Mécanique 2 (PCSI)/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels

Leçons de niveau 14
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Mécanique 2 (PCSI)/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.

Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière »[modifier | modifier le wikicode]

     Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque »[modifier | modifier le wikicode]

     Les diverses expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière [1] « quelconque »[2], à l'instant et dans le référentiel d'étude , voir le paragraphe « puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sont rappelées ci-après :

     «»[3] s'explicitant selon «»[4], étant le vecteur vitesse du point dans le référentiel , ou encore,

     «» en introduisant le vecteur vitesse relative, à l'instant , de par rapport à c'est-à-dire le vecteur vitesse, à l'instant , de dans le référentiel , lié à , en translation par rapport à , noté et égal à , soit aussi,

     «»[5] en regroupant les points deux par deux, s'écrivant encore «»[6].

     En repérant le point « dans le référentiel » par ses « coordonnées sphériques de pôle soit » avec « pour base sphérique liée à »[7],

  • la « force que exerce sur » s'écrit, dans la « base sphérique de liée à » selon «» se déduit de la 2ème relation du principe des actions réciproques[8] à savoir avec «»[9] définissant « l'intensité de l’interaction entre et » et simplement notée «»[10] d’où la réécriture « », de même,
  • le « vecteur vitesse relative de par rapport à » dans la « base sphérique de » s'écrivant « »[11],

     on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que exerce sur dans le référentiel , à savoir, «»[10], la base étant orthonormée d'où finalement «»[10],[12].

Cas particulier d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Si la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière [1] indéformable[13] est identiquement nulle[14]

« pour un système indéformable[13] »,

     ceci devient, a priori, faux pour un système déformable sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas[15] soit

« pour un système déformable » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas.

Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système[modifier | modifier le wikicode]

     Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière [1] « quelconque »[2], à l'instant et dans le référentiel d'étude galiléen, voir le paragraphe « énoncé (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » est rappelé ci-après :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière[1] « quelconque »[2] est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Cas particulier d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant , à un système de matière [1] indéformable[13] ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant , par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle[16]

« pour un système indéformable[13] dans un référentiel galiléen »,

     ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas[15] d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen

« pour un système déformable » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas.

Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système[modifier | modifier le wikicode]

     Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière [1] « quelconque »[2], sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude galiléen, voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sont rappelés ci-après :

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière[1] « quelconque »[2] est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Cas particulier d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière [1] indéformable[13] sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul[17]

« pour un système indéformable[13] dans un référentiel galiléen sur » ou
« pour un système indéformable[13] dans un référentiel galiléen sur »,

     ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas[18] d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen

« pour un système déformable sur » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas ou
« pour un système déformable sur » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas.

« En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives[modifier | modifier le wikicode]

     Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière[1] déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique voir le paragraphe « quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ? » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »

Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec »[19] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système voir relation du paragraphe « rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre et du lien entre travail élémentaire et puissance «», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système sur l'intervalle  :

«»[20],
la 1ère expression étant une « forme différentielle des variables indépendantes »[21],[22],[23] ;

     le système des forces intérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces intérieures sera « conservatif » si son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces intérieures considéré est une « différentielle de fonction », et comme le travail élémentaire est la somme de formes différentielles dont chacune dépend d'une variable différente, ceci est réalisé dans la mesure où « chacune des formes différentielles est une différentielle de fonction »[24] et,

           le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »dans la mesure où le cœfficient de est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes , la C.N[25]. pour que la forme différentielle «» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de ne dépende pas de mais soit fonction de la seule variable »[26],[27] cette C.N[25]. est une C.S[28]. dans la mesure où la forme différentielle est « fermée »[29] sur un « ouvert étoilé »[30] de son domaine de définition d'après le théorème de Poincaré[31] relatif aux formes différentielles fermées[29] sur un ouvert étoilé de [32].

     En conclusion, la C.N[25]. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces intérieures soit « conservatif » est que son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces intérieures considéré s'écrive selon «»[33].

Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives)[modifier | modifier le wikicode]

     Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec »[19] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière déformable ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées étant une différentielle de fonction s'écrit «»[34] et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple » notée «» selon «[35] [36] » soit finalement

«»[37],[38] ou,
après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle[39],
«[40],[41] avec référence[39] »[42] ;

     de «» utilisant «» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction pour le type de forces intérieures considéré du système de matière déformable :

«» dans lesquelles «
[40] est l'énergie potentielle d'interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple »[43].

« Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à ou points matériels.

Système « Terre – Lune »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans ce 1er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel :

  • «» pour la Terre dans lequel représente la position de son C.D.I[44]. et sa masse,
  • «» pour la Lune dans lequel représente la position de son C.D.I[44]. et sa masse ;

     l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «» dans laquelle est la distance séparant leur C.D.I[44]., on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système selon « » d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée[39] « la Lune infiniment éloignée de la Terre[45] », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune »

«» avec référence[39] : [45] ».

Atome d’hélium[modifier | modifier le wikicode]

     L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «» et de deux électrons de charge individuelle «», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique ;

Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne

     il y a «» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules[46] et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple :

  • entre l’électron et le noyau séparés de la distance , l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «»[47], on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron «» par « » d’où «»[48] avec « référence[39] : électron infiniment éloigné du noyau »[49],
  • entre l’électron et le noyau séparés de la distance , l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «»[47], on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron «» par « » d’où « »[48] avec « référence[39] : électron infiniment éloigné du noyau »[49] et
  • entre l’électron et l’électron séparés de la distance , l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «»[47], on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron «» par « » d’où « »[48] avec « référence[39] : électron infiniment éloigné de l'électron »[50] ;

     l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «» soit finalement

«»,
la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,
les deux 1ers termes correspondant à une attraction et le 3ème à une répulsion.

« En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique »[modifier | modifier le wikicode]

     « Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique voir le paragraphe « énoncé du premier principe de la thermodynamique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »

Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec »[51] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système voir relation du paragraphe « définition (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et du lien entre travail élémentaire et puissance «», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système sur l'intervalle  :

«»[52] avec
«» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel ,
le travail élémentaire étant une « forme différentielle des variables scalaires indépendantes positionnant les points matériels »[21],[53] ;

     le système des forces extérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces extérieures sera « conservatif » si son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces extérieures considéré est une « différentielle de fonction », et comme le travail élémentaire est la somme de formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « chacune des formes différentielles est une différentielle de fonction »[54] et,

           le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »dans la mesure où le point matériel est repéré, dans le référentiel , par ses coordonnées cartésiennes [55], la C.N[25]. pour que «»[55] soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée »[29],[56],[57] cette C.N[25]. est une C.S[28]. dans la mesure où la forme différentielle est « fermée »[29] sur un « ouvert étoilé »[30] de son domaine de définition d'après le théorème de Poincaré[31] relatif aux formes différentielles fermées[29] sur un ouvert étoilé de [32].

     En conclusion, la C.N[25]. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces extérieures soit « conservatif » est que son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces extérieures considéré «» en repérage cartésien[55] satisfasse les conditions

«»[55],[58].

Énergie potentielle d’interaction de type « k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « k »)[modifier | modifier le wikicode]

     Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec »[51] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     Si le système des forces extérieures de type «» s'exerçant sur un système de matière est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «» considérées à savoir «» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type du point matériel » notée «» selon «[59] [60] » soit finalement

«»[61],[62] ;

     on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière dans le champ des forces extérieures conservatives de type « k » selon

«»[63].

Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie mécanique d'un système de matière[1] déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant , «» ou en absence d'ambiguïté et définie selon

«» dans laquelle
le 1er, 2ème et 3ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant , les énergies
cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type et intérieures de type du système .

Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière [1] déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude galiléen, «», on distingue,

  • dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas[64], d’où «» ainsi que,
  • dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas[64], d’où «» puis,

     on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique

  • «» et
  • «» ensuite,

     on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «» du système de matière [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude galiléen, à un système de matière [1] déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «» dans lequel  ;

Début d’un théorème
Fin du théorème

     On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière[1] déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière [1] déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où « dans le référentiel galiléen » dans lequel on reconnaît

  • dans le 1er membre, la puissance mécanique instantanée de [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant , «»,
  • dans le 1er terme du 2ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives[64] appliquées à [1] déformable, notée, à l'instant , « » et
  • dans le 2ème terme du 2ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives[64] appliquées à [1] déformable, notée, à l'instant , « » d'où

     l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière[1] déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

« En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas[modifier | modifier le wikicode]

     La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière[1] déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique voir le paragraphe « système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives

     « L'énergie mécanique d'un système de matière [1] déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives, définie dans un référentiel d'étude galiléen » est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives[64] s’exerçant sur ne travaillent pas ;

     c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière [1] déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives[64] impliquant « ainsi que » et l'application du théorème dans un référentiel d'étude galiléen s'écrivant « » on en tire «» ou encore «» ;

     c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière [1] déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives[64] impliquant « ainsi que » et l'application du théorème dans un référentiel d'étude galiléen s'écrivant « » on en tire «» ou, après intégration, «».

Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du tabouret d’inertie[modifier | modifier le wikicode]

     Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :

     Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant avec un minimum de frottement solide et fluide autour d'un axe « vertical » dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal et sur le siège duquel est positionné un système de matière[1] pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle déformable par exemple un individu avec un haltère dans chaque main ;

     le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière[1] déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen

Description de l’expérience[modifier | modifier le wikicode]

     On met en rotation le « système déformable » c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » c'est-à-dire lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ;

     un « moteur interne au système déformable » c'est-à-dire les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » c'est-à-dire en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation puis

     le même « moteur interne » c'est-à-dire les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » c'est-à-dire en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale et on observe que la vitesse angulaire de rotation en reprenant sa valeur initiale.

     Remarque : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

Explication de l’observation[modifier | modifier le wikicode]

     L'ensemble « système déformable c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «», n'étant soumis qu'aux actions extérieures

  • « le poids de force verticale descendante» et
  • « les forces de liaison du pivot »[65] qui se réduisent en un point , choisi fixe sur , axe vertical de rotation de l'ensemble ,
    à une résultante verticale ascendante et
    à un couple de vecteur moment à l'axe vertical de rotation idéalité de la liaison pivot[65] par absence de frottement,

     on en déduit que « le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation agissant sur est nul » soit «»[66] étant le vecteur unitaire de orientant les angles de rotation et

     l'application, à l'ensemble , du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe fixe dans le référentiel d’étude galiléen »[67] nous conduit à «» soit, dans le cas présent, «» d'où, après intégration, «» c'est-à-dire « la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant par rapport à l'axe de rotation dans le référentiel d'étude galiléen »[68], ceci restant indépendant de la déformation du système dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures ;

     de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière en rotation autour de l'axe dans le référentiel d'étude s’écrit, à l'instant , «» avec «, la vitesse angulaire de rotation de autour de à l'instant » et «, le moment d’inertie du système relativement à l’axe [69] au même instant »[70] ;

     tant que l'ensemble ne se déforme pas, son moment d'inertie «» reste constant[69] et par suite, ceci établit l’équivalence entre

  • « la conservation du moment cinétique scalaire de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen » et
  • «la conserv celle de la vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen » soit « avant la 1ère déformation » ;

     après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur « à »[69] et de

  • « la conservation du moment cinétique scalaire de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de «»,
  • « une vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen restant constante mais de valeur plus faible dans cette phase que dans la phase initiale » soit « après la 1ère déformation avec » ;

     après que l'ensemble ait repris son extension la plus proche de l'axe c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale « à »[69] et de

  • « la conservation du moment cinétique scalaire de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de «»,
  • « une vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen restant constante de valeur plus grande dans cette phase que dans la phase précédente plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire» soit « après la 2ème déformation avec ».

     Remarque : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble c'est-à-dire celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe », le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude car certaines parties de , comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas[71], nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «» ;

           Remarque : toutefois un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle [72] constituant ayant, dans le référentiel d'étude , une même vitesse angulaire instantanée à l'instant lors de la 1ère ou de la 2nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude , s'écrit, avec pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe de [73] la base cylindro-polaire d'axe liée à étant notée , «» et par suite,

           Remarque : le vecteur moment cinétique de à l'instant relativement à étant défini, dans le référentiel d'étude , selon dans lequel ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle[74], d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de à l'instant relativement à dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de à l'instant relativement à en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[74] ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire soit finalement la validité de «» lors des deux phases de déformation de l'ensemble  ;

           Remarque : lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «» mais comme le moment d'inertie de par rapport à l'axe «», la vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe «» et

           Remarque : lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «» mais comme le moment d'inertie de par rapport à l'axe «», la vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe «».

