Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires

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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.

Définition et 1ère propriété des satellites géostationnaires, diverses informations les concernant[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un satellite géostationnaire[modifier | modifier le wikicode]

1ère propriété d'un satellite géostationnaire[modifier | modifier le wikicode]

     Pour que le satellite géostationnaire paraisse immobile à un observateur lié à la Terre (♁), il est nécessaire qu’il ait

  • même vitesse angulaire, dans le référentiel géocentrique, que le point de la surface terrestre qu’il surplombe, ou encore
  • même période, angulaire, dans le référentiel géocentrique, que le point de la surface terrestre qu’il surplombec.-à-d. la période de rotation d’un point de la surface terrestre dans le référentiel géocentrique, laquelle définit le « jour sidéral » soit » ;
ainsi la période de révolution d'un satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique vaut
«» [1].

Conséquence du caractère non galiléen du référentiel géocentrique sur une durée approximative supérieure à 3 jours et compensation des perturbations engendrées[modifier | modifier le wikicode]

     Si le référentiel géocentrique était parfaitement galiléen, une fois le satellite géostationnaire positionné, il n’y aurait pas besoin de lui fournir de l’énergie car « son positionnement le plaçant à une distance suffisamment éloignée de la Terre (♁) pour pouvoir négliger l’atmosphère » [2], l’inexistence des forces de frottement des satellites géostationnaires sur l'atmosphère entraîne la conservation de leur énergie mécanique mais

     en réalité, le caractère galiléen du référentiel géocentrique, par rapport au galiléen de référence qui est le référentiel de Copernic [3], n’a qu’une durée limitée « à si on travaille à près » [4] et

     il est nécessaire de rectifier régulièrement le positionnement du satellite

     Compensation des perturbations engendrées à échéance supérieure à trois jours : un géostationnaire contrairement à la plupart des autres satellites est guidé depuis la Terre par un système de « contrôle d’altitude et d’orbite », ce système commandant la mise à feu de réacteurs permettant la compensation des « diverses perturbations de la trajectoire » [5] ;
     Compensation des perturbations engendrées à échéance supérieure à trois jours : de ce fait le satellite utilise progressivement ses réserves de carburant lesquelles, finissant par s’épuiser, limitent la durée d’exploitation du géostationnaire à une dizaine d’années.

Autres informations sur les satellites géostationnaires[modifier | modifier le wikicode]

     Fin de vie d'un géostationnaire : Peu avant l’épuisement de la réserve d’« ergols » [6] nécessaire à la rectification du positionnement du géostationnaire, celle-ci est utilisée pour placer ce dernier sur leur « orbite de rebut » [7] située à plus de au-dessus de leur orbite nominale [8] une fois ce nouveau positionnement effectué, on vide les réservoirs puis on les dépressurise quand cela est possible afin de se prémunir d’une explosion suite à une collision avec un objet céleste et tous les circuits électriques sont coupés après décharge des batteries pour éviter que le satellite n’interfère avec les autres satellites près desquels il va passer le satellite est alors en « mort programmée » [9] ;

     Fin de vie d'un géostationnaire : cette « orbite de rebut » présente un point d’anomalie où ont tendance à s’accumuler les satellites morts, proche du méridien «» où se manifeste une modification de l’attraction gravitationnelle due vraisemblablement à la présence du « massif Himalayen »

     Historique : L’orbite géostationnaire est encombrée puisqu'il y a plus de « satellites » [10], le 1er satellite géostationnaire a été lancé par les États-Unis en , pays qui sera le seul pendant les dix années suivantes à faire des lancements au nombre d’au moins par année, puis l'U.R.S.S. s’y est attelé et maintenant toutes les puissances astronautiques en font

     Utilité des géostationnaires : La majeure partie concerne des satellites de télécommunications mais on y trouve également des satellites météorologiques avec une charge utile de télécommunications en plus de leur charge utile principale d’observation de la Terre.

