Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes

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Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
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Exercices no5
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chapitre du cours : Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Loi du moment cinétique : Moments de force
Exo suiv. :Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
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Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
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Atome de Bohr (modèle de l'atome d'hydrogène)[modifier | modifier le wikicode]

     On considère un électron de masse , de charge étant la charge élémentaire, dans le champ d'attraction d'un noyau d'hydrogène c.-à-d. d'un proton de masse , de charge  ;

     on suppose que l'électron suit la mécanique classique en particulier, qu'il a une trajectoire « bien définie » [1] et que son mouvement est circulaire de rayon dans le référentiel « protocentrique » [2] supposé galiléen [3] ;

     de plus on suppose qu'il ne subit que l'« attraction électrostatique de Coulomb [4] de son noyau » [5] ;

     dans la 1ère partie, on se propose de déterminer un certain nombre de propriétés du mouvement de l'électron et

     dans la 2ème        , après les avoir comparées aux résultats expérimentaux, d'ajouter l'hypothèse de Bohr [6] permettant de tenter d'expliquer ces résultats.

Détermination de grandeurs cinétiques et dynamiques de l'électron de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la mécanique classique quand le 1er est en mouvement circulaire dans le référentiel « protocentrique » lié au 2nd[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer, en utilisant quand cela est possible les notions de cinétique et dynamique du point matériel en mouvement circulaire autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen,

  • la nature uniforme du mouvement circulaire de l'électron dans le référentiel « protocentrique » [2] galiléen puis
  • en fonction de « la permittivité diélectrique du vide » [5], , et
    sa vitesse angulaire et
    sa vitesse instantanée [7] toutes deux dans ainsi que
    sa période , et enfin
  • en fonction de « la permittivité diélectrique du vide » [5], et
    son énergie cinétique ,
    son énergie potentielle électrostatique en choisissant sa référence à l'infini [8] et
    son énergie mécanique dans le champ électrostatique du noyau d'hydrogène toutes trois dans .

Tentative de justification des résultats expérimentaux sur l'atome d'hydrogène par quantification du moment cinétique orbital de l'électron (modèle de Bohr)[modifier | modifier le wikicode]

     Les valeurs de l'énergie mécanique de l'électron en mouvement circulaire dans le référentiel « protocentrique » [2] galiléen représentant les niveaux d'énergie permis de l'électron dans l'atome d'hydrogène, on constate que la théorie classique précédente permet toutes les valeurs de  ;

     or les résultats expérimentaux imposent que les valeurs de soient quantifiées, égales à avec [17] et le nombre quantique principal  ;

     pour retrouver cela, Bohr [6] suppose la quantification du moment cinétique scalaire orbital de l'électron relativement à son axe de rotation étant le centre du noyau d'hydrogène selon où «» [18] est la constante réduite de Planck [19] «» étant la constante de Planck [19] valant .

     On se propose de déterminer, dans l'hypothèse de mouvement circulaire de l'électron dans le référentiel « protocentrique » [2] galiléen,

  • le moment cinétique orbital scalaire de l'électron relativement à son axe de rotation en fonction de « la permittivité diélectrique du vide » [5], , et ,
  • les valeurs autorisées par la quantification de , en fonction de « la permittivité diélectrique du vide » [5], , , « la constante réduite de Planck [19] » et « le nombre quantique principal »,
  • la valeur de la constante de Planck [19] déduite de [17] ;

     commenter ce dernier résultat en le comparant à la valeur déterminée actuellement et en utilisant vos connaissances de mécanique quantique.

Treuil hissant une charge[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un treuil hissant une charge par l'intermédiaire d'un câble sans masse enroulé sur le cylindre du treuil soumis, entre autres, à l'action d'un moteur exerçant un couple de moment scalaire

     Un treuil, dont le tambour est assimilable à un cylindre de centre qui est aussi le C.D.I. [29], de rayon et de moment d'inertie par rapport à son axe de rotation fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen, permet de remonter, à l'aide d'un câble de masse négligeable, parfaitement souple, enroulé sur le tambour, une charge de masse  ;

     nous associons au référentiel terrestre galiléen, une base cartésienne orthonormée directe voir figure ci-contre, étant vertical ascendant et horizontal à l'axe du cylindre du treuil, son sens permettant de définir le sens de rotation du cylindre ;

     le champ de pesanteur terrestre est uniforme, son intensité étant notée , nous en déduisons «» ;

     nous supposons que le tambour peut tourner sans frottements autour de son axe fixe et
     nous supposons qu'il est actionné par un moteur qui exerce un couple de moment scalaire constant d'où
     nous supposons qu'il est actionné par un moteur qui exerce un couple le moment vectoriel du couple «».


     Déterminer, en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système composé du tambour, de la charge et du câble, ainsi que
     Déterminer, en appliquant la condition exprimant que le câble ne glisse pas sur le tambour [30],
     Déterminer, l'accélération verticale de la charge dans le référentiel terrestre .

