement de rotation autour de $\;\Delta _{G}\;$ ainsi que

          Considérant α₀ petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires $\;T_{0}\;$ en fonction de $\;g$, $\;R\;$ et $\;b\;$ puis

                  Considérant α₀ petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires T en fonction de $\;g\;$ et $\;R$.

Solution

     Le demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ étant lâché sans vitesse initiale dans une position où son centre $\;C\;$ est d'ordonnée $\;y_{0}\;$ et l'angle orienté $\;\alpha ={\widehat {\left({\overrightarrow {CI}}\,,\,{\overrightarrow {CG}}\right)}}\;$ de valeur $\;\alpha _{0}\;$ telle que $\;\vert \alpha _{0}\vert \ll 1$,
     nous supposons $\;{\big (}$ce qui devra être vérifié${\big )}\;$ «$\;\vert \alpha (t)\vert \ll 1\;\;\forall \;t\;$» et, considérant $\;\alpha (t)\;$ comme infiniment petit d'ordre un,
     nous faisons un D.L. de l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;\;\left\lbrace 3-{\dfrac {4\;b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;b}{R}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R^{2}}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=0\;$» à l'ordre un en $\;\alpha (t)\;$ et ses dérivées temporelles,
           nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un s'obtient en prenant le D.L. de l'autre facteur à l'ordre zéro $\;{\big \{}$dans le produit «$\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$» «$\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$ étant un infiniment petit d'ordre un », il suffit de prendre $\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$ à l'ordre zéro soit «$\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\simeq 1\;$»${\big \}}$,
           nous faisons un D.L. en utilisant qu'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre deux étant au moins d'ordre deux peut être éliminé à l'ordre un $\;{\big \{}$dans le produit «$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» «$\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$ étant un infiniment petit d'ordre deux » $\Rightarrow$ son D.L. à l'ordre un est «$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\simeq 0\;$»${\big \}}\;$ et
           nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un de $\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$ est «$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\simeq \alpha (t)\;$»,
           nous faisons un D.L. d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ traduisant l'effectivité de la linéarisation de $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ «$\;\left\lbrace 3-{\dfrac {4\;b}{R}}\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R^{2}}}\;\alpha (t)=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace 3\;R-4\;b\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R}}\;\alpha (t)=0\;$»
soit, après normalisation, «$\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R\,\left(3\;R-4\;b\right)}}\;\alpha (t)=0\;\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$»
c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti ;      l'oscillateur harmonique dont l'équation différentielle est $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ étant de pulsation propre «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;g\;b}{R\,\left(3\;R-4\;b\right)}}}\;$» nous en déduisons la forme de la loi horaire $\;\alpha (t)\;$ des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans son mouvement de rotation autour de $\;\Delta _{G}\;$ «$\;\alpha (t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes à déterminer à l'aide des C.I. $\;\left\lbrace \alpha (0)=\alpha _{0}\,,\,{\dot {\alpha }}(0)=0\right\rbrace \;$» $\Downarrow {\scriptscriptstyle \vdots }$
«$\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$» ;

     la période des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans son mouvement de rotation autour de $\;\Delta _{G}\;$ est «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R\,\left(3\;R-4\;b\right)}{2\;g\;b}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\sqrt {{\dfrac {3\;R}{2\;b}}-2}}\;$» ou
      la période des petites élongations angulaires de D dans son mouvement de rotation autour avec $\;b={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}$, «$\;T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\sqrt {{\dfrac {3\;R}{2\;{\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}}}-2}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\sqrt {{\dfrac {9\;\pi }{8}}-2}}\simeq 2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {1,534\;R}{g}}}\;$».

 

Yoyo (bobine de fil) sur plan horizontal

Schéma descriptif d'un yoyo (bobine de fil) roulant sans ou avec glissement sur un plan horizontal sous l'action d'une force horizontale $\;{\vec {F}}\;$ exercée sur l'extrémité $\;A\;$ du fil

     Un yoyo $\;{\big (}$ou bobine de fil${\big )}$, de « masse $\;m\;$», de « C.D.I. $\;G\;$», de « moment d’inertie $\;J\;$ relativement à son axe », est posé sur un plan horizontal, l'expérience étant réalisée dans un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen dans lequel le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ est uniforme d'intensité $\;g$ ;

     choisissant pour repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ «$\;\left\lbrace O\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ orthonormé direct » avec

• $\;O\;$ le point de contact initial du yoyo sur le plan,
• $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant,
• $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur unitaire horizontal orientant l'axe de rotation $\;\left(Gx\right)\;$ du yoyo définissant ainsi le sens $\;+\;$ de mesure des angles orientés de toute section droite de la bobine et
• $\;{\vec {u}}_{y}\;$ le vecteur unitaire horizontal tel que $\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}$,

     un fil, inextensible, de masse négligeable, étant enroulé sur la bobine dans le sens $\;+\;$ à partir du point $\;M_{r}\;$ de celle-ci, nous exerçons, à partir d’un instant où le système « bobine - fil » est au repos, instant choisi comme origine des temps, une force $\;{\vec {F}}\;$ horizontale à l’autre extrémité $\;A\;$ du fil, le sens de $\;{\vec {F}}\;$ étant ainsi dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}$ ;

     nous repérons le déroulement du fil sur la bobine dans le référentiel barycentrique de cette dernière par l’angle $\;\theta (t)={\widehat {\left({\overrightarrow {GM_{r}}}\,,\,{\overrightarrow {GM}}\right)}}$, $\;M\;$ étant le point d’attache du fil sur la bobine à l’instant $\;t\;$ avec $\;M_{r}\;$ la position barycentrique de ce dernier à l'instant initial $\;{\big \{}$nous supposerons négligeable l'épaisseur d'enroulement du fil sur la bobine${\big \}}\;$ et
     nous repérons la position du C.D.I. $\;G\;$ de la bobine par son ordonnée $\;y_{G}(t)$ $\;{\big \{}$le point de contact, à l’instant $\;t$, de la bobine avec le plan horizontal étant noté $\;I\;$ et le point où le contact du fil sur la bobine cesse noté $\;K{\big \}}$ ;

     le rayon du cylindre sur lequel s’enroule le fil étant $\;GK=r\;$ et celui des deux disques terminaux sur lesquels la bobine repose $\;GI=R$, cette dernière roulera sur le plan horizontal sans ou avec glissement suivant la valeur de $\;F=\Vert {\vec {F}}\Vert \;$ et compte-tenu de celle du « cœfficient de frottement de glissement $\;{\big (}$dynamique et statique${\big )}\;$ notée $\;f\;$».

Expression du vecteur vitesse du point de contact du yoyo à l'instant t avec le plan horizontal en tant que point lié à la bobine

     Exprimer, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, du point de contact du yoyo avec le plan horizontal en tant que point lié à la bobine noté $\;I_{\in \,{\text{bobine}}}$, en fonction, entre autres, de la vitesse horizontale de son C.D.I. notée $\;{\dot {y}}_{G}(t)\;$ et de la vitesse angulaire de rotation $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ dans son référentiel barycentrique.

Solution

     Le mouvement, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, du point de contact du yoyo avec le plan horizontal en tant que point lié à la bobine $\;I_{\in \,{\text{bobine}}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dot {y}}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\text{yoyo}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ autour de $\;\Delta _{G}\;$ dans le référentiel barycentrique de la bobine nous en déduisons $\;{\vec {V}}_{I_{\in \,{\text{bobine}}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\text{yoyo}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\wedge {\overrightarrow {GI_{\in \,{\text{bobine}}}}}={\dot {y}}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left(-R\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ soit l'expression du vecteur vitesse du point de contact du yoyo avec le plan horizontal en tant que point lié à la bobine «$\;{\vec {V}}_{I_{\in \,{\text{bobine}}}}(t)=\left[{\dot {y}}_{G}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$».

 

Étude du roulement sans glissement du yoyo sur le plan horizontal

     Après avoir exprimé la relation traduisant le roulement sans glissement du yoyo sur le plan horizontal, appliquez

• le théorème du moment cinétique scalaire au système « bobine - fil » relativement à l'axe horizontal $\;\left({\overrightarrow {Gx}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen puis
• le théorème du mouvement du C.D.I. au même système dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen,

     pour en déduire : $\succ \;$l'accélération horizontale $\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du yoyo ainsi que

     pour en déduire : $\succ \;$la condition sur la norme de la force $\;{\vec {F}}\;$ pour qu'un tel mouvement ait lieu.

Solution

Schéma descriptif d'un yoyo (bobine de fil) roulant sans ou avec glissement sur un plan horizontal sous l'action d'une force horizontale $\;{\vec {F}}\;$ exercée sur l'extrémité $\;A\;$ du fil et bilan des forces extérieures s'appliquant au système « bobine - fil »

     La bobine roule sans glisser sur le plan horizontal si le point de contact de la bobine sur le plan horizontal en tant que point de la bobine a même vecteur vitesse que celui en tant que point du plan horizontal c'est-à-dire «$\;{\vec {V}}_{I_{\in \,{\text{bobine}}}}(t)={\vec {V}}_{I_{\in \,\left(xOy\right)}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{I_{\in \,\left(xOy\right)}}(t)={\vec {0}}\;$» d'où la relation traduisant le roulement sans glissement de la bobine sur le plan horizontal «$\;{\dot {y}}_{G}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)=0\;\;\forall \;t\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dot {y}}_{G}(t)=-R\;{\dot {\theta }}(t)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$».

     Les forces extérieures s'exerçant sur le système « bobine - fil » étant

• son poids «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué en $\;G\;$ C.D.I. de la bobine de masse $\;m$ $\;{\big \{}$le fil étant de masse négligeable, le C.D.I. et la masse du système « bobine - fil » sont ceux de la bobine${\big \}}$,
• la force horizontale «$\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;F=\Vert {\vec {F}}\Vert \;$» exercée sur l'extrémité $\;A\;$ du fil et
• la réaction «$\;{\vec {R}}(t)=R_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+R_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» du plan $\;\left(xOy\right)\;$ sur la bobine avec «$\;R_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ la composante normale au plan s'opposant à la pénétration de la bobine dans le plan donc telle que $\;R_{z}(t)\;$ est $\;>0\;$» et «$\;R_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ la composante tangentielle s'opposant au glissement possible de la bobine sur le plan donc telle que $\;R_{y}(t)\;$ est $\;<0\;$ si le glissement possible est dans le sens de $\;{\vec {F}}\;$» $\;{\big \{}$ce que nous supposerons compte-tenu du fait que la seule composante active horizontale est $\;{\vec {F}}{\big \}}$ $\;{\big [}$sur le schéma ci-contre, faute de place, le nom de la réaction n'a pas été reporté et sa composante normale n'a pas été tracée à partir de son point d'application mais à partir de l'extrémité de sa composante tangentielle${\big ]}$.