Localisation équatoriale d'un satellite géostationnaire[modifier | modifier le wikicode]

Trajectoire d'un satellite artificiel terrestre dans le référentiel géocentrique avec représentation de la Terre dans le but de positionner le satellite relativement à la surface terrestre

     Dans le référentiel géocentrique le mouvement d’un satellite artificiel terrestre est situé dans un plan contenant le centre de force gravitationnelle c.-à-d. le centre de la Terre (♁), lequel est un des foyers de l'ellipse décrite par le satellite voir ci-contre où le plan orbital est incliné par rapport au plan équatorial de la Terre (♁), la trace au sol du plan du mouvement ayant une inclinaison fixe par rapport au plan équatorial terrestre ;

     une conséquence de ceci est que le satellite a deux positions « et de son orbite à la verticale de l'équateur terrestre » « et » sont fixes dans le référentiel géocentrique mais tournent dans le référentiel terrestre d’Est en Ouest, ce ne sont donc pas les mêmes points de l’équateur terrestre qui sont à la verticale de « et », toutes les autres positions de l'orbite du satellite étant à la verticale de points de l’hémisphère Nord ou de l’hémisphère Sud [11] ;

     dans le cas usuel où le satellite tourne d’Ouest vers l’Est, on en déduit qu’observateur terrestre « verra » le satellite se déplacer suivant le mouvement composé de son « mouvement principal vers l’Est » [12] et d'un « mouvement secondaire vers l'hémisphère Sud pour un observateur de l'hémisphère Nord » ou vice-versa avec une « lente dérive d’Est en Ouest » [13]

     Dans le cas représenté ci-contre nous ne sommes donc pas dans la condition géostationnaire d'un satellite.

     Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : une condition nécessaire pour qu'un satellite terrestre soit géostationnaire pour tous les points fixes de la Terre est que le plan orbital du satellite considéré ne soit pas incliné par rapport au plan équatorial de la Terre (♁) inclinaison nulle et ainsi toutes les positions du satellite sont de « type ou » c.-à-d. à la verticale de l’équateur

     Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : en conséquence un observateur terrestre verra toujours le satellite d'inclinaison nulle à la verticale de l’équateur de la Terre (♁) mais, a priori il observera encore, sauf si on impose au satellite d'autres conditions pour qu'il soit géostationnaire,

  • un « mouvement principal vers l’Est » [12] dans la mesure où la période de révolution du satellite dans le référentiel géocentrique est inférieure à la période de rotation de la Terre sur elle-même et
  • une « lente dérive d’Est en Ouest » plus précisément après chaque période de révolution du satellite à inclinaison nulle dans le référentiel géocentrique le point de l'équateur terrestre surplombé par le satellite est décalé vers l'Ouest par rapport à l'observation précédente [14].

     Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : Pour obtenir un satellite géostationnaire, il est nécessaire de le placer dans un plan équatorial mais cette condition n’est pas suffisante

Détermination de l'altitude d'un satellite géostationnaire[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous proposons de déterminer la (ou les) condition(s) nécessaire(s) à imposer à un satellite pour qu'il soit géostationnaire condition(s) supplémentaire(s) relativement au caractère équatorial de sa trajectoire voir le paragraphe « localisation équatoriale d'un satellite géostationnaire » précédent traduisant la « 1ère propriété d'un satellite géostationnaire » déterminée plus haut dans ce chapitre précisant sa période de révolution dans le référentiel géocentrique «» [1] .

Nature uniforme du mouvement d'un satellite géostationnaire[modifier | modifier le wikicode]

     Rappel : Un satellite géostationnaire devant rester à la verticale d’un même point de la surface terrestre et celle-ci tournant à une vitesse angulaire constante dans le référentiel géocentrique, il doit en être de même du satellite dans le référentiel géocentrique d’où la nature uniforme du mouvement du satellite dans le géocentrique de vitesse angulaire «».

