Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes

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Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
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Chapitre no 5
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Moments de force
Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un point fixe[modifier | modifier le wikicode]

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la r.f.d.n. [1] appliquée au point matériel de masse dans le référentiel d'étude galiléen, «» [2] dans laquelle est la quantité de mouvement du point matériel à l'instant dans le référentiel et l'ensemble des forces appliquées au point , on multiplie vectoriellement à gauche chaque membre de l'équation par dans lequel est, pour l'instant, un point quelconque [3] de «» qui se réécrit, compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle [4] « » ;

     dans la mesure où est choisi fixe dans , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «», est aussi la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de par rapport à à l'instant dans , soit «» avec en effet :

          dans la mesure où O est choisi fixe dans R, dans laquelle, étant un point fixe dans , est le vecteur position de à l'instant dans et par suite «» le vecteur vitesse «» de à l'instant dans , égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «» [5] « » [6] soit « » [2] ;

     on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à par rapport à soit « » [2] ;

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n. [1] appliquée à un point matériel relativement à un point fixe dans galiléen sous la forme

«[2] si est un point fixe de galiléen ».

Causes de modification du vecteur moment cinétique du point matériel M par rapport à un point origine O fixe dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     D'après l'expression de la r.f.d.n. [1] appliquée à un point matériel relativement à un point fixe dans un référentiel galiléen

«» [2]

     et d’après l'expression symbolique de tout théorème de la dynamique d'un point matériel dans un référentiel galiléen

[2],

     on en déduit que

les moments vectoriels des forces appliquées au point matériel calculés par rapport au point origine fixe dans «»
sont les causes de modification
du moment cinétique vectoriel du point par rapport à ce même point origine fixe dans «» [2].

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     La relation du paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre étant établie pour quelconque [3] est donc valable sous cette forme en remplaçant par mobile dans le référentiel galiléen soit

«» [2] ;

     toutefois, avec mobile dans le référentiel , «» est a priori « de » en effet :

          toutefois, avec A mobile dans le référentiel R, avec dans laquelle , point fixe de , sert d'origine aux vecteurs position par utilisation de la relation de Chasles [7] [2] encore égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «» [5] «» [8] soit «» [2] ;

     comme «» est encore égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à par rapport à mobile dans soit «» [2],

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n. [1] appliquée à un point matériel relativement à un point mobile dans galiléen sous la forme

«[2] [2]
     si est un point mobile de galiléen »                              si est un point mobile de galiléen ».

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

     Démonstration : Voir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de centre « C », de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi au paragraphe « réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » l'expression du vecteur moment cinétique d'un point matériel en mouvement circulaire d'axe , de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée , moment par rapport au centre de la trajectoire, selon

[9] avec
le moment d'inertie de de masse relativement à l'axe de rotation ,

     on en déduit , le moment d'inertie de relativement à étant une constante, puis
     on en déduit dans la mesure où le centre du cercle est nécessairement fixe [10] et
     on en déduit dans la mesure où le référentiel d'étude est galiléen,
     on en déduit l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel au point matériel en mouvement circulaire d'axe , de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée dans le référentiel d'étude en prenant comme point origine des moments le centre du cercle, soit

Début d’un théorème


Fin du théorème

Complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le point , origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude galiléen, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point mobile dans , le vecteur moment résultant par rapport à des forces appliquées à un point matériel à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point au même instant «» et du produit vectoriel « dans lequel est le vecteur quantité de mouvement du point dans le référentiel à l'instant » soit
«» [2].