     Application du théorème du moment cinétique scalaire au système « bobine - fil » relativement à l'axe horizontal${\underline {\;({\overrightarrow {Gx}})\;}}$ en translation dans le référentiel d'étude${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}}$ galiléen : «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right),\,{\text{ext}}}(t)=J\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» avec «$\;J\;$ le moment d'inertie de la bobine relativement à son axe » $\;{\big \{}$le fil étant de masse négligeable, le moment d'inertie du système « bobine - fil » relativement à $\;\left(Gx\right)\;$ est celui de la bobine${\big \}}$ et «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right),\,{\text{ext}}}(t)=$ ${\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {F}},\,t\right]=R_{y}(t)\;R+F\;r\;$» $\;{\bigg \{}$d'une part «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]=0$, le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant nul », d'autre part «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}_{z}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}_{y}(t)\right]\;$ avec $\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}_{z}(t)\right]=0$, le bras de levier de $\;{\vec {R}}_{z}(t)\;$ appliqué en $\;I\;$ étant nul, alors que $\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {R}}_{y}(t)\right]\;$ est de même signe que $\;R_{y}(t)$ $\;{\big [}\!<0\;$ sur le cas de figure${\big ]}$ avec un bras de levier égal à $\;GI=R\;$» et enfin «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right)}\!\left[{\vec {F}},\,t\right]\;$ est $\;>0$, $\;{\vec {F}}\;$ tendant à faire tourner le système dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier égal à $\;GK=r\;$»${\bigg \}}\;$ soit finalement «$\;F\;r+R_{y}(t)\;R=J\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$».      Application du théorème du mouvement du C.D.I. au système « bobine - fil » dans le référentiel d'étude${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}}$ galiléen : «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$» $\;{\big \{}$le fil étant de masse négligeable, le C.D.I. et la masse du système « bobine - fil » sont ceux de la bobine${\big \}}\;$ avec «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Gx\right),\,{\text{ext}}}(t)=m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)+{\vec {F}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}+R_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}+R_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+F\;{\vec {u}}_{y}\;$» et «$\;{\vec {a}}_{G}(t)={\ddot {y}}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{y}$» $\;{\bigg \{}G\;$ décrivant la droite d'équations $\;\left[{\begin{array}{c}x_{G}=0\\z_{G}=R\end{array}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {z}}_{G}(t)=0\;\;\forall \;t{\bigg \}}\;$ soit, en projetant sur chaque axe du plan $\;\left(yOz\right)$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c l}R_{y}(t)+F\!\!&=&\!\!m\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;\!\!&{\text{:}}&\!\;\left({\mathfrak {3}}\right)\\R_{z}(t)-m\;g\!\!&=&\!\!0\;\!\!&{\text{:}}&\!\;\left({\mathfrak {4}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».      Détermination de l'accélération horizontale du C.D.I.${\underline {\;G\;}}$ du yoyo : éliminant $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ au profit de $\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$ à l'aide de l'équation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)=-{\dfrac {{\ddot {y}}_{G}(t)}{R}}\;$» puis reportant cette expression de $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ dans l'équation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ on obtient «$\;F\;r+R_{y}(t)\;R=-{\dfrac {J}{R}}\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$» dont on tire «$\;R_{y}(t)=-\left[{\dfrac {J}{R^{\,2}}}\;{\ddot {y}}_{G}(t)+F\;{\dfrac {r}{R}}\right]\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$», expression que l'on reporte dans l'équation $\;\left({\mathfrak {3}}\right)$ «$\;-\left[{\dfrac {J}{R^{\,2}}}\;{\ddot {y}}_{G}(t)+F\;{\dfrac {r}{R}}\right]+F=m\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;$» soit finalement l'expression recherchée de l'accélération horizontale du C.D.I. $\;G\;$ du yoyo «$\;{\ddot {y}}_{G}(t)={\dfrac {F\,\left(1-{\dfrac {r}{R}}\right)}{m+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}}>0\;$» $\;{\big (}$indépendante de $\;t\;$ $\Rightarrow$ mouvement rectiligne uniformément accéléré de $\;G{\big )}\;$
dont on déduit «$\;{\ddot {\theta }}(t)=-{\dfrac {F\,\left(1-{\dfrac {r}{R}}\right)}{m\;R+{\dfrac {J}{R}}}}<0\;$» $\;{\big (}$indépendante de $\;t{\big )}\;$ soit,
« en absence de vitesse initiale et avec $\;{\ddot {\theta }}(t)=cste<0$, un enroulement uniformément accéléré du fil sur la bobine ».      Condition de roulement sans glissement de la bobine sur le plan horizontal${\underline {\;(xOy)}}$ : la « condition de non glissement résultant de $\;\vert R_{y}(t)\vert <f\;R_{z}(t)\;$» dans laquelle «$\;R_{z}(t)=m\;g\;$» par relation $\;\left({\mathfrak {4}}\right)$ $\;{\big (}$d'où $\;R_{z}\;$ indépendante de $\;t{\big )}\;$ et «$\;R_{y}(t)=m\;{\ddot {y}}_{G}(t)-F=m\;{\dfrac {F\,\left(1-{\dfrac {r}{R}}\right)}{m+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}}-F\;$» par report de l'expression de $\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$ dans la relation $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ soit «$\;R_{y}(t)=F\,\left[{\dfrac {m\,\left(1-{\dfrac {r}{R}}\right)}{m+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}}-1\right]=-F\;{\dfrac {m\;{\dfrac {r}{R}}+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}{m+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}}<0\;$» $\;{\big (}R_{y}\;$ indépendante de $\;t\;$ de signe tel qu'elle s'oppose effectivement au sens du glissement possible dans le sens $\;+{\big )}\;$ se réécrit «$\;-R_{y}<f\;R_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;F\;{\dfrac {m\;{\dfrac {r}{R}}+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}{m+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}}<f\;m\;g\;$» soit finalement la condition sur $\;F\;$ pour que le roulement de la bobine sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ se fasse sans glissement de la 1^re sur le 2^nd «$\;F<f\;{\dfrac {m+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}{m\;{\dfrac {r}{R}}+{\dfrac {J}{R^{\,2}}}}}\;m\;g\;$ $\Leftrightarrow$ $\;F<f\;{\dfrac {m\;R^{\,2}+J}{m\;r\;R+J}}\;m\;g\;$».

 

Étude du roulement avec glissement du yoyo sur le plan horizontal

     Dans le cas d’un roulement avec glissement, montrer $\;{\big (}$en raisonnant par l'absurde${\big )}\;$ que le glissement se fait nécessairement dans le même sens que $\;{\vec {F}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire que le vecteur vitesse de glissement de la bobine sur le plan horizontal est dans le sens de $\;{\vec {F}}{\big \}}$ ;

     en reprenant l'application du théorème du moment cinétique scalaire au système « bobine - fil » relativement à l'axe horizontal $\;\left({\overrightarrow {Gx}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen puis

      en reprenant l'appli celle du théorème du mouvement du C.D.I. au même système dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen,

     déterminer l'accélération horizontale $\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du yoyo ainsi que

     déterminer l'accélération angulaire $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ du mouvement de rotation du yoyo autour de son axe $\;\left(Gx\right)$ ;

     vérifier que la condition sur la norme de la force $\;{\vec {F}}\;$ pour qu'il y ait roulement avec glissement du yoyo sur le plan horizontal est la contraire de celle pour que le roulement se fasse sans glissement, puis

     en déduire le signe de $\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$ ainsi que

     en déduire les valeurs de $\;F=\Vert {\vec {F}}\Vert \;$ pour lesquelles il y a déroulement ou enroulement du fil sur la bobine.

Solution

     Considérons maintenant un roulement de la bobine sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ avec glissement c'est-à-dire tel que «$\;{\dot {y}}_{C}(t)\;$ soit $\;\neq \;$ de $\;-R\;{\dot {\theta }}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{\text{gliss}}(t)={\vec {V}}_{I_{\in \,{\text{bobine}}}}(t)-{\vec {V}}_{I_{\in \,\left(xOy\right)}}(t)$» définissant le vecteur vitesse de glissement encore égal à $\;{\vec {V}}_{\text{gliss}}(t)=\left[{\dot {y}}_{G}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}-{\vec {0}}=\left[{\dot {y}}_{G}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ de « composante horizontale $\;{\overline {V_{\text{gliss}}}}(t)={\dot {y}}_{G}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\\{\text{ou}}\\<0\end{array}}\right\rbrace \;$» telle que «$\;R_{y}(t)\;{\overline {V_{\text{gliss}}}}(t)\;$ est $\;<0\;$» et

     supposons un glissement dans le sens $\;-\;$ c'est-à-dire tel que $\;{\overline {V_{\text{gliss}}}}(t)\;$ soit $\;<0\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{y}(t)>0\;$ soit, par relations $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {2}}\right)\;\;{\text{:}}\;\;{\ddot {\theta }}(t)>0\\\left({\mathfrak {3}}\right)\;\;{\text{:}}\;\;{\ddot {y}}_{G}(t)>0\end{array}}\right\rbrace \;$ dont nous déduisons «$\;{\ddot {y}}_{G}(t)+R\;{\ddot {\theta }}(t)={\dot {\overline {V_{\text{gliss}}}}}(t)>0\;$» correspondant à une composante horizontale de vitesse de glissement «$\;{\overline {V_{\text{gliss}}}}(t)\nearrow \;$» et par suite, en absence de vitesse initiale, $\;{\overline {V_{\text{gliss}}}}(t)>0\;\;\forall \;t\;$ en contradiction avec notre hypothèse de départ d'où,      dans le cas d'un glissement de la bobine sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)$, ce glissement se fait toujours dans le sens de $\;{\vec {F}}$
dans le cas d'un glissement de la bobine sur le plan horizontal, c'est-à-dire «$\;{\overline {V_{\text{gliss}}}}(t)={\dot {y}}_{G}(t)+R\;{\dot {\theta }}(t)>0\;$ et $\;R_{y}(t)<0\;$».

     L'application du théorème du moment cinétique scalaire au système « bobine - fil » relativement à l'axe horizontal $\;\left({\overrightarrow {Gx}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen ne dépendant pas du caractère glissant de la bobine sur le plan horizontal conduit à la même relation «$\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;F\;r+R_{y}(t)\;R=J\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {F\;r+R_{y}(t)\;R}{J}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}''\right)\;$» et

                  celle du théorème du mouvement du C.D.I. au même système dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen ne dépendant pas non plus du caractère glissant de la bobine sur le plan horizontal conduit aussi aux mêmes relations «$\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;{\text{:}}\;R_{y}(t)+F=m\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$» et «$\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;{\text{:}}\;R_{z}(t)-m\;g=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;R_{z}=m\;g\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$» d'une part et «$\;{\ddot {y}}_{G}(t)={\dfrac {R_{y}(t)+F}{m}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {3}}''\right)\;$» d'autre part dans laquelle
                  celle du $\vert R_{y}(t)\vert =f\;R_{z}\;$ par utilisation de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement s'écrivant encore $\;\vert R_{y}(t)\vert =f\;m\;g\;$ en utilisant $\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$ ou, $\;R_{y}(t)\;$ étant $\;<0$, «$\;R_{y}(t)=-f\;m\;g\;$»,
                  celle du soit finalement l'expression de l'accélération horizontale $\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du yoyo «$\;{\ddot {y}}_{G}(t)=-f\;g+{\dfrac {F}{m}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {3}}''\right)\;$» ainsi que
                             celle du soit finalement celle de l'accélération angulaire $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ du mouvement de rotation du yoyo autour de son axe $\;\left(Gx\right)\;$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {F\;r-f\;m\;g\;R}{J}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)\;$» en reportant l'expression de $\;R_{y}(t)\;$ dans la relation $\;\left({\mathfrak {2}}''\right)$.