Oscillations d'une masselotte[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif comprenant un ressort vertical à l'extrémité de laquelle est accroché l'axe d'une poulie simple, une masselotte est suspendue à un câble passant dans la gorge de la poulie et fixé en en contrebas de

     On considère le système représenté sur le schéma ci-contre comprenant :

  • un ressort idéal, c.-à-d. un ressort de masse négligeable par rapport aux autres masses, parfaitement élastique pourvu qu'on reste dans son domaine d'élasticité [32], de longueur à vide , de raideur [33], à l'extrémité duquel est suspendu horizontalement
  • l'axe d'une poulie homogène, de masse , de C.D.I. [29] , de rayon et de moment d'inertie relativement à son axe «», la poulie pouvant tourner sans frottement sur son axe,
  • un câble idéal, c.-à-d. de masse négligeable par rapport aux autres masses et inextensible, passant dans la gorge de la poulie gorge dont la profondeur peut être négligée par rapport à , sur laquelle nous supposons que le câble ne glisse pas [30], est attaché à un point fixe situé en contrebas,
  • une masselotte étant suspendue à l'autre extrémité libre du câble peut ainsi effectuer des oscillations dans le référentiel lié à supposé galiléen ;

     le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme d'intensité  ;

     en plus du dispositif précédemment décrit nous supposons la présence de guides permettant d'assurer que les mouvements de et sont rectilignes suivant leur verticale respective les guides agissant sans aucun frottement.

     On choisira un repère cartésien lié à d'origine et de base cartésienne orthonormée directe avec
     On choisira vertical descendant,
     On choisira horizontal orienté vers la droite dans le plan de la vue de profil du schéma et
     On choisira au plan de la vue de profil du schéma et orienté en pointant vers le lecteur, ce vecteur définissant le sens de mesure des angles orientés du plan de la vue de profil.

     En utilisant successivement la projection sur la direction verticale du théorème du mouvement du C.D.I. [29] à la masselotte d'une part et à l'ensemble « poulie - partie de câble au contact » d'autre part puis

     En utilisant successivement la généralisation du théorème du moment cinétique scalaire à l'ensemble « poulie - partie de câble au contact » relativement à l'axe la généralisation étant applicable à un solide dont le mouvement dans le référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de son C.D.I. [29] et d'une rotation autour d'un axe passant par et de direction fixe dans le référentiel d'étude » [34] et enfin

     En utilisant successivement la condition de non glissement du câble sur la poulie [30] associée au caractère inextensible de ce dernier,

     déduire l'équation différentielle du mouvement de la masselotte en étant la cote de la masselotte à l'équilibre puis

