Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels

Leçons de niveau 14
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Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels
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Démarrage d'un cycliste[modifier | modifier le wikicode]

     Un cycliste démarre sur une route horizontale définissant un référentiel terrestre supposé galiléen et le repère associé à ce référentiel est de base cartésienne orthonormée directe , étant dans la direction de la route choisi dans le sens du mouvement que le cycliste veut suivre, vertical ascendant et au plan contenant le cycliste et son vélocipède les deux étant considérés, pour simplifier, sans épaisseur et s'enfonçant dans ce plan ce vecteur définit l'orientation des angles algébrisés de ce plan ;

     ce cycliste est assimilé à un « solide » lié à sa bicyclette ce qui revient en fait à négliger la masse des jambes mobiles du cycliste les deux roues de la bicyclette, identiques, de rayon , ayant une masse négligeable, nous appellerons la masse du cycliste et de sa bicyclette et le centre de masse de l'ensemble « cycliste - bicyclette » sera repéré par les longueurs , et définies sur la figure ci-contre.

     Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme d'intensité ,

     le cœfficient de frottement des roues sur le sol nous négligerons tout autre frottement solide ainsi que tout frottement fluide est noté et

     le rapport du nombre de dents du pédalier à celui du pignon arrière est égal à .

     Déterminer quelle condition doit vérifier le moment scalaire du couple que doit exercer le cycliste sur le pédalier pour que les roues ne patinent pas sur le sol lors de son démarrage, en utilisant successivement

  • la traduction du roulement sans glissement de chaque roue sur la route en termes de vitesses[1],
  • le théorème du mouvement du C.D.I[2]. appliqué à l'ensemble « cycliste - bicyclette »,
  • la traduction énergétique de la transmission « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » l'ensemble « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » supposé de masse négligeable, constitue une transmission idéale[3],
  • le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à chaque roue relativement à son axe dans la version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans le référentiel galiléen, l'axe passant par le C.D.I[2]. du solide[4] nous supposerons l'inertie de chaque roue négligeable,
  • le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à l'ensemble « cycliste - bicyclette » relativement à un axe passant par le C.D.I[2]. de l'ensemble et à celui de chaque roue ou du pédalier dans la version applicable à un système quand l'axe d'évaluation des moments est en translation dans le référentiel galiléen, l'axe passant par le C.D.I[2]. du système[4] et enfin
  • la condition de non glissement de chaque roue en utilisant les lois empiriques de Coulomb[5],[6].

Chien marchant transversalement sur un cylindre en contact sans puis avec frottement de glissement sur un plan horizontal, dans ce cas le cylindre roulant sans glisser sur le sol horizontal[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un chien marchant transversalement sur un cylindre de révolution en contact sans ou avec frottement de glissement sur le plan horizontal, dans ce dernier cas le cylindre roulant sans glisser[1] sur le sol

     Un chien, modélisé par le point matériel «», de masse , « marche » transversalement sur un cylindre de révolution posé sur le sol horizontal ; le mouvement du chien dans le référentiel terrestre galiléen est tel qu'il maintient sa hauteur relativement au sol, « constante » voir schéma ci-contre.

     Le cylindre de révolution est de masse et de rayon et le champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité le moment d'inertie d'un cylindre de révolution homogène, de masse et de rayon par rapport à son axe vaut «».

     Nous nous proposons d'étudier le mouvement du cylindre dans les deux cas particuliers suivants en absence de vitesses initiales.

Cylindre de révolution en contact sans frottement avec le sol horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous plaçons dans le cas où le cylindre de révolution est en contact sans frottement avec le plan horizontal, le chien « marchant » transversalement sur le cylindre en maintenant sa hauteur « constante » relativement au sol ;

     étudier le mouvement du cylindre surchargé du chien à l'aide des théorèmes de la résultante cinétique, du moment cinétique scalaire et de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre.

Cylindre de révolution roulant sans glisser sur le sol horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous plaçons maintenant dans le cas où le cylindre de révolution est en contact avec frottement de glissement sur le plan horizontal, le chien « marchant » transversalement sur le cylindre en maintenant sa hauteur « constante » relativement au sol et le cylindre roulant sans glissement[1] sur le sol ;

     étudier le mouvement du cylindre surchargé du chien à l'aide du théorème de la résultante cinétique, de la traduction du roulement sans glissement[1] du cylindre sur le sol en termes de vitesse, des théorèmes du moment cinétique scalaire et de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre.