     La condition de glissement de la bobine sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ imposant que ce glissement se fasse dans le sens de $\;{\vec {F}}\;$ se réécrit, en absence de vitesses initiales, «$\;{\dot {\overline {V_{\text{gliss}}}}}(t)={\ddot {y}}_{G}(t)+R\;{\ddot {\theta }}(t)>0\;$» c'est-à-dire, en y reportant les relations «$\;\left({\mathfrak {3}}''\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)\;$», «$\;{\dot {\overline {V_{\text{gliss}}}}}(t)=-f\;g+{\dfrac {F}{m}}+{\dfrac {F\;r\;R-f\;m\;g\;R^{\,2}}{J}}>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dot {\overline {V_{\text{gliss}}}}}(t)={\dfrac {F}{m}}\,\left(1+{\dfrac {m\;r\;R}{J}}\right)-f\;g\,\left(1+{\dfrac {m\;R^{\,2}}{J}}\right)>0\;$» soit la condition de glissement suivante «$\;F>f\;m\;g\;{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}\;$» $\;{\big (}$condition contraire de celle du roulement sans glissement${\big )}$.

     divisant les deux membres de la condition ci-dessus par $\;m\;$ puis retranchant $\;f\;g\;$ nous obtenons «$\;{\dfrac {F}{m}}-f\;g>f\;g\,\left({\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}-1\right)=f\;g\;{\dfrac {m\;R\,\left(R-r\right)}{J+m\;r\;R}}>0\;$» soit, compte-tenu du fait que «$\;{\dfrac {F}{m}}-f\;g=$ ${\ddot {y}}_{G}(t)\;$», la conséquence sur l'accélération horizontale $\;{\ddot {y}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du yoyo «$\;{\ddot {y}}_{G}(t)>f\;g\;{\dfrac {m\;R\,\left(R-r\right)}{J+m\;r\;R}}>0\;$» $\;{\big (}$établissant que $\;G\;$ se déplace dans le sens de $\;{\vec {F}}{\big )}$.

     Pour qu'il y ait enroulement du fil sur la bobine il faut que «$\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ soit $\;<0\;$» ou, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)$, «$\;F<f\;m\;g\;{\dfrac {R}{r}}\;$» laquelle doit être réalisée simultanément à la condition pour que le roulement se fasse avec glissement c'est-à-dire «$\;F>f\;m\;g\;{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}\;$», ceci n'étant possible que si «$\;{\dfrac {R}{r}}\;$ est $\;>\;$ à $\;{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}\;$» c'est-à-dire si «$\;{\dfrac {R}{r}}-{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}\;$ est $\;>0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {R\,\left(J+m\;r\;R\right)-r\,\left(J+m\;R^{\,2}\right)}{r\,\left(J+m\;r\;R\right)}}>0\;$ ou encore $\;{\dfrac {J\,\left(R-r\right)}{r\,\left(J+m\;r\;R\right)}}>0\;$» ce qui est vrai et

     pour qu'il y ait déroulement du fil sur la bobine il faut que «$\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ soit $\;>0\;$» ou, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)$, «$\;F>f\;m\;g\;{\dfrac {R}{r}}\;$» laquelle doit être réalisée simultanément à la condition pour que le roulement se fasse avec glissement c'est-à-dire «$\;F>f\;m\;g\;{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}\;$», ce qui est possible car «$\;{\dfrac {R}{r}}\;$ est $\;>\;$ à $\;{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}\;$» ;

     en conclusion « si $\;f\;m\;g\;{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}<F<f\;m\;g\;{\dfrac {R}{r}}\;$» il y a roulement avec glissement de la bobine sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ dans le sens de $\;{\vec {F}}$, le fil s'enroulant sur la bobine de façon uniformément accélérée et

     en conclusion « si $\;f\;m\;g\;{\dfrac {J+m\;R^{\,2}}{J+m\;r\;R}}<f\;m\;g\;{\dfrac {R}{r}}<F\;$» il y a roulement avec glissement de la bobine sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ dans le sens de $\;{\vec {F}}$, le fil se déroulant sur la bobine de façon uniformément accélérée.

 

Frottement solide entre deux disques en rotation

Schéma descriptif de deux disques en rotation dans un même plan autour d'axes parallèles avant la mise en contact avec frottement solide des disques entre eux

     Deux disques homogènes $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ situés dans un même plan $\;\left(xOy\right)$, tournent d’un mouvement uniforme autour de leur axe respectif $\;\Delta _{1}\;$ et $\;\Delta _{2}\;$ $\parallel \;$ à $\;Oz$, avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{1}\;$ et $\;{\vec {\Omega }}_{2}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, la rotation s'effectuant dans le sens $\;+\;$ de mesure des angles algébrisés du plan $\;\left(xOy\right)$ $\;{\Big \{}$en accord avec l'orientation de $\;{\overrightarrow {Oz}}{\Big \}}$, la liaison de chacun des disques sur l'axe autour duquel il tourne étant supposée parfaite ;

     appelant $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$ les centres des disques $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}$ $\;{\big (}$centres non indiqués sur le schéma ci-contre${\big )}$, on choisit l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\parallel \;$ à $\;\left(C_{1}C_{2}\right)\;$ et orienté de $\;C_{1}\;$ vers $\;C_{2}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ étant $\;\perp \;$ aux deux autres axes tel que $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit direct ;

     les caractéristiques respectives des disques sont leur « masse $\;m_{1}\;$ et $\;m_{2}\;$», leur « rayon $\;a_{1}\;$ et $\;a_{2}\;$», leur « moment d'inertie par rapport à leur axe $\;J_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;a_{1}^{\,2}\;$ et $\;J_{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;a_{2}^{\,2}\;$», « la distance séparant les deux axes étant supérieure à $\;a_{1}+a_{2}\;$».

     À un instant quelconque, on rapproche $\;\Delta _{2}\;$ de $\;\Delta _{1}\;$ jusqu'au contact, l'instant du contact étant choisi comme origine des temps et le contact entre les deux disques se faisant avec un cœfficient de frottement solide de glissement $\;{\big (}$dynamique et statique${\big )}\;$ «$\;f\;$».

     Exprimer le vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)\;$» en fonction des rayons et des vitesses angulaires à l'instant $\;t\;$ de chaque disque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ $\;{\big \{}$on notera $\;{\vec {\omega }}_{1}(t)\;$ et $\;{\vec {\omega }}_{2}(t)\;$ les vecteurs rotation instantanée à l'instant $\;t\;$ des disques $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}{\big \}}\;$ puis

     déduire, de l'utilisation de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement, le signe de la composante tangentielle de la réaction de $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ en fonction de celui de la composante tangentielle du vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}$ ;

     par application du théorème du moment cinétique scalaire à $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ relativement à leur axe de rotation respectif $\;\Delta _{1}\;$ et $\;\Delta _{2}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, déduire une intégrale 1^re liant les vitesses angulaires $\;\omega _{1}(t)\;$ et $\;\omega _{2}(t)\;$ puis

     montrer que l'état final de rotation des disques $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ correspond nécessairement à une absence de glissement de l'un relativement à l'autre et en déduire un lien entre les vitesses angulaires finales $\;\omega _{1,\,f}\;$ et $\;\omega _{2,\,f}\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ enfin

     exprimer ces vitesses angulaires finales $\;\omega _{1,\,f}\;$ et $\;\omega _{2,\,f}\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ en fonction de leur vitesse angulaire initiale $\;\Omega _{1}\;$ et $\;\Omega _{2}\;$ ainsi que de leur rayon $\;a_{1}\;$ et $\;a_{2}\;$ et de leur masse $\;m_{1}\;$ et $\;m_{2}$.

Solution

Vue de dessus à l'instant $\;t\;$ de deux disques en rotation dans un même plan autour d'axes parallèles après mise en contact avec représentation des forces exercées de l'un sur l'autre tenant compte du frottement solide des disques entre eux

     Le « vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ à l'instant $\;t\;$» étant défini par «$\;{\vec {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}_{1}}(t)-{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}_{2}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}_{1}}(t)={\vec {\omega }}_{1}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{1}I}}=\omega _{1}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left(a_{1}\;{\vec {u}}_{x}\right)=a_{1}\;\omega _{1}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}_{2}}(t)={\vec {\omega }}_{2}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{2}I}}=\omega _{2}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left(-a_{2}\;{\vec {u}}_{x}\right)$ $=-a_{2}\;\omega _{2}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$», nous en déduisons l'expression du vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)=\left[\omega _{1}(t)\;a_{1}+\omega _{2}(t)\;a_{2}\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$» ainsi que      celle du vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ à l'instant $\;t\;$ défini par «$\;{\vec {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{2}/{\mathcal {D}}_{1}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}_{2}}(t)-{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}_{1}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{2}/{\mathcal {D}}_{1}}(t)=-{\vec {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)=-\left[\omega _{1}(t)\;a_{1}+\omega _{2}(t)\;a_{2}\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$».

     Les disques $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ étant en rotation autour de leur axe propre, vertical, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, en liaison parfaite sur leur axe respectif, seules les forces extérieures horizontales s'exerçant sur chacun des disques sont à prendre en compte pour étudier leur mouvement de rotation propre, à savoir

• sur $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ l'action que $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ exerce sur $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ «$\;{\vec {R}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)=R_{1\,\leftarrow \,2,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+R_{1\,\leftarrow \,2,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» avec «$\;R_{1\,\leftarrow \,2,\,x}(t)<0\;$ traduisant la poussée normale exercée par $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$» et «$\;R_{1\,\leftarrow \,2,\,y}(t)\;$ de signe contraire à la composante tangentielle du vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}$ c'est-à-dire $\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)=\omega _{1}(t)\;a_{1}+\omega _{2}(t)\;a_{2}\;$» d'où «$\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)>0\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{1\,\leftarrow \,2,\,y}(t)<0\;$» $\;{\big [}$de plus le lien entre les deux composantes, si c'était nécessaire, est $\;R_{1\,\leftarrow \,2,\,y}(t)=f\;R_{1\,\leftarrow \,2,\,x}(t){\big ]}$,
• sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ l'action que $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ exerce sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ «$\;{\vec {R}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)=R_{2\,\leftarrow \,1,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+R_{2\,\leftarrow \,1,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» avec «$\;R_{2\,\leftarrow \,1,\,x}(t)>0\;$ traduisant la poussée normale exercée par $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$» et «$\;R_{2\,\leftarrow \,1,\,y}(t)\;$ de signe contraire à la composante tangentielle du vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{1}$ c'est-à-dire $\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{2}/{\mathcal {D}}_{1}}(t)=-\left[\omega _{1}(t)\;a_{1}+\omega _{2}(t)\;a_{2}\right]\;$» d'où «$\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{2}/{\mathcal {D}}_{1}}(t)<0\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{2\,\leftarrow \,1,\,y}(t)>0\;$» $\;{\big [}$de plus le lien entre les deux composantes, si c'était nécessaire, est $\;R_{2\,\leftarrow \,1,\,y}(t)=f\;R_{2\,\leftarrow \,1,\,x}(t){\big ]}$ $\;{\bigg \{}$ces résultats sont en accord avec $\;{\vec {R}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)=-{\vec {R}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\begin{array}{c}R_{2\,\leftarrow \,1,\,x}(t)=-R_{1\,\leftarrow \,2,\,x}(t)=R_{n}(t)\\R_{2\,\leftarrow \,1,\,y}(t)=-R_{1\,\leftarrow \,2,\,y}(t)=R_{\tau }(t)\end{array}}\right]\;$ avec $\;R_{\tau }(t)=f\;R_{n}(t)$, de plus $\;R_{n}\;$ est indépendante de $\;t\;$ dans la mesure où la poussée normale d'un disque sur l'autre reste la même $\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{\tau }=f\;R_{n}\;$ reste constante tant qu'il y a glissement d'un disque sur l'autre${\bigg \}}$.

