Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes

Objet « tombant » sur une planète

     Soit un objet assimilé à un point matériel $\;P\;$ de masse $\;m$, situé à une distance initiale $\;a\;$ du centre $\;O\;$ d’une planète sphérique, homogène de masse $\;M\,\gg \,m$, l’objet étant initialement fixe par rapport au référentiel lié à la planète, référentiel supposé galiléen.

     L'objet étant lâché de sa position initiale sans vitesse initiale, nous nous proposons de déterminer la durée de chute de l'objet puis de comparer cette durée à la période de révolution que l'objet aurait s'il décrivait une orbite circulaire de rayon $\;a$ $\;{\big \{}$la constante de gravitation universelle étant notée $\;{\mathcal {G}}{\big \}}$.

Détermination de la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète

     Combien de temps mettra l'objet pour « tomber » jusqu'à la surface de la planète sachant que le rayon de celle-ci $\;R_{\text{planète}}\;$ est $\;\ll a$, ce qui revient à confondre la surface de la planète avec son centre $\;O$ ?

Solution

     Appliquant la r.f.d.n. à l'objet matériel $\;P\left(m\right)\;$ soumis à la seule force de gravitation newtonienne due à « la planète sphérique homogène $\;{\mathcal {S}}\left(M\right)\;$» de centre $\;O\;$ à savoir «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$», «$\;{\mathcal {G}}\;$ étant la constante de gravitation universelle », «$\;r=OP\;$ la coordonnée radiale de $\;P\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial lié à $\;P\;$ dans le repérage sphérique de ce dernier de pôle $\;O\;$ associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la planète, référentiel supposé galiléen » nous obtenons «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{P}(t)\;$» ;

     l'objet matériel étant de mouvement à force centrale et lâché sans vitesse initiale, sa constante des aires $\;C\;$ est nulle et sa chute en direction de la planète $\;{\mathcal {S}}\;$ est rectiligne vers le centre $\;O\;$ de cette dernière $\;{\big (}$l'étude de la chute de l'objet matériel dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la planète est donc un problème à une dimension${\big )}$ ; notant «$\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {\overrightarrow {OP_{0}}}{a}}\;$ avec $\;a=\Vert {\overrightarrow {OP_{0}}}\Vert \;$» la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne «$\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{\left[x(t)\right]^{2}}}=$ $m\;{\ddot {x}}(t)\;$» avec $\;x(t)={\overline {OP}}(t)\;$ l'abscisse du point $\;P\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ soit finalement l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{\left[x(t)\right]^{2}}}=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».      Pour intégrer une 1^re fois on multiplie chaque membre de l'équation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ par $\;{\dot {x}}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {x}}(t)\;{\dot {x}}(t)+{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{\left[x(t)\right]^{2}}}\;{\dot {x}}(t)=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{x(t)}}=cste\;$» ou, à l'aide des C.I. $\;\left\lbrace x(0)=a\,,\,{\dot {x}}(0)=0\right\rbrace$, l'intégrale 1^re du mouvement de chute de l'objet matériel $\;P\;$ sur la planète sphérique homogène $_{;}{\mathcal {S}}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à cette dernière «$\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;M}{x(t)}}=-{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;M}{a}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».      Pour intégrer une 2^ème fois l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ du 2^ème ordre en $\;x(t)$, c'est-à-dire intégrer l'intégrale 1^re $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ du mouvement de chute de l'objet matériel $\;P\;$ sur la planète sphérique homogène $\;{\mathcal {S}}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à cette dernière, on sépare les variables à partir de $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ légèrement transformée «$\;{\dot {x}}^{2}(t)=2\;{\mathcal {G}}\;M\,\left[{\dfrac {1}{x(t)}}-{\dfrac {1}{a}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dot {x}}^{2}(t)=2\;{\mathcal {G}}\;M\;{\dfrac {a-x(t)}{a\;x(t)}}\;$» ce qui donne «$\;{\dfrac {dx}{\sqrt {\dfrac {a-x}{a\;x}}}}=-{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}\;dt\;$» $\;{\big \{}$le signe «$\;-\;$» résultant du fait que $\;x\;\searrow \;$ lors de la chute${\big \}}$ ;

     pour intégrer le membre de gauche on fait le changement de variable «$\;x=a\;\cos ^{2}(\alpha )\;$ avec $\;\alpha \,\in \,\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\sqrt {\dfrac {a-x}{a\;x}}}={\sqrt {\dfrac {a-a\;\cos ^{2}(\alpha )}{a^{2}\;\cos ^{2}(\alpha )}}}={\dfrac {1}{\sqrt {a}}}\;\tan(\alpha )\;$» et «$\;dx=-2\;a\;\cos(\alpha )\;\sin(\alpha )\;d\alpha \;$» d'où «$\;{\dfrac {dx}{\sqrt {\dfrac {a-x}{a\;x}}}}={\dfrac {-2\;a\;\cos(\alpha )\;\sin(\alpha )\;d\alpha }{{\dfrac {1}{\sqrt {a}}}\;\tan(\alpha )}}=-2\;a^{\frac {3}{2}}\;\cos ^{2}(\alpha )\;d\alpha =-a^{\frac {3}{2}}\left[1+\cos(2\;\alpha )\right]d\alpha \;$» qui s'intègre en «$\;-a^{\frac {3}{2}}\left[\alpha +{\dfrac {\sin(2\;\alpha )}{2}}\right]+cste\;$»,