Bilan énergétique du tabouret d’inertie[modifier | modifier le wikicode]

     On définit l'énergie mécanique, à l'instant , de l’ensemble composé du « système déformable c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol associé au siège du tabouret tournant », selon «» dans laquelle «» est l’énergie cinétique de l’ensemble à l'instant , «» l’énergie potentielle de pesanteur de au même instant celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système »[75] et «» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système »[76] ;

     les actions extérieures non conservatives étant les « les forces de liaison du pivot »[65] lesquelles, se réduisant en un point , choisi fixe sur , axe vertical de rotation de l'ensemble , en une résultante verticale ascendante et un couple de vecteur moment à l'axe vertical de rotation idéalité de la liaison pivot[65] par absence de frottement, ne travaillent pas[77] ;

     les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble étant supposées toutes conservatives, les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas ;

     nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble , la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable soit

«» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation »[78]
soit encore «».

     avant la 1ère déformation de l'ensemble , l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe et son énergie cinétique s'écrit «»[79], « étant le moment d’inertie du système relativement à l’axe »[69], « la vitesse angulaire de autour » et « le moment cinétique scalaire de relativement à » ;

     après la 1ère déformation de l'ensemble , ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe dans la mesure où a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit « »[79], « étant le moment d’inertie du système par rapport à l’axe dans son extension la plus éloignée de ce dernier »[69] on rappelle que « est à », « la vitesse angulaire de autour avec cette extension » laquelle garde la valeur «»[80] ainsi que « le moment cinétique scalaire de relativement à avec la même extension » on rappelle que «» avec « » «» et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies associées à la 3ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «» ou «» ;

     si la 1ère déformation de l'ensemble correspond au C.D.I[44]. des parties déformables de l'ensemble à la même altitude, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de prend la même valeur après la 1ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «» ;

     de la conservation de l'énergie mécanique de part et d'autre de la 1ère déformation, on en tire, après simplification,

«» soit encore

            après la 1ère déformation de l'ensemble , ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique et une augmentation d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système , ces deux variations «» d'une part et « » d'autre part, se compensant selon «» ainsi, pour que l'ensemble adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c'est-à-dire que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation ;

            après la 2ème déformation de l'ensemble , ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de soient ceux de ainsi que les états de soient ceux de , on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique et une diminution d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système , ces deux variations «» d'une part et « » d'autre part, se compensant selon «» ainsi, pour que l'ensemble reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c'est-à-dire que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation.

     Remarque : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble c'est-à-dire celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe », le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude car certaines parties de , comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas[71], nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «» et

           Remarque : contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «» reste applicable à lors de la 1ère ou 2ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe fixe dans [81], le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c'est-à-dire que «»[82] comme prouvé ci-après ;

           Remarque : en effet un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle [72] constituant ayant, dans le référentiel d'étude , une même vitesse angulaire instantanée à l'instant lors de la 1ère ou de la 2nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude , s'écrit, avec pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe de [73] la base cylindro-polaire d'axe liée à étant notée , «» et par suite,

           Remarque : l'énergie cinétique de la partie déformable de à l'instant étant défini, dans le référentiel d'étude , selon dans lequel que l'on peut réécrire, en factorisant le 2ème terme par , selon soit, en reconnaissant dans « le moment d'inertie de par rapport à , noté »[69], la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable de à l'instant , «» ;

           Remarque : on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de à l'instant dans lors de la 1ère ou 2ème déformation en ajoutant à l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable de soit d'où soit encore ou, la grandeur moment d'inertie[69] étant « additive »[83] et par suite

«» ou,
«»[81] ou encore
«»[81] ;

           Remarque : en prenant la 2ème expression de , on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble » lors de la 1ère ou 2ème déformation selon

«»
dans laquelle «» ;

           Remarque : lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «» mais comme le moment d'inertie de par rapport à l'axe «», l'énergie cinétique de rotation de autour de l'axe «» et par suite la quantité énergétique «» sachant qu'avant et après la déformation, on a ainsi que , on vérifie «» ;