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière[modifier | modifier le wikicode]

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le système discret fermé de points matériels « avec » étudié dans le référentiel galiléen et un point fixe dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point fixe dans , s'écrivant « »,

     on fait la somme de ces relations «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point à l'instant «» [13] et
  • « le 2ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle » [14], à «» c.-à-d. la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point au même instant .
Début d’un théorème


Fin du théorème

Généralisation à un système continu fermé de matière[modifier | modifier le wikicode]

     Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre c.-à-d. mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique [15], surfacique [16] ou curviligne [17], le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où le point origine d'évaluation des moments est fixe se généralise aisément :

Début d’un théorème


Fin du théorème

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle « de masse volumique », les vecteurs

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [15] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [18] du système ou la somme des densités volumiques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion volumique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon [15] avec la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [15] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique », les vecteurs

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [16] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [19] du système ou la somme des densités surfaciques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion surfacique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon [16] avec la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [16], [20] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique », les vecteurs

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [17] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [21] du système ou la somme des densités linéiques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion linéique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon [17] avec la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [17] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Justification exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle :
     Justification on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque pseudo point [18], les vecteurs moments ayant pour point origine fixe dans galiléen « » [15],

     Justification on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique , «[15] » [15], [22],

     Justification le 1er terme du 1er membre définissant le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué au système de matière à l'instant «»,

     Justification le 2ème terme du 1er membre définissant le vecteur moment résultant des forces intérieures par rapport à appliqué au système de matière à l'instant «» [23],

     Justification le 2ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique et de la dérivation temporelle » [24], en «» [15], [25], l'intégrale volumique définissant alors le vecteur moment cinétique du système de matière par rapport au point origine à l'instant soit  : C.Q.F.J. [26].

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel relativement à un point mobile dans le référentiel d'étude galiléen vue, plus haut dans le chapitre, au paragraphe « complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen » à un système discret fermé de points matériels.

Adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le système discret fermé de points matériels « avec » étudié dans le référentiel galiléen et un point mobile dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point mobile dans , s'écrivant « »,

     on les ajoute «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point à l'instant «» [13],
  • « le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle » [14], à «» c.-à-d. à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point au même instant et enfin
  • « le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par [27] «» reconnaissant dans le 2ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système de points matériels «» d'où la réécriture de ce terme selon «» ;

     finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point mobile dans , prend la forme «» d'où l'énoncé qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point mobile dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué à un système discret fermé de points matériels à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point au même instant «» et du produit vectoriel « dans lequel est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel à l'instant » soit
«» [2], [28].

     Remarque : Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre c.-à-d. mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique [15], surfacique [16] ou curviligne [17], l'adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où le point origine d'évaluation des moments y est mobile se généralise sans modification à l'exception des définitions du vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué au système continu fermé de matière «», du vecteur moment cinétique par rapport à du système étudié «» et du vecteur résultante cinétique du système considéré «», lesquelles résultent du remplacement de la somme discrète des grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique [15], surfacique [16] ou curviligne [17] des grandeurs associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle [18], surfacique [19] ou linéique [21].

Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     D'après le paragraphe précédent, le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels sous la forme «» est donc, a priori, inapplicable si le point origine du calcul des vecteurs moments est mobile dans le référentiel galiléen car le théorème adapté à utiliser est «» non à retenir mais à retrouver si besoin est

     toutefois sachant qu'en cinétique newtonienne «» dans laquelle « est le C.D.I. [29] du système discret fermé de points matériels », on en déduit que si le point origine se déplace parallèlement au C.D.I. [29] du système c.-à-d. si est colinéaire à , le théorème du moment cinétique vectoriel est encore applicable à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec A mobile sous la forme «», le cas particulier le plus fréquent étant celui où le point origine est le C.D.I. [29] du système étudié d'où l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude galiléen avec, pour point origine de calcul des moments, le C.D.I. [29] du système complément à savoir justifier si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I. [29] du système discret fermé de points matériels étudié, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué à ce système à l'instant «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au C.D.I. [29] du système au même instant «» soit
«» [30], [31]

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

     Nous cherchons à trouver l'expression de la r.f.d.n. [1] ou du théorème du moment cinétique vectoriel qui en est une conséquence appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe fixe.