     pour intégrer le membre de droite s'intégrant en «$\;-{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}\;t+cste'\;$» soit finalement,

     en intégrant le membre de gauche entre $\;a\;$ et $\;x$ $\;{\big \{}$ou, pour la variable $\;\alpha$, entre $\;0\;$ et $\;\alpha {\big \}}$ et le membre de droite entre $\;0\;$ et $\;t$, «$\;-a^{\frac {3}{2}}\left[\alpha +{\dfrac {\sin(2\;\alpha )}{2}}\right]=-{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}\;t\;$» ou,

     en revenant à la variable $\;x\;$ par «$\;x=a\;\cos ^{2}(\alpha )\;$ avec $\;\alpha \,\in \,\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;\alpha =\arccos \!\left[{\sqrt {\dfrac {x}{a}}}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {\sin(2\;\alpha )}{2}}=\sin(\alpha )\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\alpha )}}\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-{\dfrac {x}{a}}}}\;{\sqrt {\dfrac {x}{a}}}={\dfrac {\sqrt {(a-x)\;x}}{a}}\;$», la loi horaire de chute de l'objet ponctuel $\;P\;$ sur la planète sphérique homogène $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la planète sous la forme $\;t=t(x)\;$ «$\;t={\dfrac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}}\left\lbrace \arccos \!\left[{\sqrt {\dfrac {x}{a}}}\right]+{\dfrac {\sqrt {(a-x)\;x}}{a}}\right\rbrace \;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» ;      le rayon de la planète sphérique homogène $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant $\;\ll a\;$ $\Rightarrow$ la surface de la planète peut être confondue avec le centre $\;O\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète à savoir «$\;t_{\text{sol}}\;$» correspondant à «$\;x_{\text{sol}}\simeq 0\;$» on en déduit la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète en évaluant «$\;t_{\text{sol}}\simeq t(x_{\text{sol}}\simeq 0)\;$» à l'aide de $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ soit «$\;t_{\text{sol}}\simeq {\dfrac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}={\dfrac {\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\,\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\;$».      Remarque, autre détermination de l'intégrale 1^re du mouvement de chute de l'objet matériel${\underline {\;P\;}}$sur la planète sphérique homogène${\underline {\;{\mathcal {S}}\;}}$dans le référentiel${\underline {\;{\mathcal {R}}\;}}$galiléen lié à cette dernière : le mouvement de chute de l'objet matériel $\;P\left(m\right)\;$ sur la planète sphérique homogène $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à cette dernière étant « à force centrale conservative », l'énergie mécanique de l'objet $\;P\;$ dans le champ de gravitation de la planète $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservée, l'énergie potentielle de gravitation de $\;P\;$ s'écrivant «$\;U_{\text{gravit}}(P_{t})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{x(t)}}\;$ en choisissant sa référence à l'infini de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'où l'intégrale 1^re énergétique de $\;P\;$ dans sa chute vers $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;E_{m}(t)=K_{P}(t)+U_{\text{gravit}}(P_{t})={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{x(t)}}\;$» et «$\;E_{m}(0)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{a}}\;$ en absence de vitesse initiale » soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{x(t)}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{a}}\;$» ou, après multiplication par $\;{\dfrac {2}{m}}$, l'équation «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

 

Expression de la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète en fonction de la période de révolution qu'aurait cet objet s'il décrivait une orbite circulaire autour de la planète pour une même position initiale

     Exprimer cette durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète en fonction de la période de révolution d'un satellite en orbite circulaire autour de la planète, le rayon de l'orbite étant égal à la distance initiale $\;a\;$ séparant l'objet du centre $\;O\;$ de la planète.

Solution

     Si, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à la planète sphérique homogène $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, l'objet matériel $\;P\left(m\right)\;$ décrivait une orbite circulaire de rayon $\;a\;$ autour de cette planète $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, la révolution de $\;P\;$ autour de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ se ferait avec une période égale à «$\;T={\sqrt {\dfrac {4\;\pi ^{2}\;a^{3}}{{\mathcal {G}}\;M}}}\;$» s'écrivant encore «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\;a^{\frac {3}{2}}\;$» ; nous en déduisons «$\;{\dfrac {t_{\text{sol}}}{T}}={\dfrac {{\dfrac {\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\,\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}}{{\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\;a^{\frac {3}{2}}}}=2^{-{\frac {5}{2}}}\;$» c'est-à-dire que la durée de chute de l'objet matériel $\;P\;$ pour atteindre la surface de la planète $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sans vitesse initiale à partir d'une distance $\;a\;$ du centre de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est «$\;2^{\frac {5}{2}}\simeq 5,66\;$ fois plus petite » que la période qu'aurait cet objet décrivant une orbite circulaire de rayon $\;a\;$ autour de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.