           Remarque : lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «» mais comme le moment d'inertie de par rapport à l'axe «», l'énergie cinétique de rotation de autour de l'axe «» et par suite la quantité énergétique «» sachant qu'avant et après la déformation, on a ainsi que , on vérifie «».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 et 1,30 Système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous nous plaçons dans le cas d'un système discret de points matériels « avec » pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, doit être évidemment à , le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 et 2,4 C.-à-d. déformable ou non.
  3. Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude est la somme continue correspondant à une intégrale volumique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » des puissances développées, au même instant , par les forces intérieures que chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle exerce sur chaque pseudo-point de cette même expansion tridimensionnelle un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle de masse volumique est un élément de matière, centré en , de volume «» soit «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude est la somme continue correspondant à une intégrale surfacique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » des puissances développées, à l'instant , par les forces intérieures que chaque pseudo-point de l'expansion surfacique exerce sur chaque pseudo-point de cette même expansion surfacique un pseudo-point d'une expansion surfacique de masse surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire «» soit «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude est la somme continue correspondant à une intégrale curviligne voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » des puissances développées, au même instant , par les forces intérieures que chaque pseudo-point de l'expansion linéique exerce sur chaque pseudo-point de cette même expansion surfacique un pseudo-point d'une expansion linéique de masse linéique est un élément de matière, centré en , de longueur «» soit «».
  4. Dans toute cette note, représente le vecteur vitesse de point générique de l'expansion, à l'instant , dans le référentiel d'étude  ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude définie selon «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle «» est la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle exerce sur le pseudo-point de cette même expansion tridimensionnelle un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle de masse volumique est un élément de matière, centré en , de volume se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon « » ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que exerce sur par «», selon «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude définie selon «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle «» est la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion surfacique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion surfacique un pseudo-point d'une expansion surfacique de masse surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon « » ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que exerce sur par «», selon «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude définie selon «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle «» est la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion linéique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion linéique un pseudo-point d'une expansion linéique de masse linéique est un élément de matière, centré en , de longueur se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon « » ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que exerce sur par «», selon «».
  5. Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , l'expression de la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle «» doit être substitué par «» c'est-à-dire la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle exerce sur le pseudo-point de cette même expansion tridimensionnelle un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle de masse volumique est un élément de matière, centré en , de volume et en introduisant le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , soit « » ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que exerce sur par « », selon «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , l'expression de la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle «» doit être substitué par «» force intérieure que le pseudo-point de l'expansion surfacique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion surfacique un pseudo-point d'une expansion surfacique de masse surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire et en introduisant le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , soit « » ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que exerce sur par « », selon «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , l'expression de la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle «» doit être substitué par «» force intérieure que le pseudo-point de l'expansion linéique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion linéique un pseudo-point d'une expansion linéique de masse linéique est un élément de matière, centré en , de longueur et en introduisant le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , soit « » ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que exerce sur par « », selon «».
  6. Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude ayant été établie dans la note « 5 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle « » est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle exerce sur le pseudo-point de cette même expansion tridimensionnelle un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle de masse volumique est un élément de matière, centré en , de volume et le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , peut se réécrire selon «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude ayant été établie dans la note « 5 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle « » est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion surfacique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion surfacique un pseudo-point d'une expansion surfacique de masse surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire et le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , peut se réécrire selon «» ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude ayant été établie dans la note « 5 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle « » est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion linéique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion linéique un pseudo-point d'une expansion linéique de masse linéique est un élément de matière, centré en , de longueur et le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , peut se réécrire selon «».