     Application du théorème du moment cinétique scalaire à${\underline {\;{\mathcal {D}}_{1}\;}}$relativement à${\underline {\;\Delta _{1}\;}}$fixe dans${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}}$galiléen : «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{1},\,{\text{ext. à}}\,{\mathcal {D}}_{1}}(t)=J_{1}\;{\dot {\omega }}_{1}(t)\;$» avec «$\;J_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;a_{1}^{\,2}\;$ le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ relativement à $\;\Delta _{1}\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{1},\,{\text{ext. à}}\,{\mathcal {D}}_{1}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta _{1}}\!\left[{\vec {R}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\right]={\mathcal {M}}_{\Delta _{1}}\!\left[R_{1\,\leftarrow \,2,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{1}}\!\left[R_{1\,\leftarrow \,2,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\right]=-R_{\tau }\;a_{1}\;$ le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ relativement à $\;\Delta _{1}\;$» $\;{\big \{}$en effet le bras de levier de $\;R_{1\,\leftarrow \,2,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant nul d'une part et $\;R_{1\,\leftarrow \,2,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ tendant à faire tourner $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier égal à $\;a_{1}\;$ d'autre part${\big \}}\;$ d'où «$\;-R_{\tau }\;a_{1}={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;a_{1}^{\,2}\;{\dot {\omega }}_{1}(t)\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;a_{1}\;{\dot {\omega }}_{1}(t)=-R_{\tau }=-f\;R_{n}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ tant qu'il y a glissement » ;      application du théorème du moment cinétique scalaire à${\underline {\;{\mathcal {D}}_{2}\;}}$relativement à${\underline {\;\Delta _{2}\;}}$fixe dans${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}}$galiléen : «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{2},\,{\text{ext. à}}\,{\mathcal {D}}_{2}}(t)=J_{2}\;{\dot {\omega }}_{2}(t)\;$» avec «$\;J_{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;a_{2}^{\,2}\;$ le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ relativement à $\;\Delta _{2}\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{2},\,{\text{ext. à}}\,{\mathcal {D}}_{2}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta _{2}}\!\left[{\vec {R}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\right]={\mathcal {M}}_{\Delta _{2}}\!\left[R_{2\,\leftarrow \,1,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{2}}\!\left[R_{2\,\leftarrow \,1,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\right]=-R_{\tau }\;a_{2}\;$ le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ relativement à $\;\Delta _{2}\;$» $\;{\big \{}$en effet le bras de levier de $\;R_{2\,\leftarrow \,1,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant nul d'une part et $\;R_{2\,\leftarrow \,1,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ tendant à faire tourner $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier égal à $\;a_{2}\;$ d'autre part${\big \}}\;$ d'où «$\;-R_{\tau }\;a_{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;a_{2}^{\,2}\;{\dot {\omega }}_{2}(t)\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;a_{2}\;{\dot {\omega }}_{2}(t)=-R_{\tau }=-f\;R_{n}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ tant qu'il y a glissement » ;      déduction d'une intégrale 1^re liant les vitesses angulaires de${\underline {\;{\mathcal {D}}_{1}\;}}$et${\underline {\;{\mathcal {D}}_{2}}}$ : pour cela nous formons la C.L. «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;a_{1}\;{\dot {\omega }}_{1}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;a_{2}\;{\dot {\omega }}_{2}(t)=0\;$ ou $\;{\dfrac {d\left(m_{1}\;a_{1}\;\omega _{1}-m_{2}\;a_{2}\;\omega _{2}\right)}{dt}}(t)=0\;$» qui s'intègre en «$\;m_{1}\;a_{1}\;\omega _{1}(t)-m_{2}\;a_{2}\;\omega _{2}(t)=cste\;$ tant qu'il y a glissement » soit, en utilisant les C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega _{1}(0)=\Omega _{1}\\\omega _{2}(0)=\Omega _{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;cste=m_{1}\;a_{1}\;\Omega _{1}-m_{2}\;a_{2}\;\Omega _{2}\;$» d'où la réécriture de l'intégrale 1^re cherchée «$\;m_{1}\;a_{1}\;\omega _{1}(t)-m_{2}\;a_{2}\;\omega _{2}(t)=m_{1}\;a_{1}\;\Omega _{1}-m_{2}\;a_{2}\;\Omega _{2}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».

     Caractérisation de l'état final de rotation des disques : tant que le disque $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ glisse sur le disque $\;{\mathcal {D}}_{2}$, la vitesse angulaire du 1^er dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, «$\;\omega _{1}(t)\;$» obéit à l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;a_{1}\;{\dot {\omega }}_{1}(t)=-f\;R_{n}\;$ $\Rightarrow$ $\;\omega _{1}(t)=-{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{1}\;a_{1}}}\;t+cste_{1}\;$» soit, en utilisant la « C.I. $\;\omega _{1}(0)=\Omega _{1}\;$» «$\;\omega _{1}(t)=\Omega _{1}-{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{1}\;a_{1}}}\;t\;$ valable tant qu'il y a glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$» et

     Caractérisation de l'état final de rotation des disques : tant que le disque $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ glisse sur le disque $\;{\mathcal {D}}_{1}$, la vitesse angulaire du 1^er dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, «$\;\omega _{2}(t)\;$» obéit à l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;a_{2}\;{\dot {\omega }}_{2}(t)=-f\;R_{n}\;$ $\Rightarrow$ $\;\omega _{2}(t)=-{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{2}\;a_{2}}}\;t+cste_{2}\;$» soit, en utilisant la « C.I. $\;\omega _{2}(0)=\Omega _{2}\;$» «$\;\omega _{2}(t)=\Omega _{2}-{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{2}\;a_{2}}}\;t\;$ valable tant qu'il y a glissement de $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$»,

     Caractérisation de l'état final de rotation des disques : la composante tangentielle du « vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ à l'instant $\;t\;$» «$\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)=\omega _{1}(t)\;a_{1}+\omega _{2}(t)\;a_{2}\;$» se réécrit, tant que le glissement perdure, «$\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)=\left[\Omega _{1}\;a_{1}+\Omega _{2}\;a_{2}\right]-\left[{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{1}}}+{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{2}}}\right]\,t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t)\searrow \;$ linéairement et atteint la valeur nulle $\;{\big \{}$donc l'absence de glissement${\big \}}\;$ à l'instant $\;t_{\text{non gliss.}}=$ ${\dfrac {\Omega _{1}\;a_{1}+\Omega _{2}\;a_{2}}{{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{1}}}+{\dfrac {2\;f\;R_{n}}{m_{2}}}}}={\dfrac {\Omega _{1}\;a_{1}+\Omega _{2}\;a_{2}}{2\;f\;R_{n}}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$», la durée de glissement étant donc d'autant plus courte que la poussée normale $\;R_{n}\;$ des disques entre eux est grande.

     Expression des vitesses angulaires finales${\underline {\;\omega _{1,\,f}\;}}$et${\underline {\;\omega _{2,\,f}\;}}$de${\underline {\;{\mathcal {D}}_{1}\;}}$et${\underline {\;{\mathcal {D}}_{2}}}$ : pour ces valeurs de vitesses angulaires la composante tangentielle du vecteur vitesse de glissement de $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ sur $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ devant être nulle, nous en déduisons «$\;{\overline {V}}_{{\text{gliss.}}\,{\mathcal {D}}_{1}/{\mathcal {D}}_{2}}(t_{\text{non gliss.}})=\omega _{1,\,f}\;a_{1}+\omega _{2,\,f}\;a_{2}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\omega _{2,\,f}=-{\dfrac {a_{1}}{a_{2}}}\;\omega _{1,\,f}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» $\;{\big \{}$dans l'état final les disques tournent en sens inverse l'un de l'autre${\big \}}\;$ soit,

           Expression des vitesses angulaires finales ω1,f et ω2,f de D1 et D2 : en reportant $\;\omega _{2,\,f}\;$ en fonction de $\;\omega _{1,\,f}\;$ tirée de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ dans l'intégrale 1^re liant les vitesses angulaires des deux disques $\;{\big \{}$que le roulement se fasse avec ou sans glissement${\big \}}\;$ «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;m_{1}\;a_{1}\;\omega _{1}(t)-m_{2}\;a_{2}\;\omega _{2}(t)=m_{1}\;a_{1}\;\Omega _{1}-m_{2}\;a_{2}\;\Omega _{2}\;$», nous obtenons «$\;m_{1}\;a_{1}\;\omega _{1,\,f}+m_{2}\;a_{1}\;\omega _{1,\,f}=m_{1}\;a_{1}\;\Omega _{1}-m_{2}\;a_{2}\;\Omega _{2}\;$» et par suite les expressions des vitesses angulaires finales des disques $\;{\mathcal {D}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {D}}_{2}\;$ «$\;\omega _{1,\,f}={\dfrac {m_{1}\;a_{1}\;\Omega _{1}-m_{2}\;a_{2}\;\Omega _{2}}{a_{1}\,\left(m_{1}+m_{2}\right)}}\;$» et
«$\;\omega _{2,\,f}=-{\dfrac {a_{1}}{a_{2}}}\;\omega _{1,\,f}=-{\dfrac {m_{1}\;a_{1}\;\Omega _{1}-m_{2}\;a_{2}\;\Omega _{2}}{a_{2}\,\left(m_{1}+m_{2}\right)}}\;$».

     Remarque : Cet exercice a été traité dans le cadre de la mécanique pure, c'est-à-dire sans tenir compte de la chaleur produite lors du frottement d'un disque sur l'autre, chaleur qui correspond nécessairement à une transformation d'énergie cinétique macroscopique de chaque disque en énergie cinétique microscopique d'agitation thermique des atomes de ces disques d'où des valeurs de vitesses angulaires finales plus faibles en valeur absolue que celles obtenues dans le cadre de la mécanique pure ;
     Remarque : pour tenir compte de cette chaleur produite il faudrait faire une étude énergétique dans le cadre de la thermodynamique, ce qui n'était pas l'objet de cet exercice $\;\ldots$

 

Barre homogène glissant à proximité d'un coin de table horizontale

Barre $\;AB\;$ homogène glissant sur un coin de table horizontale, en l'extrémité $\;A\;$ le glissement se faisant avec frottement solide et au bord ponctuel $\;O\;$ de la table le glissement se faisant sans frottement

     Considérant une barre $\;AB$ supposée linéique, homogène, de masse $\;m$, de longueur $\;{\mathit {l}}\;$ et de C.D.I. $\;G$, telle que ses seuls points de contact avec la table horizontale sur laquelle elle glisse, sont l'extrémité $\;A\;$ où il y a glissement avec frottement solide $\;{\big (}$dont le coefficient de frottement de glissement dynamique est $\;f\;$${\big )}\;$ et le coin ponctuel $\;O\;$ de table où le glissement se fait sans frottement $\;{\Big (}$voir schéma ci-contre, la barre glissant selon l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ orienté dans le sens de $\;A\;$ vers $\;B{\Big )}$ ;

     l'étude est faite dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la table et supposé galiléen, le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ étant uniforme d'intensité $\;g$.

