Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler

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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.

Sommaire

Champ newtonien et force newtonienne subie par un point sensible au champ, définition, énergie potentielle du point dans le champ newtonien[modifier | modifier le wikicode]

Définition d’un champ newtonien et exemples[modifier | modifier le wikicode]

     Exemples : il y a principalement deux types de champ newtonien,

  • le 1er de « nature gravitationnelle » [4] étant toujours centripète exemples : le champ d’attraction gravitationnelle du Soleil en tout point extérieur au Soleil «» où « vaut » et « la masse du Soleil » étant la constante de gravitation universelle valant ou le champ d’attraction gravitationnelle de la Terre en tout point extérieur à la Terre «» où « vaut » et « la masse de la Terre »,
  • le 2ème de « nature électrique créé par une source ponctuelle chargée [5] » étant centripète [3] si la charge ponctuelle source est négative et centrifuge [2] si la charge ponctuelle source est positive exemple : le champ électrostatique créé par la charge ponctuelle en tout point «» où « vaut toujours du signe de » étant la permittivité diélectrique du vide [6] telle que d'où .

Force newtonienne subie par le point matériel M[modifier | modifier le wikicode]

     Si, en reprenant l'un des deux types de champ newtonien précédent gravitationnel ou électrostatique, on observe l'action du champ newtonien sélectionné sur un point matériel doté d'une caractéristique lui permettant d'être sensible à ce champ à savoir une masse grave[7] pour le champ gravitationnel ou une charge pour le champ électrostatique, on en déduit l'expression de la force exercée sur le point matériel placée dans le champ newtonien sélectionné, à savoir :

  • dans l'espace de gravitation de source représenté en par le vecteur champ de gravitation «», le point matériel de masse grave subit la force de gravitation « » et, dans la mesure où le champ de gravitation est newtonien c'est-à-dire « avec » la force se réécrivant « avec » définit une force newtonienne attractive et
  • dans l'espace électrostatique de source représenté en par le vecteur champ électrostatique «», le point matériel de charge subit la force électrostatique « » et, dans la mesure où le champ électrostatique est newtonien c'est-à-dire « avec du signe de » la force se réécrivant « avec du signe de » définit une force newtonienne attractive si est et répulsive si est .

Caractère conservatif d’une force newtonienne et énergie potentielle « newtonienne » du point M la subissant[modifier | modifier le wikicode]

     On vérifie aisément que « toute force newtonienne est conservative » [8] et par suite « dérive » d’une énergie potentielle «» [9] que l’on détermine par « » «» «» soit « avec sa référence [10] choisie à l'infini ».

     Retour sur les exemples :

  • une « force newtonienne gravitationnelle » [4] étant toujours attractive exemples : la force d’attraction gravitationnelle du Soleil sur tout point extérieur au Soleil « » où « vaut » avec « la masse du Soleil » la constante de gravitation universelle valant ou la force d’attraction gravitationnelle de la Terre sur tout point extérieur à la Terre «» où « vaut » avec « la masse de la Terre », « dérive » d'une « énergie potentielle newtonienne gravitationnelle » en restant si la référence de cette dernière [10] est choisie à l'infini exemples : l'énergie potentielle gravitationnelle du Soleil en tout point extérieur au Soleil « » où « vaut » ou l'énergie potentielle gravitationnelle de la Terre en tout point extérieur à la Terre «» où « vaut » ;
  • une « force newtonienne électrostatique » [5] étant attractive si « la charge de la source et celle du point , , sont de signe contraire » ou répulsive si « la charge de la source et celle du point , , sont de même signe » exemple : la force électrostatique que le point chargé exerce sur tout point chargé positionné hors de « » où « vaut du signe de » étant la permittivité diélectrique du vide [6] telle que d'où , « dérive » d'une « énergie potentielle newtonienne électrostatique » dont la variation dépend du signe du produit des deux charges en présence à savoir « en restant pour un produit de charges négatif » ou « en restant pour un produit de charges positif », si la référence de l'énergie potentielle [10], dans les deux cas, est choisie à l'infini exemples : l'énergie potentielle électrostatique du point chargé en tout point chargé positionné hors «[11] » où « vaut du signe de » c'est-à-dire « en restant si est » ou « en restant si est ».

     Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : dans le cas de l'espace de gravitation créé autour d'une planète ayant une répartition de masse à symétrie sphérique c.-à-d. dont la masse volumique en un point de la planète de centre ne dépend que de la distance soit «», l'énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ de gravitation de la planète est, si est extérieur à la planète, newtonienne selon «» où « vaut » et dépend du choix de la référence de l'énergie potentielle gravitationnelle [10] ; pour la suite nous supposerons que la planète est la « Terre » ;

     Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : choisissant la référence de l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle [10] terrestre du point matériel sur la surface de la Terre de rayon «» et repérant le point matériel par son altitude «», l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle [10] terrestre du point matériel se réécrit «» avec «» et telle que «» d'où soit finalement

«» avec «» et « référence en » [10] ;

     Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : dans l'hypothèse d'une faible altitude du point c'est-à-dire «» «» étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un [12] on peut alors faire un D.L. [13] de à l’ordre un en après avoir fait apparaître l'infiniment petit d'ordre un selon « à l'ordre un en» [14] soit encore «» ou, avec «»

     Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : l'expression approchée de l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle terrestre en un point de faible altitude

«»

     Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : s'écrivant encore, avec la norme du champ de gravitation terrestre au sol notée pour simplifier,

«» [15].

Intégrales 1ères du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien dans un référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

1ère intégrale 1ère du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien[modifier | modifier le wikicode]

     Introduite au paragraphe « 1ère intégrale 1èer du mouvement d'un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

2ème intégrale 1ère du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien[modifier | modifier le wikicode]

     Introduite au paragraphe « 2ème intégrale 1èer du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

Rappel des conséquences de la conservation du moment cinétique vectoriel du point : mouvement plan (ou rectiligne), applicabilité de la loi des aires (et des formules de Binet)[modifier | modifier le wikicode]

1ère conséquence : nature plane (ou rectiligne) du mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « 1ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : nature plane (ou rectiligne) du mouvement » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Si « est à » le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel par rapport au centre de force étant nul c'est-à-dire «», de la conservation du moment cinétique vectoriel de par rapport à on en déduit la nullité de ce dernier pour tout instant c'est-à-dire «» ou, après simplification par ,

«» ;

                                                                      « et étant colinéaires pour tout », on déduit que le mouvement du point est rectiligne selon revoir la démonstration par récurrence dans la note « 25 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Si « est à » le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel par rapport au centre de force étant non nul c'est-à-dire «», de la conservation du moment cinétique vectoriel de par rapport à c'est-à-dire de «», on en déduit la non nullité de «» ainsi que la conservation de sa direction pour tout instant c'est-à-dire « de direction constante » [16] ou, après simplification par ,

« de direction constante » [16] ;

                                                                       en utilisant la définition du produit vectoriel [17], on en déduit que « et sont toujours à cette direction fixe » et par suite « le mouvement du point se fait dans le plan passant par et à » c'est-à-dire « le plan contenant , et ».

2ème conséquence : applicabilité de la loi des aires au mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description d'un mouvement à force centrale (newtonienne) de centre de force dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont non colinéaires avec choix des axes cartésiens et du plan du mouvement ainsi que de l'axe au plan et orientant les angles de ce dernier

     Voir le paragraphe « 2ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la loi des aires » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Notant «» le vecteur unitaire de orienté de vers ,

     Notant «» le vecteur unitaire à «» tel que «» et

     Notant «» le vecteur unitaire aux deux précédents tel que « soit direct » puis

     repérant dans le plan par ses coordonnées polaires [18], on peut lui appliquer la « loi des aires » «» dans laquelle « est la constante des aires » [19] la « loi des aires » n'étant rien d'autre que la projection de la « conservation du moment cinétique vectoriel du point divisé par sa masse » sur exprimée en polaire soit «» ;

     la constante des aires s'évalue encore selon et

     la « loi des aires » est encore applicable pour ou «» d'où « c'est-à-dire la nature rectiligne du mouvement le long de ».