Oscillations d'un pendule complexe[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un pendule complexe plan constitué d'une tige et d'un disque pouvant tourner autour de son centre en roulant sans glisser[1] sur un cylindre de révolution , fixe, d'axe passant par et au plan du pendule

     Soit à étudier les oscillations du pendule complexe plan voir schéma ci-contre constitué

  • d'une tige homogène , de masse , de longueur , de moment d'inertie par rapport à un axe passant par son extrémité «» nous admettrons que le moment d'inertie d'une tige , homogène, de masse et de longueur relativement à un axe passant par une de ses extrémités vaut pouvant tourner sans frottements dans un plan vertical fixe dans le référentiel d'étude galiléen, la rotation se faisant autour d'un pivot idéal[16] d'axe horizontal passant par et orienté par le vecteur unitaire , la base cartésienne du repère associé au référentiel «» étant orthonormée directe avec vecteur vertical descendant et vecteur horizontal du plan vertical du mouvement de la tige et
  • d’un disque , homogène, de même masse que la tige, de centre , de rayon , de moment d’inertie par rapport à son axe «» nous admettrons que le moment d'inertie d'un disque , homogène, de masse et de rayon relativement à son axe vaut , articulé en , sur la tige , par une liaison pivot idéale[16] maintenant dans le plan vertical du mouvement de la tige, l'axe du pivot étant .

     Au cours du mouvement de , roule sans glisser[1] sur un cylindre de révolution , fixe dans le référentiel d'étude , d’axe et de rayon  ; de plus nous supposons le champ de pesanteur terrestre uniforme étant l'intensité de la pesanteur.

     Pour étudier le mouvement de dans le référentiel d'étude , nous repérons la tige relativement à l'axe vertical descendant dans le plan de son mouvement, par l'angle algébrisé orienté dans le sens anti-horaire du plan le sens étant en accord avec celui du vecteur unitaire au plan.

Détermination de l'intégrale 1re énergétique en θ(t) du mouvement du pendule complexe[modifier | modifier le wikicode]

     Établir le lien traduisant le roulement sans glissement du disque sur le cylindre de révolution fixe dans le référentiel d'étude [1] entre
        Établir le lien (a) la composante orthoradiale du vecteur vitesse du centre du disque dans le référentiel d'étude «» étant la base polaire lié à dans le repérage polaire de pôle et d'axe du plan et
        Établir le lien (a) sa vitesse angulaire «» de rotation propre autour de l'axe horizontal dans le référentiel lié à en translation relativement à .

     Exprimer l'énergie cinétique du disque dans le référentiel d'étude en admettant le théorème de Kœnig[17] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig[17] appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[18] à savoir
     l'énergie cinétique du système continu de matière évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme
       de l'énergie cinétique barycentrique[19] du système «» évaluée à l'instant et
       de l'énergie cinétique du C.D.I[2]. du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «»
        soit, mathématiquement «»,

     exprimer l'énergie cinétique du pendule complexe dans le référentiel d'étude en fonction de «, et »,

     exprimer l'énergie potentielle de pesanteur «» du pendule complexe en fonction de «, , et » puis

     exprimer l'énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre «» du pendule complexe dans le référentiel d'étude en fonction de «, , , et ».

     Montrer que le pendule complexe est un système « à mouvement conservatif »[20] et expliciter l'intégrale 1re énergétique en qui en découle avec les C.I[21]. «».

     Vérifier que le pendule complexe est effectivement un oscillateur on rappellera la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique expliquant la nature oscillatoire du pendule.

Étude des petites oscillations du pendule complexe[modifier | modifier le wikicode]

     Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement du pendule complexe dans le référentiel d'étude galiléen dans les conditions précédentes de lancement.

     Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires[28] à savoir «» étant nulle,

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires vérifier que l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement du pendule complexe dans le référentiel d'étude peut être linéarisée et

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires exprimer le résultat de cette linéarisation ;

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires en déduire la loi horaire des petites élongations angulaires[28] de ainsi que

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires en déduire sa période des petites élongations angulaires[28] en fonction de et .