     La barre étant lancée d'une position où son extrémité $\;B\;$ se trouve à une « distance $\;X_{0}\;$ à droite de $\;O\;$» avec un «vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;\parallel \;$ à $\;AB\;$ et de sens de $\;A\;$ vers $\;B\;$», nous nous proposons de déterminer dans quelle mesure la barre $\;AB\;$ pourrait basculer

• tout d'abord dans le cadre de l'étude envisagée c'est-à-dire « en ne considérant le frottement solide qu'en $\;A\;$»
• puis « en envisageant le frottement solide sur toute la partie $\;AO\;$».

Condition sur la vitesse initiale de la barre pour que celle-ci ne bascule pas en glissant avec frottement solide en A

     Déterminer pour quelles valeurs de $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}\;$ il n’y a pas basculement de la barre $\;AB\;$ lors du glissement de cette dernière sur la table horizontale avec frottement solide en $\;A\;$ et absence de frottement en $\;O$ $\;{\bigg [}$on posera $\;{\dfrac {X_{0}}{\mathit {l}}}=a{\bigg ]}$.

Solution

Forces extérieures appliquées à une barre $\;AB\;$ homogène glissant sur un coin de table horizontale, en l'extrémité $\;A\;$ le glissement se faisant avec frottement solide et au bord ponctuel $\;O\;$ de la table le glissement se faisant sans frottement

     Soit un repère cartésien direct associé au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la table et supposé galiléen «$\;\left\lbrace O\,,\,{\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$», «$\;O\;$ étant le coin ponctuel de la table horizontale », «$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ l'axe horizontal le long de la barre $\;AB\;$ orientée de $\;A\;$ vers $\;B\;$», «$\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ l'axe vertical ascendant » et «$\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ l'axe horizontal $\;\perp \;$ au plan vertical contenant la barre $\;AB\;$ et s'enfonçant dans ce plan tel que ce sens oriente les angles algébrisés du plan de la figure dans le sens horaire ».

     Les forces extérieures appliquées à la barre $\;AB\;$ représentées à l'instant $\;t\;$ sur le schéma ci-contre sont :

• son poids «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué au C.D.I. $\;G\;$ de la barre $\;{\big \{}$la barre étant homogène $\;G\;$ est au milieu de $\;AB{\big \}}$,
• la réaction du coin de table sur la barre, $\;\perp \;$ à la table en absence de frottement, «$\;{\vec {R}}=R\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliquée en $\;O\;$ avec $\;R>0\;$ car $\;{\vec {R}}\;$ s'oppose à la pénétration de la barre dans la table et
• la réaction de la table sur la barre s'exerçant en $\;A\;$ avec frottement solide «$\;{\vec {N}}+{\vec {T}}=N_{z}\;{\vec {u}}_{z}+T_{x}\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec $\;N_{z}\geqslant 0$ $\;{\Big \{}{\vec {N}}\;$ s'opposant à la pénétration de $\;A\;$ dans la table${\Big \}}\;$ et $\;T_{x}\leqslant 0$ $\;{\Big \{}A\;$ se déplaçant vers la droite $\;{\big (}$ou tendant à se déplacer vers la droite de par son lancement${\big )}{\Big \}}$, liée à $\;N_{z}\;$ en cas de glissement effectif par $\;T_{x}=-f\;N_{z}$ $\;{\Big \{}$et en cas d'absence de glissement par $\;T_{x}=-\vert T_{x}\vert \;$ avec $\;\vert T_{x}\vert <f\;N_{z}{\Big \}}$.

     L'application du théorème du moment cinétique scalaire à la barre $\;AB\;$ relativement à l'axe $\;\left(Oy\right)\;$ fixe dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la table $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right),\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\left(Oy\right),\,AB}}{dt}}(t)\;$» avec, en absence de basculement, «$\;\sigma _{\left(Oy\right),\,AB}(t)=0\;$» ainsi que «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right),\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {N}}(t)+{\vec {T}}(t)\right]=m\;g\,\left[X(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\right]+N_{z}(t)\,\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]\;$» $\;{\bigg \{}$d'une part «$\;m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;-\;$ si $\;{\overline {OG}}(t)=$ $X(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ est $\;<0$ $\;{\big [}$dans le sens $\;+\;$ si $\;{\overline {OG}}(t)\;$ est $\;>0{\big ]}$, $\;{\Big \vert }{\overline {OG}}(t){\Big \vert }\;$ étant son bras de levier », d'autre part «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {N}}(t)+{\vec {T}}(t)\right]={\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {N}}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {T}}(t)\right]=$ $N_{z}(t)\;OA(t)$, $\;{\vec {N}}(t)\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier égal à $\;AO(t)={\mathit {l}}-X(t)\;$ et le bras de levier de $\;{\vec {T}}(t)\;$ étant nul », enfin «$\;{\vec {R}}(t)\;$ étant de bras de levier nul »${\bigg \}}$, d'où en absence de basculement «$\;m\;g\,\left[X(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\right]+N_{z}(t)\,\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» et
nous déduisons de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}N_{z}(t)\geqslant 0\\X(t)\leqslant {\mathit {l}}\end{array}}\right\rbrace \;$» «$\;X(t)\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ c'est-à-dire $\;G\;$ à la verticale de la table » ;      l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à la barre $\;AB\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la table $\Rightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\;$» avec, en absence de basculement, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dot {x}}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» ainsi que «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=$ $m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)+{\vec {N}}(t)+{\vec {T}}(t)=T_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\left[-m\;g+R(t)+N_{z}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» d'où en absence de basculement, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l c c}T_{x}(t)\!\!&=&\!\!m\;{\ddot {x}}_{G}(t)\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {2}}\right)\\N_{z}(t)+R(t)\!\!&=&\!\!m\;g\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» et,
s'il y a glissement, la réécriture de $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ selon «$\;-f\;N_{z}(t)=m\;{\ddot {x}}_{G}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$».      De la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ nous déduisons «$\;N_{z}(t)=m\;g\;{\dfrac {{\dfrac {\mathit {l}}{2}}-X(t)}{{\mathit {l}}-X(t)}}\;$» $\;{\big (}$en absence de basculement${\big )}\;$ que nous reportons dans l'équation $\;\left({\mathfrak {2'}}\right)\;$ soit «$\;m\;{\ddot {x}}_{G}(t)=-f\;m\;g\;{\dfrac {{\dfrac {\mathit {l}}{2}}-X(t)}{{\mathit {l}}-X(t)}}\;$» ou, avec «$\;X(t)={\overline {OB}}(t)=$ ${\overline {OG}}[t)+{\overline {GB}}(t)=x_{G}(t)+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$», «$\;m\;{\ddot {x}}_{G}(t)=-f\;m\;g\;{\dfrac {{\dfrac {\mathit {l}}{2}}-x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}{{\mathit {l}}-x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}=-f\;m\;g\;{\dfrac {x_{G}(t)}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\;$» soit finalement l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {2}}''\right)\;{\text{:}}\;{\ddot {x}}_{G}(t)=-f\;g\,\left[1+{\dfrac {\dfrac {\mathit {l}}{2}}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\right]\;$»
non linéaire du 2^ème ordre en $\;x_{G}(t)$ $\;{\big [}$nécessitant un glissement vers la droite c'est-à-dire $\;{\dot {x}}_{G}(t)>0{\big ]}$ ;      pour intégrer une 1^re fois par rapport à $\;t\;$ l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}''\right)\;$ ci-dessus, nous multiplions chaque membre par $\;{\dot {x}}_{G}(t)\neq 0\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {x}}_{G}(t)\;{\dot {x}}_{G}(t)=-f\;g\,\left[{\dot {x}}_{G}(t)+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;{\dfrac {{\dot {x}}_{G}(t)}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\right]\;$» dans laquelle «$\;{\ddot {x}}_{G}(t)\;{\dot {x}}_{G}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d\,{\dot {x}}_{G}^{\,2}}{dt}}(t)\;$» et «$\;{\dfrac {{\dot {x}}_{G}(t)}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}={\dfrac {d\!\left[\ln \!{\bigg \vert }x_{G}-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}{\bigg \vert }\right]}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {x}}_{G}^{\,2}\right]_{V_{0}}^{V_{G}(t)}=-f\;g\,\left[x_{G}+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;\ln \!{\bigg \vert }x_{G}-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}{\bigg \vert }\right]_{X_{0}-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{X(t)-{\frac {\mathit {l}}{2}}}\;$» soit «$\;V_{G}^{\,2}(t)-V_{0}^{\,2}=-2\;f\;g\,\left[X(t)-X_{0}\right]-f\;g\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X(t)}{{\mathit {l}}-X_{0}}}\right]\;$» et finalement, tant qu'il n'y a ni basculement ni arrêt de glissement, l'expression de la vitesse de la barre à l'instant $\;t\;$ en fonction de son positionnement s'écrit selon «$\;V_{G}(t)={\sqrt {V_{0}^{\,2}-2\;f\;g\,\left[X(t)-X_{0}\right]+f\;g\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X(t)}}\right]}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$»,
c'est-à-dire une fonction $\;\searrow \;$ de $\;X\;$ car $\;{\dfrac {dV_{G}^{\,2}}{dX}}=-2\;f\;g-f\;g\;{\mathit {l}}\;{\dfrac {-1}{{\mathit {l}}-X}}=-2\;f\;g\;{\dfrac {{\mathit {l}}-2\;X}{{\mathit {l}}-X}}<0\;$ ;      il n'y aura pas basculement de la barre $\;AB\;$ si la vitesse de celle-ci s'annule en $\;X_{1}\leqslant {\dfrac {l}{2}}\;$ définie par «$\;V_{0}^{\,2}-2\;f\;g\,\left[X_{1}-X_{0}\right]+f\;g\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X_{1}}}\right]=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{f\;g}}=2\,\left[X_{1}-X_{0}\right]-{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X_{1}}}\right]\;$» dans laquelle le « 2^nd membre $\;2\,\left[X-X_{0}\right]-{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X}}\right]\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;X\;$» variant de «$\;0\;$» à «$\;2\,\left[{\dfrac {\mathit {l}}{2}}-X_{0}\right]-{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\right]={\mathit {l}}\,\left[1-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}-\ln \!\left(2-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}\right)\right]\;$» et dont nous déduisons la nécessité que «$\;{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{f\;g}}>0\;$ soit $\leqslant \max \limits _{X\,\in \,\left[X_{0}\,,\,{\frac {\mathit {l}}{2}}\right]}\!\left\lbrace 2\,\left[X-X_{0}\right]-{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X}}\right]\right\rbrace \;$ pour qu'il y ait une solution $\;X_{1}\;$» c'est-à-dire «$\;{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{f\;g}}\leqslant {\mathit {l}}\,\left[1-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}-\ln \!\left(2-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}\right)\right]\;$» soit, en posant «$\;{\dfrac {X_{0}}{\mathit {l}}}=a\;$», la condition de vitesse initiale de la barre $\;AB\;$ pour que celle-ci s'arrête de glisser avant que son C.D.I. $\;G\;$ n'atteigne le bord $\;O\;$ de la table et par suite ne bascule pas «$\;V_{0}\leqslant {\sqrt {f\;g\;{\mathit {l}}\,\left[1-2\;a-\ln(2)-\ln \!\left(1-a\right)\right]}}\;$».

