Appliquant la r.f.d.n[1]. à l'objet matériel soumis à la seule force de gravitation newtonienne due à « la planète sphérique homogène » de centre à savoir «», « étant la constante de gravitation universelle », « la coordonnée radiale de et le vecteur unitaire radial lié à dans le repérage sphérique de ce dernier de pôle [2] associé au référentiel lié à la planète, référentiel supposé galiléen » nous obtenons «» ;
l'objet matériel étant de mouvement à force centrale et lâché sans vitesse initiale, sa constante des aires
est nulle et sa chute en direction de la planète
est rectiligne vers le centre
de cette dernière
l'étude de la chute de l'objet matériel dans le référentiel
lié à la planète est donc un problème à une dimension
; notant «
avec
» la projection de la r.f.d.n
[1]. sur
donne «
» avec
l'abscisse du point
sur l'axe
soit finalement l'équation différentielle non linéaire du 2
ème ordre en
«».
Pour intégrer une
1re fois on multiplie chaque membre de l'équation
par
«
»
«
» ou, à l'aide des C.I
[3].
, l'intégrale
1re du mouvement de chute de l'objet matériel
sur la planète sphérique homogène
dans le référentiel
galiléen lié à cette dernière
«».
Pour intégrer une 2
ème fois l'équation différentielle
du 2
ème ordre en
, c'est-à-dire intégrer l'intégrale
1re du mouvement de chute de l'objet matériel
sur la planète sphérique homogène
dans le référentiel
galiléen lié à cette dernière, on sépare les variables à partir de
légèrement transformée «
» ce qui donne
«» le signe «» résultant du fait que lors de la chute ;
pour intégrer le membre de gauche on fait le changement de variable « avec » «» et «» d'où «» qui s'intègre en «»,
pour intégrer le membre de droite s'intégrant en «» soit finalement,
en intégrant le membre de gauche entre et ou, pour la variable , entre et et le membre de droite entre et , «» ou,
en revenant à la variable
par «
avec
»
«
»
[4] «
», la loi horaire de chute de l'objet ponctuel
sur la planète sphérique homogène
dans le référentiel
lié à la planète sous la forme
«» ;
le rayon de la planète sphérique homogène
étant
la surface de la planète peut être confondue avec le centre
de
, la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète à savoir
«» correspondant à «
» on en déduit la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète en évaluant «
» à l'aide de
soit
«».
Remarque, autre détermination de l'intégrale 1re du mouvement de chute de l'objet matérielsur la planète sphérique homogènedans le référentielgaliléen lié à cette dernière : le mouvement de chute de l'objet matériel
sur la planète sphérique homogène
dans le référentiel
galiléen lié à cette dernière étant « à force centrale conservative », l'énergie mécanique de l'objet
dans le champ de gravitation de la planète
est conservée, l'énergie potentielle de gravitation de
s'écrivant «
en choisissant sa référence
[5] à l'infini de
» d'où l'intégrale
1re énergétique de
dans sa chute vers
«
» avec «
» et «
en absence de vitesse initiale » soit
«» ou, après multiplication par , l'équation «».