Possibilité d’introduire les variables et les formules de Binet[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « en complément : variables et formules de Binet d'un mouvement à force centrale et leur intérêt » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Avec les variables de Binet [20] «, et » définissant respectivement la 1ère, 2ème et 3ème variables de Binet [20] la définition des 2ème et 3ème variables de Binet [20] nécessitant introduites au paragraphe « définition des variables de Binet » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », on peut utiliser
     Avec les expressions de Binet [20] des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point «» lesquelles sont respectivement «» et «» l'expression de Binet [20] de la vitesse radiale nécessitant introduites au paragraphe « préliminaire : expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que
     Avec les formules de Binet [20] relative au carré de la vitesse «» et relative à l’accélération radiale «», encore appelée respectivement 1ère et 2ème formules de Binet [20] toutes deux nécessitant respectivement introduites aux paragraphes « 1ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) » et « 2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

« En complément » : détermination de la nature de la trajectoire par application de la r.f.d.n. et utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale, discussion de la nature suivant les conditions de lancement[modifier | modifier le wikicode]

     La consigne du programme de physique de P.C.S.I. est d’admettre les résultats concernant la nature de la trajectoire d'un point matériel dont le mouvement est à force centrale newtonienne [21] et de faire la démonstration uniquement dans le cas d’un mouvement circulaire ce qui sera fait au paragraphe « application aux mouvements circulaires d'un satellite ou d'une planète » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; toutefois, comme on admet plus facilement des résultats qui ont été établis, les démonstrations sont présentées en complément

Application de la r.f.d.n. dans un référentiel galiléen et « détermination de l’équation polaire de la trajectoire par utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale »[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Ce n’est pas la seule méthode, il en existe au moins deux autres voir la série d'exos. « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : champ newtonien, lois de Kepler » de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » :

     Préliminaire : une 1ère connue sous le nom de « méthode du vecteur excentricité » voir l'exercice « autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité » de la série d'exos. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et

     Préliminaire : une 2nde connuesous le nom de « méthode du vecteur de Runge/Lenz » [22], [23] ou encore « méthode du vecteur de Laplace » [24] voir l'exercice « autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur de Runge/Lenz (ou de Laplace) » de la série d'exos. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

     Application de la r.f.d.n. [25] à un point matériel ayant un mouvement à force centrale newtonienne avec utilisation de la 2ème formule de Binet [20] : Soit le point matériel ayant un mouvement à force centrale newtonienne avec , et étant respectivement la coordonnée radiale de et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force » du plan dans lequel le mouvement de est observé [18] dans le référentiel d'étude galiléen ;

           Application de la r.f.d.n. appliquant, dans , la r.f.d.n. [25] à à l'instant et la projetant sur nous obtenons «» avec « accélération radiale de à l'instant » [26] puis

           Application de la r.f.d.n. par utilisation de la 1ère variable de Binet [20] «» ainsi que de la 2ème formule de Binet [20] «» [27] dans laquelle « » est la 3ème variable de Binet [20] et qui nécessite que « la constante des aires soit », nous parvenons à «» soit, après simplification par et normalisation, à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre à excitation constante

«».

     Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point matériel ayant un mouvement à force centrale newtonienne : l'équation différentielle ci-dessus étant linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre à excitation constante, sa solution générale «» est la somme de la solution libre «» solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème sans terme du 1er ordre homogène et de la solution forcée «» solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre hétérogène de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante [28] soit ici

     Détermination la solution libre «», solution de «» dont l’équation caractéristique «» sans solutions réelles mais à solutions complexes «» purement imaginaires conduirait à une solution libre C.L. [29] de et, comme « doit être réelle », s'écrit en C.L. [29] de soit «» avec et deux constantes réelles d'intégration [30] et

     Détermination la solution forcée «» cherchée sous même forme que l'excitation à savoir constante «» ce qui implique égale à «» [31] d'où

     Détermination la solution générale «» se réécrivant «», et étant déterminés par les « C.A.L. [32] et » [33] ;

     Détermination mettant «» en facteur dans la relation , on obtient «» ou, en posant « ainsi que » deux nouvelles constantes d’intégration à déterminer par « C.A.L. [32], [33] » «» ;

     Détermination finalement l’équation polaire de la trajectoire se met sous la forme «» c'est-à-dire encore, en transformant la partie variable du dénominateur «» en « avec » « suivant le besoin » [34], sous la forme

«» avec
et deux constantes d'intégration à déterminer par « C.A.L. [32], [33] »,
le choix de «» dépendant en fait « du signe de » [35].