 

Condition sur la vitesse initiale de la barre pour que celle-ci ne bascule pas en glissant avec frottement solide tout le long du contact de la barre avec la table

     Reprendre la question précédente en supposant que la barre $\;AB\;$ est en contact avec la table sur toute la longueur $\;AO\;$ et que le glissement se fait avec frottement solide $\;{\big (}$dont le coefficient de frottement de glissement dynamique est $\;f\;$${\big )}\;$ sur tout ce contact ;

     commenter le résultat.

Solution

Forces extérieures appliquées à une barre $\;AB\;$ homogène glissant sur un coin de table horizontale, au bord ponctuel $\;O\;$ de la table le glissement se faisant sans frottement et sur la portion $\;AO\;$ de la barre le glissement se faisant avec frottement solide également réparti sur $\;AO$

     Les forces extérieures appliquées à la barre $\;AB\;$ représentées à l'instant $\;t\;$ sur le schéma ci-contre sont :

• son poids «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué au C.D.I. $\;G\;$ de la barre $\;{\big \{}$la barre étant homogène $\;G\;$ est au milieu de $\;AB{\big \}}$,
• la réaction du coin de table sur la barre, $\;\perp \;$ à la table en absence de frottement, «$\;{\vec {R}}=R\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliquée en $\;O\;$ avec $\;R>0\;$ car $\;{\vec {R}}\;$ s'oppose à la pénétration de la barre dans la table et
• les réactions de la table sur la barre s'exerçant sur tout élément de longueur $\;dx\;$ centré en $\;M\left(x\right)\;$ de la portion $\;\left[AO\right]\;$ de la barre avec frottement solide «$\;{\vec {N}}_{\mathit {l}}\;dx+{\vec {T}}_{\mathit {l}}\;dx=N_{{\mathit {l}},\,z}\;dx\;\;{\vec {u}}_{z}+T_{{\mathit {l}},\,x}\;dx\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec $\;N_{{\mathit {l}},\,z}\;$ indépendant de $\;x\;$ et $\;\geqslant 0$ $\;{\Big \{}{\vec {N}}_{\mathit {l}}\;dx\;$ s'opposant à la pénétration de l'élément de longueur $\;dx\;$ centré en $\;M\left(x\right)\;$ dans la table${\Big \}}\;$ et $\;T_{{\mathit {l}},\,x}\leqslant 0$ $\;{\Big \{}$l'élément de longueur $\;dx\;$ centré en $\;M\left(x\right)\;$ se déplaçant vers la droite $\;{\big (}$ou tendant à se déplacer vers la droite de par son lancement${\big )}{\Big \}}$, liée à $\;N_{{\mathit {l}},\,z}\;$ en cas de glissement effectif par $\;T_{{\mathit {l}},\,x}=-f\;N_{{\mathit {l}},\,z}$ $\;{\big (}$comme $\;N_{{\mathit {l}},\,z}\;$ indépendant de $\;x\;$il en est de même de $\;T_{{\mathit {l}},\,x}{\big )}$ $\;{\Big \{}$et en cas d'absence de glissement par $\;T_{{\mathit {l}},\,x}=$ $-\vert T_{{\mathit {l}},\,x}\vert \;$ avec $\;\vert T_{{\mathit {l}},\,x}\vert <f\;N_{{\mathit {l}},\,z}{\Big \}}$.

     L'application du théorème du moment cinétique scalaire à la barre $\;AB\;$ relativement à l'axe $\;\left(Oy\right)\;$ fixe dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la table $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right),\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\left(Oy\right),\,AB}}{dt}}(t)\;$» avec, en absence de basculement, «$\;\sigma _{\left(Oy\right),\,AB}(t)=0\;$» ainsi que «$\;{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right),\,{\text{ext}}}(t)=$ ${\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+\displaystyle \int _{x\,=\,-{\mathcal {l}}+X(t)}^{x\,=\,0}{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {N}}_{\mathit {l}}(t)\;dx+{\vec {T}}_{\mathit {l}}(t)\;dx\right]=m\;g\,\left[X(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\right]+N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\;{\dfrac {\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]^{2}}{2}}=m\;g\,\left[X(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\right]+N_{z}(t)\;{\dfrac {{\mathit {l}}-X(t)}{2}}\;$» avec «$\;N_{z}(t)=N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\;\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]\;$ la résultante des composantes normales que la table exerce sur $\;AO\;$» $\;{\bigg \{}$d'une part «$\;m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;-\;$ si $\;{\overline {OG}}(t)=$ $X(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ est $\;<0$ $\;{\big [}$dans le sens $\;+\;$ si $\;{\overline {OG}}(t)\;$ est $\;>0{\big ]}$, $\;{\Big \vert }{\overline {OG}}(t){\Big \vert }\;$ étant son bras de levier », d'autre part «$\;\displaystyle \int _{x\,=\,-{\mathcal {l}}+X(t)}^{x\,=\,0}{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {N}}_{\mathit {l}}(t)\;dx+{\vec {T}}_{\mathit {l}}(t)\;dx\right]=\displaystyle \int _{x\,=\,-{\mathcal {l}}+X(t)}^{x\,=\,0}{\mathcal {M}}_{\left(Oy\right)}\!\left[{\vec {N}}_{\mathit {l}}(t)\;dx\right]=$ $N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\,\left[-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right]_{-{\mathcal {l}}+X(t)}^{0}$ $=N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\;{\dfrac {\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]^{2}}{2}}$, $\;{\vec {N}}_{\mathit {l}}(t)\;dx\;$ tendant à faire tourner $\;AB\;$ dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier égal à $\;OM=-x\;$ et le bras de levier de $\;{\vec {T}}_{\mathit {l}}(t)\;dx\;$ étant nul », enfin «$\;{\vec {R}}(t)\;$ étant de bras de levier nul »${\bigg \}}$, d'où en absence de basculement «$\;m\;g\,\left[X(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\right]+N_{z}(t)\;{\dfrac {{\mathit {l}}-X(t)}{2}}=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$» avec
«$\;N_{z}(t)=\displaystyle \int _{x\,=\,-{\mathcal {l}}+X(t)}^{x\,=\,0}N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\;dx=N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\;\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]\;$ la résultante des composantes normales que la table exerce sur $\;AO\;$»,
nous déduisons de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}N_{z}(t)\geqslant 0\\X(t)\leqslant {\mathit {l}}\end{array}}\right\rbrace \;$» «$\;X(t)\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ c'est-à-dire $\;G\;$ à la verticale de la table » ;      l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à la barre $\;AB\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la table $\Rightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\;$» avec, en absence de basculement, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dot {x}}_{G}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» ainsi que «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=$ $m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)+\displaystyle \int _{x\,=\,-{\mathcal {l}}+X(t)}^{x\,=\,0}\left[{\vec {N}}_{\mathit {l}}(t)\;dx+{\vec {T}}_{\mathit {l}}(t)\;dx\right]=T_{{\mathit {l}},\,x}(t)\,\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace -m\;g+R(t)+N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\,\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\;$» d'où, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}N_{z}(t)=N_{{\mathit {l}},\,z}(t)\;\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]\\T_{x}(t)=T_{{\mathit {l}},\,x}(t)\;\left[{\mathit {l}}-X(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ les résultantes des composantes normales et tangentielles que la table exerce sur $\;AO\;$», en absence de basculement, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l c c}T_{x}(t)\!\!&=&\!\!m\;{\ddot {x}}_{G}(t)\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {2}}\right)\\N_{z}(t)+R(t)\!\!&=&\!\!m\;g\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» et,
s'il y a glissement, la réécriture de $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ selon «$\;-f\;N_{z}(t)=m\;{\ddot {x}}_{G}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$».      De la relation $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ nous déduisons «$\;N_{z}(t)=m\;g\;{\dfrac {{\mathit {l}}-2\;X(t)}{{\mathit {l}}-X(t)}}\;$» $\;{\big (}$en absence de basculement${\big )}\;$ que nous reportons dans l'équation $\;\left({\mathfrak {2'}}\right)\;$ soit «$\;m\;{\ddot {x}}_{G}(t)=-f\;m\;g\;{\dfrac {{\mathit {l}}-2\;X(t)}{{\mathit {l}}-X(t)}}\;$» ou, avec «$\;X(t)={\overline {OB}}(t)=$ ${\overline {OG}}[t)+{\overline {GB}}(t)=x_{G}(t)+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$», «$\;m\;{\ddot {x}}_{G}(t)=-f\;m\;g\;{\dfrac {{\mathit {l}}-2\;x_{G}(t)-{\mathit {l}}}{{\mathit {l}}-x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}=-2\;f\;m\;g\;{\dfrac {x_{G}(t)}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\;$» soit finalement l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)\;{\text{:}}\;{\ddot {x}}_{G}(t)=-2\;f\;g\,\left[1+{\dfrac {\dfrac {\mathit {l}}{2}}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\right]\;$»
non linéaire du 2^ème ordre en $\;x_{G}(t)$ $\;{\big [}$nécessitant un glissement vers la droite c'est-à-dire $\;{\dot {x}}_{G}(t)>0{\big ]}$ ;      pour intégrer une 1^re fois par rapport à $\;t\;$ l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)\;$ ci-dessus, nous multiplions chaque membre par $\;{\dot {x}}_{G}(t)\neq 0\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {x}}_{G}(t)\;{\dot {x}}_{G}(t)=-2\;f\;g\,\left[{\dot {x}}_{G}(t)+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;{\dfrac {{\dot {x}}_{G}(t)}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\right]\;$» dans laquelle «$\;{\ddot {x}}_{G}(t)\;{\dot {x}}_{G}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d\,{\dot {x}}_{G}^{\,2}}{dt}}(t)\;$» et «$\;{\dfrac {{\dot {x}}_{G}(t)}{x_{G}(t)-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}={\dfrac {d\!\left[\ln \!{\bigg \vert }x_{G}-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}{\bigg \vert }\right]}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {x}}_{G}^{\,2}\right]_{V_{0}}^{V_{G}(t)}=-2\;f\;g\,\left[x_{G}+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;\ln \!{\bigg \vert }x_{G}-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}{\bigg \vert }\right]_{X_{0}-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{X(t)-{\frac {\mathit {l}}{2}}}\;$» soit «$\;V_{G}^{\,2}(t)-V_{0}^{\,2}=-4\;f\;g\,\left[X(t)-X_{0}\right]-2\;f\;g\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X(t)}{{\mathit {l}}-X_{0}}}\right]\;$» et finalement, tant qu'il n'y a ni basculement ni arrêt de glissement, l'expression de la vitesse de la barre à l'instant $\;t\;$ en fonction de son positionnement s'écrit selon «$\;V_{G}(t)={\sqrt {V_{0}^{\,2}-4\;f\;g\,\left[X(t)-X_{0}\right]+2\;f\;g\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X(t)}}\right]}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$»,
c'est-à-dire une fonction $\;\searrow \;$ de $\;X\;$ car $\;{\dfrac {dV_{G}^{\,2}}{dX}}=-4\;f\;g-2\;f\;g\;{\mathit {l}}\;{\dfrac {-1}{{\mathit {l}}-X}}=-4\;f\;g\;{\dfrac {{\mathit {l}}-2\;X}{{\mathit {l}}-X}}<0\;$ ;      il n'y aura pas basculement de la barre $\;AB\;$ si la vitesse de celle-ci s'annule en $\;X_{2}\leqslant {\dfrac {l}{2}}\;$ définie par «$\;V_{0}^{\,2}-4\;f\;g\,\left[X_{2}-X_{0}\right]+2\;f\;g\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X_{2}}}\right]=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{f\;g}}=4\,\left[X_{2}-X_{0}\right]-2\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X_{2}}}\right]\;$» dans laquelle le « 2^nd membre $\;4\,\left[X-X_{0}\right]-2\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X}}\right]\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;X\;$» variant de «$\;0\;$» à «$\;4\,\left[{\dfrac {\mathit {l}}{2}}-X_{0}\right]-2\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}}}\right]=2\;{\mathit {l}}\,\left[1-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}-\ln \!\left(2-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}\right)\right]\;$» et dont nous déduisons la nécessité que «$\;{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{f\;g}}>0\;$ soit $\leqslant \max \limits _{X\,\in \,\left[X_{0}\,,\,{\frac {\mathit {l}}{2}}\right]}\!\left\lbrace 4\,\left[X-X_{0}\right]-2\;{\mathit {l}}\;\ln \!\left[{\dfrac {{\mathit {l}}-X_{0}}{{\mathit {l}}-X}}\right]\right\rbrace \;$ pour qu'il y ait une solution $\;X_{2}\;$» c'est-à-dire «$\;{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{f\;g}}\leqslant 2\;{\mathit {l}}\,\left[1-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}-\ln \!\left(2-{\dfrac {2\;X_{0}}{\mathit {l}}}\right)\right]\;$» soit, en posant «$\;{\dfrac {X_{0}}{\mathit {l}}}=a\;$», la condition de vitesse initiale de la barre $\;AB\;$ pour que celle-ci s'arrête de glisser avant que son C.D.I. $\;G\;$ n'atteigne le bord $\;O\;$ de la table et par suite ne bascule pas «$\;V_{0}\leqslant {\sqrt {2\;f\;g\;{\mathit {l}}\,\left[1-2\;a-\ln(2)-\ln \!\left(1-a\right)\right]}}\;$».