Chute de cheminée[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif de la modélisation d'une cheminée de base et de sommet en basculement autour de

     Une cheminée est modélisée par un cylindre homogène de hauteur «», de rayon devant et de masse «» ;

     l'équilibre de la cheminée est détruit et elle amorce une rotation autour de sa base «» dans le plan vertical «» où règne un champ de pesanteur uniforme voir schéma ci-contre ;

     pour l'étude de ce basculement on note «» l'angle algébrisé de la cheminée avec la verticale ascendante plus précisément , étant le sommet de la cheminée et le plan vertical étant orienté par le vecteur unitaire horizontal , le référentiel d'étude étant supposé galiléen.

Étude de la chute de la cheminée dans l'hypothèse où cette dernière reste en un seul bloc[modifier | modifier le wikicode]

     Dans cette partie la cheminée ne se rompt pas, elle reste un « bloc incassable » c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique.

Étude du mouvement du centre d'inertie de la cheminée et déduction de la réaction du sol sur la base de celle-ci[modifier | modifier le wikicode]

     Préciser la nature de la trajectoire du C.D.I[2]. de la cheminée tant que celle-ci reste entière ;

     en déduire sa résultante cinétique en fonction de «, et » dans la base polaire du plan de pôle liée à «» puis

     en déduire la résultante dynamique appliquée à la cheminée en appliquant à celle-ci le théorème de la résultante cinétique dans le référentiel d'étude galiléen et enfin

     en déduire les composantes de la réaction du sol appliquée en sur la cheminée dans la même base locale, en fonction de «, , intensité de la pesanteur, , et ».

Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en θ(t) du mouvement de basculement de la cheminée[modifier | modifier le wikicode]

     Par application du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à la cheminée relativement à dans le référentiel d'étude galiléen, établir l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de basculement de la cheminée on admet que le moment d'inertie d'une tige homogène, de masse , de longueur , relativement à un axe à la tige en une de ses extrémités vaut puis

     en déduire « en fonction de » entre autres.

Détermination d'une intégrale 1re énergétique du mouvement de basculement de la cheminée[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier que la cheminée constitue bien un système « à mouvement conservatif »[20] et

     expliciter l'intégrale 1re énergétique du mouvement de basculement de la cheminée sachant que la cheminée dans sa position initiale, c'est-à-dire verticale, n'a pas de vitesse angulaire on précisera la référence de l'énergie potentielle de pesanteur[11] de la cheminée puis

     en déduire « en fonction de » entre autres.

Détermination de l'angle d'inclinaison de la cheminée à partir duquel celle-ci décolle du sol lors de son basculement en un seul bloc[modifier | modifier le wikicode]

     Réécrire les composantes de la réaction du sol appliquée en sur la cheminée dans la base polaire du plan de pôle liée à «» en fonction de «, , et » puis

     en déduire la composante verticale de cette réaction du sol appliquée en sur la cheminée ;

     sachant que le contact avec le sol cesse lorsque la composante normale de la réaction du sol appliquée en s'annule, déterminer la valeur de l'angle d'inclinaison de la cheminée à partir de laquelle la cheminée décolle du sol.

Étude de la chute de la cheminée dans l'hypothèse où cette dernière se brise[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif de la modélisation d'une cheminée de base et de sommet en basculement autour de avec rupture envisagée en un point de la cheminée

     Dans cette partie nous envisageons que la cheminée puisse se rompre lors de son basculement, l'étude ci-après précisera les contraintes qu'elle subit lors de cette chute.

     Nous supposerons que toute base de cheminée de « longueur » subit

  • l'action du sol en ,
  • l'action de son poids et
  • l'action du reste de la cheminée de « longueur » sur elle-même, action se réduisant au point
    en une force «» appliquée en de composantes locales utilisant la base polaire du plan vertical de pôle liée à [38] et
    en un « couple de moment vectoriel » [39] voir l'effet de loupe du schéma ci-contre reproduit à droite.

Détermination de l'effort de cisaillement Sθ en un point quelconque P de la cheminée puis de l'endroit de celle-ci où le risque d'effritement est maximal[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Dans ce qui suit, nous supposons d'abord que la cheminée bascule en restant en un seul bloc, aussi pouvons nous utiliser tous les résultats de la partie précédente tant que celle-ci reste entière.