Nature circulaire du mouvement d'un satellite géostationnaire[modifier | modifier le wikicode]

     Un satellite géocentrique ayant un mouvement elliptique dont « le centre de la Terre (♁) est un des foyers » et la loi des aires lui étant applicable «» avec « la constante des aires et le rayon polaire repérage polaire de pôle du satellite dans le plan de son mouvement c.-à-d. le plan équatorial» on déduit de «» la constance du rayon polaire du satellite géostationnaire soit «» et par suite la nature circulaire de son mouvement dans le géocentrique.

Détermination de l'altitude d'un satellite géostationnaire[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant au satellite terrestre de mouvement circulaire prévu pour être géostationnaire la 3ème loi de Kepler [15] à savoir «» dans laquelle « est la constante de gravitation universelle et la masse de la Terre (♁) » on en déduit «» soit numériquement ou «» et par suite

     l'altitude d'un satellite géostationnaire doit être «» dans laquelle « est le rayon de la Terre (♁) à l'équateur » donnant numériquement soit finalement

«».

     Remarque : On vérifie aisément qu'un satellite terrestre « en mouvement circulaire dans le plan équatorial à l'altitude » est effectivement géostationnaire.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1
    Schéma expliquant le distinction entre périodes sidérale et synodique de la Terre (♁)
    On distingue
    • la « période de rotation sidérale » qui est la durée au bout de laquelle la planète retrouve la même orientation par rapport aux étoiles environnantes et
    • la « période de rotation synodique » qui est la durée au bout de laquelle la planète retrouve la même orientation par rapport à l’étoile autour de laquelle elle tourne ;
       dans le cas de la Terre (♁) la période sidérale est «», au bout de cette durée la Terre (♁) a fait exactement un tour sur elle-même dans le référentiel géocentrique mais
       dans le cas de la Terre (♁) elle a aussi avancé sur l’orbite qu’elle décrit autour du Soleil (☉) dans le référentiel de Copernic d’un angle «», il faut donc qu’elle fasse encore «» tour sur elle-même pour qu’elle retrouve la même orientation par rapport au Soleil (☉) soit
       dans le cas de la Terre (♁) une « période synodiquepériode sidérale».
  2. Nous verrons que la distance séparant un satellite géostationnaire du point qu’il surplombe est fois le rayon de la Terre et à cette altitude l’atmosphère est quasi-inexistante ;
       l’atmosphère à l’équateur se décompose à partir du sol terrestre en :
    • « troposphère » qui s’étend entre et à d’altitude où la température quand l’altitude ,
    • « stratosphère » s’étendant jusqu'à d’altitude où la température avec l’altitude jusqu'à et abritant une bonne partie de la couche d’ozone,
    • « mésosphère » les ballons sonde y terminent leur vie de à où la température jusqu’à quand l’altitude ,
    • « thermosphère » lieu de production des aurores boréales qui s’étend entre et à d’altitude où la température avec l’altitude et
    • « exosphère » lieu de circulation des géostationnaires et des navettes spatiales s’étendant jusqu’à d’altitude ;
       les satellites géostationnaires se situant donc dans la partie haute de l’exosphère et la densité de cette dernière étant inférieure à celle du vent solaire au voisinage de la Terre (♁) dès l’altitude de vent solaire : flux de plasma constitué essentiellement d’ions et d’électrons éjectés de la haute atmosphère du Soleil, on peut, en 1ère approximation, négliger la présence d’atmosphère.
  3. Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire.
  4. Voir le paragraphe « caractère quasi galiléen du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  5. Il n’y a pas que le caractère non galiléen du référentiel géocentrique qui perturbe le positionnement du géostationnaire, citons comme autres perturbations : l’irrégularité gravitationnelle les sous-sols ne sont pas uniformes, la pression de radiation solaire le rayonnement solaire étant aussi un faisceau de photons, ceux-ci peuvent exercer une force de poussée quand ils rencontrent un objet solide par transfert de quantité de mouvement correspondant à une réflexion ou une absorption, ce principe expliquant le fonctionnement des voiles solaires, l'attraction lunaire laquelle combinée avec le caractère non galiléen du référentiel géocentrique conduit à l'introduction de « pseudo-forces des marées lunaires » voir le paragraphe « étude du mouvement d'un point matériel dans le référentiel géocentrique non galiléen tenant compte de l'influence de la Lune » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