     Commentaire : Cette valeur limite est plus grande $\;{\big \{}$plus exactement $\;{\sqrt {2}}\;$ fois plus grande${\big \}}$, ce qui était prévisible dans la mesure où le frottement se faisant sur une plus grande surface avec un même cœfficient de frottement solide, le freinage est plus efficace, ce qui permet un lancement avec une vitesse initiale plus grande sans que ce lancer se termine par un basculement.

 

Oscillations horizontales d'un trapèze autour d'un axe vertical passant par son centre d'inertie

Schéma descriptif d'un trapèze $\;{\big (}$barre $\;AB\;$ homogène suspendue à deux fils idéaux${\big )}\;$ oscillant horizontalement autour d'un axe vertical passant par son C.D.I. $\;G$

     Considérant le trapèze $\;O_{1}ABO_{2}$ $\;{\big [}$c'est-à-dire une barre homogène, $\;AB\;$ de masse $\;m$, de longueur $\;2\;a$, suspendue en ses extrémités $\;A\;$ et $\;B\;$ par deux fils idéaux de même longueur $\;a\;$ respectivement attachés à deux points $\;O_{1}\;$ et $\;O_{2}\;$ séparés de $\;2\;a\;$ d'une même horizontale${\big ]}\;$ représenté ci-contre dans sa position d'équilibre $\;O_{1}A_{0}B_{0}O_{2}$, $\;G_{0}\;$ y étant la position de son C.D.I., ainsi que dans une position quelconque correspondant au mouvement souhaité ;

     pour obtenir ce dernier, nous écartons $\;AB\;$ de sa position d'équilibre de façon à ce que le C.D.I. $\;G\;$ du trapèze reste sur la verticale de $\;G_{0}$, les fils restant tendus, et lâchons la barre sans vitesse initiale, le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ étant uniforme d'intensité $\;g$ ;

     le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ liée aux points d'attache $\;O_{1}\;$ et $\;O_{2}\;$ étant galiléen, nous supposons que la barre reste horizontale et que $\;G\;$ reste sur la verticale de $\;G_{0}$, la position de la barre étant repérée par la cote $\;z_{G}={\overline {G_{0}G}}\;$ de son C.D.I. $\;G\;$ ainsi que par son abscisse angulaire $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {A_{0}B_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {AB}}\right)}}$, l'axe vertical passant par $\;G_{0}\;$ étant orienté par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire vertical ascendant, lequel oriente également les angles algébriques de tout plan horizontal dans le sens antihoraire $\;{\big (}$sur le schéma ci-contre $\;\theta \;$ est $\;>0{\big )}$.

     Déterminer, en appliquant successivement à la barre $\;AB$, le théorème du mouvement du C.D.I. et

        Déterminer, en appliquant successivement à la barre AB, le théorème du moment cinétique scalaire relativement à l'axe $\;G_{0}z$ $\;{\bigg [}$en admettant que la valeur du moment d'inertie d'une tige homogène de masse $\;m$, de longueur $\;{\mathit {l}}$, par rapport à toute médiatrice de la tige est «$\;J={\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{12}}\;$»${\bigg ]}$,

     Déterminer, l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ que fait la barre $\;AB\;$ avec sa position d'équilibre $\;A_{0}B_{0}\;$ puis

     Déterminer, sa loi horaire $\;\theta (t)\;$ des petites oscillations ainsi que la période $\;{\mathcal {T}}\;$ de celles-ci.

Solution

Trapèze $\;{\big (}$barre $\;AB\;$ homogène suspendue à deux fils idéaux${\big )}\;$ oscillant horizontalement autour d'un axe vertical passant par son C.D.I. $\;G\;$ et forces extérieures s'exerçant sur la barre

     Soit le repère cartésien $\;\left\lbrace G_{0}\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ associé au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen dans lequel l'origine est choisie en $\;G_{0}$, la position d'équilibre du C.D.I. de la barre $\;AB\;$ et la base cartésienne choisie directe telle que $\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit vertical ascendant, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le long de la position d'équilibre de la barre de $\;A_{0}\;$ vers $\;B_{0}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ horizontal $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de sens défini par $\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}$, le sens $\;+\;$ des angles algébriques des plans horizontaux étant défini par le sens de $\;{\vec {u}}_{z}$, c'est-à-dire le sens antihoraire $\;{\big (}$voir le schéma ci-contre${\big )}$ ;

     la barre $\;AB\;$ restant horizontale et son C.D.I. $\;G\;$ sur la verticale de $\;G_{0}$, la position de la barre est repérée par la cote $\;z_{G}={\overline {G_{0}G}}\;$ de son C.D.I. $\;G\;$ ainsi que par son abscisse angulaire $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {A_{0}B_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {AB}}\right)}}\;$ d'une part et,

     d'autre part, les extrémités $\;A\;$ et $\;B\;$ de la barre décrivant des courbes symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe $\;G_{0}z$, avec leur trajectoire inscrite sur le tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;G_{0}z\;$ et de rayon $\;a$, nous repérons la position de $\;B\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;G_{0}\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {G_{0}z}}\;$ soit $\;\left(r_{B}=a\,,\,\theta \,,\,z_{B}=z_{G}\right)$ $\;{\Big [}$celle de $\;A\;$ étant $\;\left(r_{A}=a\,,\,\theta -\pi \,,\,z_{A}=z_{G}\right){\Big ]}$, les vecteurs de base cylindro-polaire liés à $\;B\;$ étant $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)$ $\;{\Big [}$ceux liés à $\;A$ $\;\left(-{\vec {u}}_{r}\,,\,-{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$${\Big ]}$.

     Expression de la cote commune de${\underline {\;G\,,\,A\,,\,B\;}}$en fonction de${\underline {\;\theta }}$ : des coordonnées cylindro-polaires de $\;B\,\left(a\,,\,\theta \,,\,z_{G}\right)\;$ nous en déduisons $\;{\overrightarrow {BO_{2}}}=\left[a-a\;\cos(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{x}+\left[0-a\;\sin(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{y}+\left[a-z_{G}\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;BO_{2}$ $=\Vert {\overrightarrow {BO_{2}}}\Vert ={\sqrt {a^{2}\left[1-\cos(\theta )\right]^{2}+a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+\left[a-z_{G}\right]^{2}}}={\sqrt {\left[a-z_{G}\right]^{2}+2\;a^{2}\left[1-\cos(\theta )\right]}}={\sqrt {\left[a-z_{G}\right]^{2}+4\;a^{2}\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ soit, avec «$\;BO_{2}=a\;$», «$\;a-z_{G}=a\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$» et finalement «$\;z_{G}=a\left[1-{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\right]=z_{A}=z_{B}\;$».

     Bilan des forces extérieures appliquées à la barre${\underline {\;AB}}$ : Les forces extérieures s'exerçant sur la barre $\;AB\;$ sont

• le poids de la barre «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliquée en $\;G$,
• la force exercée par le fil idéal attaché en $\;B\;$ «$\;{\vec {T}}_{B}=T_{B}\;{\dfrac {\overrightarrow {BO_{2}}}{BO_{2}}}=T_{B}\left\lbrace \left[1-\cos(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{x}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+\left[1-{\dfrac {z_{G}}{a}}\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» ou, avec «$\;{\vec {u}}_{x}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$», «$\;{\vec {T}}_{B}$ $=T_{B}\left\lbrace -\left[1-\cos(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }+\left[1-{\dfrac {z_{G}}{a}}\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace =T_{B}\left\lbrace -2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }+{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» et
• la force exercée par le fil idéal attaché en $\;A\;$ «$\;{\vec {T}}_{A}=T_{A}\;{\dfrac {\overrightarrow {AO_{1}}}{AO_{1}}}=T_{A}\left\lbrace -\left[1-\cos(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}+\left[1-{\dfrac {z_{G}}{a}}\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» ou, avec «$\;{\vec {u}}_{x}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$», «$\;{\vec {T}}_{A}$ $=T_{A}\left\lbrace \left[1-\cos(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{r}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }+\left[1-{\dfrac {z_{G}}{a}}\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace =T_{A}\left\lbrace 2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }+{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$».