     Par application, dans le référentiel galiléen, du théorème de la résultante cinétique à la partie de la cheminée, exprimer les composantes locales de l'action du reste de la cheminée sur sa base «» utilisant la base polaire du plan de pôle liée à [38], en fonction de «, , , , , , , et » ;

     déduire, du mouvement de la partie de la cheminée et des questions précédentes, la composante orthoradiale de l'action du reste de la cheminée sur sa base en fonction de «, , , et », «» définissant l'« effort de cisaillement de la cheminée en » ;

     sachant que plus l'effort de cisaillement est grand en valeur absolue en un point fixé, plus la cheminée perdra de sa rigidité en ce point et plus le risque d'effritement de cette dernière en ce point est important, préciser en quel point la cheminée aura « tendance à s'effriter » [40] dans l'hypothèse où l'effort de cisaillement maximal en valeur absolue à ne pas dépasser pour qu'il n'y ait pas effritement est le cinquième du poids de la cheminée, indiquer à partir de quelle inclinaison relativement à la verticale la cheminée risque de s'effriter au point précédemment déterminé.

Détermination du moment cinétique scalaire de la base OP de la cheminée évalué par rapport à l'axe Py[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer le moment cinétique vectoriel de la partie de la cheminée par rapport au C.D.I[2]. de la partie de cheminée, en fonction de «, , , et des vecteurs de base cylindro-polaire de pôle et d'axe liée à »[38] pour déterminer le moment d'inertie d'une tige homogène, de masse , de longueur , relativement à un axe à la tige en son C.D.I[2]. à partir du moment d'inertie de cette tige relativement à un axe à passant par une de ses extrémités , on utilisera le théorème de Huygens[43],[44] liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes dont l'un passe par le C.D.I[2]. du solide « est la distance séparant les deux axes » ;

     en déduire le moment cinétique vectoriel de la partie de la cheminée par rapport à l'extrémité de la partie de cheminée puis

     en déduire le moment cinétique scalaire de cette même partie de cheminée par rapport à l'axe passant par et à .

Détermination du moment scalaire du couple que le reste de la cheminée PC exerce que la base OP, moment évalué relativement à la direction Oy[modifier | modifier le wikicode]

     En admettant le théorème du moment cinétique scalaire dans sa version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans un référentiel galiléen[12] et
     en l'appliquant à la partie de la cheminée relativement à l'axe passant par et à , déterminer
     le moment scalaire «» du couple que le reste de la cheminée exerce sur la partie de cheminée

  • en fonction de «, , , , , et >» puis
  • en fonction de «, , , et ».

Détermination de l'endroit de la cheminée où le risque de brisure est maximal lors du basculement de celle-ci[modifier | modifier le wikicode]

     Si le moment scalaire «» du couple que le reste de la cheminée exerce sur la partie de cheminée dépasse en valeur absolue une certaine valeur maximale caractérisant la cohésion de la cheminée, celle-ci se brise ;

     si tel est le cas, à quelle distance à partir de la brisure de la cheminée se fera-t-elle ?