  7. Voir le paragraphe « coordonnées sphériques et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. Voir le paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  9. Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «» la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «» s’écrit encore «» car «» et comme, par définition, «», ceci établit que «» (C.Q.F.D.) Ce Qu’il Fallait Démontrer.
  10. 10,0 10,1 et 10,2 Pour simplifier on pose «», l'intensité de l'interaction entre et dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «» à savoir .
  11. Voir le paragraphe « déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude (en repérage sphérique) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  12. Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude ayant été établie dans la note « 5 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle « » est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle exerce sur le pseudo-point de cette même expansion tridimensionnelle un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle de masse volumique est un élément de matière, centré en , de volume et le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle du référentiel , la base sphérique étant liée à selon « » pour simplifier on a posé  ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude ayant été établie dans la note « 5 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle « » est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion surfacique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion surfacique un pseudo-point d'une expansion surfacique de masse surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire et le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle du référentiel , la base sphérique étant liée à selon « » pour simplifier on a posé  ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude ayant été établie dans la note « 5 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle « » est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion linéique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion linéique un pseudo-point d'une expansion linéique de masse linéique est un élément de matière, centré en , de longueur et le référentiel lié au point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle du référentiel , la base sphérique étant liée à selon « » pour simplifier on a posé .
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 et 13,6 C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.
  14. Voir le paragraphe « conséquences diverses (3ème sous paragraphe) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «» par utilisation de l’une ou l’autre des relations  ;
       pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2ème relation prenant la forme trouvée dans la note « 11 » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.
  15. 15,0 et 15,1 Voir le paragraphe « conséquences diverses (1er sous paragraphe) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «» par utilisation de l’une ou l’autre des relations sauf cas très particulier ;
       pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2ème relation prenant la forme trouvée dans la note « 11 » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.
  16. Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  17. Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  18. Voir la note « 15 » plus haut dans ce chapitre avec « si » ainsi que « si sans effet de compensation ».
  19. 19,0 et 19,1 Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, doit être évidemment à .
  20. Voir la note « 12 » plus haut dans ce chapitre avec « ainsi que « ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude établie dans la note « 12 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où «» est le vecteur position relative du point générique de dans le référentiel lié à l'autre point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , « » la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle exerce sur le pseudo-point de cette même expansion tridimensionnelle un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle de masse volumique est un élément de matière, centré en , de volume et «» la composante radiale de la vitesse relative de dans le référentiel , permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude « » dans laquelle «» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de dans  ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude établie dans la note « 12 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où «» est le vecteur position relative du point générique de dans le référentiel lié à l'autre point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , « » la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion surfacique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion surfacique un pseudo-point d'une expansion surfacique de masse surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire et «» la composante radiale de la vitesse relative de dans le référentiel , permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude « » dans laquelle «» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de dans  ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude établie dans la note « 12 » plus haut dans ce chapitre sous la forme «» correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où « » est le vecteur position relative du point générique de dans le référentiel lié à l'autre point générique de en translation par rapport au référentiel d'étude , « » la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que exerce sur , «» étant la force intérieure que le pseudo-point de l'expansion linéique exerce sur le pseudo-point de cette même expansion linéique un pseudo-point d'une expansion linéique de masse linéique est un élément de matière, centré en , de longueur et «» la composante radiale de la vitesse relative de dans le référentiel , permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude « » avec «» pour composantes sphériques du vecteur position relative de dans .
  21. 21,0 et 21,1 Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans de à savoir mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans de ni des composantes sphériques dans de
  23. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique de la forme différentielle «», «» ou «» c'est-à-dire une forme différentielle de la variable , le cœfficient de étant une fonction des trois variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique, les deux intégrations volumiques sur , surfaciques sur ou curvilignes sur emboîtées remplaçant la double somme discrète sur et variant de à en étant distincts l'un de l'autre.
  24. D'après les notes « 20 » et « 23 » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique s'écrivant respectivement
    • «» ajout « continu » de la forme différentielle «» ou
    • «» ajout « continu » de la forme différentielle «» ou
    • «» ajout « continu » de la forme différentielle «»
    l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique ,

