Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule pesant

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Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule pesant
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Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) »[modifier | modifier le wikicode]

Liaison sphérique [1]

     On appelle « pendule pesant » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme » et pouvant tourner autour d’un « point fixe autre que son C.D.I. [2] », le solide étant

  • en « liaison sphérique » [1] « idéale » [3] voir ci-contre un schéma de principe, ci-dessous la représentation symbolique d'une liaison sphérique [1] avec précision des degrés de translation «» bloqués et de ceux de rotation «» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule pesant pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale [3], par une force , appliquée en et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule [4]
Rotule
de centre O
SockBall.jpg
Liaisons : [5] Libertés : [5]
  • ou en « liaison pivot avec le point » [6], « idéale » [3] ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une liaison pivot [6] avec précision des degrés bloqués, les degrés de translation «» et des degrés de rotation «», le 3ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule pesant pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale [3], par la composition d'une force , appliquée en , appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel de direction à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule [7] ;
Pivot
d'axe (O,x)
Pivot T.jpg
Pivot F.jpg
3d pivot.jpg
Liaisons : [5] Libertés : [5]

     le pendule pesant est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

     on note «» la masse du pendule, «» la distance séparant le C.D.I. [2] du pendule de son point fixe dans le référentiel d'étude , référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. [2] «» le meilleur repérage dans le cas d'une liaison sphérique [1] serait le repérage sphérique de pôle et d'axe vertical descendant mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles secondes des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. le repérage cylindro-polaire d'axe vertical descendant ;

     avec le repérage cylindro-polaire d'axe vertical descendant, tout point du pendule pesant a pour coordonnées cylindro-polaires «» dans la base locale associée orthonormée directe «» et le C.D.I. [2] du pendule pesant, pour coordonnées cylindro-polaires «» dans la base locale associée orthonormée directe «» il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation.

Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement[modifier | modifier le wikicode]

C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Les C.I. [8] de lancement du P.P.(N.A.) [9] dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe  ;

  • s’il s’agit d’une liaison sphérique [1] pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. [8] de lancement sont les suivantes :
    « on écarte le P.P.(N.A.) [9] de sa position d’équilibre stable correspondant à sur la verticale de et au-dessous et on le lâche sans vitesse initiale » ou
    « on écarte le P.P.(N.A.) [9] de sa position d’équilibre stable correspondant à sur la verticale de et au-dessous et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. [2] située dans le plan vertical contenant » ;
  • s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. [8] de lancement peuvent être quelconques toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement à l'axe de la liaison.

Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un P.P.(N.A.) [9] à liaison sphérique [1] avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe vertical descendant du C.D.I. [2] du pendule

     La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) [10] lancé dans les C.I. [8] «» ou «» [11] dans le paragraphe « démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

     les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont voir schéma ci-contre

  • son poids «» de moment vectoriel par rapport à «» [12] dans lequel ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire d'une part ainsi que la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [13] d'autre part soit «» et
  • les actions de la liaison sphérique en se réduisant à « la réaction [14] appliquée en » de vecteur moment par rapport à «».

     Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : le théorème du mouvement du C.D.I. [2] appliqué au pendule pesant dans le référentiel terrestre galiléen projeté sur nous conduit à ou, les composantes de et de sur étant nulles car est au plan vertical contenant donc à et à on obtient, après simplification par ,

ou,

     pour les valeurs de telles que c.-à-d. instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P. [15] pour lesquels et donc , en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale [16] et après simplification par , l'équation différentielle suivante

pour ,

     qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs , en [17] et

     dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes compte-tenu de la continuité des grandeurs [18] et [19] pour tout , ce qui entraîne la continuité de [20] soit finalement

 ;

     on détermine la constante d'intégration par utilisation partielle des C.I. [8] [21], [22] soit, avec , la réécriture partielle des C.I. [8] sous la forme ou et par suite

ou,

     en simplifiant par non identiquement nul,

ou enfin,

     après intégration , valeur de déterminée par C.I. [8] , soit finalement

,
c.-à-d. la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

     Démonstration de la nature plane du mouvement de dans les de lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I. [8] c.-à-d. qu'on établit comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. [8] [21], [23] soit, avec , la réécriture partielle des C.I. [8] sous la forme ou et par suite

ou,

     en simplifiant par non identiquement nul,

ou enfin,

     après intégration , valeur de déterminée par C.I. [8] , soit

,
c.-à-d. la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. [2] et représentation des forces extérieures

