Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne
Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité[modifier | modifier le wikicode]

     On étudie le mouvement d'une particule de masse dans un champ newtonien de centre de champ , celle-ci subit donc une force « centrale » avec et dont une des conséquences, en absence de toute autre force, est la nature plane ou rectiligne de son mouvement dans le référentiel d'étude galiléen.

     On repère le point par ses coordonnées cylindro-polaires «» dans la base cylindro-polaire locale «» le plan de la position et du vecteur vitesse initiales étant choisi pour plan .

Établissement d'une intégrale 1ère vectorielle du mouvement de la particule dans un champ newtonien introduisant la notion de « vecteur excentricité » de la trajectoire de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

     «» désignant le vecteur vitesse du point à l'instant soumis au champ de force newtonien «» dans le référentiel d'étude galiléen et
     « la constante des aires » du mouvement de ,
     établir, en appliquant la r.f.d.n. [1] à la particule dans ,
     établir l'intégrale 1ère du mouvement de la particule exprimant que le vecteur «» est constant pour des C.I. [2] fixées,
      établir l'intégrale 1ère du mouvement de la particule ( a ) exprimant que le vecteur initial «» étant noté «» et appelé « vecteur excentricité » de la trajectoire de la particule.

Déduction, à partir de l'intégrale 1ère vectorielle précédente du mouvement de la particule dans un champ newtonien, de l'équation polaire de la trajectoire de cette dernière ainsi que de sa nature[modifier | modifier le wikicode]

     En multipliant scalairement chaque membre de par «», en déduire l'équation polaire de la trajectoire de la particule et

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « uθ(t) », en déduire l'appartenance de cette dernière à la famille des coniques c.-à-d. que celle-ci est une conique ou, dans le cas d'une hyperbole, une branche d'hyperbole dont est le (ou un des) foyer(s), on distinguera le cas d'un champ de force attractif de celui d'un champ de force répulsif et on précisera le paramètre de la conique ainsi que la position de son axe focal [4] relativement au vecteur «» ;

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « uθ(t) », justifier l'appellation « vecteur excentricité » donnée à «».

Discussion de la nature de la trajectoire de la particule dans un champ newtonien à partir de l'évaluation de la norme du vecteur excentricité de la conique (ou branche de conique) décrite par la particule[modifier | modifier le wikicode]

     Calculer «» en fonction de «, , et de l'énergie mécanique initiale » puis

     discuter la nature de la trajectoire selon le signe de «».

Autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace)[modifier | modifier le wikicode]

     On étudie le mouvement d'une particule de masse dans un champ newtonien de centre de champ , celle-ci subit donc une force « centrale » avec et dont une des conséquences, en absence de toute autre force, est la nature plane ou rectiligne de son mouvement dans le référentiel d'étude galiléen.

     On repère le point par ses coordonnées cylindro-polaires «» dans la base cylindro-polaire locale «» le plan de la position et du vecteur vitesse initiales étant choisi pour plan .

Établissement d'une intégrale 1ère vectorielle du mouvement de la particule dans un champ newtonien introduisant la notion de « vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace) » du mouvement de la particule[modifier | modifier le wikicode]

     «» désignant le vecteur vitesse du point à l'instant soumis au champ de force newtonien «» dans le référentiel d'étude galiléen et
     « le moment cinétique vectoriel relativement au centre de force » du point à n'importe quel instant [8],
     établir, en appliquant la r.f.d.n. [1] à la particule dans ,
     établir l'intégrale 1ère du mouvement de la particule exprimant que le vecteur «» est constant pour des C.I. [2] fixées,
      établir l'intégrale 1ère du mouvement de la particule ( a ) exprimant que le vecteur initial «» étant noté «» et appelé « vecteur de Runge/Lenz » [9], [10] ou encore « vecteur de Laplace » [11] du mouvement de la particule.

Déduction, de l'intégrale 1ère vectorielle précédente du mouvement de la particule dans un champ newtonien, l'équation polaire de la trajectoire de cette dernière ainsi que sa nature[modifier | modifier le wikicode]

     En multipliant scalairement chaque membre de par «», en déduire l'équation polaire de la trajectoire de la particule et

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « ur(t) », en déduire l'appartenance de cette dernière à la famille des coniques c.-à-d. que celle-ci est une conique ou, dans le cas d'une hyperbole, une branche d'hyperbole dont est le (ou un des) foyer(s), on distinguera le cas d'un champ de force attractif de celui d'un champ de force répulsif et on précisera le paramètre de la conique ainsi que la position de l'axe focal [4] relativement au vecteur «» plus précisément expliciter le « vecteur de Runge/Lenz » [9], [10] ou « vecteur de Laplace » [11] en fonction du « vecteur unitaire orientant l'axe focal [4] de la conique ou, dans le cas d'une hyperbole, de la branche de cette dernière», de l'« excentricité de la trajectoire » et du facteur « caractérisant la nature du champ de force newtonien ».