Nature de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation polaire de la trajectoire précédemment déterminée « dans le cas où la constante des aires est » et écrite sous la forme «» avec et deux constantes d'intégration à déterminer par « C.A.L. [32], [33] » s'identifie, suivant le « signe de »,

  •      à «» si « est » c'est-à-dire si subit une force newtonienne attractive avec «, » et le choix de pour que le signe entre soit [34] ou
  •      à «» si « est » c'est-à-dire si subit une force newtonienne répulsive avec «, [36] » et le choix de pour que le signe entre soit [34] ;

     ces formes d’équations polaires nous suggère de discuter suivant le type « attractif » ou « répulsif » de la force newtonienne subie par le point .

Cas d’une force newtonienne attractive (k < 0)[modifier | modifier le wikicode]


Cas d’une force newtonienne répulsive (k > 0)[modifier | modifier le wikicode]

En exercice, détermination de l’excentricité « e » et de l’angle « φ » que fait l’axe focal avec l’axe polaire par utilisation des C.I.[modifier | modifier le wikicode]

     Ce n’est pas la meilleure méthode pour déterminer l'excentricité «» de la conique nous verrons une méthode nettement plus rapide aux paragraphes « en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique » et « en complément, expression de l'énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi-axe focal de la trajectoire hyperbolique » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » mais c’est quasiment la seule pour connaître «» C’est donc la méthode à retenir pour le positionnement de l’axe focal.

Cas d’une force newtonienne attractive (k < 0)[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas du mouvement du point à force centrale newtonienne attractive « avec », et étant respectivement la coordonnée radiale de et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force » du plan lié au référentiel d'étude galiléen dans lequel le mouvement de est observé [18], la trajectoire du point est
     une conique ou branche de conique en ce qui concerne l'hyperbole dont le centre de force est le ou l'un des foyer(s) le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant celui contourné par la branche d'hyperbole en question

ayant pour équation polaire «» [40]

     dans laquelle «» est le paramètre de la conique [37], «» son excentricité [38] et «» l'angle orienté que fait son axe focal [39] avec l'axe polaire du repérage de , ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L. [32], [33] ;

     de l'équation polaire on en déduit l'expression, en fonction de , de

  • la 1ère variable de Binet [20] «» et de
  • la 2ème variable de Binet [20] «», puis

     de l'équation polaire on en déduit les expressions de Binet [20] des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de «» étant la constante des aires du mouvement,

  • «» [43] et
  • «» [44] ;

     les « C.I. [41] étant aussi les C.A.L. [32] » [33], nous en déduisons

  • par «» ou, ce qui donne la même condition, «» [45] ou «» d’où «» ou «» et
  • par «» encore égale à «» ou, avec , «» dont on tire « » ou «» ;

     de «» on détermine l'excentricité «» en éliminant par «» soit ou, en développant puis ordonnant selon les puissances de , [46] soit finalement «» et

                                                                        de on détermine l'angle orienté «» que fait l'axe focal [39] avec l'axe polaire en éliminant par «» soit « » ou encore, suivant les signes de la discussion suivante :
                                                                        de on détermine si [47] et sont d'où «»,
                                                                        de on détermine si [47] est et d'où «»,
                                                                        de on détermine si [47] est et d'où «»,
                                                                        de on détermine si [47] et sont d'où «».

     Discussion sur la nature de la conique : L'excentricité [38] de cette dernière s'écrivant «», nous en déduisons la nature de la conique en comparant la valeur de son excentricité [38] à la valeur critique , d'où la conique est
     Discussion sur la nature de la conique : une parabole si «» c'est-à-dire si «» soit, avec car ,

si «» ou encore,

           Discussion sur la nature de la conique : en reportant avec