       le système des forces intérieures ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « conservatif » « si la forme différentielle générique du travail élémentaire à savoir est une différentielle de fonction ».

  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 et 25,5 Condition(s) Nécessaire(s).
  26. Voir le paragraphe « recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant
    • « ne doit pas dépendre de »,
    • « ne doit pas dépendre de » et
    • ce qui est évidemment vérifié ;
       en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «» soit une différentielle de fonction est que « ne dépende que de ».
  27. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que soit une différentielle de fonction est que « ne dépende pas de mais soit fonction de la seule variable », la justification étant la même que celle exposée dans la note « 26 » plus haut dans le chapitre.
  28. 28,0 et 28,1 Condition(s) Suffisante(s).
  29. 29,0 29,1 29,2 29,3 et 29,4 Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ;
       d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire ou une différentielle exacte, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée
  30. 30,0 et 30,1 Une partie ouverte ou non de est dite « étoilée » lorsque contient au moins un point tel que, pour tout point de , le segment est inclus dans , on dit alors que est « étoilée par rapport à » est « convexe » ssi est étoilée par rapport à chacun de ses points ;
       ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire ou une différentielle exacte, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.
  31. 31,0 et 31,1 Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
  32. 32,0 et 32,1 Voir le paragraphe « C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces intérieures soit « conservatif » est que son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces intérieures considéré s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon :
    • «» pour une expansion tridimensionnelle ,
    • «» pour une expansion surfacique ou
    • «» pour une expansion linéique .
  34. Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue par double intégration volumique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », surfacique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou curviligne voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » sur l'expansion du système définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées étant une différentielle de fonction s'écrit «».
  35. Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple de points génériques » notée «» selon
    «».
  36. Ou encore voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point repéré dans le référentiel référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude avec étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à dans voir la « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » dans le même chap. de la même leçon ;
       dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « 35 » plus haut dans le chapitre est équivalente à «» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels
  37. Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple c'est-à-dire choisir la valeur de où l'énergie potentielle d'interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple est nulle et comme « l'intensité de l'interaction entre particules quel que soit le type d'interaction très rapidement quand la distance les séparant » avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de «» ;
       dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple de points génériques c'est-à-dire la valeur de où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique pour le type de forces intérieures considéré est nulle pour et infiniment éloignés soit pour référence de «» on notera que la valeur «» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie.
  38. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme « », expression nécessitant de choisir sa référence c'est-à-dire l'endroit ou la valeur de la variable où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle.
  39. 39,0 39,1 39,2 39,3 39,4 39,5 et 39,6 C.-à-d. l'endroit ou la valeur de la variable où la grandeur considérée est choisie nulle.
  40. 40,0 et 40,1 S'écrivant encore .
  41. S'écrivant encore .
  42. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence c'est-à-dire l'endroit ou la valeur de la variable où la grandeur considérée est choisie nulle de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «».
  43. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures ou d'un sous-système de forces intérieures s'exerçant sur le système vue dans la note « 33 » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « 35 » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction pour le type de forces intérieures considéré du système de matière déformable :
    • «» pour une expansion tridimensionnelle ,
    • «» pour une expansion surfacique ou
    • «» pour une expansion linéique
       dans lesquelles « est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique pour le type de forces intérieures considéré du couple ».
  44. 44,0 44,1 44,2 et 44,3 Centre D'Inertie.
  45. 45,0 et 45,1 Situation évidemment hypothétique.
  46. Pour particules, il y a en effet «» couples différents de particules.
  47. 47,0 47,1 et 47,2 Selon la force de Coulomb que exerce sur dans le vide «» avec « la permittivité diélectrique du vide » la permittivité diélectrique du vide plus généralement d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du vide ou celle du milieu isolant à l'action d'un champ électrique plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière de valeur telle que Unité du Système International, voir le paragraphe « loi d'interaction de Coulomb » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  48. 48,0 48,1 et 48,2 Voir aussi le paragraphe « énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge qO » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  49. 49,0 et 49,1 La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est .
  50. La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est .
  51. 51,0 et 51,1 Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, peut être à mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  52. Voir la note « 22 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec « ainsi que « ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces extérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude établie dans la note « 22 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où «» est le vecteur vitesse du point générique de à l'instant dans , « » la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en , «» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle au même instant un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle de masse volumique est un élément de matière, centré en , de volume , permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur , par le système de forces extérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude « » ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces extérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude établie dans la note « 22 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où «» est le vecteur vitesse du point générique de à l'instant dans , « » la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en , «» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point de cette expansion surfacique au même instant un pseudo-point d'une expansion surfacique de masse surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur , par le système de forces extérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude « » ;
       dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , la puissance développée, à l'instant , par le système de forces extérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude établie dans la note « 22 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où «» est le vecteur vitesse du point générique de à l'instant dans , « » la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en , «» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point de cette expansion linéique au même instant un pseudo-point d'une expansion linéique de masse linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur , par le système de forces extérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude « ».
  53. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique de la forme différentielle «», «» ou «» c'est-à-dire une forme différentielle des variables scalaires repérant le point générique de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique, l'intégration volumique sur , surfacique sur ou curviligne sur remplaçant la somme discrète sur variant de à .
  54. D'après la note « 52 » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique s'écrivant respectivement
    • «» ajout « continu » de la forme différentielle «» ou
    • «» ajout « continu » de la forme différentielle «» ou
    • «» ajout « continu » de la forme différentielle «»
    l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique ,

       le système des forces extérieures ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « conservatif » « si la forme différentielle générique du travail élémentaire à savoir est une différentielle de fonction ».