     Dans le cas où la cheminée se brise à l'endroit prévu, préciser, en fonction de , , et , l'angle d'inclinaison de la cheminée relativement à la verticale pour lequel la brisure se produit.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 et 1,18 Un objet ne glisse pas sur un objet si leur point de contact est tel que, dans le référentiel d'étude, « ».
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 et 2,20 Centre D'Inertie.
  3. 3,0 et 3,1 C.-à-d. que les actions intérieures développent une puissance nulle.
  4. 4,0 4,1 4,2 et 4,3 Voir la généralisation à un système de matière continu fermé du paragraphe « applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe ΔG passant par le C.D.I. G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  5. 5,0 5,1 et 5,2 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  6. 6,0 6,1 et 6,2 Voir les paragraphes « lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre et dans le cas effectif de glissement » ainsi que l'« approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  7. 7,0 et 7,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  8. Et alors elle ne patinera jamais sur le sol au cours du mouvement si le moment scalaire du couple exercé sur le pédalier n'augmente pas.
  9. 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 et 9,6 C.-à-d. le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
  10. 10,0 10,1 10,2 10,3 et 10,4 Ce référentiel tourne dans le référentiel barycentrique du cylindre.
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 et 11,8 La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où celle-ci est choisie nulle.
  12. 12,0 12,1 12,2 et 12,3 Voir la généralisation à un système du paragraphe « adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «» dans le cas d'un système de résultante cinétique avec un axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen étant de direction , et étant respectivement le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système relativement à cet axe mobile et le moment cinétique scalaire du système relativement au même axe mobile.
  13. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. Opération inverse de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  16. 16,0 16,1 16,2 16,3 et 16,4 Voir le paragraphe « présentation du pendule pesant non amorti (P.P.N.A.) (liaison pivot avec le point O) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  17. 17,0 17,1 et 17,2 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ;
       Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  18. 18,0 et 18,1 Voir le paragraphe « 2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique) (appliqué à un système continu de matière) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
  19. 19,0 et 19,1 Une grandeur cinétique barycentrique d'un système est définie dans le référentiel barycentrique du système c'est-à-dire le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
  20. 20,0 20,1 20,2 et 20,3 Voir le paragraphe « théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie (cas particulier d'un système continu fermé - déformable ou non - de matière d'expansion tridimensionnelle conservatif) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points » prolongeant la notion introduite pour un point matériel du paragraphe « définition d'un mouvement conservatif » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  21. 21,0 21,1 et 21,2 Conditions Initiales.
  22. Ou au-dessus du précédent pour dans la mesure où est .
  23. 23,0 23,1 et 23,2 Ceci n'était pas demandé étant donné que le résultat était fourni.
  24. 24,0 24,1 24,2 et 24,3 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. 25,0 25,1 et 25,2 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  26. Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire (aire élémentaire du plan xOy repéré en cylindro-polaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. 28,0 28,1 28,2 28,3 et 28,4 On devrait dire « élongations angulaires petites en valeur absolue » mais personne ne le fait par abus de langage.
  29. Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs (ordre un) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. 30,0 et 30,1 Développement Limité.
  31. La grandeur est un infiniment petit d'ordre un si le maximum de sa valeur absolue l'est et, dans le cas présent où s'avérera périodique si son amplitude l'est ; les grandeurs dérivées temporelles et définiront alors des infiniment petits d'ordre un de grandeurs exprimées en et car à l'amplitude de avec un cœfficient de proportionnalité fini.
  32. Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. Comme il s'agit du D.L. à l'ordre un du 1er membre, le 2ème membre restant tel quel, nous devrions utiliser mais l'usage est d'écrire pour souligner qu'il s'agit d'une équation différentielle même si elle n'est qu'approchée.
  34. 34,0 et 34,1 Voir le paragraphe « dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de Mxy repéré dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  35. Le 1er terme du dernier membre étant égale à est l'accélération radiale du C.D.I. de la cheminée et
       le 2ème terme du dernier membre étant égale à est l'accélération orthoradiale du C.D.I. de la cheminée.
  36. Le moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel à la vitesse angulaire s'écrit «» dans lequel est le moment d'inertie du solide relativement à voir le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  37. Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  38. 38,0 38,1 38,2 et 38,3 Identique à la base polaire du plan de pôle liée à .
  39. 39,0 et 39,1 est la résultante des actions du reste de la cheminée de longueur sur sa base de longueur et le moment résultant vectoriel de toutes ces actions calculé par rapport à la résultante de ces actions ayant déjà été comptabilisée à part, la partie de ces actions engendrant une « torsion éventuelle de la cheminée en » est alors considérée comme un couple dont le moment vectoriel est indépendant du point de calcul ;
       pour que la « torsion de la cheminée en » ne soit pas effective, et par suite que la rigidité de la cheminée soit maintenue en , il faut que la norme du moment vectoriel du couple que le reste de la cheminée de longueur exerce sur sa base de longueur en soit inférieure à un seuil dépendant de la cohésion des différentes parties de la cheminée entre elles.
  40. 40,0 et 40,1 C.-à-d. en quel point l'effort de cisaillement en valeur absolue est-il maximal ?
  41. Le 1er terme du 2ème membre étant égale à est l'accélération radiale du C.D.I. de la partie de la cheminée et
       le 2ème terme du 2ème membre étant égale à est l'accélération orthoradiale du C.D.I. de la partie de la cheminée.
  42. L'expression simplifiée de n'était pas demandée.
  43. 43,0 et 43,1 Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  44. 44,0 et 44,1 Voir le paragraphe « complément : théorème de Huygens » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  45. Voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le 2ème terme du 2ème membre de l'expression du vecteur moment cinétique étant nul quand l'axe de rotation est un axe principal d'inertie du système voir le paragraphe « simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est axe principal d'inertie du système » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
  46. En effet les moments cinétiques vectoriels ont la même valeur dans les deux référentiels d'après le théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel ou 1er théorème de Kœnig appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique voir le paragraphe « 1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique) (appliqué à un système continu de matière) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points » «».