     Avec les deux types de liaison, « liaison pivot » ou « liaison sphérique [1] avec C.I. [8] de lancement ou », le P.P.(N.A.) [9] ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté et orienté par «» [24],
     on repère le C.D.I. [2] du P.P.(N.A.) [9] dans le plan vertical du mouvement avec unitaire vertical descendant, unitaire horizontal au 3ème vecteur unitaire horizontal tels que la base cartésienne « soit directe »
                on repère le C.D.I. G du P.P.(N.A.) par ses coordonnées polaires de pôle et d’axe orienté par soit, avec la base polaire liée au C.D.I. [2] du P.P.(N.A.) [9] dans ce plan , «» [25], «» [26], «» abscisse angulaire du C.D.I. [2] du P.P.(N.A.) [9] noté «» par la suite en absence d'ambiguïté est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.) [9].

     Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. [27] représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « liaison sphérique [1] avec C.I. [8] de lancement ou », mais
           Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans celle d'une « liaison pivot » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel à on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple [28], ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en du P.P.N.A. [27].

Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire[modifier | modifier le wikicode]

      étant un axe fixe dans le référentiel d’étude galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. [27] à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe , les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :

  • son poids «» de moment scalaire par rapport à «» [29],
  • la réaction du point de la liaison sphérique sur le pendule lancé dans les C.I. [8] ou , «» [30] de moment scalaire «» [31] ou
    la réaction de l'axe de la liaison pivot sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. [8] compatibles avec la liaison, «» [30] de moment scalaire « » [31] auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel [30], [32] et par suite de moment scalaire relativement à «» ;

     l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. [27] en rotation autour de l'axe , fixe dans le référentiel d'étude galiléen, avec la vitesse angulaire à l'instant , s'écrit

«» dans le cas d'un P.P.N.A. [27] à un degré de liberté, lié à par « liaison sphérique » ou
«» dans le cas d'un P.P.N.A. [27] lié à par « liaison pivot »,
« étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) [9] relativement à » [33] et
« l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) [9] à l'instant » soit

     en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée,

«» dans le cas d'un P.P.N.A. [27] à un degré de liberté, lié à par « liaison sphérique » ou
«» dans le cas d'un P.P.N.A. [27] lié à par « liaison pivot » ou encore,

     en normalisant l'équation différentielle en du mouvement du P.P.N.A. [27]

«» [34] soit
une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre,
caractérisant un oscillateur non linéaire [35] dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.

Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites[modifier | modifier le wikicode]

     Comme l’équation différentielle en du P.P.(N.A.) [9] est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) [10] » [34], on peut faire les mêmes commentaires [36], rappelés ci-après :

     l’équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre n'ayant pas de solution analytique [37] on conclut à

l’absence de résolution analytique [37] exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.) [9],

     la seule possibilité est une résolution approchée

Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations »[modifier | modifier le wikicode]

     Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires [38] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

     Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » [38] est de lancer le P.P.N.A. [27] avec les C.I. [8] de lancement particulières que la liaison avec ou soit sphérique [1] ou pivot suivantes :

     « on écarte le P.P.N.A. [27] de sa position d’équilibre stable [15] et on le lâche sans vitesse initiale [39] » en supposant l’abscisse angulaire initiale de valeur absolue petite c.-à-d. [40],

                « on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et l'absence de vitesse angulaire initiale [41] assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas » [42] et restera petite soit

[40].

Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cadre des « petites élongations angulaires » [38] on a [40] permettant d'effectuer un D.L. [43] à l'ordre un en de au voisinage de 0 [44] selon [40] à l'ordre un en et par suite

l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. [27] devient linéaire selon c.-à-d.
une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en sans terme d'amortissement et homogène.

P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation[modifier | modifier le wikicode]

     Le P.P.(N.A.) [9] est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » [38] et dans cette hypothèse il devient

un « oscillateur harmonique (non amorti) » de pulsation propre
appelée « pulsation (propre) des petites élongations angulaires » [38].