     la nature sinusoïdale des oscillations de la masselotte ainsi que sa période propre .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Laquelle s'identifie, dans le cadre de la mécanique quantique, à la courbe où le nuage électronique est le plus dense, ou encore à la courbe de probabilité de présence maximale de l'électron voir le paragraphe « notion de fonction d'onde de matière (densité volumique de probabilité de présence) » du chap. de la leçon Signaux physiques (PCSI).
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 et 2,7 Référentiel lié au centre du noyau en translation par rapport au référentiel du laboratoire.
  3. Le référentiel du laboratoire étant galiléen, le référentiel « protocentrique » l'est aussi dans la mesure où le centre du noyau est en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel du laboratoire.
  4. Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 On rappelle qu'il y a une analogie formelle entre les attractions électrostatique et gravitationnelle, la constante universelle de gravitation devant être remplacée par la constante « » où est la permittivité diélectrique du vide la permittivité diélectrique du vide plus généralement d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du vide ou celle du milieu isolant à l'action d'un champ électrique plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière l'apparition du signe «» dans l'analogie des constantes traduisant l'inversion de comportement entre la gravitation et l'électrostatique, deux masses évidemment de même signe car toutes deux s'attirent alors que deux charges de même signe se repoussent et les masses graves devant être remplacées par les charges.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 et 6,9 Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962) physicien danois surtout connu pour son apport à l'édification de la mécanique quantique ; il reçut le prix Nobel de physique en pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent ;
       il travailla avec Joseph John Thomson (1856 - 1940) physicien anglais à qui on doit la découverte de l'électron, des isotopes et l'invention de la spectrométrie de masse, il reçut le prix Nobel de physique en pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz, puis
       il travailla avec Ernest Rutherford (1871 - 1937) physicien et chimiste néo-zélando-britannique à qui on doit la découverte des rayonnements alpha et bêta, la mise en évidence du noyau atomique, considéré comme le père de la physique nucléaire, il reçut le prix Nobel de chimie en pour ses recherches sur la désintégration des éléments et la chimie des substances radioactives
       il travailla avant de diriger son propre laboratoire à Copenhague ;
       un de ses six fils Aage Niels Bohr (1922 - 2009) brillant physicien nucléaire, ayant grandi au milieu de physiciens amis de son père, comme Wolfgang Ernst Pauli (1900 - 1958) physicien autrichien connu pour son principe d'exclusion en mécanique quantique, lui ayant valu le prix Nobel de physique en ou Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène, a également obtenu le prix Nobel de physique en , partageant le prix avec Ben Roy Mottelson (né en 1926) physicien américano-danois et Léo James Rainwater (1917 -1986) physicien américain pour la découverte du lien entre mouvement collectif et mouvement des particules dans le noyau atomique, et le développement de la théorie de la structure du noyau fondée sur ce lien.
  7. 7,0 7,1 et 7,2 Voir le paragraphe « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la vitesse instantanée s'identifiant à la norme du vecteur vitesse quand le sens du mouvement sur la trajectoire ne change pas et que le sens du mouvement sur celle-ci est choisi dans le sens du mouvement.
       Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  8. 8,0 et 8,1 Endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.
  9. Ou son repérage de Frenet le vecteur unitaire tangentiel «» s'identifiant au vecteur unitaire orthoradial «» avec le sens du mouvement dans le sens des et le vecteur unitaire normal principal «» s'identifiant à l'opposé du vecteur unitaire radial «».
  10. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  11. Ou encore, en utilisant «» ce qui donne évidemment le même résultat.
  12. On vérifie que «» analogue à la 3ème loi de Kepler du mouvement circulaire des satellites voir le paragraphe « établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite autour de la Terre » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la égale à «» dépend des caractéristiques électriques du proton et de l'électron ainsi que de la masse de ce dernier alors que la égale, dans le cas du mouvement circulaire d'un satellite terrestre, à «» ne dépend que des caractéristiques gravitationnelles de la Terre et non de celles du satellite ;
       Johannes Kepler (1571 - 1630) est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic hypothèse que son professeur de mathématiques Michæl Mæstlin lui enseigna ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants à l’Université de Tübingen alors que l’enseignement officiel que M. Mæstlin donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de Ptolémée affirmant avec N. Copernic que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ;
       en , poursuivi pour ses convictions religieuses il était ministre du culte luthérien et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome danois Tycho Brahe, ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais d’après J. Kepler étant incapable de les exploiter correctement T. Brahe ne croyait pas à l’héliocentrisme de Copernic, ni d’ailleurs au géocentrisme de Ptolémée, l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de Ptolémée ;
       T. Brahe demande alors à J. Kepler de calculer l’orbite précise de Mars, travail que ce dernier commence en et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1ères lois, sa 3ème loi étant découverte près de plus tard.
       Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire.
        Michæl Mæstlin (1550 - 1631) astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de Johannes Kepler ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du nombre d'or en .
       Ptolémée (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168) astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'Almageste une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie et un traité de géographie une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain.
       Tycho Brahe (1546 - 1601) astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la Supernova de 1572 ainsi que la grande comète de 1577 qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques
  13. Voir aussi le paragraphe « forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  14. Pour déterminer l'expression de l'énergie potentielle il convient de prendre un déplacement élémentaire quelconque «» en repérage sphérique et non un déplacement maintenant sur la trajectoire ; si on faisait cela, ce déplacement élémentaire uniquement suivant «» en repérage cylindro-polaire entraînerait la nullité du travail élémentaire et par suite la constance de l'énergie potentielle, en accord avec le fait qu'« à figé » l'énergie potentielle ne varie pas, mais on ne pourrait pas l'évaluer.
  15. On constate que l'« énergie cinétique de l'électron en mouvement circulaire dans le champ d'attraction protonique » est égale à la « moitié de la valeur absolue de l'énergie potentielle électrique dans le champ protonique à référence à l'infini », ceci étant une propriété caractéristique des objets en mouvement circulaire dans un champ newtonien c.-à-d. un champ central et inversement proportionnel au carré de la distance au centre d'attraction, voir les paragraphes « champ newtonien et force newtonienne subie par le point matériel » du chap. et « rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire (remarques) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » .
  16. On constate que l'« énergie mécanique de l'électron en mouvement circulaire dans le champ d'attraction protonique » est égale à la « moitié de l'énergie potentielle électrique dans ce champ protonique à référence à l'infini » ou à l'« opposé de l'énergie cinétique de l'électron en mouvement circulaire dans le même champ d'attraction protonique », ceci étant une propriété caractéristique des objets en mouvement circulaire dans un champ newtonien c.-à-d. un champ central et inversement proportionnel au carré de la distance au centre d'attraction, voir les paragraphes « champ newtonien et force newtonienne subie par le point matériel » du chap. et « rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire (remarques) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » .
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 et 17,6 L'électronvolt de symbole est une unité d'énergie adaptée à la physique atomique elle vaut