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Choisissant un point origine fixe sur l'axe fixe du référentiel galiléen, on peut appliquer au point matériel de masse le théorème du moment cinétique vectoriel qui n'est, rappelons-le, que l'expression de la r.f.d.n. [1] appliquée à un point matériel relativement à un point origine fixe du référentiel galiléen soit «» [2] dans laquelle est le moment cinétique vectoriel du point matériel à l'instant dans le référentiel et l'ensemble des forces appliquées au point , on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par le vecteur unitaire orientant l'axe «» qui se réécrit, compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle [32] utilisée dans le membre de gauche et du caractère constant de utilisée dans le membre de droite «» ;

     dans la mesure où est choisi sur , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «», est aussi la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de par rapport à à l'instant dans , soit «» [2] avec [2] ;

     on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des moments scalaires des forces appliquées à par rapport à soit « » [2] ;

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n. [1] ou du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe fixe dans galiléen sous la forme

«[2] si est un axe fixe de galiléen ».

Causes de modification du moment cinétique scalaire du point matériel M par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     D'après l'expression de la r.f.d.n. [1] ou du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe fixe dans un référentiel galiléen

«[2]

     et d’après l'expression symbolique de tout théorème de la dynamique d'un point matériel dans un référentiel galiléen

[2],

     on en déduit que

les moments scalaires des forces appliquées au point matériel calculés par rapport à l'axe fixe dans «»
sont les causes de modification
du moment cinétique scalaire du point par rapport à ce même axe fixe dans «» [2].

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un axe , mobile dans le référentiel d'étude galiléen, et un point quelconque sur , choisi comme origine des moments vectoriels, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel «[2] avec mobile dans galiléen » [33] ;

     orientant l'axe , de mouvement quelconque dans galiléen, par le vecteur unitaire , nous multiplions scalairement par la relation membre à membre « » et on reconnaît dans

  • « le 1er membre », après avoir utilisé la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [32], la somme des moments scalaires des forces appliquées au point matériel relativement à l'axe à l'instant « » [2],
  • « le 1er terme du 2ème membre » égal, dans la mesure où Δ garde une direction constante c.-à-d. où le mouvement de dans est une translation «», à « » [2] c.-à-d. à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du point matériel par rapport au même axe en translation dans au même instant et enfin
  • « le 2ème terme du 2ème membre » encore égal, par invariance du produit mixte par permutation circulaire [34], à «» ou, en notant la vitesse de translation de perpendiculairement à sa direction par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [4] d'une part et par nullité du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires [35] d'autre part, « ce 2ème terme du 2ème membre » s'écrit encore «» [2], terme nul si le mouvement de à l'instant se fait dans le plan [36] et non nul si le mouvement de à l'instant a une composante au plan [36],

     d'où la forme de la r.f.d.n. [1] ou du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe mobile de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, prenant pour origine des moments scalaires un axe orienté par le vecteur unitaire en translation dans , le moment scalaire des forces appliquées à un point matériel relativement à à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe au même instant «» et de la grandeur vectorielle définie par le produit mixte «» dans lequel est le vecteur vitesse de translation de l'axe dans le référentiel à l'instant en absence de glissement parallèlement à lui-même et le vecteur quantité de mouvement du point dans à l'instant soit
«» [2].

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

     Démonstration : Voir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi au paragraphe « évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ du cercle » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » l'expression du moment cinétique scalaire d'un point matériel en mouvement circulaire d'axe , de rayon et de vitesse angulaire instantanée , moment par rapport à l'axe de la trajectoire circulaire, selon

[9] avec
le moment d'inertie de de masse relativement à l'axe de rotation ,

     on en déduit , le moment d'inertie de relativement à étant une constante, puis
     on en déduit dans la mesure où l'axe du cercle est nécessairement fixe [10] et
     on en déduit dans la mesure où le référentiel d'étude est galiléen,
     on en déduit l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel en mouvement circulaire d'axe , de rayon et de vitesse angulaire instantanée dans le référentiel d'étude en prenant comme axe origine des moments l'axe du cercle, soit

Début d’un théorème