Période des « petites oscillations »[modifier | modifier le wikicode]

     On en déduit la « période propre des petites élongations angulaires [38] du P.P.(N.A.) [9] à un degré de liberté » [45] ;

     on constate que le P.P.(N.A.) [9] « bât plus vite » [46], en un lieu fixé, pour « plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe c.-à-d. « plus petit » [47] et

                on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur plus grande » ainsi le P.P.N.A. [27] sur Terre « bât un peu plus vite » [46] aux pôles qu'à l'équateur [48] et le même P.P.N.A. [27] « bât nettement plus rapidement » [46] sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) [49], [50].

Intégrale 1ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

     La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A. [27] à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap. « énergie cinétique d'un solide en rotation », « lois scalaires de l'énergie cinétique » et « lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels » de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », nous allons procéder autrement la détermination directe de l’intégrale 1ère selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sera vue dans le paragraphe « énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement » du chap. de la dite leçon.

Détermination de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     L’équation différentielle du mouvement en du P.P.N.A. [27] étant «», on multiplie celle-ci par «» ce qui donne «» soit, en reconnaissant

  • dans le 1er terme «» la dérivée temporelle de «» et
  • dans le 2nd «» celle de «»

     puis en intégrant entre «» et «» les C.I. [8] étant « quelconque » et « également quelconque » «» soit finalement, en multipliant par «» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1er ordre en

«» ;

     nous verrons au paragraphe « énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que le 1er terme «» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) [9] à l'instant et

     nous verrons au paragraphe « énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que le 2nd terme «» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) [9] avec « référence en position horizontale » [51] au même instant et

     nous verrons au paragraphe « énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la somme des deux termes du membre de gauche «» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) [9] avec « référence en position horizontale » [51], celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) [9] avec « référence en même position horizontale » [51], l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. [27] ;

     pour se ramener au choix usuel de la « référence de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable » [15], on ajoute de part et d’autre de l’équation la quantité «» pour reconnaître respectivement dans «» et «» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) [9] à l’instant et à l’instant initial avec « référence en la position d’équilibre stable » [15] d’où, en notant «» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) [9], la réécriture de l’intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A. [27] selon

«» dans laquelle
est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) [9] à l'instant avec « référence en la position d’équilibre stable » [15].

Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique[modifier | modifier le wikicode]

     Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant « par », « par » et « par », les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :

  • si « est à », le mouvement du P.P.N.A. [27] est oscillatoire et périodique de période sous forme intégrale
    «» avec
    «» la période des petites élongations angulaires [38] du P.P.N.A. [27], [52] et,
    «» l'amplitude des oscillations [53] déterminée par «» [54] ;
  • si « est à » nous supposons , le mouvement du P.P.N.A. [27] est révolutif et périodique de période sous forme intégrale
    si est , «» [55] ou «» [56] avec
    «» la période des petites élongations angulaires [38] du P.P.N.A. [27], [52] ou enfin,
    «» [57], [58] ou encore,
    si est , «» [55] ou «» [59] avec
    «» la période des petites élongations angulaires [38] du P.P.N.A. [27], [52] ou enfin,
    «» [60], [58] ou «» [61], [58],
         ces dernières expressions de période dans le cas ou établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » [62], [63] ;
  • si « est à » nous supposons , il y a mouvement du P.P.N.A. [27] jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables «» [64], [65] où le P.P.N.A. [27] s'arrête définitivement en absence de perturbations extérieures.

Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif[modifier | modifier le wikicode]

Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif »[modifier | modifier le wikicode]

     L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. [27] sous forme implicite étant l'intégrale 1ère du mouvement de ce dernier «» déterminée au paragraphe « détermination de l'intégrale 1ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «» est égale à «» avec ainsi que quelconques et l'intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A. [27] étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. [66] après substitution de « par » et de « par », nous pouvons refaire l’étude exposée au paragraphe « propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a” » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »

Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif »[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le paragraphe « tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a” » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »

« Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif[modifier | modifier le wikicode]

     Nous observons deux types de mouvement « pendulaire [67] ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «» énergie mécanique initiale et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :

  • pour un mouvement pendulaire, le portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire » [68], avec le point «» comme « centre de symétrie » [69] lequel correspond à la position d’équilibre stable [15] du P.P.(N.A.) [9] ;
  • pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la répétition du motif de l'intervalle , répété
        « vers les en restant dans le domaine des si » ou
        « vers les en restant dans le domaine des si »,
    le portrait de phase avec C.I. [8] «» étant l’antisymétrique de celui avec C.I. [8] «»,
    les maxima de valeur absolue de vitesse angulaire «» étant obtenus pour les positions d’équilibre stable [15] «» [70] et
    les minima              de valeur absolue de vitesse angulaire étant obtenus pour les positions d’équilibre instable [64] «» [71].

     Conclusion : La « bifurcation » entre les deux types de mouvement « pendulaire [67] et révolutif » correspond à un portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible « pour » ou « pour », cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient le point générique repartant dans le domaine des «» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de » ou dans le domaine des «» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de », ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation .

Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda[modifier | modifier le wikicode]

     Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant P.P.S.(N.A.) [10] par P.P.(N.A.) [9], les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «» du P.P.S.(N.A.) [10] devant être remplacée par celle du rapport «» on y trouve les lignes du programme « Scilab » [72] utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. [8] ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant puis

     Voir le paragraphe « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant P.P.S.(N.A.) [10] par P.P.(N.A.) [9], les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «» du P.P.S.(N.A.) [10] devant être remplacée par celle du rapport «» on y trouve les lignes du programme « Scilab » [72] utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. [8] ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant ensuite

     Voir le paragraphe « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant P.P.S.(N.A.) [10] par P.P.(N.A.) [9], les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «» du P.P.S.(N.A.) [10] devant être remplacée par celle du rapport «» on y trouve les lignes du programme « Scilab » [72] utilisé dans les C.I. [8] permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant et enfin

     Voir le paragraphe « superposition des trois portraits de phase précédemment tracés » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant P.P.S.(N.A.) [10] par P.P.(N.A.) [9], les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «» du P.P.S.(N.A.) [10] devant être remplacée par celle du rapport «».

Non isochronisme des oscillations[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique » plus haut dans le chapitre ou

     Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. [66] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) [10] » par « P.P.(N.A.) [9] », « par », « par » et on adapte les C.I. [8] pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant satisfaisant un mouvement pendulaire [67] d'amplitude c.-à-d. telles que « est à », l'amplitude des oscillations étant déterminée par «», « devant être substitué par dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité [73] d'où l'expression de la période d'un P.P.N.A. [27] sous forme intégrale dans laquelle «» est la période des petites élongations angulaires [38] du P.P.N.A. [27], [52] suivi de sa réécriture sans nouvelle démonstration prouvant le non isochronisme de ce dernier :

«» [74], [75].

Formule de de Borda[modifier | modifier le wikicode]

La formule de de Borda [76] n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.

     Voir le paragraphe « complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda” d'un P.P.S.N.A. [66] en mouvement oscillatoire » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. [27] en mouvement pendulaire [67], ce qui donne l’« expression approchée de de Borda [76] de la période d’oscillations »

« dans laquelle est l'amplitude des oscillations [77] exprimée en et
«» la période des « petites élongations angulaires » [38].

     Remarques : L'évaluation de la « période par formule de de Borda [76] » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de non petites celles-ci devant être à pour donner un résultat correct à près.

     Remarques : Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda” d'un P.P.S.N.A. [66] en mouvement oscillatoire » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. [27] en mouvement pendulaire [67] la C.I. [8] de vitesse angulaire du P.P.S.N.A. [66] dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant , l'amplitude des oscillations est égale à , la comparaison avec la « période par formule de de Borda [76] » donnant :

  • pour on trouve un écart relatif de entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
  • pour on trouve un écart relatif de entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
  • pour on trouve un écart relatif de entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique »)[modifier | modifier le wikicode]

Description du dispositif expérimental[modifier | modifier le wikicode]

     Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. [27], les frottements fluide (et solide) ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » [78] ;

Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un pendule pesant dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours

     nous pouvons utiliser le pendule pesant, schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :

  • une tige cylindrique, de C.D.I. [2] , de masse , de longueur et de rayon , pouvant être fixée en sur un axe horizontal de rotation l’axe du potentiomètre décrit ci-après,
  • un cylindre métallique, de C.D.I. [2] , de masse , de longueur , de rayon extérieur et de rayon intérieur , dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. [2] global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
  • un potentiomètre bobiné tours de voir ci-dessous à droite, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ;
       le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. [79] entre et , la position angulaire du pendule étant alors à la tension «» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ;
       lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «» à l’équilibre inférieure à [80], l’échelle de tension est alors de « pour » en effet aux bornes des tours de potentiomètre donne par tour et pour de tour correspondant à une élongation angulaire de  ;

     l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » ci-dessous à gauche pilotée par interface « python », voir le paragraphe « utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python » suivant.

Exemple de potentiomètre tours de
Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python

     Remarque : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise , utiliser un potentiomètre monotour de en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de , « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de » [81], l’échelle de tension est de « pour » [81], l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série », voir le paragraphe « utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” » ;

     Remarque :un exemple de potentiomètre monotour et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” sont présentés respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe précité ci-dessus.

Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python[modifier | modifier le wikicode]

     On réalise une acquisition de la tension avec une période d’échantillonnage de et pendant une durée de [82] correspondant donc à valeurs captées la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule [83], le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant :

import pycanum.main as pycan
import matplotlib.pyplot as plt

import numpy
import math

sys = pycan.Sysam("SP5") [84]
sys.config_entrees([0],[1])
te=1e-2 # période d'échantillonnage
ne=7000 # nombre d'échantillons
duree=te*ne
sys.config_echantillon(te*10**6,ne)           # période d'échantillonnage en µs
sys.acquerir()
t=sys.temps()
u=sys.entrees()
echelle = 0.6/(math.pi/2)           # conversion tension->angle
angle=u[0]/echelle
temps=t[0]
numpy.savetxt("pendule-6.txt",[temps,angle])
sys.fermer()
plt.figure(figsize=(18,6))           # taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm

plt.plot(temps,angle)
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("theta (rad)")
plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
plt.show() [85]

Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. [86] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python
Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. [86] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python


     puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire [87], le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous

from matplotlib.pyplot import *           # importe tous les noms du module sauf ceux commençant par "_"
import numpy as np
import math
import scipy.signal

[temps,angle] = np.loadtxt("pendule-6.txt")
figure(figsize=(10,6))           # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(temps,angle)
xlabel("t (s)")
ylabel("theta (rad")
axis([0,70,-2,2])
grid()           # ajoute une grille de fond sur la figure


     ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. [86] par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «» avec « la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » [88] il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas [89] avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre


a=[te]           # dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
b=[1,-1]           # le 1er et 2nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle)
figure(figsize=(10,6))           # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(temps,omega)
xlabel("t (s)")
ylabel("omega (rad/s")
axis([0,70,-10,10])
grid()           # ajoute une grille de fond sur la figure


     on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

     on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « filtre à R.I.F. [90] » qui est basée sur une réponse C.L. [91] d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «», les cœfficients «» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » [92], [93], le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle  :

Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. [86] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations


P=20           # un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif [94]
fc=0.05           # une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal

h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming')           # utilise le module « filtre à R.I.F. [90] » [95]
y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid')           # réalise le filtrage par convolution [96] du signal θ par le filtre passe-bas simulé

ny = y.size           # définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
ty = np.zeros(ny)           # définit une liste « ty » contenant ny zéros
for k in range(ny):                    # remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
     ty[k] = P*te+te*k [97]           # … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »

figure(figsize=(10,6))           # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(temps,angle,"b")           # tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
plot(ty,y,"r")           # tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
xlabel("t (s)")
ylabel("theta (rad)")
axis([50,60,-0.3,0.3])
grid()           # ajoute une grille de fond sur la figure

Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. [86] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas


     ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. [86] par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «» avec « la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te]           # dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
b=[1,-1]           # le 1er et 2nd cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
figure(figsize=(10,6))           # taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
plot(ty,omega)
xlabel("t (s)")
ylabel("omega (rad/s)")
axis([0,70,-10,10])
grid()           # ajoute une grille de fond sur la figure

Portrait de phase d'un P.P.A. [86] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur

     enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. [86] à partir de son point de lancement, on élimine les 1ères valeurs des listes de temps «», de positions angulaires «» et de vitesses angulaires «» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement celle de vitesses angulaires étant divisée par de façon à ce que ces dernières soient exprimées en , le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te)           # retourne un entier à partir de 1.0/te
y = np.delete(y,range(debut))           # supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
ty = np.delete(ty,range(debut))           # supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi)           # supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans …
                                                                                              # … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
figure(figsize=(6,6))           # taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
plot(y,omega)
axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
xlabel("theta")
ylabel("omega")
grid()           # ajoute une grille de fond sur la figure


     Remarque : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. [27] à partir de celles du P.P.A. [86] obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même

Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi »[modifier | modifier le wikicode]

     Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un pendule pesant « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » [98], [99] ; ci-après est proposée

Exemple de potentiomètre monotour de
Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi
Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. [86]

     une 1ère manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » voir ci-contre à gauche associée au logiciel « Regressi » [98] on peut utiliser le dispositif du paragraphe « description du dispositif expérimental (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour comme celui représenté ci-contre à droite et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire [100] mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs

Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans ce paragraphe est proposée une 2nde manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 on peut utiliser le dispositif du paragraphe « description du dispositif expérimental » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour comme celui représenté ci-dessus à droite et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » [101], [102] et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » [98].

     Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » [101] et réglage du zéro [103] : l'acquisition de la tension sera faite avec une période d’échantillonnage de et pendant une durée de il y aura donc valeurs captées pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « description du dispositif expérimental (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) [80] » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de on trouve [104], l'échelle de correspondance « pour » en effet pour un tour de potentiomètre donne pour de tour correspondant à une élongation angulaire de .

     Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement acquisitions après avoir écarté le pendule pesant de sa position d'équilibre stable [15] et l'avoir lâché sans vitesse initiale

  • la 1ère correspondant à une grande amplitude voisine de avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience et
  • la 2nde correspondantà une grande amplitude voisine de avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience , puis

            Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «» [105] et «» c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire.

     Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » [98] : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de « Regressi » [98], on obtient un tableau donnant «» et «», on modifie alors «» en «» [106] et on crée la nouvelle variable «» à partir de «» selon «» étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en [107] puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».

Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. [27], [108] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » [101] et « Regressi » [98]
Portrait de phase d'un P.P.N.A. [27], [108] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » [101] et « Regressi » [98]
Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. [86], [109] écarté de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » [101] et « Regressi » [98]
  • Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. [27], [108] : ayant écarté le P.P.N.A. [27], [108] de de sa position d'équilibre stable [15] et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » [101] sur une durée de après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant «» étant en et en , enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » [98], le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. [27], [108] obtenu par « Regressi » [98] étant présenté ci-contre :
       on y détermine une période de «» avec une amplitude «» et bien que le tracé semble, à 1ère vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique [110], [111].
  • Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A. [27], [108] : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » [98] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. [27], [108] écarté de de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » [98] selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire sans que les différents points successifs ne soient reliés, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude .
  • Portrait de phase du P.P.N.A. [27], [108] : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » [98] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. [27], [108] écarté de de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. [27], [108] selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1ère vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé [111], ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique


  • Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. [86], [109] : ayant écarté le P.P.A. [86], [109] de [112] de sa position d'équilibre stable [15] et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » [101] sur une durée de , après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant «» étant en et en , enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » [98], le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. [86], [109] obtenu par « Regressi » [98] étant présenté ci-contre :
       on y détermine une pseudo-période de «» avec une amplitude de la 1ère pseudo-oscillation «», la de la pseudo-amplitude étant exponentielle [113], [114] on peut définir le décrément logarithmique [115] dont la valeur est «» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement la pseudo-amplitude selon .
  • Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. [86], [109] : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » [98] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. [27], [109] écarté de de sa position d'équilibre stable [15] et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » [98] selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire sans que les différents points successifs ne soient reliés, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1ère pseudo-amplitude .
  • Portrait de phase du P.P.A. [86], [109] : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » [98] correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. [86], [109] écarté de