  55. 55,0 55,1 55,2 et 55,3 On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire voir le paragraphe « coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou un repérage sphérique voir le paragraphe « coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter
  56. Voir le paragraphe « recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant
    • «»,
    • «» et
    • «».
  57. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique de l'expansion, la C.N. pour que « » voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée c'est-à-dire que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées voir la note « 55 » plus haut dans le chapitre.
  58. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces extérieures soit « conservatif » est que son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces extérieures considéré s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon :
    • «» en repérage cartésien voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique pour une expansion tridimensionnelle ,
    • «» en repérage cartésien voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique pour une expansion surfacique ou
    • «» en repérage cartésien voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique pour une expansion linéique
       vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes :
    • «» pour une expansion tridimensionnelle voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique,
    • «» pour une expansion surfacique voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique ou
    • «» pour une expansion linéique voir la note « 55 » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique.
  59. Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue par intégration volumique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », surfacique voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou curviligne voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » sur l'expansion du système définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «» considérées à savoir «» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type au point de l'expansion considérée » notée «» selon «».
  60. Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type au point de l'expansion considérée donnée dans la note « 59 » plus haut dans le chapitre est équivalente à «» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels
  61. Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type du point matériel c'est-à-dire choisir la position de où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type du point est nulle ;
       dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type au point de l'expansion considérée c'est-à-dire la position de en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type est nulle on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion.
  62. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type «» au point de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «», expression nécessitant de choisir sa référence c'est-à-dire la position de en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type est nulle.
  63. Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type «» s'écrit sous la forme
    • «» avec l'énergie potentielle volumique en dans le champ des forces extérieures de type «» voir la note « 62 » plus haut dans le chapitre,
    • «» avec l'énergie potentielle surfacique en dans le champ des forces extérieures de type «» voir la note « 62 » plus haut dans le chapitre ou
    • «» avec l'énergie potentielle linéique en dans le champ des forces extérieures de type «» voir la note « 62 » plus haut dans le chapitre.
  64. 64,00 64,01 64,02 64,03 64,04 64,05 64,06 64,07 64,08 64,09 64,10 64,11 et 64,12 Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».
  65. 65,0 65,1 65,2 et 65,3 Voir le paragraphe « présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ” (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  66. Voir le paragraphe « complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  67. Voir le paragraphe « généralisation à un système continu fermé de matière (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  68. Voir aussi le paragraphe « conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  69. 69,0 69,1 69,2 69,3 69,4 69,5 69,6 et 69,7 Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon « avec la distance orthogonale séparant le point matériel de » ;
                                                                 pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «» avec la distance orthogonale entre l'axe et le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle » un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle étant un élément de matière, centré en , de volume , de masse , étant la masse volumique de l'expansion en voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  70. Voir le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  71. 71,0 et 71,1 Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant décrit, dans le référentiel d'étude , un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans , éventuellement un mouvement radial et axial c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle étant un élément de matière, centré en , de volume , de masse , étant la masse volumique de l'expansion en .
  72. 72,0 et 72,1 Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle est un élément de matière, centré en , de volume , de masse , étant la masse volumique de l'expansion en .
  73. 73,0 et 73,1 L'origine du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe .
  74. 74,0 et 74,1 Voir le paragraphe « propriété (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  75. La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main de l’éloignement ou du rapprochement des haltères de l'axe de rotation, cet écartement ou cette approche se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ;
         toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.
  76. Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ;
       dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée c'est-à-dire, qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation «» ;
       lors de l’éloignement de l’haltère de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » c'est-à-dire dirigée vers l’axe, cette dernière développe un travail résistant seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère «» lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une augmentation de l’énergie potentielle d’interaction soit « lors de l'éloignement de l'haltère » ;
       lors du rapprochement de l’haltère de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » c'est-à-dire dirigée vers l’axe, cette dernière développe un travail moteur seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère «» lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une diminution de l’énergie potentielle d’interaction soit « lors du rapprochement de l'haltère » ;
       la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante :
    • « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, » et
    • « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,».
  77. En effet la résultante verticale ascendante ayant pour point d'application le point fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment à développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle autour de , le travail étant le vecteur unitaire de orientant les angles de rotation.
  78. Voir le paragraphe « en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas » plus haut dans le chapitre.
  79. 79,0 et 79,1 Voir le paragraphe « énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  80. Voir le paragraphe « explication de l'observation (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.
  81. 81,0 81,1 et 81,2 En effet on a établi au paragraphe « explication de l'observation (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.
  82. De même «» et «».
  83. Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.