  6. Substance homogène constituée d’un mélange de comburant et carburant utilisée dans un système propulsif à réaction.
  7. Encore appelée « orbite-poubelle ».
  8. On les place au-dessus car les placer au-dessous entraînerait un risque de collision plus important avec leur successeur et les envoyer se désintégrer dans l’atmosphère demanderait beaucoup trop d’énergie
  9. Il y a d’autres morts possibles : « mort-né » quand le lancement échoue, « mort subite » avec la perte d’un organe essentiel, « mort anticipée » quand le satellite continue à fonctionner mais ne peut plus assurer sa mission avec satisfaction et « mort retardée » lorsqu'on veut prolonger sa durée de vie pour les géostationnaires de télécommunications qui fonctionnent bien on interrompt le contrôle de l’inclinaison laquelle doit être nulle pour que la trajectoire du géostationnaire reste dans le plan équatorial qui coûte très cher en énergie pour prolonger leur durée de vie de plusieurs années avec bien sûr une autre mission.
  10. Ce qui, compte-tenu de l’altitude de l’orbite , correspond à une distance moyenne entre satellites de approximativement et nécessite un positionnement du satellite sur son orbite avec une précision d’environ pour que chaque satellite n’influence pas son voisin.
  11. Sur le schéma toutes les positions de l'orbite du satellite situées à droite de surplombent des points de l'hémisphère Nord et toutes celles situées sur la gauche des points de l'hémisphère Sud.
  12. 12,0 et 12,1 Nous plaçant dans le cas général où le satellite tourne d'Ouest vers l'Est avec une période de révolution dans le référentiel géocentrique de par exemple, l’observateur tournant dans le même sens mais plus lentement, la période de révolution étant , nous en déduisons que le satellite a une composante de mouvement terrestre vers l'Est.
  13. Ce qui signifie qu’à chaque révolution du satellite en supposant que sa période dans le référentiel géocentrique soit de le satellite surplombe un point de l’équateur de plus en plus vers l’Ouest après une période de «» ou s’est déplacé de de tour vers l’Ouest.
  14. En supposant que la période de révolution du satellite à inclinaison nulle dans le référentiel géocentrique soit de , le point de l’équateur initialement surplombé par le satellite s’étant déplacé dans le référentiel géocentrique après une révolution de satellite de de tour vers l’Est, c'est donc le point de l'équateur situé de tour vers l'Ouest avant qui est surplombé par le satellite après la révolution considérée et
       le point de l’équateur sera de nouveau surplombé par le satellite après la révolution envisagée après une durée «».
  15. Johannes Kepler (1571 - 1630) est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic hypothèse que son professeur de mathématiques Michæl Mæstlin lui enseigna ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants à l’Université de Tübingen alors que l’enseignement officiel que M. Mæstlin donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de Ptolémée affirmant avec N. Copernic que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ;
       en , poursuivi pour ses convictions religieuses il était ministre du culte luthérien et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome danois Tycho Brahe, ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais d’après J. Kepler étant incapable de les exploiter correctement T. Brahe ne croyait pas à l’héliocentrisme de Copernic, ni d’ailleurs au géocentrisme de Ptolémée, l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de Ptolémée ;
       T. Brahe demande alors à J. Kepler de calculer l’orbite précise de Mars, travail que ce dernier commence en et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1ères lois, sa 3ème loi étant découverte près de plus tard.
       Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire.
        Michæl Mæstlin (1550 - 1631) astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de Johannes Kepler ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du nombre d'or en .
       Ptolémée (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168) astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'Almageste une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie et un traité de géographie une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain.
       Tycho Brahe (1546 - 1601) astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la Supernova de 1572 ainsi que la grande comète de 1577 qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques