Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne

Leçons de niveau 14
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Autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité[modifier | modifier le wikicode]

     On étudie le mouvement d'une particule de masse dans un champ newtonien de centre de champ , celle-ci subit donc une force « centrale » avec et dont une des conséquences, en absence de toute autre force, est la nature plane ou rectiligne de son mouvement dans le référentiel d'étude galiléen.

     On repère le point par ses coordonnées cylindro-polaires «» dans la base cylindro-polaire locale «» le plan de la position et du vecteur vitesse initiales étant choisi pour plan .

Établissement d'une intégrale 1re vectorielle du mouvement de la particule dans un champ newtonien introduisant la notion de « vecteur excentricité » de la trajectoire de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

     «» désignant le vecteur vitesse du point à l'instant soumis au champ de force newtonien «» dans le référentiel d'étude galiléen et
     « la constante des aires » du mouvement de ,
     établir, en appliquant la r.f.d.n[1]. à la particule dans ,
     établir l'intégrale 1re du mouvement de la particule exprimant que le vecteur «» est constant pour des C.I[2]. fixées,
      établir l'intégrale 1re du mouvement de la particule ( a ) exprimant que le vecteur initial «» étant noté «» et appelé « vecteur excentricité » de la trajectoire de la particule.

Déduction, à partir de l'intégrale 1re vectorielle précédente du mouvement de la particule dans un champ newtonien, de l'équation polaire de la trajectoire de cette dernière ainsi que de sa nature[modifier | modifier le wikicode]

     En multipliant scalairement chaque membre de par «», en déduire l'équation polaire de la trajectoire de la particule et

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « uθ(t) », en déduire l'appartenance de cette dernière à la famille des coniques c'est-à-dire que celle-ci est une conique ou, dans le cas d'une hyperbole, une branche d'hyperbole dont est le (ou un des) foyer(s), on distinguera le cas d'un champ de force attractif de celui d'un champ de force répulsif et on précisera le paramètre de la conique ainsi que la position de son axe focal[4] relativement au vecteur «» ;

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « uθ(t) », justifier l'appellation « vecteur excentricité » donnée à «».

Discussion de la nature de la trajectoire de la particule dans un champ newtonien à partir de l'évaluation de la norme du vecteur excentricité de la conique (ou branche de conique) décrite par la particule[modifier | modifier le wikicode]

     Calculer «» en fonction de «, , et de l'énergie mécanique initiale » puis

     discuter la nature de la trajectoire selon le signe de «».

Autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace)[modifier | modifier le wikicode]

     On étudie le mouvement d'une particule de masse dans un champ newtonien de centre de champ , celle-ci subit donc une force « centrale » avec et dont une des conséquences, en absence de toute autre force, est la nature plane ou rectiligne de son mouvement dans le référentiel d'étude galiléen.

     On repère le point par ses coordonnées cylindro-polaires «» dans la base cylindro-polaire locale «» le plan de la position et du vecteur vitesse initiales étant choisi pour plan .

Établissement d'une intégrale 1re vectorielle du mouvement de la particule dans un champ newtonien introduisant la notion de « vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace) » du mouvement de la particule[modifier | modifier le wikicode]

     «» désignant le vecteur vitesse du point à l'instant soumis au champ de force newtonien «» dans le référentiel d'étude galiléen et
     « le moment cinétique vectoriel relativement au centre de force » du point à n'importe quel instant[8],
     établir, en appliquant la r.f.d.n[1]. à la particule dans ,
     établir l'intégrale 1re du mouvement de la particule exprimant que le vecteur «» est constant pour des C.I[2]. fixées,
      établir l'intégrale 1re du mouvement de la particule ( a ) exprimant que le vecteur initial «» étant noté «» et appelé « vecteur de Runge/Lenz »[9],[10] ou encore « vecteur de Laplace »[11] du mouvement de la particule.

Déduction, de l'intégrale 1re vectorielle précédente du mouvement de la particule dans un champ newtonien, l'équation polaire de la trajectoire de cette dernière ainsi que sa nature[modifier | modifier le wikicode]

     En multipliant scalairement chaque membre de par «», en déduire l'équation polaire de la trajectoire de la particule et

         En multipliant scalairement chaque membre de ( a ) par « ur(t) », en déduire l'appartenance de cette dernière à la famille des coniques c'est-à-dire que celle-ci est une conique ou, dans le cas d'une hyperbole, une branche d'hyperbole dont est le (ou un des) foyer(s), on distinguera le cas d'un champ de force attractif de celui d'un champ de force répulsif et on précisera le paramètre de la conique ainsi que la position de l'axe focal[4] relativement au vecteur «» plus précisément expliciter le « vecteur de Runge/Lenz »[9],[10] ou « vecteur de Laplace »[11] en fonction du « vecteur unitaire orientant l'axe focal[4] de la conique ou, dans le cas d'une hyperbole, de la branche de cette dernière», de l'« excentricité de la trajectoire » et du facteur « caractérisant la nature du champ de force newtonien ».

Lien entre le « vecteur de Runge / Lenz (ou de Laplace) » du mouvement de la particule dans le champ de force newtonien et le « vecteur excentricité » du même mouvement[modifier | modifier le wikicode]

     Dans l'exercice précédent « autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité » nous avons introduit la notion de « vecteur excentricité » ou, en conservant le choix des axes cartésiens adoptés dans l'exercice actuel «»[14] tout comme le « vecteur de Runge/Lenz »[9],[10] ou « vecteur de Laplace »[11] «», le « vecteur excentricité » est une grandeur conservée au cours du mouvement et son utilisation permet de retrouver l'équation polaire de la trajectoire de la particule ainsi que sa nature[15], nous nous proposons, dans cette question, de trouver un lien entre le « vecteur de Runge/Lenz »[9],[10] ou « vecteur de Laplace »[11] «» et le « vecteur excentricité de la trajectoire ».

Vitesses d'un satellite à son apogée et à son périgée[modifier | modifier le wikicode]

     Un satellite terrestre, assimilé à un point matériel , décrit autour de la Terre de centre , une courbe fermée.

     La distance entre et est notée et on connaît les valeurs et de correspondant au satellite à l’apogée et au périgée de sa trajectoire.

     Sont également connues la constante de gravitation universelle et la masse de la Terre .

     Seule l’interaction newtonienne entre la Terre et le satellite est prise en compte.

     Déterminer les vitesses du satellite et à l’apogée et au périgée de sa trajectoire en fonction de , , et .

Lancement d'un engin balistique[modifier | modifier le wikicode]

     Un engin balistique assimilé à un point matériel doit joindre deux points du globe terrestre vus du centre de la Terre sous l'angle , le globe terrestre étant supposé sphérique de rayon .

     L'angle de tir angle du vecteur vitesse initiale de l'engin balistique dans le référentiel géocentrique supposé galiléen avec l'horizontale au point de lancement est noté «» le sens d'algébrisation de cet angle de tir étant choisi pour que «».

Détermination de l'excentricité de la portion de conique suivie par l'engin balistique[modifier | modifier le wikicode]

     Rappeler, sans démonstration, l'équation polaire de la trajectoire de l'engin balistique, le « pôle du repérage de ce dernier étant le centre de la Terre » et l'« axe polaire de ce repérage la verticale ascendante du lieu au point de lancement, verticale orientée par » les angles algébrisés du plan de la trajectoire noté étant orienté par à ce plan et tel que «» avec la base cartésienne orthonormée directe , les coordonnées polaires de l'engin balistique étant et la base polaire liée à telle que soit orthonormée directe,

     déterminer l'axe focal[4] de la conique suivie par l'engin balistique terrestre en exprimant l'« angle que fait l'axe focal[4] avec l'axe polaire » en fonction de puis

     déterminer l'excentricité «» de la conique en fonction de et ainsi que

     déterminer la nature elliptique de cette dernière compte-tenu du fait que la trajectoire de l'engin balistique terrestre doit atteindre le point d'arrivée sur le globe terrestre postérieurement après son point de lancement la trajectoire entre et ne pouvant évidemment pas être à l'intérieur de la Terre .

     Faire l'A.N[18]. avec « et ».

Détermination du demi-grand axe de la trajectoire de l'engin balistique[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer, en fonction de «, et du rayon terrestre », le demi grand axe «» de la trajectoire puis

     faire l'A.N[18]. avec «».

Détermination de la vitesse initiale de lancement de l'engin balistique[modifier | modifier le wikicode]

     Rappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie mécanique de l'engin balistique dans le champ de gravitation terrestre en fonction du demi grand axe «» de sa trajectoire ainsi que de la constante de gravitation universelle , de la masse de la Terre et de la masse de l'engin balistique puis

     en déduire la vitesse initiale «» à communiquer à l'engin dans le référentiel géocentrique en fonction de «, et » et

     faire l'A.N[18]. avec « et ».

Détermination de l'altitude maximale atteinte par l'engin balistique[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer l'altitude maximale «» atteinte par l'engin balistique en fonction de «, et » et

     faire l'A.N[18]..

Transfert d'orbite pour un satellite, ellipse de Hohmann[modifier | modifier le wikicode]

Représentation de l'ellipse de transfert de Hohmann[26] faisant passer le satellite terrestre d'une orbite circulaire de rayon à une orbite circulaire de rayon

     On veut faire passer un satellite de la Terre , d'une orbite circulaire de rayon sur une orbite circulaire de rayon en lui faisant décrire une ellipse de grand axe étant sur le 1er cercle et sur le 2nd, voir schéma ci-contre.

     Pour cela, lors du passage du satellite en la position on provoque la variation de vitesse permettant de réaliser ce transfert[27], puis

     Pour cela, lorsque le satellite sur l'ellipse de transfert arrive en la position on provoque une nouvelle variation de vitesse pour que le satellite passe sur l'orbite circulaire de rayon [27].

     L'étude étant faite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, on se propose de calculer :

  • les vitesses «» et «» du satellite sur l'orbite de transfert aux positions et ,
  • les variations d'énergie cinétique «» et «» du satellite de masse lors du transfert en et ,
  • l'apport total d'énergie mécanique «» nécessaire pour réaliser le transfert souhaité.

     A.N. : «», « masse de la Terre», «», «» et « constante de gravitation universelle».

Comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973)[modifier | modifier le wikicode]

Positionnement de l'orbite de la grande comète de assimilée à une parabole par rapport à l'orbite de la Terre assimilée à un cercle

     La grande comète Kohoutek[31] «» est passée le à la position la plus proche du Soleil , sa distance au centre du Soleil était alors «»[32].

     Pour simplifier, nous assimilerons l'orbite terrestre à un cercle de rayon «»[32] parcourue à la vitesse «» et l'orbite de la grande comète Kohoutek[31] «» à une parabole[33] située dans le plan de l'orbite terrestre, la constante de gravitation universelle étant notée «» et la masse du Soleil «» mais leurs valeurs numériques n'étant pas fournies ne doivent donc pas être utilisées il faut se limiter aux données numériques du texte.

Calcul de la vitesse de la comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973) au passage au plus proche du Soleil[modifier | modifier le wikicode]

     En assimilant le mouvement de la grande comète Kohoutek[31] «» à un mouvement parabolique, calculer la vitesse de la comète en la position la plus proche du Soleil [34], «».

Calcul des abscisses angulaires correspondant au croisement de la comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973) avec l'orbite terrestre[modifier | modifier le wikicode]

     En considérant la trajectoire « parabolique » de la grande comète Kohoutek[31] «» et l'orbite terrestre coplanaires, calculer les valeurs de l'angle «» aux dates où l'orbite de rencontre l'orbite terrestre.

Détermination des dates de croisement de la comète « parabolique » Kohoutek (ou grande comète de 1973) avec l'orbite terrestre[modifier | modifier le wikicode]

     À partir des valeurs de «» précédemment déterminées ainsi que la date de passage au plus près du Soleil , préciser

  • la date d'entrée de la grande comète Kohoutek[31] «» dans l'orbite terrestre et
  • sa date de sortie.

Écart à la satellisation sur une orbite circulaire[modifier | modifier le wikicode]

     On se propose de mettre en orbite circulaire de rayon «» autour de la Terre , un engin spatial «» de masse «» ;

     dans la 1re question on cherche les caractéristiques que doit avoir ce satellite pour satisfaire au cahier des charges et

     dans la 2ème question, constatant qu'une erreur « concernant la direction de lancement » s'est produite, on se propose de déterminer les caractéristiques obtenues pour la trajectoire du satellite compte-tenu de cette erreur à l'exclusion de toutes autres.

Détermination des caractéristiques de l'orbite circulaire souhaitée pour l'engin spatial[modifier | modifier le wikicode]

     Notant «» la masse de la Terre et «» la constante universelle de gravitation, exprimer, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, les grandeurs suivantes :

  • la vitesse de lancement du satellite pour qu'il ait un mouvement circulaire de rayon «» à savoir «»[40],
  • sa période de révolution autour de la Terre «» et
  • son énergie mécanique dans le champ de gravitation terrestre «» la référence de l'énergie potentielle[7] de gravitation terrestre étant choisie à l'infini.

Détermination des caractéristiques réelle de l'orbite de l'engin spatial compte-tenu de l'erreur de direction de lancement[modifier | modifier le wikicode]

     Le satellite ayant été effectivement lancé d'une position située à une distance «» du centre de la Terre avec la vitesse souhaitée «» il a donc aussi l'énergie mécanique souhaitée «», une erreur de direction de lancement s'est produite, le vecteur vitesse «» de lancement en la position initiale faisant en réalité un angle «» avec le « plan horizontal au point de lancement »[44],[45] et nous nous proposons de déterminer les caractéristiques de la trajectoire obtenue dans le référentiel géocentrique supposé galiléen à savoir :

  • la nature elliptique de la trajectoire,
  • le demi-grand axe «» de l'orbite elliptique du satellite,
  • la période de révolution «» de ce dernier autour de la Terre ,
  • le paramètre «» de l'ellipse décrite par le satellite,
  • l'excentricité «» de cette dernière et
  • l'angle polaire «» que fait l'axe focal[4] avec l'axe polaire qui est choisi passant par » et dirigé vers lui.

Trajectoire de météorites[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une météorite entrant de l'infini, avec un vecteur vitesse initiale de paramètre d'impact , dans le champ d'attraction d'une boule de centre , de rayon , de force d'interaction newtonienne sur la météorite avec

     Une météorite assimilée à un point matériel de masse est soumis à l'interaction attractive d'une boule matérielle de centre et de rayon  ;

     cette interaction est caractérisée par une énergie potentielle «» avec « et » la référence de l'énergie potentielle[7] de la météorite dans le champ de la boule matérielle étant choisie à l'infini ;

     l'étude suivante est traitée dans le référentiel lié à la boule, référentiel supposé galiléen ;

     à l'instant initial, la météorite est à l'infini, elle est animée d'un vecteur vitesse de paramètre d'impact voir définition sur schéma ci-contre.

     Dans les deux études proposées ci-après introduire le paramètre sans dimension «» pour préciser la condition demandée.

Détermination, à partir de l'équation polaire de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude, de la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle[modifier | modifier le wikicode]

     Justifier la nature plane de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude galiléen, le plan étant choisi comme plan avec « à et de même sens » ainsi que «» l'espace étant orienté dans le sens direct, étant au plan de la trajectoire pointant vers le lecteur dans le plan de la figure ci-dessus oriente les angles algébrisés du plan dans le sens anti-horaire puis

     rappeler, sans démonstration, l'équation polaire de la trajectoire de la météorite « avec » dans le référentiel d'étude galiléen, le pôle du repérage polaire étant et l'axe polaire «» et enfin

     déterminer la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle.

Détermination, à partir du diagramme d'énergies mécanique et potentielle effective de la météorite dans le référentiel d'étude, de la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle[modifier | modifier le wikicode]

     Indépendamment de l'étude précédente, mis à part la justification de la nature plane de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude galiléen et le choix du repérage polaire précédemment défini en utilisant les mêmes notations,

     Indépendamment de l'étude précédente, rappeler l'expression de l'« énergie potentielle effective de la météorite » ainsi que
     Indépendamment de l'étude précédente, rappeler l'« intégrale 1re énergétique de cette dernière utilisant » puis
     Indépendamment de l'étude précédente, en déduire l'équation algébrique de détermination de la « distance minimale d'approche »,
     Indépendamment de l'étude précédente, la résoudre et
     Indépendamment de l'étude précédente, retrouver la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle.

Perturbation d'une trajectoire rectiligne par une masse localisée[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif de la perturbation de la trajectoire rectiligne d'un point matériel de vecteur vitesse au passage près d'un objet massique à symétrie sphérique de centre avec un paramètre d'impact

     Une « particule de masse », de « vecteur vitesse dans le repère cartésien associé au référentiel d'étude galiléen » voir ci-contre devrait parcourir la droite « à à la distance ».

     En fait on constate que sa trajectoire s'incurve, ce qu'on attribue à l'« interaction avec un astéroïde à symétrie sphérique de centre et de masse » pour simplifier la présentation on suppose connue la position du centre de l'astéroïde, ce qui permet de le choisir comme origine du repère.

Détermination de la nature de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     Justifier la nature plane de la trajectoire de la particule dans le référentiel d'étude galiléen, le plan étant choisi comme plan avec « à et de même sens » ainsi que «» l'espace étant orienté dans le sens direct, étant au plan de la trajectoire pointant vers le lecteur dans le plan de la figure ci-dessus oriente les angles algébrisés du plan dans le sens anti-horaire puis

     rappeler, sans démonstration, l'équation polaire de la trajectoire de la particule « avec » dans le référentiel d'étude galiléen, le pôle du repérage polaire étant et l'axe polaire «» et enfin

     montrer que la trajectoire de la particule est une branche hyperbolique.

Détermination de l'angle de déviation de la particule due à l'interaction avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre O[modifier | modifier le wikicode]

     Évaluer algébriquement puis numériquement l'« angle de déviation » définissant la position de la particule quand celle-ci s'éloigne à l'infini après interaction avec l'astéroïde à symétrie sphérique de centre ».

     A.N[18]. : «», «», «» et la constante de gravitation universelle «».

Comète quasi parabolique de 1843[modifier | modifier le wikicode]

     En , une comète «» est passée extrêmement près du Soleil de centre à la distance «[32] fois plus proche du Soleil que n'est Mercure , étant la position de la comète au plus proche du Soleil .

Détermination de la vitesse de la comète quasi-parabolique de 1843 à son passage au plus près du Soleil[modifier | modifier le wikicode]

     En utilisant que la Terre décrit autour du Soleil de centre , une orbite pratiquement circulaire de rayon «», à la vitesse «» et

     En utilisant que l'orbite de «» est assimilée à une parabole,

     calculer la vitesse de la comète lors de son passage en .

Détermination de la distance maximale d'éloignement de la comète quasi-parabolique de 1843 relativement au Soleil ainsi que sa vitesse à cette distance[modifier | modifier le wikicode]

     Des mesures précises ayant montré que l'orbite de «» est en fait une ellipse « très allongée » d'excentricité «, avec » est donc , établir

  • la distance maximale d'éloignement de la comète quasi-parabolique de 1843 relativement au Soleil , étant la position de la comète au plus loin du Soleil et
  • la vitesse de la comète lors de son passage en .

Détermination de l'année de retour de la comète quasi-parabolique de 1843 au plus près du Soleil[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la période de révolution de «» autour du Soleil compte-tenu de la nature elliptique de l'orbite de la comète et0

     préciser en quelle année la comète «» passera de nouveau en .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 et 1,6 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  2. 2,0 2,1 et 2,2 Conditions Initiales.
  3. Le but étant que le cœfficient de soit «» car ensuite, l'équation polaire s'obtiendra en multipliant scalairement ce vecteur constant par et, avec «», on obtient «» correspondant au début du dénominateur de l'équation polaire
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 4,21 4,22 4,23 4,24 4,25 4,26 4,27 4,28 4,29 4,30 4,31 4,32 4,33 4,34 4,35 4,36 4,37 et 4,38 On rappelle que l'axe focal de la conique est orienté du centre de force vers le point le plus proche de celle-ci ou, dans le cas d'une hyperbole, vers le point le plus proche de la branche.
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 et 6,4 Voir le paragraphe « définition de la constante des aires C (détermination de la constante des aires dans le cas où elle n'est pas nulle) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 7,11 7,12 et 7,13 C.-à-d. l'endroit où elle est choisie nulle.
  8. En effet on rappelle la conservation du moment cinétique vectoriel relativement au centre de force d'un point ayant un mouvement à force centrale.
  9. 9,00 9,01 9,02 9,03 9,04 9,05 9,06 9,07 9,08 9,09 et 9,10 Carl David Tolmé Runge (1856 - 1927) mathématicien et physicien allemand à qui on doit essentiellement une méthode de résolution numérique d’équation différentielle « la méthode de Runge-Kutta ».
       Martin Wilhelm Kutta (1867 - 1944) mathématicien allemand ayant participé en avec Karl Runge à l'élaboration de « la méthode de Runge-Kutta », est également connu pour ses études en aérodynamique on lui doit le théorème de Kutta-Jukowski sur la portance par unité de longueur d'un cylindre d'envergure infinie en fonction de la vitesse relative du fluide, la circulation de cette dernière le long d'une courbe fermée entourant la section droite du cylindre ainsi que la masse volumique du fluide, théorème applicable à certains profils d'aile sous condition.
       Nikolaï Iegorovitch Joukovski (1847 - 1921) savant russe puis soviétique, fondateur des sciences hydrodynamique et aérodynamique, surnommé par Lénine le « père de l'aviation russe ».
  10. 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 et 10,10 Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804 - 1865) physicien allemand de la Baltique, sujet de l'Empire Russe, professeur puis recteur à l’université de Saint-Pétersbourg, surtout connu pour sa loi sur l’interaction courant - champ magnétique.
  11. 11,00 11,01 11,02 11,03 11,04 11,05 11,06 11,07 11,08 11,09 et 11,10 Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie il contribue de façon décisive à l’émergence de l’astronomie mathématique : il vérifie mathématiquement la stabilité du Système solaire et ébauche l’histoire de ce dernier à partir de l’hypothèse de la nébuleuse, il est aussi l’un des 1ers scientifiques à concevoir l’existence de trous noirs et la notion de « collapsus ou effondrement gravitationnel » et de la théorie des probabilités en il retrouve indépendamment le théorème de Bayes, lequel permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage, il y utilise la transformation de Laplace qui porte son nom en son honneur, celle-ci ayant été découverte par Léonard Euler ;
       dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide en statique des fluides, il est aussi le 1er à mettre en évidence la raison pour laquelle la théorie de Newton du mouvement oscillatoire purement mécanique fournit une valeur sous-estimée de la vitesse du son pour cela il introduit un traitement thermodynamique, le son se propageant de façon adiabatique et non isotherme comme le supposait Isaac Newton, sans doute est-ce à cette époque qu’il énonce les lois des adiabatiques quasi-statiques.
       Thomas Bayes (1702 - 1761) mathématicien et pasteur britannique qui fut le 1er à établir le théorème de Bayes en théorie des probabilités on rappelle que ce théorème permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage.
       Léonard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
       Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
  12. Comme «» est un vecteur constant, on peut le faire « entrer à l'intérieur de la dérivation ».
  13. Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication mixte) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. Voir la solution de la question « établissement d'une intégrale 1re vectorielle du mouvement de la particule dans un champ newtonien introduisant la notion de vecteur excentricité de la trajectoire de cette dernière » plus haut dans cette série d'exercices.
  15. Voir la solution des questions « déduction, à partir de l'intégrale 1re vectorielle (précédemment établie) du mouvement de la particule dans un champ newtonien, de l'équation polaire de la trajectoire de cette dernière ainsi que de sa nature » et « discussion de la nature de la trajectoire de la particule dans un champ newtonien à partir de l'évaluation de la norme du vecteur excentricité de la conique (ou branche de conique) décrite par la particule » plus haut dans cette série d'exercices.
  16. 16,0 et 16,1 Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 et 18,10 Application Numérique.
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,6 et 19,7 Jacques Philippe Marie Binet (1786 - 1856) mathématicien et astronome français, on lui doit, dans le domaine des mathématiques, entre autres, une étude assez détaillée des fonctions eulériennes fonction gamma et fonction bêta ainsi que le calcul du nième terme de la suite de Fibonacci et, dans le domaine de l'astronomie, ces formules connues sous le nom de « formules de Binet » permettant d'exprimer les composantes polaires de la vitesse et de l'accélération quand cette dernière est centrale ;
       Leonardo Fibonacci (vers 1175 - vers 1250) mathématicien italien connu pour son introduction de la suite de Fibonacci mais a aussi joué un rôle essentiel pour insérer le savoir mathématique des musulmans, notamment des chiffres indo-arabes, dans le monde de l'Occident.
  20. Voir le paragraphe « préliminaire : expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  21. 21,0 et 21,1 Dans la mesure où il y a nécessairement une solution physique et que seule cette solution existe, on peut affirmer que cette condition est réalisée.
  22. On peut alors vérifier que « est effectivement », en effet, toutes ces grandeurs étant , la condition est équivalente à «» ou encore à «» compte-tenu du « développement de ».
  23. En effet «» se réécrit «» ou «» soit, dans la mesure où toutes les grandeurs intervenant sont , «» et finalement «».
  24. 24,0 24,1 24,2 et 24,3 Voir le paragraphe « établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec si le centre de force est le centre de la Terre ou si le centre de force est le centre du Soleil .
  25. Voir la solution de la question « détermination du dem-grand axe de la trajectoire de l'engin balistique » plus haut dans cet exercice.
  26. 26,0 26,1 26,2 et 26,3 Walter Hohmann (1880 - 1945) ingénieur allemand s'étant intéressé très tôt à la recherche de l'orbite la plus économe énergétiquement pour déplacer un engin spatial entre deux orbites différentes, résultat qu'il publia en  ; il s'intéressa également à l'astronomie, raison pour laquelle son nom fut donné à un cratère de la Lune de de diamètre en .
  27. 27,0 et 27,1 Pour cela on fait fonctionner, pendant une durée très courte, un réacteur fournissant l'énergie nécessaire, la durée étant suffisamment courte pour que l'on puisse considérer que le satellite est resté au même endroit.
  28. C'est encore la variation d'énergie mécanique car on suppose l'apport d'énergie instantané l'énergie potentielle de gravitation terrestre ne varie pas d'où la variation d'énergie cinétique en peut se calculer par «».
  29. C'est encore la variation d'énergie mécanique car on suppose l'apport d'énergie instantané l'énergie potentielle de gravitation terrestre ne varie pas d'où la variation d'énergie cinétique en peut se calculer par «».
  30. On pouvait obtenir cette variation d'énergie cinétique en à partir de celle évaluée précédemment en par permutation des indices et changement de signe en effet il y a aussi permutation de l'état initial et de l'état final d'où le changement nécessaire de signe.
  31. 31,00 31,01 31,02 31,03 31,04 31,05 31,06 31,07 31,08 31,09 et 31,10 Luboš Kohoutek (né en 1935) astronome tchèque, a étudié la physique et l'astronomie dans les universités de Brno et de Prague puis, à partir de , travailla à l'Institut d'astronomie de l'Académie tchèque des sciences où il publia, en , le Catalogue des nébuleuses planétaires galactiques ; surtout connu pour ses découvertes de nombreux astéroïdes dans les années mais aussi de comètes dont la grande comète de 1973, il prit sa retraite en .
  32. 32,0 32,1 32,2 32,3 32,4 32,5 et 32,6 L'unité astronomique est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le Système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre autour du Soleil , sa valeur est .
  33. Le mouvement de la grande comète de 1973, également connue sous le nom de « grande comète Kohoutek » car découverte par l'astronome tchèque Kohoutek, a d'abord été considéré comme périodique de période mais, depuis sa découverte en , des calculs ont révélé que la comète sortira du Système solaire c'est-à-dire que son état n'est pas lié mais de diffusion et plus précisément que son mouvement doit être considéré comme hyperbolique ; pour simplifier nous assimilons sa trajectoire à une parabole.
  34. Initialement le mouvement fut considéré comme elliptique et par suite fut baptisé « périhélie ».
  35. 35,0 et 35,1 Voir le paragraphe « en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique (identification de la nature de la conique … si Em, 0 est = à 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  36. 36,0 36,1 36,2 et 36,3 Centre D'Inertie.
  37. En fait la comète n'a pas coupé l'orbite terrestre car sa trajectoire n'était pas dans le même plan que celui de la Terre  ; le texte faisait cette hypothèse pour simplifier l'étude, la question finale étant de déterminer à quelles dates la grande comète Kohoutek «» s'était-elle retrouvée éloignée du Soleil de la même distance que la Terre .
  38. Voir le paragraphe « exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  39. Ayant laissé «» en «», «» doit être en «».
  40. 40,0 et 40,1 C.-à-d. la vitesse que doit avoir le satellite au point de lancement situé à la distance «» du centre de la Terre .
  41. Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  42. Voir le paragraphe « 2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  43. Voir le paragraphe du « composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  44. La direction «» étant la verticale au point de lancement, le plan horizontal est le plan à la verticale en .
  45. L'angle «» nul étant l'angle nécessaire pour que l'orbite du satellite fut circulaire, l'erreur de direction de lancement conduit à «», nous supposerons néanmoins que «» n'est pas trop différent de «» sans toutefois considérer «» comme un infiniment petit.
  46. Laquelle peut encore être écrite «».
  47. Voir le paragraphe « en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique (identification de la nature de la conique … si Em, 0 est < 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  48. 48,0 48,1 et 48,2 Johannes Kepler (1571 - 1630) est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic hypothèse que son professeur de mathématiques Michæl Mæstlin lui enseigna ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants à l’Université de Tübingen alors que l’enseignement officiel que M. Mæstlin donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de Ptolémée affirmant avec N. Copernic que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ;
       en , poursuivi pour ses convictions religieuses il était ministre du culte luthérien et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome danois Tycho Brahe, ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais d’après J. Kepler étant incapable de les exploiter correctement T. Brahe ne croyait pas à l’héliocentrisme de Copernic, ni d’ailleurs au géocentrisme de Ptolémée, l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de Ptolémée ;
       T. Brahe demande alors à J. Kepler de calculer l’orbite précise de Mars, travail que ce dernier commence en et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1ères lois, sa 3ème loi étant découverte près de plus tard.
       Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire.
        Michæl Mæstlin (1550 - 1631) astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de Johannes Kepler ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du nombre d'or en .
       Ptolémée (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168) astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'Almageste une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie et un traité de géographie une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain.
       Tycho Brahe (1546 - 1601) astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la Supernova de 1572 ainsi que la grande comète de 1577 qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques
  49. Voir le paragraphe « généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'un satellite autour de la Terre » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  50. 50,0 et 50,1 Voir le paragraphe « cas d'une force newtonienne attractive (k < 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  51. 51,0 et 51,1 En effet la composante orthoradiale de la vitesse de lancement est égale à «», étant l'angle que fait avec la direction orthoradiale qu'il aurait dû faire pour que le mouvement soit circulaire.
  52. 52,0 et 52,1 Voir le paragraphe « expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  53. 53,0 et 53,1 Conditions Aux Limites.
  54. Voir le paragraphe « quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire (de la branche d'hyperbole dans son repérage de pôle le foyer qu'elle contourne) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  55. Voir le paragraphe « en complément,expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-axe focal dans un mouvement hyperbolique » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  56. Usuellement noté mais cette notation étant utilisée ici pour définir le paramètre d'impact, nous notons a priori le demi-axe non focal même si, au final, ces deux grandeurs seront égales.
  57. 57,0 et 57,1 Voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (demi-axe non focal) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  58. Voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (paramètre) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  59. 59,0 et 59,1 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  60. 60,0 et 60,1 Voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (triangle H1FC rectangle en H1) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  61. Condition Nécessaire.
  62. C.-à-d. «» ce qui se réécrit «» ou «» ou encore «».
  63. Cette condition «» étant plus stricte que la condition précédente «» obtenue dans la note « 62 » plus haut dans cette solution, est la seule à retenir.
  64. Voir l'évaluation dans la solution de la question précédente intitulée « détermination, à partir de l'équation polaire de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude, de la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle (le paramètre de la conique s'évalue selon …) » de cet exercice.
  65. 65,0 et 65,1 Cette transformation, a priori, inutile n'étant effectuée que pour retrouver l'expression de la distance minimale d'approche obtenue dans la solution de la question précédente intitulée « détermination, à partir de l'équation polaire de la trajectoire de la météorite dans le référentiel d'étude, de la condition pour que la météorite ne heurte pas la boule matérielle (condition pour que la météorite ne heurte pas la boule …) » de cet exercice.
  66. Voir le paragraphe « base directe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  67. Voir le paragraphe « en complément,expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-axe focal dans un mouvement hyperbolique » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «».
  68. Voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (la longueur CH1 = …) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  69. aussi le centre de l'hyperbole complète.
  70. Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs (infiniment petit d'ordre un) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  71. Développement Limité.
  72. Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  73. Voir le paragraphe « généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » encore applicable pour une comète.
  74. L'unité de temps usuellement utilisée pour un objet du Système solaire gravitant autour du Soleil étant « l'année (julienne) de symbole » il est fréquent de ne pas utiliser le symbole «» mais le nom complet de l'unité «».