     Application du théorème du mouvement du C.D.I. à la barre${\underline {\;AB}}$ : dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}_{B}+{\vec {T}}_{A}=m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$» soit, en projetant sur les vecteurs de base cylindro-polaire liés à $\;G$ $\;{\big (}$identiques à ceux liés à $\;B{\big )}$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c l c c}{\text{sur }}{\vec {u}}_{r}\!\!&{\text{:}}&\!\!2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\left[T_{A}-T_{B}\right]\!\!&=&\!\!0\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\text{sur }}{\vec {u}}_{\theta }\!\!&{\text{:}}&\!\!\sin \!\left(\theta \right)\left[T_{A}-T_{B}\right]\!\!&=&\!\!0\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\!\!&{\text{:}}&\!\!-m\;g+\left[1-{\dfrac {z_{G}(t)}{a}}\right]\left[T_{A}+T_{B}\right]\!\!&=&\!\!m\;{\ddot {z}}_{G}(t)\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$», les équations $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ imposant «$\;T_{A}=T_{B}\;$, la valeur commune étant notée $\;T(t)\;$» et l'équation $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ se réécrivant en explicitant $\;T(t)\;$ en fonction du mouvement de $\;G\;$ «$\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;{\text{:}}\;T(t)={\dfrac {m\left[g+{\ddot {z}}_{G}(t)\right]}{2\left[1-{\dfrac {z_{G}(t)}{a}}\right]}}\;$» ou, avec «$\;z_{G}(t)=a\left\lbrace 1-{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dot {z}}_{G}(t)=a\left\lbrace -{\dfrac {-4\;\sin \!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\,\cos \!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}{2\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}\right\rbrace {\dot {\theta }}(t)$ $=a\;{\dfrac {\sin \!\left[\theta (t)\right]}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}\;{\dot {\theta }}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {z}}_{G}(t)=a\;{\dfrac {\sin \!\left[\theta (t)\right]}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}\;{\ddot {\theta }}(t)+a\;{\dfrac {{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {-4\;\sin \!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\,\cos \!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}{2\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]}{\left\lbrace {\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\right\rbrace ^{2}}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» ou, après simplification du cœfficient de $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ du 2^nd membre selon «$\;a\;{\dfrac {{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;\cos \!\!\left(\theta \right)+{\dfrac {\sin \!\!\left(\theta \right)}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;\sin \!\!\left(\theta \right)}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}=a\;{\dfrac {\left[1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\cos \!\!\left(\theta \right)+\sin ^{2}\!\!\left(\theta \right)}{\left[1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]^{\frac {3}{2}}}}=a\;{\dfrac {\cos \!\!\left(\theta \right)}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}+a\;{\dfrac {\sin ^{2}\!\!\left(\theta \right)}{\left[1-4\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]^{\frac {3}{2}}}}\;$», l'accélération de $\;G\;$ se réécrit «$\;{\ddot {z}}_{G}(t)=a\;{\dfrac {\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\theta }}(t)}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}+a\;{\dfrac {\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}+a\;{\dfrac {\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\left\lbrace 1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\right\rbrace ^{\!{\frac {3}{2}}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;T(t)={\dfrac {m\left\lbrace g+a\;{\dfrac {\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\theta }}(t)}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}+a\;{\dfrac {\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}+a\;{\dfrac {\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\left\lbrace 1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\right\rbrace ^{\!{\frac {3}{2}}}}}\right\rbrace }{2\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}\;$» soit «$\;\left({\mathfrak {3}}''\right)\;{\text{:}}\;T(t)={\dfrac {m}{2}}\left\lbrace {\dfrac {g}{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}+{\dfrac {a\left\lbrace \sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\theta }}(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right\rbrace }{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}+{\dfrac {a\;\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\left\lbrace 1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\right\rbrace ^{\!2}}}\right\rbrace \;$».      Application du théorème du moment cinétique scalaire à la barre${\underline {\;AB\;}}$relativement à${\underline {\;G_{0}z}}$ : dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]+{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[{\vec {T}}_{B}\right]+{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[{\vec {T}}_{A}\right]=J_{G_{0}z}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» avec «$\;J_{G_{0}z}={\dfrac {m\,\left(2\;a\right)^{2}}{12}}$ $={\dfrac {m\;a^{2}}{3}}\;$» ainsi que «$\;{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=0\;$» $\;{\big \{}$son bras de levier étant nul${\big \}}$, «$\;{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[{\vec {T}}_{B}\right]=\left[{\overrightarrow {G_{0}B}}(t)\wedge {\vec {T}}_{B}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» soit, en explicitant les grandeurs vectorielles et en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire ou vectorielle par rapport à l'addition vectorielle «$\;{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[{\vec {T}}_{B}\right]={\Bigg \{}\left[z_{G}(t)\;{\vec {u}}_{z}+a\;{\vec {u}}_{r}\right]\wedge T(t)\,{\bigg [}-\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}-\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }+\left[1-{\dfrac {z_{G}(t)}{a}}\right]\,{\vec {u}}_{z}{\bigg ]}{\Bigg \}}\cdot {\vec {u}}_{z}=-T(t)\;a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[{\vec {T}}_{A}\right]$ $=\left[{\overrightarrow {G_{0}A}}(t)\wedge {\vec {T}}_{A}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}={\Bigg \{}\left[z_{G}(t)\;{\vec {u}}_{z}-a\;{\vec {u}}_{r}\right]\wedge T(t)\,{\bigg [}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }+\left[1-{\dfrac {z_{G}(t)}{a}}\right]\,{\vec {u}}_{z}{\bigg ]}{\Bigg \}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{G_{0}z}\!\left[{\vec {T}}_{A}\right]=-T(t)\;a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» d'où finalement la réécriture du théorème du moment cinétique appliqué à la barre relativement à l'axe $\;G_{0}z\;$ «$\;-2\;T(t)\;a\;\sin \!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {m\;a^{2}}{3}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$» ou, en normalisant, «$\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;{\text{:}}\;\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {6\;T(t)}{m\;a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$»,            Application du théorème du moment cinétique scalaire à la barre AB relativement à G₀z : et finalement, en reportant la relation $\;\left({\mathfrak {3}}''\right)\;$ dans l'équation $\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$ nous obtenons l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ cherchée «$\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;{\text{:}}\;\;{\ddot {\theta }}(t)+3\;\left\lbrace {\dfrac {g}{a\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}+{\dfrac {\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\theta }}(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}+{\dfrac {\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\left\lbrace 1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\right\rbrace ^{\!2}}}\right\rbrace \;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$»
ou, en ordonnant l'équation différentielle par dérivées d'ordre $\;\searrow$,
«$\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;{\text{:}}\;\;\left\lbrace 1+{\dfrac {3\;\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\right\rbrace \,{\ddot {\theta }}(t)+\left\lbrace {\dfrac {3\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}+{\dfrac {3\;\sin ^{3}\!\left[\theta (t)\right]}{\left\lbrace 1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\right\rbrace ^{\!2}}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {3\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]}{a\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}=0\;$».

     Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à une médiatrice : soit une tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ homogène, de masse linéique $\;\lambda _{0}$, de longueur $\;{\mathit {l}}$, de C.D.I. $\;G\;$ et de masse $\;m$, le moment d'inertie $\;J\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à une médiatrice $\;\left(\Delta \right)\;$ étant définie par «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;\vert x_{M}\vert ^{2}\;dx_{M}\;$» avec $\;x_{M}={\overline {GM}}\;$ orienté dans n'importe quel sens, soit «$\;J_{\Delta }=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}x_{M}^{\,2}\;dx_{M}=\lambda _{0}\,\left[{\dfrac {x_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}$ $=2\;\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{24}}=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{12}}\;$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ «$\;m=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;dx_{M}\;$» égale à «$\;m=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}dx_{M}=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$» d'où «$\;J_{\Delta }={\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{12}}\;$» C.Q.F.V.

     Étude du mouvement dans le cas de petites élongations angulaires : Ayant écarté la barre de $\;\vert \theta _{0}\vert \ll 1\;$ et l'ayant lâchée sans vitesse initiale, nous tentons de linéariser l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;$ et pour cela
               nous supposons $\;{\big (}$ce qui devra être vérifié${\big )}\;$ «$\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;\;\forall \;t\;$» et, considérant $\;\theta (t)\;$ comme infiniment petit d'ordre un,
               nous faisons un D.L. de l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;\;\left\lbrace 1+{\dfrac {3\;\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\right\rbrace \,{\ddot {\theta }}(t)+\left\lbrace {\dfrac {3\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}+{\dfrac {3\;\sin ^{3}\!\left[\theta (t)\right]}{\left\lbrace 1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\right\rbrace ^{\!2}}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {3\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]}{a\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}=0\;$» à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$ et ses dérivées temporelles,
                      nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un s'obtient en prenant le D.L. de l'autre facteur à l'ordre zéro $\;{\Bigg \{}$dans le produit «$\;\left\lbrace 1+{\dfrac {3\;\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\right\rbrace \,{\ddot {\theta }}(t)\;$» «$\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ étant un infiniment petit d'ordre un », il suffit de prendre $\;1+{\dfrac {3\;\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\;$ à l'ordre zéro soit «$\;1+{\dfrac {3\;\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}\simeq 1\;$»${\Bigg \}}$,
                      nous faisons un D.L. en utilisant qu'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre deux étant au moins d'ordre deux peut être éliminé à l'ordre un $\;{\Bigg \{}$dans le produit du 2^ème terme $\;\propto \;$ à $\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ « ce dernier étant un infiniment petit d'ordre deux » $\Rightarrow$ son D.L. à l'ordre un est «$\;\left\lbrace {\dfrac {3\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]}{1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}+{\dfrac {3\;\sin ^{3}\!\left[\theta (t)\right]}{\left\lbrace 1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]\right\rbrace ^{\!2}}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\simeq 0\;$»${\Bigg \}}\;$ et
                      nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un de $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$ étant «$\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\simeq \theta (t)\;$» c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre le D.L. de l'autre facteur à l'ordre zéro soit «$\;{\dfrac {3\;g}{a\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}$ $\simeq {\dfrac {3\;g}{a}}\;$» et par suite le D.L. à l'ordre un de ce dernier terme est «$\;{\dfrac {3\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]}{a\;{\sqrt {1-4\;\sin ^{2}\!\!\left[{\dfrac {\theta (t)}{2}}\right]}}}}\simeq {\dfrac {3\;g\;\theta (t)}{a}}\;$»,
                      nous faisons un D.L. d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;$ traduisant l'effectivité de la linéarisation de $\;\left({\mathfrak {4}}''\right)\;$ «$\;\left({\mathfrak {4}}'''\right)\;\;{\text{:}}\;\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {3\;g}{a}}\;\theta (t)=0\;$»
c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti ;                l'oscillateur harmonique dont l'équation différentielle est $\;\left({\mathfrak {4}}'''\right)\;$ étant de pulsation propre «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {3\;g}{a}}}\;$» nous en déduisons la forme de la loi horaire $\;\theta (t)\;$ des petites élongations angulaires de $\;AB\;$ dans son mouvement de rotation autour de $\;G_{0}z\;$ «$\;\theta (t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes à déterminer à l'aide des C.I. $\;\left\lbrace \theta (0)=\theta _{0}\,,\,{\dot {\theta }}(0)=0\right\rbrace \;$» $\Downarrow {\scriptscriptstyle \vdots }$
«$\;\theta (t)=\theta _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$» ;

               la période des petites élongations angulaires de $\;AB\;$ dans son mouvement de rotation autour de $\;G_{0}z\;$ est «$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {a}{3\;g}}}\;$».